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Praktikumsvorbereitung Physik FZ
1.Fehlerrechnung allgemein (Wikipedia)
Es ist grundsätzlich nicht möglich, fehlerfrei zu messen. Die Abweichungen der Messwerte von ihren
wahren Werten wirken sich auf ein Messergebnis aus, so dass dieses ebenfalls von seinem wahren
Wert abweicht. Die Fehlerrechnung versucht, die Einflussnahme der Messfehler auf das
Messergebnis quantitativ zu bestimmen.
Abgrenzung
Der Begriff Fehlerrechnung kann verschieden verstanden werden.

Häufig will man ein Messergebnis aus einer Messgröße oder im allgemeinen Fall aus
mehreren Messgrößen
mittels einer bekannten Gleichung berechnen. Bei
fehlerhafter Bestimmung der Eingangsgröße(n) wird auch die Ausgangsgröße falsch
bestimmt, denn die Einzelabweichungen werden mit der Gleichung
bzw.
übertragen und führen zu einer Abweichung des Ergebnisses.
Man nennt dieses Fehlerfortpflanzung. Unter diesem Stichwort werden Formeln angegeben
getrennt für die Fälle, dass die Abweichungen bekannt sind als
1. systematische Fehler bzw. systematische Abweichungen,
2. Fehlergrenzen oder
3. Unsicherheiten infolge zufälliger Fehler bzw. zufälliger Abweichungen.
Kennzeichnend ist hier: Man hat im allgemeinen Fall mehrere Größen xi und zu jeder Größe
einen Messwert.

Wenn man die Messung einer der Größen xi unter gleichen Bedingungen wiederholt, stellt
man häufig fest, dass sich die Einzelmesswerte unterscheiden; sie streuen. Sie haben dann
zufällige Fehler bzw. zufällige Abweichungen.
Nachfolgend werden Formeln angegeben zur Berechnung eines von diesen Fehlern möglichst
befreiten Wertes und zu dessen verbleibender Messunsicherheit.
Kennzeichnend ist hier: Man hat zu einer Größe xi mehrere Messwerte.
Normalverteilung
Häufigkeitsverteilung streuender Messwerte
Die Streuung von Messwerten kann man sich in einem Diagramm veranschaulichen. Man teilt den
Bereich der möglichen Werte in kleine Bereiche mit der Breite b ein und trägt zu jedem Bereich auf,
wie viele gemessene Werte in diesem Bereich vorkommen, siehe Beispiel in nebenstehendem Bild.
Normalverteilung streuender Messwerte
Bei der Gauß- oder Normalverteilung (nach Carl Friedrich Gauß) lässt man die Anzahl der Messungen
N → ∞ gehen und zugleich b → 0. Bei dem Diagramm geht der gestufte Verlauf über in eine stetige
Kurve. Diese beschreibt


die Dichte der Messwerte in Abhängigkeit vom gemessenen Wert und außerdem
für eine zukünftige Messung, welcher Wert mit welcher Wahrscheinlichkeit zu erwarten ist.
Mit der mathematischen Darstellung der Normalverteilung lassen sich viele statistisch bedingte
natur-, wirtschafts- oder ingenieurwissenschaftliche Vorgänge beschreiben. Auch zufällige
Messabweichungen können in ihrer Gesamtheit durch die Parameter der Normalverteilung
beschrieben werden. Diese Kenngrößen sind


der arithmetische Mittelwert über alle Messwerte, genannt Erwartungswert. Dieser ist so
groß wie die Abszisse des Maximums der Kurve. Zugleich liegt er an der Stelle des wahren
Wertes.
die Standardabweichung als Maß für die Breite der Streuung der Messwerte. Sie ist so groß
wie der horizontale Abstand eines Wendepunktes vom Maximum. Im Bereich zwischen den
Wendepunkten liegen etwa 68 % aller Messwerte.
Unsicherheit einer einzelnen Messgröße
Das Folgende gilt bei Abwesenheit von systematischen Fehlern und bei normalverteilten zufälligen
Fehlern.
Schätzwerte der Parameter
Hat man von der Größe mehrere mit zufälligen Fehlern behaftete Werte mit j = 1...N, so
bekommt man gegenüber dem Einzelwert zu einer verbesserten Aussage durch Bildung des
arithmetischen Mittelwertes
Die (empirische) Standardabweichung s ergibt sich aus
Diese Größen sind Schätzwerte für die Parameter der Normalverteilung. Durch die endliche Zahl der
Messwerte unterliegt auch der Mittelwert noch zufälligen Fehlern. Ein Maß für die Breite der
Streuung des Mittelwertes ist die Unsicherheit u:
Diese wird umso kleiner, je größer N wird. Sie kennzeichnet zusammen mit dem Mittelwert einen
Wertebereich
, in dem der wahre Wert der Messgröße erwartet wird.
Vertrauensniveau
Diese Erwartung wird nur mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit erfüllt. Will man letztere auf ein
konkretes Vertrauensniveau festlegen, so muss man einen Bereich (Konfidenzintervall)
festlegen, in dem der wahre Wert mit dieser Wahrscheinlichkeit liegt.
Je höher die Wahrscheinlichkeit gewählt wird, desto breiter muss der Bereich sein. Der Faktor t
berücksichtigt das gewählte Vertrauensniveau und die Anzahl der Messungen insoweit, als mit einer
kleinen Zahl N die statistische Behandlung noch nicht aussagekräftig ist. Wählt man die oben
genannte Zahl 68 % als Vertrauensniveau und N > 12, so ist t = 1,0. Für das in der Technik vielfach
verwendete Vertrauensniveau von 95 % und für N > 30 ist t = 2,0. Eine Tabelle mit Werten von t
(Student-Verteilung) befindet sich in DIN 1319-3.
Ausgleichsrechnung
Unter einer Ausgleichungsrechnung versteht man die Schätzung von unbekannten Parametern eines
mathematischen Modells. Im einfachsten Fall hat eine Ausgleichsrechnung zum Ziel, die Parameter
einer vorgegebenen Funktion mittels einer größeren Anzahl von empirischen Daten zu bestimmen
bzw. eine glatte Kurve näherungsweise durch eine größere Anzahl von Messpunkt zu legen.
2. Radioaktivität / Zerfallsarten
Was ist Radioaktivität?
Eigenschaft der spontanen Umwandlung instabiler Atomkern unter Energieabgabe (in Form
ionisierender Strahlung, nämlich energiereicher Teilchen und/oder Gammastrahlung)
Zerfallsarten
a) Alpha-Zerfall
Helium-4-Kern wird auch Alphateilchen genannt.
b)Beta-Zerfall
In Folge des Zerfallvorgangs verlässt ein energiereiches Betateilchen – Elektron oder Positron – den
Kern. Gleichzeitig entsteht ein Antineutrino bzw. Neutrino.
Der Betazerfall wird nach der Art der emittierten Teilchen unterschieden. Bei abgestrahltem Elektron
handelt es sich um Beta-minus-Zerfall (β−), bei abgestrahltem Positron um Beta-plus-Zerfall (β+).

Beta-minus-Zerfall (β−)
Ein Beispiel für den β−-Zerfall ist der Zerfall von Kohlenstoff-14 in das stabile Isotop Stickstoff-14:

Beta-plus-Zerfall (β+)
Ein Beispiel für den β+-Zerfall ist der Zerfall von Stickstoff-13 in Kohlenstoff-13:
c)Gammazerfall
Beim Übergang in einen energetisch niedrigeren Zustand gibt der Atomkern durch Emission
hochfrequenter elektromagnetischer Strahlung, sogenannter γ-Strahlung, Energie ab.
geschieht meist unmittelbar nach einem Beta- oder Alphazerfall
Ein bekanntes Beispiel ist die Aussendung von Gammastrahlung durch einen Nickel-60-Kern, der
(meist) durch Betazerfall eines Cobalt-60-Kerns entstanden ist:
3.Messfehler
Arten von Messabweichungen
 Systematische Messabweichungen
Alle Abweichungen, die einseitig gerichtet sind und sich - wenn auch schwierig - ermitteln ließen, sind
systematische Messabweichungen.





Systematische Messabweichungen haben Betrag und Vorzeichen.
Bekannte systematische Abweichungen sind durch Berichtigung auszuschließen.
Unbekannte systematische Messabweichungen können allenfalls anhand ausreichender
Erfahrung in einer Komponente us der Messunsicherheit zusammengefasst werden.
Entstehen durch ungenaue Messmethoden
Infolge der Messunsicherheit der verwendeten Messgeräte systematisch bedingt und lassen
sich somit nicht vermeiden

Zufällige Messabweichungen
Nicht beherrschbare, nicht einseitig gerichtete Abweichungen sind zufällige Messabweichungen.






Bei Wiederholungen - selbst unter genau gleichen Bedingungen - werden die Messwerte
voneinander abweichen; sie streuen.
Zufällige Messabweichungen schwanken nach Betrag und Vorzeichen.
Anhand einer Fehlerrechnung kann aus der Gesamtheit der Werte ein Mittelwert M und eine
Komponente uz der Messunsicherheit berechnet werden. Der wahre Wert liegt (bei
Abwesenheit systematischer Fehler) mit einer gewissen statistischen Sicherheit in einem
Bereich
.
Die gesamte Messunsicherheit ergibt sich zu u = us + uz
Vielzahl von unkontrollierbaren Einflüssen auf Ergebnis der Messungen (z.B. Temperatur-,
Luftdruck- oder Feuchtigkeitsschwankungen)
Auch durch Schätzfehler (=unterschiedliche Interpretation abgelesener Einheiten auf Skalen)
oder zufällige Abweichungen bei manuell ausgelösten Start/Stoppsignalen bedingt
4.Fehleranalyse von Zählmessungen
Untersucht speziell die Art von zufälligen Messabweichungen, die bei sogenannten Zählmessungen
durch die statistische Schwankung der zu messenden Größe an sich hervorgerufen wird.
zum Beispiel
Messung von Teichenströmen (Photonen, Elektronen etc.) geringer Intensität
statistische Schwankung der Messgröße überwiegt gegenüber zufälligen
Abweichungen durch äußere Einflüsse
hier: Radionuklid
Radioaktivität/Umwandlungsgesetz
= spontan ablaufender Prozess mit statistischer Natur (gleiche Umwandlungswahrscheinlichkeit
unabhängig von dessen Vorgeschichte bei unbestimmtem Umwandlungszeitpunkt)
bekannt:
Wahrscheinlichkeit mit der das Umwandlungsereignis in einem bestimmten
Zeitintervall eintritt
gegeben:
Anzahl vorhandener, gleichartiger Kerne zum Zeitpunkt
ist
Anzahl der im Mittel aufgetretenen Umwandlungen
(Zerfallsgesetz) ( Nuklid-spezifische Zerfallskonstante)
(mittlere Lebensdauer des betreffenden Kerns)
(exponentielles Umwandlungsgesetz)
(Halbwertszeit)
(Becquerels)
Die Aktivität ist neben der Art und Energie der emittierten Strahlung die wichtigste
Größe zur Charakterisierung einer radioaktiven Quelle.
Das Radionuklid
Halbwertszeit:
Zerfallsart:
(Jahre)
Beta(-)-Zerfall
Zu 99,563% wird Grundzustand von
erreicht.
Nur 0,43% der Zerfälle erfolgen über angeregten Zwischenzustand von
(Die
begleitende Gamma-Strahlung mit einer Energie von 514keV hat nur bei Quellen mit
sehr großer Aktivität > 109Bq Konsequenzen für den Strahlenschutz).
Messung der emittierten Strahlung erfolgt durch Zählmessungen.
Das Ergebnis einer Zählmessung ist eine diskrete Anzahl
von gezählten Ereignissen (Zählimpulsen)
die in einer bestimmten Zeit Messzeit beobachtet werden.
Zählrate
Sowohl unmittelbarer Messprozess als auch die Emission von ionisierender Strahlung unterliegen
statistischer Gesetzmäßigkeiten
ff. nur Betrachtung der statistischen Schwankungen der radioaktiven Kernumwandlung für ein
gegebenes Zeitintervall.
Statistische Verteilungen
diskrete Verteilung
stetige Verteilung
Wahrscheinlichkeitsfunktion
(Wahrscheinlichkeits-)Dichtefunktion
Beide Funktionen sind definitionsgemäß auf 1 definiert.
Der Erwartungswert
ist als erstes Moment der Verteilung entsprechend
(für diskrete Verteilung
Die Varianz
)
bzw. die Streubreite
berechnet sich aus
(für diskrete Verteilung
)
POISSON-Verteilung
Die exakte Lösung für die Statistik des radioaktiven Zerfalls liefert die Binominalverteilung
(=eine der wichtigsten diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen; beschreibt den
wahrscheinlichen Ausgang einer Folge von gleichartigen Versuchen, die jeweils nur zwei
mögliche Ergebnisse haben, also die Ergebnisse von Bernoulli-Prozessen. Wenn das
gewünschte Ergebnis eines Versuches die Wahrscheinlichkeit p besitzt, und die Zahl der
Versuche n ist, dann gibt die Binomialverteilung an, mit welcher Wahrscheinlichkeit sich
insgesamt k Erfolge einstellen. Unter diesen Voraussetzungen ist der Versuch ein BernoulliVersuch)
Für große Anzahl instabiler Kerne
Halbwertszeit
und wenn die Beobachtungszeit gegenüber der
gering ist, gelten
und
, das heißt die Binominalverteilung geht praktisch in die POISSON-Verteilung über.
Die POISSON-Verteilung ist ein Begriff aus der Wahrscheinlichkeitstheorie. Es handelt sich um
eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung, die beim mehrmaligen Durchführen eines
Bernoulli-Experiments entsteht. Letzteres ist ein Zufallsexperiment, das nur zwei mögliche
Ergebnisse besitzt (z.B. „Erfolg“ und „Misserfolg“). Führt man ein solches Experiment sehr oft
durch und ist die Erfolgswahrscheinlichkeit gering, so ist die PPISSON-Verteilung eine gute
Näherung für die entsprechende Wahrscheinlichkeitsverteilung. Die POISSON-Verteilung wird
deshalb manchmal als die Verteilung der seltenen Ereignisse bezeichnet
Seltene Ereignisse treten mit einer geringen aber konstanten Wahrscheinlichkeit
Erwartungswert ist gleich der Varianz
Standardabweichung
Schwierig ist die Anwendung statistischer Tests auf sogenannte Reinheit der Verteilung
Übergang zur stetigen GAUSS-Verteilung
Für Zählmessungen mit großem Erwartungswert
folgt unter Verwendung der
STIRLINGschen Formel zur Berechnung der Fakultät und dem Übergang zu einer stetigen
Zufallsvariable die Dichtefunktion
(spezielle Form der Dichtefunktion der GAUSS-Verteilung)
Approximation der diskreten POISSON-Verteilung mit der stetigen GAUSS-Verteilung ist immer eine
Näherung
Brauchbar für
Relativ genau für
! Das ist bei einem vgl. von Zählmessungen mit dieser theoretischen
Verteilungsfunktion zu beachten.
Verteilungsfunktion
für eine stetige Zufallsvariable ist
Verteilungsfunktion
für eine diskrete Zufallsvariable ist
Wegen Normierung der Dichte- bzw. Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion gilt immer
Ohne Intervall
und
nur für Intervall
definiert
In Praxis ist Erwartungswert nicht bekannt, sondern soll durch Messungen geschätzt werden
Dazu: Serie von Einzelmessungen
bei Zählmessungen
Mittelwert
entspricht dem Schätzwert für den Erwartungswert
Geeignetes Maß für die Streuung der Einzelmessungen
ist die Standardabweichung
der
Messstelle
Varianz des Mittelwertes
Standardabweichung des Mittelwertes
Beispiel:
Nettozählrate
Standardabweichungen von
Differenz der Bruttozählrate von der Nullzählrate
und
sind
und
weil Varianz einer Zählmessung gleich
dem Effekt, also der gemessenen Impulszahl ist.
Varianz der Nettozählrate
Standardabweichung der Nettozählrate
Geiger-Müller-Zählrohr (GMZ)
Gehört zu den Gasionisationsdetektoren
Gebildete Ladungsträger (Elektronen und Ionen) infolge des el. Feldes im Detektor zu den
Elektroden  löst regestrierbaren Impuls aus
Dektorspannung so hoch, dass es zu einer lawinenartiger Stoßionisaton in Anodennähe
kommt
5. Experimentelle Durchführung
Relativverfahren
Ein Präparat mit der unbekannten Aktivität
liefert einen Messeffekt
Annahme: gleiche Messgeometrie und linearer Zusammenhang
Wenn
und
Also
Fehlerrechnung
Vertrauensbereich von 95,45%
Ablauf
1.Messung (bekannte Probe)
Messzeit/Zyklus = 1sec
Zyklenzahl=10
Aufnahme des Diagramms
Diagramm auf Millimeterpapier und Ausgleichsgerade für Plateaubereich mit
jeden Messwert(analog dem Diagramm in derVorbereitung)
2.Messung (bekannte Probe)
Messzeit/Zyklus=1sec
Zyklenzahl=1000

Berechnung A1
Bei uns
-Schlauch um
3.Messung(Nullmessung
)
Messzeit/Zyklus=1sec
Zyklenzahl=1000

4.Messung(unbekannte Probe)
Messzeit/Zyklus=1sec
Zyklenzahl=1000

Bestimmung
Grafisch (
)
Linearer Zusammenhang (weiter siehe Skript)
Fehlerrechnung Protokoll
Numerisch
Formel s.o.
=??
Diskussion:
 Vgl. die Ergebnisse der letzen beiden Gleichungen
 Was passert mit dem Fehler wenn man die Zyklenanzahl vergrößert/verringert??
Letzer Hinweis: die 3 letzen Messungen dauern jeweil ca.17 Minuten, in der Zeit schafft man locker
die Auswertung der vorherigen Messungen
- Viel Erfolg & High5
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