Aufgaben zur Elektrodynamik (5) – Wintersemester 2009/10

Aufgaben zur Elektrodynamik (5) – Wintersemester 2009/10
Abgabe bis Donnerstag, 4.2.2010
Aufgabe 1 Wellengleichung in linearen Medien
~ und B~
In linearen Medien (ε und µ konstant) erfüllen die Komponenten des EFeldes bei Abwesenheit von freien Ladungen und Strömen die Wellengleichung
∆u −
1 ∂2
u = 0,
v 2 ∂t2
(1)
wobei für die Ausbreitungsgeschwindigkeit gilt:
c
v=√ .
µε
Betrachten wir nur eine Raumdimension, so schreibt sich (1) als
∂2
1 ∂2
u
−
u = 0.
∂x2
v 2 ∂t2
(2)
Eine spezielle Lösung dieser Gleichung lautet
uk (x, t) = Aeik(x−vt) + Be−ik(x+vt) ,
wobei gilt
k=
ω √ ω
= µε .
v
c
a) Ein Medium heißt nicht-dispersiv, wenn die Ausbreitungsgeschwindigkeit v
unabhängig von der Wellenzahl k ist (dies ist im allgemeinen nicht der Fall).
Zeigen Sie, dass in nicht-dispersiven Medien jede Funktion
u(x, t) = f (x − vt) + g(x + vt)
eine Lösung von (2) darstellt. Hierbei sind f und g zweimal differenzierbare,
ansonsten aber völlig beliebige Funktionen.
b) Ebene elektromagnetische Wellen werden beschrieben durch
~ r, t) = E
~ 0 eik~n~r−iωt ,
E(~
~ r, t) = B
~ 0 eik~n~r−iωt ,
B(~
wobei ~n der Einheitsvektor in Ausbreitungsrichtung ist. Benutzen Sie die
~ 0 = 0 und
Maxwell-Gleichungen für lineare Medien, um zu zeigen, dass ~n · E
~ 0 = 0 gilt und dass zwischen den Vektoren E
~ 0 und B
~ 0 der Zusammenhang
~n · B
~ 0 = √µǫ ~n × E
~0
B
besteht. Hinweis: Es ist ∇(~n~r) = ~n.
Aufgabe 2 Potential und Feld des Wasserstoffatoms
Für das Wasserstoffatom im Grundzustand gilt: Die Kernladung e ist punktförmig
im Ursprung zentriert, die mittlere Elektronenladungsdichte ist durch
e
2r
ρ(r) = − 3 exp −
πaB
aB
gegeben (aB ist der so genannte Bohrsche Radius).
a) Berechnen Sie mithilfe des Gaußschen Gesetzes das elektrische Feld. Hinweis:
Für eine kugelsymmetrische Funktion f = f (r) gilt bei Integration über ein
R V (r)
Rr
Kugelvolumen 0
f (r ′ )dV ′ = 4π 0 f (r ′)r ′2 dr ′ .
b) Berechnen Sie das Potential. Diskutieren Sie die Grenzfälle r ≪ aB , r ≫ aB .
Hilfe für die Integration: Es gilt allgemein
2
Z
2x
2
x
2 ax
ax
− 2 + 3
sowie
x e dx = e
a
a
a
Z 1
2
+
2
x
ax
2x
1 2x
e− a dx = − e− a .
x
Aufgabe 3 Stromdurchflossener Zylinder mit Bohrung
Ein unendlich langer Zylinder mit Radius R sei von
einer homogenen Stromdichte j durchflossen. Er habe eine Bohrung mit Radius R0 , deren Achse um den
Abstand d von der Zylinderachse verschoben ist (siehe Draufsicht in der Skizze).
y
ef
r
R
d
er
r’
x
R0
Bestimmen Sie das Magnetfeld im Innern der Bohrung.
Hinweise: Benutzen Sie das Ergebnis aus Aufgabe 3 des 3. Übungsblattes, wonach
~ = (2πj/c)ρ ~eφ ist. Der
das Magnetfeld im Innern eines stromdurchflossenen Leiters B
Stromfluss“ im Innern der Bohrung lässt sich durch Überlagerung zweier entgegen”
gesetzt fließender Ströme konstruieren. Legen Sie das Koordinatensystem so, dass
die z-Achse entlang der Zylinderachse verläuft und ~ = j~ez und dass die Bohrung
entlang der x-Achse verschoben ist (siehe Skizze). Beachten Sie, dass gilt: ~eφ = ~ez ×~eρ
sowie ρ~ = ρ~eρ .
Aufgabe 4 Kontinuitätsgleichung und Maxwellsche Gleichungen
Leiten Sie aus den zeitabhängigen Maxwellschen Gleichungen in Materie die Kontinuitätsgleichung div~ = −∂ρ/∂t ab.
Aufgabe 5 Magnetisches Moment und Drehimpuls
Ein Teilchen mit der Masse M und der Ladung q bewege sich in einem Zentralkraftfeld. Leiten Sie die Beziehung zwischen dem magnetischen Moment m
~ und dem
~
(konstanten) Drehimpuls L her. Hinweise: Sie benötigen das 2. Keplersche Gesetz
(df /dt = L/2M). Setzen Sie für den Strom vereinfacht I = q/T an (T ist die Umlaufzeit).