fehlerrechnung

Einführung zur Fehlerrechnung
Messen einer physikalischen Größe
• erfolgt direkt durch Vergleich mit einem zuvor definierten Maßstab
oder indirekt über eine wohlbekannte Beziehung unter Verwendung
einer oder mehrerer einfacher zugänglicher Größen.
• Jede gemessene Größe enthält unvermeidbar einen Messfehler.
Deshalb werden nur die signifikanten Stellen einer physikalischen
Größe angegeben.
• In der numerischen Darstellung einer physikalischen Größe ist die
letzte Stelle signifikant, d.h. die nächste Stelle ist um  eine halbe
Stelle ungewiß.
• ACHTUNG: Auch angegebene Nullen sind signifikant!
• Beispiel: Die Angabe x = 2,0 m bedeutet: 1,95 m  x  2,05 m
Angabe einer Messgröße
•
•
•
•
x  xu
Allgemeine Ergebnisangabe:
Beispiel: v = (3,770,04) m/s
Der wahre Wert xW ist nicht identisch mit dem Mittelwert x
Der Wert xW liegt mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit (nicht mit
Sicherheit) im durch die Messunsicherheit u bestimmten Intervall:
xu
xu
x
• Bei n Messungen xi, i = 1....n wird für
Mittelwert eingesetzt:
1 n
x
x

n
i 1
i
x der arithmetische
Methode der kleinsten Quadrate
• Die Beziehung für den Mittelwert folgt aus der von Gauß entwickelten
Methode der kleinsten Quadrate:
• Der Mittelwert wird so definiert, dass die Summe der Quadrate der
Abweichungen vom Mittelwert ein Minimum wird:
2
n
 x
i 1
i
 x   Min
• Aus dem Nullsetzen der ersten Ableitung folgt mit
d
2


x

x
 2 x i  x   0   x i  nx

i
dx i
i
i
• Die Beziehung für den Mittelwert:
(gleichgewichteter Messwerte)
1 n
x   xi
n i 1
WICHTIG!!!
• Der Mittelwert wird nicht genauer, als der
Messfehler angegeben.
• Die Messunsicherheit wird nur auf eine
Stelle genau angegeben.
• Richtig: s = (3,14  0,02) m
• Falsch: s = (3,1416  0,021) m
Zielstellung der Fehlerrechnung
• Die Zielstellung der Fehlerrechnung ist die Bestimmung der
Messunsicherheit u
• Die Messunsicherheit u setzt sich zusammen aus einem systematischen
und zufälligen Anteil: u = |eS| + |eZ|
• Die Angabe der Messunsicherheit erfolgt entweder als
• absoluter Fehler:
x  xu
• relativer Fehler:
u
x
oder als
Fehlerarten
•
Entsprechend ihrer Ursache unterscheidet man:
•
•
grobe Fehler
: sind durch ‘sauberes’ Experimentieren auszuschließen
konstante Fehler : können durch Differenzmessung ausgeschlossen werden
•
systematische Fehler : sind ihre Ursachen bekannt, können sie durch
Korrekturrechnung ‘herausgerechnet’ werden. Diese „Korrekturfehler“
verändern den Betrag des Mittelwertes. Es bleibt ein systematischer
Restfehler bestehen, der, bedingt durch die Genauigkeit der Messinstrumente,
in den Gesamtfehler eingeht.
•
zufällige Fehler : siehe folgende Folie
•
Zufällige Fehler sind statistische Fehler und können durch eine hohe Zahl von
wiederholten Messungen minimiert werden. Die mittlere quadratische
Abweichung vom Mittelwert einer n-fach gemessenen Größe ist durch die
(empirische) Standardabweichung bzw. Streuung  gegeben:
n

•
•
•
•
2


x

x
 i
i 1
n 1
Die Standardabweichung heißt auch mittlerer Fehler der Einzelmessung. Bei
einer großen Zahl von Messungen hängt der Betrag von  nicht von n ab.
Den mittleren Fehler des Mittelwertes nennt man Vertrauensbereich. Er hängt
von n ab und wird folgendermaßen ermittelt:
Der Student‘sche Faktor t kann für n > 6,
besser n > 10, gleich 1 gesetzt werden.
Der Vertrauensbereich ist der Beitrag des zufälligen Fehlers
eZ zur Messunsicherheit, vorausgesetzt n > 6.

st
n
Messunsicherheit u=ez+es
• Der Vertrauensbereich s ist der Beitrag des zufälligen
Fehlers eZ zur Messunsicherheit.
• Der systematische Restfehler eS ist der Anteil des
systematischen Fehlers an der Messunsicherheit u.
Lineare Fehlerfortpflanzung
•
Fehler pflanzen sich fort. Haben wir einen Zusammenhang
y = f(x1,..,xi,..,xn),
so gilt für das dy = (y/xi)dxi (Taylorentwicklung in linearer Näherung),
bzw. nach dem Übergang zu den Differenzen (der Betrag ist notwendig, da
sich Fehler nie gegenseitig aufheben):
uy  
i
•
f ( x i )
u xi
x i
Für Summen y(x,z) =ax + bz folgt daraus:
u y  au x  bu z
Es addieren sich die absoluten Fehler der Größen x und z, gewichtet mit den
Vorfaktoren a und b.
• Für Produkte der Art y = cx/z erhält man aus der linearen Abschätzung
uy
ux uz


y
x
z
• Es addieren sich die relativen Fehler der Einzelgrößen.
• Im Falle von Potenzfunktionen y = xnzm erhält man
uy
ux
uz
n
m
y
x
z
• Es addieren sich die relativen Fehler der Größen x und z – gewichtet
mit den Beträgen der Exponenten n bzw. m.
• Die oberen Näherungsformeln eignen sich gut für
Fehlerabschätzungen. Für genauere Rechnungen (bei großer Zahl von
Messwerten) benutzt man das Gauß‘sche Fehlerfortpflanzungsgesetz:
Gauß‘sches
Fehlerfortpflanzungsgesetz
•
•
Die lineare Fehlerfortpflanzung wird in der Regel zur Fehlerabschätzung für
systematische Fehler und bei einer sehr geringen Zahl von Messwerten auch
im Falle zufälliger Fehler angewendet.
Da insbesondere gilt n
(negative Abweichungen sind genauso
u

0
 i
i 1
wahrscheinlich, wie positive), geht man zu den Quadraten der Abweichungen
über:
2
 f ( x i )  2
uy   
 u xi
i 1  x i 
n
•
Trägt man alle Änderungen der Funktion f in einem linearen Vektorraum mit
den Koordinaten xi auf, so ergibt sich der Gesamtbetrag aller Abweichungen uy
durch pythagoräische Summation der einzelnen Abweichungen ui gewichtet
mit dem partiellen Anstieg der Funktion f.
•
Beispiel: Zylindervolumen
 2
V d h
4
2
uV
 2u d   u h 
 
  
V
 d   h 
2
Varianz und Zuverlässigkeit
•
•
Die empirische Standardabweichung, Streuung oder Varianz ist ein Maß für
die Genauigkeit des Messverfahrens. Sie gibt an, in welchem Intervall der n-te
Messwert (mit einer Wahrscheinlichkeit von 68%) zu erwarten ist.
Der Vertrauensbereich ist ein Maß für die Zuverlässigkeit der Messung. Bei n
Messwerten xi errechnet man mittels des Fehlerfortpflanzungsgesetzes den
Fehler der Funktion x  x / n , wobei xi den Fehler  hat:

i i


s  i  
n
n
2
•
Will man eine höhere statistische Sicherheit, so muss man s mit dem
Student‘schen Faktor für die gewünschte Wahrscheinlichkeit multiplizieren.
Geradenausgleich
•
Ein physikalischer Zusammenhang sei durch eine Gerade y(x) gegeben.
Einfachster Fall: Gerade durch den Nullpunkt y = ax
Gemessen werden n Wertepaare yi(xi), gesucht ist der Anstieg a sowie sein
Fehler ua. Unter Anwendung der Methode der kleinsten Quadrate
2
n
 y
i 1
i
n
 ax i     i2  Minimum
i 1
xy

a
x
i i
i
2
i
erhält man den Anstieg a zu
i
und den zufälligen Fehler von a unter Anwendung des Gauß‘schen
Fehlerfortpflanzungsgesetzes zu
2
sa 
•

n  1 x
i i
2
i
i
Den allgemeinen Fall y = ax + b sowie die Verfahren zur Linearisierung von
Funktionen studiere man in der ausgehändigten Skripte.
Allgemeiner Fall y = ax + b:
2
n
 y
i 1
a
i
n ix i y i  ix i iy i
D
x y x y x

b
2
i
i
i i
i i
i
i i
D
D  n x 
2
i i
 x 
 ax i  b   Minimum
sa  s y
sb  s y
2
i i
sy  
n
D
x
2
i
i
D

2
i i
n2
Gauß‘sche Normalverteilung
•
Die Gauß‘sche Normalverteilung spiegelt die Statistik der zufälligen Fehler
wider:
 x  x 2 
1

( x ) 
exp  
2
2 
2 

x
•
•
•
Sie hat ein Maximum beim Wert
.
Sie ist symmetrisch bezüglich
.
Für x   besitzt sie einen Wendepunkt und ist schmal für kleine .
•
Die Normierung ist
x

 x dx  1

• Das Integral
x2
w   x dx
x1
gibt die Wahrscheinlichkeit an, einen Messwert x im Intervall x1xx2
zu finden.
• Das Integral
x 
w
 x dx  0,683...
x 
gibt an, dass die Wahrscheinlichkeit, einen einzelnen Messwert
innerhalb der durch die Standardabweichung definierten Grenzen zu
finden, 68,3..% beträgt.
• Das folgende Integral berechnet den Mittelwert von x

x
 xx dx

Streuung
•
  xx
Wir gehen über zu
Die Fehlerverteilungsfunktion lautet dann:
  2 
1
( v) 
exp   2 
2 
 2 
•

Die mittlere quadratische Abweichung
bzw. Streuung  erhält man dann
mittels der Beziehung für den quadratischen Mittelwert

 2    2  d

•
Für den linearen Mittelwert erhält man erwartungsgemäß

  d  0

Fehlerfunktion
• Das Integral

 ()    d

heißt Gauß‘sche Fehlerfunktion.
Fehlerfunktion
Diskrete Messwerte
h(xi): relative Häufigkeit des
Messwertes xi
xi
H( x )   h ( x i )

Mittelwerte
Stetige Zufallsgröße x mit der
Wahrscheinlichkeitsdichte (x)

x
 x(x )dx

Stichproben der Klassen xj mit
den absoluten Häufigkeiten k(xj)
1 N
x   x jk x j 
n j1
Diskrete Zufallsgröße x mit der
relativen Häufigkeit h(xi)

x   x i h(x i )
1
Stichprobe der Elemente xi vom
Umfang n
1 n
x   xi
n i 1