Fourier-Transformation einer Gauß-Funktion

Lösungen zur Zentralübung der Vorlesung Grundlagen der Messtechnik von Prof. Dollinger, Univ. der Bundeswehr München, LRT2 ‐ OHNE GEWÄHR ‐ Fourier‐TransformationeinerGauß‐Funktion
Berechnen und skizzieren Sie die Fourier‐Transformierte G( ) der normierten Gaußfunktion (Glockenkurve) 1 t2

1
2
g t  
e 2  2
mit Standardabweichung  . Hinweis: Erweitern Sie den Exponenten in g (t ) in geeigneter Weise, sodass Sie auf die Form 
des unbestimmten Integrals  e  x dx   kommen. 2

Lösung
Gauß‐Funktion: g t  
1
 2
G   
e
1 t2
  2
2



1
2
e
1 t2
  2
2
e
 it

dt  
1
2
e
1 t2
  2  i t
2
dt

Nun wird der Exponent nach folgendem Prinzip erweitert:  a 2  2ab   a 2  2ab  b 2  b 2  (a  b) 2  b 2 t
it i
 2 2
2
 a und it  2ab  b 

b  
Wir setzen und erhalten für den 2a
2
2
2
Exponenten: 1 t2
i   2 2
 t
  2  it   

  2 2 
2 
 2 
2
Damit folgt: G   

1
 2
e
i 
 t



2 
 2 
2
dt  e

 2 2
2

‐ 1 ‐ Nun substituieren wir: t
i

ˆ z 2 
2
und damit dz
1

 dt  2   dz dt
2 
Damit ergibt sich:  

2
1
G   
 e 2   e  z dz  2  
 2

2
 G   
1
 G    e
1
  2 2
2

e

2
 2 2
2

 
Graphische Darstellung: Die Standardabweichung ist proportional zur "Breite" der Glockenkurve (Normalverteilung). die "Öffnung" der Kurve bei halber Höhe des Maximums entspricht etwa 2  2 ln 2    2,35 (FWHM = Full Width at Half Maximum). Im Zeitraum ergibt sich die breite blaue Kurve mit der Standardabweichung t   1
Im Frequenzraum ergibt sich die schmale grüne Kurve mit der Standardabweichung   
G(ω) 2

2
g(t) t

/> Die Fourier‐Trafo einer Gauß‐Kurve mit der Standardabweichung  ergibt also wieder eine Gauß‐Kurve mit der Breite 1/. ‐ 2 ‐ Zusatzbemerkung: Die Gauß‐Funktion hat in der Physik/Quantenmechanik eine große Bedeutung, da sie Wahrscheinlichkeitsverteilungen bzw. die Unschärfe Δx bei Messungen beschreibt. Der Zusammenhang der Fourier‐Transformation gilt für alle korrespondierenden Messgrößen, z.B. Ort/Impuls, Frequenz/Zeit oder äquivalent Energie/Zeit und deren Messungen in einem Experiment und führt zur Heisenbergschen Unschärferelation für jeweils diese korrespondierenden Größen: 
 p x 
 p   x  h 2
ebenso findet man E  t  h f  t  1 ‐ 3 ‐