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Research Collection
Doctoral Thesis
Beiträge zur Untersuchung der Abbildungen von
Mannigfaltigkeiten
Author(s):
Rueff, Marcel
Publication Date:
1938
Permanent Link:
https://doi.org/10.3929/ethz-a-000103811
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BEITRÄGE ZUR UNTERSUCHUNG
DER ABBILDUNGEN
VON MANNIGFALTIGKEITEN
VON DER EIDGENOSSISCHEN TECHNISCHEN
HOCHSCHULE IN ZÜRICH ZUR ERLANGUNG
DER WÜRDE EINES DOKTORS
MATIK
GENEHMIGTE
DER
MATHE.
PROMOTIONSARBEIT
VORGELEGT VON
MARCEL RUEFF
AUS
REFERENT:
LAJOUX
HERR PROF. DR. H. HOPF
KORREFERENT: HERR PROF. DR. F. GONSETH
P. NOORDHOFF N.V.
*
1938
*
GRONINGEN.BATAVIA
COMPOSITIO MATHEMATICA 6
(1938)
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Beiträge
Untersuchung der Abbildungen
von Mannigfaltigkeiten
zur
von
Marcel Rueff
Zürich
Einleitung.
1.
Sind
L
und
A
zwei
oder auch
Mannigfaltigkeiten 1)
und
beliebige Polyeder
ist/eine Abbildung2)
von L in A, so wird bekanntlich durch
/ jeder Homologieklasse
von L eine bestimmte Homologieklasse von A
zugeordnet; diese
Zuordnung bestimmt den „Homologietypus" von /. Wenn die
Homologieeigenschaften von L und A bekannt sind, so besteht
die Aufgabe, die sämtlichen möglichen Homologietypen der
Abbildungen von L in A aufzuzählen; diese Aufgabe ist nur für
sehr spezielle Fälle gelöst, und man muß sich heute im allgemeinen
damit begnügen, Bedingungen anzugeben, durch welche die
allgemeiner:
—
zwei
—
Gesamtheit der
möglichen Typen eingeschränkt wird.
derartige einschränkende Bedingungen können als
Verschärfungen oder Verallgemeinerungen des Satzes von der
topologischen Invarianz der Homologiegrößen gedeutet werden;
Manche
denn dieser Satz lautet
ja: „Eine topologische Abbildung
auf A bewirkt eine
von
L
isomorphe Abbildung der Homologiegruppen
und -ringe von L auf diejenigen von /l"; er besagt also, daß aus
der algebraischen Verschiedenheit der Gruppen und Ringe von
L bzw. von A die Nicht-Existenz topologischer Abbildungen von
L auf A folgt, und man erhält daher Verschärfungen des In¬
varianzsatzes, sobald man, auf Grund dieser algebraischen Ver¬
schiedenheit, noch größere Klassen von Abbildungen ausschließen
kann als nur die topologischen
etwa, um ein Beispiel zu nennen,
alle Abbildungen, deren Grade nicht Null sind. In der Tat liegt
nach einem Satz von H. Hopf diese Situation vor, falls L und
A n-dimensionale Mannigfaltigkeiten sind und wenigstens eine
Bettische Zahl von L kleiner ist als die entsprechende Bettische
—
1)
Alle
Mannigfaltigkeiten
2)
Alle
Abbildungen
sind
sollen
geschlossen
eindeutig
und
und orientiert sein.
stetig.
Marcel Rueff.
Zahl
Satzes
und
A3);
von
Tatsache
topologischen
der
von
diese
[2]
ist
werden
wir
Paare
des
Verschärfung
Invarianz der Bettischen Zahlen.
Ein Ziel dieser Arbeit ist es, ähnliche
So
eine
neue
Sätze aufzustellen.
Mannigfaltigkeiten L,
A
angeben,
und
Nicht-Homöomorphie zwar schon bekannt war
auf
zwar, da sie in den Homologiegruppen übereinstimmen,
Grund von Schnitt- oder Verschlingungsgrößen —, von denen
aber jetzt gezeigt wird, daß als Grade der gegenseitigen Abbildun¬
gen keine anderen Zahlen in Frage kommen können als (je nach
Art der Beispiele): die Zahl 0, oder die Vielfachen einer festen
Zahl m, oder die quadratischen Nichtreste mod m (wobei m
immer eine durch L und A bestimmte Zahl bedeutet) 4).
von
deren
—
Zu einer ähnlichen
Fragestellung wie der eben besprochenen
wird man geführt, wenn man das Homöomorphieproblem der
Mannigfaltigkeiten, zu dessen Behandlung der obige Invarianz¬
satz dient, durch die Frage ersetzt, ob eine Mannigfaltigkeit
symmetrisch oder asymmetrisch ist, d.h. ob es möglich oder un¬
möglich ist, sie topologisch unter Umkehrung der Orientierung
auf sich abzubilden. Man hat, besonders durch Betrachtung der
Verschlingungs-Invarianten, für gewisse Mannigfaltigkeiten nach¬
weisen können, daß sie asymmetrisch sind 5). Wir werden diese
2.
Sätze verschärfen und ihnen ähnliche
an
die Seite stellen, indem
einige Klassen von Mannigfaltigkeiten L zeigen: Als
Grade der Selbstabbildungen kommen
je nach den HomologieL
Zahlen
in Frage : die positiven
von
nur
folgende
Eigenschaften
wir
für
—
-
Zahlen, oder Quadratzahlen, oder Summen
von
zwei
Quadraten,
oder
quadratische Reste modulo einer Primzahl der Form éx 1
] ; jede dieser Eigenschaften
also jedenfalls nicht die Zahl
eine Verschärfung der Asymmetrie 6).
—
—
—
ist
3.
Besonders
gründlich
werden
wir
die
dreidimensionalen
„Linsenräume" 7) untersuchen. Für irgend zwei Linsenräume mit
gleicher Ordnung
3)
H.
m
der
Fundamentalgruppe
Hopf, Zur Algebra der Abbildungen
angew. Math.
163
(1930), 71—88],
von
Mannigfaltigkeiten [Journal
Zweiter Teil: 1.3.; 2.2.; 3.3., VII.
5)
Seifert-Threlfall, Lehrbuch der Topologie
48. Dieses Buch zitiere ich im
6) Zweiter Teil: 1.1, Korollar
Korollar; 3.3, VII.
')
S-Thr, S.
210.
zu
f.
r. u.
Satz lila. Ich zitiere diese Arbeit kurz als H.
4)
Anmerkung
werden die Grade
[Leipzig-Berlin 1934],
folgenden
Vb; 1.1, Vc;
—
S.
280,
als S-Thr.
1.1, Vb;
—
1.2; 2.1, VIb und
[3]
Beiträge
der
zur
Untersuchung
der
Abbildungen
von
Mannigfaltigkeiten.
gegenseitigen Abbildungen vollständig aufgezählt. Für die
nur ein allgemeiner Satz
höherdimensionalen Linsenräume wird
Selbstabbildungen bewiesen.
Das Homöomorphieproblem für
über
lich
von
nichts
Reidemeister
Derartiges,
gelöst
und
sie
die Linsenräume ist bekannt¬
worden.
kann
leisten: Denn sie ist durchaus eine
8)
Unsere Methode leistet
prinzipiell nichts Derartiges
Homologie-Methode, und es
wird
gezeigt werden, daß zwei Linsenräume, die nach Reide¬
homöomorph sind, doch gegenseitige Abbildungen
deren
also Ab¬
zulassen,
Homologietypen Isomorphismen sind
meister nicht
—
bildungen, die man im Rahmen der Homologietheorie nicht von
Homöomorphien unterscheiden kann. Zugleich erhält man in
diesen Linsenräumen Beispiele von zwei Mannigfaltigkeiten, die
sich gegenseitig mit dem Grade 1 aufeinander abbilden lassen,
ohne homöomorph zu sein
wodurch eine Frage, die H. Hopf
gestellt hat, verneint wird. 9)
—
Die hiermit skizzierten
4.
speziellen
Sätze bilden den Inhalt
des zweiten Teiles der Arbeit. Im ersten Teil werden die Methode
und
allgemeine
Sätze behandelt. Die Methode setzt sich
Bestandteilen
der
Theorie
aus
zwei
des
zusammen:
1)
„UmkehrungsHomomorphismus" von H. Hopf10), die ohne Schwierigkeit auf
beliebige Koeffizientenringe ausgedehnt wird (Kap. II, §§ 3 und 4),
und 2) einer Operation R, die in naheliegender Weise jedem rdimensionalen Torsionselement der Ordnung m eines beliebigen
Komplexes einen (r -f 1 )-dimensionalen Zyklus mod m zu¬
ordnet (Kap. I, § 2; Kap. II, § 2). Eine wichtige Rolle spielen
zu wiederholten Malen die „Schnitt-Matrix" der g-dimensionalen
Homologieklassen in einer 2g,-dimensionalcn Mannigfaltigkeit
und die „Verschlingungs-Matrix" g-dimensionaler Torsionsele¬
mente in einer
(2q -j- l)-dimensionalen Mannigfaltigkeit; wir
haben Wert darauf gelegt, immer die Analogie zwischen diesen
beiden Begriffen deutlich zu machen. In einem Anhang beweisen
wir einen Satz über faserungstreue Abbildungen, dessen Inhalt
bei der Untersuchung der Abbildungen eines dreidimensionalen
Linsenraumes auf sich vermutet werden konnte.
8)
K.
Seminar
9)
H.
Reidemeister,
Hamburg
Hopf,
[L'Enseignement
10)
H, §
3.
—
11
Homotopieringe
und
Linsenräume
[Abhandl.
Math.
(1935), 102—109].
Quelques problèmes
Math. 35
de la théorie des
(1930), 334—348],
Neuer Beweis: H. Freudenthal, Zum
homomorphismus [Annals
of Math.
(2)
38
représentations
continues
besonders S. 337.
Hopfschen Umkehrungs-
(1937), 847—853].
Marcel Rueff.
[4]
Terminologie in dieser Arbeit ist im wesentlichen dieselbe
der „Topologie" von P. Alexandroff und H. Hopf11).
Die §§ 1, 2, 3 des Kap. V aus diesem Buch, und ebenso die schon
zitierte Arbeit „Zur Algebra der Abbildungen von Mannigfaltig¬
keiten" von H. Hopf werden öfters als bekannt vorausgesetzt
Die
wie
in
werden.
ERSTER TEIL.
Allgemeine Theorie.
Kapitel.
Erstes
Eigenschaften
Das erste
Darstellung
von
Kapitel
Komplexen
enthält
nur
und
eine
Mannigfaltigkeiten.
Zwecken
unsern
angepaßte
bekannter Tatsachen.
§
Bettische
Gruppen
und
1.
Koeffizientenbereiche für
beliebige Komplexe.
X
sei
ein
endlicher,
Koeffizientengruppe.
Bettischen Gruppen
V
des
A-H.
Die
absoluter
Komplex,
Q
eine
beliebige
Man erhält in bekannter Weise die additiven
bezug auf !J.
in
für
Arbeit
diese
Wir verweisen auf
wichtigsten
Kapitel
Koeffizienten¬
bereiche sind:
1)
2)
Der
3)
der
die
Ring der ganzen Zahlen, @;
Restklassenringe modulo m, %m;
Körper der rationalen Zahlen, 9i
§
Die
2.
der
Gruppe $8©m;
Isomorphismus
R.
Wir
legen als Koeffizientenbereich (SJTO mit beliebigem m ^ 2
zugrunde. Die Struktur der r-dimensionalen Bettischen Gruppe
des
Komplexes X, S3@m, läßt
ganzzahligen Bettischen Gruppen
mod
die
m
S«.
(1)
11
)
Alexandroff-Hopf,
~
sich
von
folgendermaßen
X ausdrücken:
(K)m + K + rX'1
12)>
[Berlin (1935)].
Ich zitiere dieses Buch
Wie a.a.O. werden die
folgenden Bezeichnungen
Topologie
I
durch
immer kurz als A-H.
12)
A-H, Kap. V, § 3, Nr.
gebraucht,
Untergruppe
und
8.
wobei A eine Abelsche
Gruppe,
der m-fachen Elemente in
m
eine ganze Zahl 5: 0 ist:
mA
A, Am die Restklassengruppe A
mA die Untergruppe derjenigen Elemente xeA, für welche
mx
=
ist die
—
0 ist.
mA
[5]
Beiträge
wobei
S5q
zur
Untersuchung
der
Abbildungen
die r-dimensionale „Bettische
bzw. %r~1 die r-dimensionale bzw.
(r
—
Mannigfaltigkeiten.
von
1
Gruppe mod 0" und %r
)-dimensionale Torsions¬
gruppe bedeuten.
Die Rolle des Summanden
in
folgende:
beliebiger r-dimensionaler Zyklus mod m; dann gibt
ganzzahligen Komplex C und einen ganzzahligen Zyklus
m%r~x
(1)
ist
y sei ein
es
z
einen
mit12a)
Wird jedem Zyklus y die ganzzahlige (r—1 )-dimensionale
Homologieklasse von z zugeordnet, so sieht man leicht: Diese
Abbildung ist ein Homomorphismus der Zyklengruppe Z@m auf
die Untergruppe m%r~1 der Torsionsgruppe 27-1, und der Kern
dieser
nun
Abbildung
ist die
die Bettische
Gruppe
Gruppe
der
zweiter Art
Zyklen
erster Art
Z@m.
93©/ die Restklassengruppe
ist, ist der betrachtete Homomorphismus ein Isomorphismus
93©mr auf m%T~113).
nennen
wir
Die
Umkehrung
Da
dieser
von
isomorphen Abbildung
R, und wir haben:
m27-1 auf ^6®J,
folgendermaßen definiert ist:
Der ganzzahlige Zyklus zr~1 repräsentiere ein Element der
d.h. es sei mzr~1
0
und C sei ein ganz¬
Gruppe m37_1
daß
zahliger Komplex derart,
a)
gibt eine isomorphe Abbildung R
Es
von
welche
~
—
C
—
mzr~1
=
ist: dann ist
Riz"'1)
Ersetzen wir in
(1) m27-1
können wir noch die für
so
~
xm(Cr)
durch die
unsere
mod
m.
isomorphe Gruppe 95@m
wichtige Tatsache
,
Zwecke
festhalten:
b)
Die
geschrieben
r-dimensionale Bettischc
Gruppe
(2)
s«.*(»s)m+ *;,
+
Ein besonders einfacher Fall ist der
Abelsche
123
13
)
)
rm
mod
m
kann wie
folgt
werden:
Gruppe
A heiße
„rein"
mod m,
»«!'
folgende:
wenn
bezeichnet, wie bei A-H, die Reduktion rnodm.
A-H, Kap. V, § 3, Nr.
5.
Eine endliche
sie direkte Summe
Marcel Rueff.
zyklischer Gruppen ist,
teilbar, oder
Zyklen
von
Ordnungen
deren
teilerfremd sind; dann ist
m
zu
der
[6]
Ordnung
entweder
Am
durch
direkte Summe
dies ist immer der Fali,
m;
m
m
wenn
Primzahl ist.
Insbesondere ist,
sind,
93@m
auch
Ordnung
m
teilbaren r-ten Torsionskoeffizienten,
in
33©m
in diesem Falle
und 27~1 rein mod
direkte Summe. Bezeichnet
eine solche
Anzahl der durch
Gruppen 27
die
wenn
die Summe
fm
so
pr -\- Fm -+- tr~x Zyklen
von
m
die
ist
der
14).
Bezeichnungen m27 und %Tm treffen
folgenden Festsetzungen. m27 ist
eine Gruppe ganzzahliger Homologieklassen, nämlich derjenigen
Elemente der Torsionsgruppe S£r, deren Ordnungen Teiler von
m sind. Dagegen wollen wir unter %rm eine Gruppe von Homologie¬
klassen mod m verstehen, nämlich diejenige Gruppe, die aus der
Torsionsgruppe 27 durch Reduktion mod m aller Zyklen, also
Ausübung der Operation im, entsteht; die so definierte Gruppe
%rm ist mit der unter 12) erklärten offenbar isomorph, und Mi߬
Bezüglich
Bemerkung.
der
wir hier ein für alle Mal die
verständnisse dürften nicht
zu
befürchten sein.
Da für jede endliche Abelsche Gruppe
Am^mA gilt14a), ist auch Tm *, mV.
A
die
Isomorphie
§ 3.
Mannigfaltigkeiten; Homologiering.
Mannigfaltigkeit15); wir legen
einen beliebigen Koeffizienten-iïtng Q mit Eins zugrunde. Durch
die Schnittbildung der Zellen, und somit der Zyklen, läßt sich
eine Multiplikation zwischen den Homologieklassen definieren.
Unter dem Produkt H{ ffl zweier Homologieklassen ist diejenige
i + / -»zu verstehen, in welcher
Homologieklasse Hk mit k
sich der Schnittzyklus zk eines Zyklus z{ aus Hl und eines Zyklus
Es
sei L
eine n-dimensionale
•
=
ffl befindet.
z3 aus
14)
Für Primzahlen:
Die Schnittklasse Hk ist
bei
Wir hatten in der
Beschränkung
Sätze auch für nichtorientierbare
sich
aus
der
orientierte
Mannigfaltigkeiten vorausgesetzt;
neuen
<$2 behalten die nachstehenden
Mannigfaltigkeiten
ihre
Gültigkeit.
Wir
gehen
Verallgemeinerungen ein,
Alexander-Kolmogoroffschen ßing-Theorie in beliebigen
aber nicht darauf ein. Ebenso
die
46.
Einleitung
auf den Koeffizientenbereich
Komplexen ergeben.
durch die
A—H, S. 227, (12).
14a) A—H, Anhang I, § 4, Nr.
15)
eindeutig
gehen wir
nicht auf die
[7]
Beiträge
zur
Untersuchung
der
Abbildungen
von
Mannigfaltigkeiten.
Faktorklassen Hi und W bestimmt. Die
tiv und
Multiplikation ist assozia¬
Multiplikation
Schnittring 5R(Z>) der zugrunde
bezug auf Q. 16)
gilt
Homologiering oder
gelegten Mannigfaltigkeit Ln in
Die Schnittbildung ist bis auf das
die Orientierung der Durchschnittszelle
auch das distributive Gesetz. Diese
es
definiert den
Vorzeichen kommutativ;
zweier orientierter Zellen
in der orientierten Ln ist durch eine einfache
Festsetzung gegeben,
beliebiger Komplexe C*' und O
folgende Vorzeichenregel liefert:
welche für das Produkt zweier
Ln
aus
ci-o
(i)
Speziell
ist für
=
(~i)ln-iUn-}}a-ci.
jeden Zyklus
(2)
Ln-z
=
s
aus
z-Ln
Ln
z,
=
Ln den, durch eine Orientierung der Mannigfaltigkeit
bestimmten, n-dimensionalen „Fundamentalzyklus" bezeichnet.
wobei
Ln ist also die Eins des
Schnittringes.
Festsetzung der Orientierung
folgt die wichtige Vorzeichenregel
Aus der erwähnten
schnittszelle
(O-O)' =C'.à
welche
mit
uns
(3)
c*
(1)
•
a
+
(-l)(m"i)C
in der Durch¬
-O,
die Formel
-
(-i)«»-^1»»-^»
ct. a
-
o
liefert.
§
4.
Dualität.
Dualitätseigenschaften von $t(L") formulieren
Zugrundelegung von 5R und @m getrennt.
Die
bei
wir
kurz
Koeffizientenbereich sei dl.
z[,
zrpr seien ganzzahlige Zyklen, die eine r-dimensionale
Homologiebasis mod 0 bilden 16a); dann gibt es ganzzahlige Zyklen
4.1.
Der
.
16
.,
S. Lefschetz,
)
folds
[Trans.
Intersections and transformations of
Am. Math.
(1930)], Kap
Soc. 28
(1926), 1—49];
ferner:
complexes
and mani¬
Topology [New
York
IV.
H. Hopf, siehe Fußnote
G.
(9)
de
10
lea)
z*
i~-j
3) der Einleitung.
Rham, Sur l'analysis situs des variétés à
n
dimensions
[Journal
de Math.
(1931), 115—200].
D.h.: Jeder ganzzahlige
ScjZj
in
dieser Fußnote:
bezug
es
auf
3i;
Zyklus
man
muß zweimal
z*
erfüllt eine und
nur
vergl. A-H, S. 430, Fußnote
Z(g(K)
heißen statt
Lq?>(K)).
eine
Homologie
(Druckfehler
in
Marcel Rueff.
z£ r,
.
.
.,
zr
r
daß
so,
zrr-zl
die 2~r bilden eine
gilt;
sie
heißt „dual"
4.2.
{Zfc},
mod
m18b),
mod
m
(n-r)-dimensionale Homologiebasis mod 0;
{zrk}.
Basis
zur
k
und
{z~r},
i
—
1,
=
-n-r
'
.
.
Es ist
sei
.,
.
.
r
zk
-
rm
der
derart, daß gilt
lm\
^j
23@m
sind
hat die
Zyklus zf~r
J °>
•/
eik
•
eik
m
Ordnung
—
4.3.
Wir
Beweise
von
Andeutung:
gehen
r
•**
j.
««
=
mit
m^; die
und die
(r —l)-te
satz
insbesondere
fO, i^fc
auf
die
•
Einzelheiten
4.4.
Ein
weiterer
Teil
folgender
begnügen uns
analog den entsprechenden
Dualitätssatz 17); man hat nur
des
der
Isomorphic
%r
(1)
sie läßt sich
der in 4.2
aus
16b)
Dualitätssatzes
%n-'-1;
besprochenen Isomorphic
^
-"©m
'
angedeutet wurde,
D.h.: Die Bettische
von
Poincaréschen
Dualitäts¬
ersetzen.
Torsionsgruppen
k
^©m
deren Beweis in 4.3
der
mit
Verschlingungszahlen, die beim Alexanderschen
auftreten, jetzt immer durch Schnittzahlen zu
besteht in der
die
was
sind ganz
Beweisen beim Alexanderschen
die
Basis
33©,/ und
4.1 und 4.2 nicht ein und
die Beweise
zur
Gruppen
«<fc=|0>i=fc
Stelle
dieser
an
•
heißt „dual"
isomorph.
wichtigen Spezialfälle, daß die r-te
Torsionsgruppe „rein" sind mod m (vergl. § 2),
eintritt, wenn m Primzahl ist, gilt
-n-r
^^
{ M=A
In dem
zi
Homologiebasis
gibt es Zyklen
zk; dann
von
ZhVse 2Îl_r bilden eine Basis mod m; sie
{zrk};
pr.
—
&m.
Ordnung
q,
.,
pn~r
q, eine r-dimensionale
sei mk die
es
zi
1,
««={JJ^
eik mit
=
Koeffizientenbereich
Der
Es sei
[8]
Gruppe SB(jj
leicht mit der Methode
ist direkte Summe
denjenigen Homologieklassen erzeugt werden,
zyklischer Gruppen,
in welchen sich die
z£
be¬
finden.
")
Fur 4.1:
Nr. 9 und
A-H,
§ 4, Nr.
3.
Kap. XI, § 3,
Nr. 4 und
§ 4, Nr. 3; für
4.2:
Kap XI, § 3,
[9]
Beitrage
zur
Untersuchung
der
A—H, Kap. V, § 4,
aus
Abbildungen
Nr.
von
Mannigfaltigkeiten.
herleiten1");
10,
ihr
aus
folgt
Xrm^Znm-r-\ also"*):
(man beachte
die „Bemerkung" am Schluß des § 2!). Wir wollen
Isomorphic (lm) zu einer Dualität zwischen Basen der
beiden Gruppen verfeinern
analog zu 4.1 und 4.2.
Die Homologieklassen der Zyklen mod m
z[, z*,
zrq mögen
eine Basis von %rm darstellen; dabei fassen wir %rm als Summanden
in der Darstellung aus § 2, b auf:
auch die
—
.
d.h. die hier genannte
zyklischen Gruppen,
die
dieser Basis
33@m gibt
von
dieser dualen Basis seien z" _r,
die
unsern
in dem Sinne
zTk
-,
Gruppe Xrm sei die direkte Svimme der
von den Homologieklassen der
zrk erzeugt
werden. Diese zk bilden dann den Teil einer Basis
zu
.
es
von
nach 4.2 eine duale
33©m,
und
Basis;
in
z~r diejenigen Elemente,
z%~r,
entsprechen, daß
.
.
.,
ist.
Wir
behaupten: diese z~r sind Zyklen zweiter Art.
zj ist von der ersten Art, und zwar ist zl
Beweis:
m^l
=
Art,
CJ+1(Q+1 ganzzahlig);
also
zn~r
mlZn-r-Z\
z~r-z\
Die
33©m
=
Q,
=
gehören
einer
Untergruppe U,
Gruppen ist, die von
Da
die
z\ (nach 4.2),
ist
zf~r
U
Anderseits
—
mente
&
gibt es,
1 )-dimensionale
von
sei zn~r auch
dann
Zn~r-Zri
=
Basis
eine
werden.
(n—r
xn{2n~r);
also
^ 0 ist, ist demnach z"~r
zV-~r
schen
es
ist
Zn~T
Q, also zn~r
von
von
von
Q+1
z\
=
xm(Zri),
=
der ersten
0,
also
da
aber
=
0;
der zweiten Art.
93©^
an;
daher
enthält
welche die direkte Summe der
den
Homologieklassen
dieselben
Ordnungen
der s"_r
zykli¬
erzeugt
mt haben wie
die
%rm.
da
die
zweiten
Art
sind,
ganzzahlige Zyklen Z"_r~1,
m%n~r~1 repräsentieren, so daß R(Z~r~x)
die
Ele¬
z"~r
von
der
~
z"~r ist
(§ 2); die Homologieklassen der Z"~r~1 erzeugen eine Gruppe
R~1(U); da R ein Isomorphismus ist, ist i?_1(L7) eine mit U,
also mit
%rm, isomorphe Untergruppe von m%n~r'1. Nach (lm)
R~1(U)
m%n~r~x sein. Und da die Homologie-
muß dann aber
1,a)
Man
vergl.
=
auch
S-Thr, S.
243.
Marcel Rueff.
klassen der z
eine Basis
'
Z?-*-1
klassen der
Fassen wir
zusammen:
Es seien
k
zrk,
gibt
Dann
Ordnungen
bilden,
1,
.
.
bilden, bilden die Homologie¬
eine Basis
m%n~r-\
von
q, solche
.,
eine Basis
logieklassen
zk.
=
U
von
R-^z?-*)
=
[10]
Zyklen modm, daß ihre Homo¬
%rm bilden; mk sei die Ordnung von
von
ganzzahlige Zyklen Z^~r~1, i
1,
q, der
eine
Basis
von
Homologieklassen
m%n~r~1
es
=
.
.
.,
deren
mi;
daß
so
ist.
Die
{zrk}
{Z"-r""1}
Basis
m%n^r~1
von
nennen
wir die
zur
Basis
Basis.
%ln „duale"
von
Aus der Definition
R
von
zahlen
R(Z~r~1) -z£
ZV;-*-1
und
als
ergibt sich die Deutung der Schnitt¬
„Verschlingungszahlen modm" von
zrk.
§ 5.
Die Schnitt-Matrizen.
5.1.
bereich
Es sei $R oder @m
zugrunde gelegt;
Dimension
sion
r.
dieser
n
die
{z{}
und
2r,
—
beliebigem m Sg 2
Mannigfaltigkeit
mit
sei
von
gerader
sei eine Bettische Basis der Dimen¬
Wir betrachten die Matrix 5 der Schnittzahlen
je
zweier
Basiszyklen:
(1)
Zi-zk= sik, Matrix:
Da nach
S
(sik).
=
§ 3, (1)
zi
Es sei
nun
zk
'
ist, ist S symmetrisch für
5.2.
als Koeffizienten¬
n
{i^}
(
=
=
1
~
Üe und
Y
zk
"
zi
antisymmetrisch für
eine im Sinne
von
4.1 bzw.
n
=
4.2
4k-\-
2.
{zk}
zu
duale Basis,
welche für die
vorliegende
Dimensionszahl
n
=
2r
ebenfalls
der Dimension
r
ist. Unter
Zugrundelegung
von
3t
gilt
von
nach 4.1
(2)
zi
und unter
zk
Zugrundelegung
ist, nach
,_,,
lm\
_
zi
{z{}
von
—
eik
©m,
wenn
mk die
Ordnung
von
4.2
(2 )
Da
zk
und
•
zk
{zk}
=
rm(-)eik
Basen
f 0, i^ft
.
mit
gleicher
eik
=
(M
=
fc
.
Dimension sind,
gehen
die
[11]
Beiträge
zur
Untersuchung
Abbildungen
der
zi durch eine lineare Transformation U
zf~Et*tftzA.
(3)
Aus
(1), (2)
Schneiden
bzw.
von
(2')
(3)
und
Mannigfaltigkeiten.
aus
den zk hervor:
.
erhält
(3)
von
man
durch
rechtsseitiges
mit z3-
(4)
««
=
Wii
bzw.
(4')
tmQ^j ==£««•%•
oder durch Matrizen
ausgedrückt
(5)
E
und
Xm I
bei
—
1
•
Zugrundelegung
Zugrundelegung
von
5R:
US,
=
dsm,
von
wenn
die
Diagonalmatrix
etj mit D bezeichnet wird:
(5')
D
=
US.
Sind die r-dimensionalc und die
gruppe
bei
;
rein
modm,
so
gilt
(5")
(r
—
auch bei
E
=
)-dimensionale Torsions¬
Zugrundelegung von %m
1
US.
(5") können wir im folgenden Satz zusammenfassen:
Es sei als Koeffizientenbereich 31 oder im Falle, daß die Torsions¬
gruppen rein sind mod m, auch Q)m als Koeffizientenbereich zugrunde
(5)
und
gelegt, {zj sei eine r-dimensionale Bettische Basis der 2r-dimensionalen Mannigfaltigkeit Ln. S sei die Schnitt-Matrix zweier Zyklen
dieser Basis, und U die Transformations matrix, welche die Basis
{zk} in ihre duale Basis überführt. Dann sind U und S zueinander
invers.
Manchmal ist
dualen Basis
{z{}
(Ï)
gegeben
praktisch,
es
zu
zh
ist. Aus
•
statt
betrachten,
%j
=
(1), (3)
5 die Schnitt-Matrix S der
die also durch
Matrix: S
sh},
und
(1) ergibt
=
(s,„.)
sich
also
S
multipliziert
man
=
USU';
dies mit S' und benutzt
SS'
=
E,
(5"),
so
erhält
man
Marcel Rueff.
[12]
d.h.: die Matrizen S und S sind zueinander
durch 5 aus,
(5")
und
(5)
S in
man
S
(5)
so
kontr'agréaient.
Drückt
entsteht
U'.
=
Man kann daher in dem soeben formulierten Satz die
auch
ausdrücken: U und S sind zueinander
so
5.3.
Folgerung
|
(6)
S
|
=
rt
\
bzw.
1
(5"):
und
(5)
aus
Behauptung
transponiert.
S
|
=
Einheit modm.
antisymmetrisch; da die Determinante
antisymmetrischen Matrix ungeraden Grades gleich 0 ist
für den
2), so folgt aus (6)
(abgesehen von dem Fall m
Für
n
ist 5
4<k -\- 2
=
einer
=
Koeffizientenbereich 9t
Ist
n
=
4& -f 2,
so
—
ist
—
:
p2i:+1 gerade. (Poincaré.)
6.
§
Verschlingungs-Matrix
Die
6.1.
n
=
m%r
2r
Mannigfaltigkeit
jedes m > 2
Die
Für
-f 1.
wir die
führen
„Matrix
sei
von
und für
der
mod
m.
ungerader
jede Basis
Dimension
der
Gruppe
Verschlingungszahlen
mod"
ein, die sich analog verhält wie die in §
5 betrachtete Matrix der
Schnittzahlen18 ) :
Es seien ZTk ganzzahlige Zyklen, die eine Basis der Gruppe
1
r
r
m%r repräsentieren. Indem wir die Gleichheit n
Verschlinwie
in
die
wir
4.4
ähnlich
betrachten
berücksichtigen,
gungszahl mod m von Z\ mit zrk
rm(Z£), also die Schnitt¬
—
=
—
=
zahlen mod
(1 )
m
R(Zl)
tJZl)
•
=
tik,
Matrix: T
=
(tik)
;
„Verschlingungs-Matrix" der Basis {ZI).
gelten auch für T gewisse Symmetrieeigen¬
diese Matrix T ist die
Wie für S
schaften.
mZk
18)
Math.
G.
=
Gemäß
5
der
Definition
von
R
ist,
wenn
mZi
Ci5
Seifert, Verschlingungsinvarianten [Sitzungsber. Akad. Berlin, Phys.-
Kl.
16
(1933), 811—828].
Rham, Nr. 18 der in der Fußnote 1<J) aufgeführten Arbeit.
In diesen beiden Arbeiten ist der Koeffizientenbereich die additive
modulo 1
=
Ck ist,
H.
de
§
von
zu
reduzierenden rationalen Zahlen,
Koeffizientenbereich
bequemer.
Si^,
für
unsere
Gruppe
Zwecke ist
der
<Sm als
[13]
Beiträge
der
Untersuchung
zur
Abbildungen
von
Mannigfaltigkeiten.
R{Zi)-zk
=
xm(±CrCk)
R(Zk)-zi
=
im(~Ck-Ct).
und
Nach
aber für diese Schnittzahlen
§ 3, (3) gilt
ct.ck=(-ir-run-r>ck.ct,
also
R(Zi).zk
und da
n
=
2r
-\-
(-\)ln-*)R(Zk)-zt,
=
ist,
1
R(Zi).zk
(-l)r+1R(Zb).zi,
=
d.h.
tik=(-l)r+1tki.
Die
symmetrisch für
6.2.
symmetrisch für
Matrix T ist also
n
Es seien
die im Sinne
von
=
nun
4.4
{Zh}
und
{zk}
=
Basen
dual sind; d.h.
R(Zh)-zk
(2)
n
4/c
—
1
und anti¬
4/i + 1-
=
es
von
m%r
bzw.
%rm,
sei
xm(^ehk.
Diese Matrix bezeichnen wir wieder mit D.
Da die zk eine Basis in
bestehen
%rm bilden,
mod
Homologien
m
xm(Zi)~j:uikzk.
(3)
Bezeichnen wir die
mit
(tM)
=
T,
so
Verschlingungs-Matrix
R(Zh) rm{Zi)
ergibt sich,
(1) und (2)
so
aus
Zh wie
in 6.1
daß also
(1)
ist,
der
(4)
wenn
hi
(3)
wir
—
^ uik
von
'
*m
=
tM
links mit
\^) ehk
R(Zh) schneiden,
»
also in Matrizen,
(5')
Ist
T
die
=
Torsionsgruppe 27
(5")
T
DU'.
rein
=
mod m,
so
ist
D
=
E, also
U'.
folgendes Ergebnis aussprechen:
Mannigfaltigkeit L2r+1 sei {Zh} eine Basis
m%r; ihre Verschlingungs-Matrix sei T, und sie gehe
Wir können also
In der
der
Gruppe
mod
m
aus
Marcel Rueff.
ihrer dualen Basis
{zk} gemäß (3)
[14]
durch die lineare
von
Transformation
L2r+1 sei rein mod
Torsionsgruppe
transponiert.
Bemerkung. Dieses Ergebnis ist dem
durch (5) ausgedrückt wurde, analog.
U hervor; die r-te
Dann
m.
sind T und U zueinander
Analog
6.3.
|
(6)
Ist
n
=
folgt
wie in 5.3
4k -\- 1,
T
|
=
transponierte
Grad t, so gilt
also infolge (6):
=
(-— 1)'
antisymmetrisch, also, wenn
bezeichnet, T'
T; hat
T
—-
mod m;
dort
m.
daher für die Determinante
1
es
(5"):
Einheit mod
ist T
so
der Matrix
aus
5.2, wie
aus
für
m
|
—
T'
|
=
1)'| T\,
(—
^2 ist daher
T' die
T den
t
gerade.
Fall,
Wir formulieren diese Tatsache noch ausdrücklich für den
daß
mod
m
m
Primzahl ist, in dem also immer die
sind;
der durch
Analogie
von § 5:
Jst
n
m
zu
=
verstehen wir unter
teilbaren 2k-ten
t^,
wie in
Torsionsgruppen rein
Kap. I, § 2, die Anzahl
Torsionskoeffizienten,
dem Satz über die mittlere Bettische Zahl
<&k -\- 1 und
m
eine
ungerade Primzahl,
so
ist
so
gilt in
am
Ende
tf% gerade.
Zweites Kapitel.
Abbildungen
von
Es seien L und A
Komplexen
und
Mannigfaltigkeiten.
n-dimensionale, orientierte, geschlossene
Mannigfaltigkeiten und / eine eindeutige und stetige (nicht
notwendigerweise eindeutig umkehrbare) Abbildung von L auf A.
In diesem Kapitel werden Sätze über diejenigen Beziehungen
besprochen, die durch Abbildungen / von L auf A zwischen den
im ersten Kapitel eingeführten Begriffen der beiden Mannig¬
faltigkeiten hergestellt werden. Im folgenden werden der Reihe
nach in den §§ 1 bis 6 diejenigen Begriffe untersucht, die im ersten
Kapitel unter den gleichen §§-Nummern eingeführt wurden. Die
der Mannigfaltigkeit L angehörenden Gebilde werden durchwegs
mit lateinischen, diejenigen von A mit griechischen Buchstaben
bezeichnet. Nur in den §§ 1 und 2 dürfen, entsprechend dem
ersten Kapitel, anstelle von Mannigfaltigkeiten auch zwei be¬
liebige Komplexe X und S vorliegen.
zwei
§
Die
I-
Abbildung / bewirkt bekanntlich einen dimensions treuen
Homomorphismus der Bettischen Gruppen von X in die Bettischen
Gruppen von 5.
[15]
Beiträge
zur
Untersuchung
der
Abbildungen
§
Das Verhalten des
von
2.
Isomorphismus
Kapitel I, § 2,
analoge Abbildung.
Es sei R für X die wie im
und P für E die
Dann
genügt, dies
Behauptung
Operationen:
die
für
aus
=
Abbildung
definierte
a
*f.
simpliziale /
zu
beweisen. Dann
der Vertauschbarkeit
Randbildung; Xm;
In der Tat: Es sei zr
und mzr
R.
gilt:
fR
Es
Mannigfaltigkeiten.
=
Cr+
irgend
von
folgt
aber
mit den drei
/
—.
ein r-dimensionaler
Zyklus
aus
m%r
Es ist einerseits
.
fR(zn=f(tm(c^)),
und da
/(^=/(ic'+1)=i/(C'+1)'
ist, wird
womit die
Behauptung
bewiesen ist.
§
3.
Umkehrungs-Homomorphismus 19).
Der
Paragraphen bewiesenen oder nur formulierten
Anlehnung an die in der Fußnote 3 zitierte
Arbeit H zusammengestellt worden. Die in H, §§ 3 und 4 be¬
wiesenen Sätze beruhen auf „schwachen" Homologien, d.h. sie
beziehen sich auf den doppelten Koeffizientenbereich ©, 9Î. 20)
Die in diesem
Sätze sind in enger
Im
folgenden wird hingegen stets
zugrunde gelegt, und zwar ein Ring mit
sich wörtlich übernehmen lassen,
begnügen
zierten
uns
damit, die Sätze
wesentlichen die
19)
Von
jetzt
an
Bezeichnungen
n.
A-H, Kap. V, § 1, Nr.
1.
Dort,
wir
die Beweise
wo
uns
auf H und
in der vielleicht etwas modifi¬
aus
sind L und A immer
keiten der Dimension
20)
berufen
auszusprechen. Übrigens
Form
Koeffizientenbereich
ein
Eins.
übernehmen
wir
im
H.
geschlossene,
orientierte
Mannigfaltig¬
Rueff.
Marce
3.1.
bis
sei
Es
auf
weiteres
[16]
Koeffizientenbereich
als
ein
beliebiger Ring Q mit Eins zugrunde gelegt. Es liege eine ein¬
deutige und stetige Abbildung / von L auf A vor. Die Sätze
dieses Paragraphen folgen im wesentlichen alle aus dem
Es gibt eine dimensionstreue eindeutige Abbildung
Satz I:
cp des Ringes 9t(/l) in den Ring ÏR(L) mit den folgenden beiden
Eigenschaften:
1) cp ist ein Ringhomomorphismus (d.h. additiver und multiplikativer Homomorphismus);
2) für jedes Element z von %l(L) und jedes Element Ç von
m(A) gilt
/(p(C)-=)~C-/(s)
(1)
in
bezug auf $.
Beweis
Der
Satz
von
I
kann
wörtlich
H
aus
übernommen
werden.
3.2.
die
Da
Mannigfaltigkeiten
L
bzw.
A n-dimensionale
sind, wird die Substitution der n-dimensionalen Zyklen
Basen
durch
(2)
f(L)~cA
dargestellt,
Q bedeutet,
spricht,
wobei
d.h.
deutet. Aus
c
welches
welches das c-mal genommene Einselement
Kap. I, §
sich unmittelbar für
Satz Ia:
wobei
c
dasjenige Element aus dem Primring
dem ganzzahligen Abbildungsgrad c
Für
der Grad
3,
z
jedes
von
Eine unmittelbare
f
(2)
=
und
(1), (2)
ent¬
e
be¬
dieses
Paragraphen ergibt
${(A)
ist
L:
Element f
in
von
von
bezug auf Q ist.
Folgerung
aus
Satz I ist auch der nach¬
stehende Satz, dessen Beweis in H enthalten ist:
Satz Ib: Wenn
f eineindeutig ist,
ist <p die durch
so
f*1
bewirkte
Ringabbildung.
3.3.
Die Sätze dieses Abschnittes sind reine
der Tatsache, daß
dung
cp des
schaft Ia
es
Ringes ^.(A)
besitzt;
Folgerungen aus
ringhomomorphe Abbil¬
Ring $l(L) gibt, die die Eigen¬
eine dimensionstreue
sie
in den
gelten
für einen
ring $ mit Eins.
yif ist die additive Untergruppe
Elementen besteht, deren
/-Bilder
von
~
beliebigen
9t(L),
die
0 sind in
Koeffizienten¬
aus
bezug
denjenigen
auf
Q.
Es
[17]
Beiträge
sei wieder
zur
Untersuchung
der Grad
der
Abbildungen
von
Mannigfaltigkeiten.
/ in bezug auf Q. Für die folgenden
Voraussetzung „c ist eine Einheit", eine wichtige
Rolle spielen. Wir werden also voraussetzen, daß es ein c' C ^5
e ist. Diese Voraussetzung bedeutet für die
gibt, so daß c c'
drei in dieser Arbeit wichtigsten Koeffizientenbereiche 9t, ©, ©m
c
von
Sätze wird die
=
•
folgendes :
Satz II: Ist
c
3t:
c^O,
©:
c
©m:
(c, m)
eine Einheit,
1) Jeder Zyklus f aus
homolog;
2) ${(L) ist die direkte
so
=
±l,
hat
f
=
l.
die
A ist dem
folgenden Eigenschaften:
Zyklus aus L
Bild eines
Summe der Gruppe 9Îf und eines mit
ÏR(A) dimensionstreu-isomorphen Ringes 9^;
der eben genannte Isomorphismus wird durch Ausübung der
3)
Abbildung c'f auf die Elemente von dtf vermittelt; für je zwei Ele¬
mente von
ffif gilt
also
cy(%)-cy(z2)~cy(Zl.22)
oder,
was
dasselbe
ist,
/(*i)7fe)~c/(*i-zs)Der Beweis dieses Satzes ist wörtlich wie in H, da
Cf
durch
Multiplikation
~
aus
0
mit c' auch hier
C~o
folgt.
Satz III: Eine
L
auf
ist die Existenz
rings
notwendige Bedingung für die Abbildbarkeit von
c (in bezug auf 3), der eine Einheit ist,
eines zu %i(A) dimensionstreu-isomorphen Unter¬
A mit einem Grad
von
9Î(L).
Der Beweis ist in II, 2 enthalten.
3.4.
bereich
In
diesem Abschnitt beschränken wir den
5 auf
die
Satz IIa: Ist
eine Einheit,
z2
aus
so
Koeffizienten¬
Ringe 9Î, ©, ©m.
93|(L)
ist
œ
für
33g(^1)
zwei
—
ist also z.B. L
beliebige
=
r-dimensionale
L
/(*l)-/("2)~C/(2l-S2).
A
—
und
Zyklen
c
zv
Marcel Rueff.
Beweis: Nach II, 2
für die r-dimensionalen Elemente
^(L)**%
(1)
wobei
ist. Es
genügt
Denn
Gruppe
die
9ÎJ
haben,
der
für die drei
+
^(A),
r-dimensionalen
Elemente
%lf
von
Koeffizientenbereiche, die wir zugelassen
daß
zeigen,
zu
9Σ aus dem Nullelement allein besteht.
9^ aus dem Nullelement allein, und da
^Rf ist, ist jedes Element z C $tf Aus II,
dann besteht auch
nach II, 2
Wir
z
%lf
C
dann die
folgt
3
gilt
[18]
zeigen
bereiche
-\-
.
Behauptung.
der Reihe nach für die drei Koeffizienten¬
nun
9Î, ©, ©m, daß
SR: Der Rang
Wf
aus
dem Nullelement allein besteht.
ist nach
Wf
von
(1)
pr(L)~pr(A),
also
gleich
Elemente
0 unter
keine
den
Voraussetzungen von IIa. Da es
Ordnung gibt, besteht 9ÎJ aus dem
endlicher
Null¬
element allein.
ist wie für 9t
gleich 0 oder, was das gleiche
bedeutet: Wf ist eine endliche Gruppe. II, 2 in den r-dimen¬
sionalen Elementen endlicher Ordnung ausgedrückt, liefert:
&: Der Rang
von
Wf
%r(L)
Jetzt muß unter den
Wf
verschwinden.
p*
91J
+
%r{A).
Voraussetzungen
Wf
besteht also
von
aus
IIa die
Ordnung
von
dem Nullelement allein.
Qbm: Aus ÜB©m(L) (** Wf + 33<sjm(.4) folgt, da die auftretenden
Gruppen endlich sind, daß die Ordnung von 9^ verschwindet,
d.h. daß
ytf
wiederum
Aus Satz IIa
folgt
aus
dem Nullelement allein besteht.
unmittelbar
Satz IIb: Ist unter den
Voraussetzungen
von
IIa noch
c
=
e,
Ringabbildung f ein dimensionstreuer Isomorphismus
zwischen 'St(L) und 'Si(A).
(Die Ringe 3R(L) und ÎR{A) sind bereits unter den Voraus¬
setzungen von IIa dimensionstreu-isomorph, aber der Isomor¬
phismus wird nicht durch f(z) selbst, sondern durch c' */(z)
so
ist die
vermittelt.)
Satz IIc:
Zwei
Mannigfaltigkeiten
L und
A,
von
denen
man
die andere mit einem Grade abbilden kann, der eine Einheit
ist, haben in jeder Dimension isomorphe Bettische Gruppen.
jede auf
Beweis: Wir führen den Beweis dieses Satzes der Reihe nach
für die drei betrachteten Koeffizientenbereiche
9Î: Aus II, 2
folgt
unter den
r-dimensionalen Elemente
9i, ©, ©m durch.
Voraussetzungen
von
IIc für die
[19]
Beiträge
zur
Untersuchung
der
Abbildungen
Mannigfaltigkeiten.
von
und
mUA)
gilt
es
also für die
«
3£+
33jt(L);
Ränge:
jf(L) ^ ff(A)
und
also
p'(i)
Da
die
p^).
=
Gruppe 93g; durch die
eindeutig gegeben ist21), ist die Behauptung
®: Aus II, 2 folgt wie für SR
Bettische
Bettische
von
Zahl
pr
IIc bewiesen.
j/(Z)=?/(yl).
9ÎJ
bzw.
31^
sind also endliche
sionalen Elemente endlicher
setzungen
von
Gruppen. II, 2 für
Ordnung ergibt unter
die r-dimenden Voraus¬
IIc:
%r(L) ^Wf + %r(A)
und
V(A)^Wr
+
%r(L).
Es müssen somit die
gleich
Wf
Ordnungen von %r(L) und %r(A) einander
diejenige von 9?£ bzw. Wf verschwinden. Wt bzw.
dem Nullelement allein. Die Behauptung von
aus
sein und
besteht
IIc ist somit bewiesen.
@m:
Aus
SB5,m(L)
~
%
0»m(A)
«*
9^+ S3©m(L)
+
ZfcjA)
und
folgt,
von
da
lauter endliche
93@m(Z)
Ordnung
aus
es
und
von
Wf
23®m(^l)
Wf
Gruppen sind,
einander
bzw.
Ordnungen
daß die
gleich sind, und somit die
verschwindet.
SftJ
bzw.
91J/
dem Nullelement allein und somit ist auch IIc in
besteht
bezug auf
%m bewiesen.
Wird © als Koeffizientenbereich
so
Korollar
und A,
21
)
zu
Satz IIc: Zwei
A-H, Kap. V, § 3, Nr.
10.
zugrunde gelegt,
Mannigfaltigkeiten L
gilt:
von
Marcel Rueff.
[20].
jede auf die andere mit dem Grade + 1
jeder Dimension gleiche Bettische Zahlen
Torsionsgruppen. 2ia)
denen
man
haben in
Die Dualität
%m
zugrunde gelegt.
{z[}
{2~r}
von
f
isomorphe
und <p.
beliebigem m ^
als Koeffizientenbereich
2
<p ist durch die in Satz I
Satz IV:
eindeutig bestimmt;
Sind
mit
und
4.
§
Es sei 9t oder
abbilden kann,
genannten
Eigenschaften
genauer:
{fj} r-dimensionale Basen in 'Sï(L) bzw. 9î(/l),
{££_r} ihre dualen Basen im Sinne von Kap. I, 4.1
bzw.
bzw.
und 4.2, und ist
/(*f)~2&3
(i)
und
c>färr)~syrrär"r.
(2)
so
ist
<0
y3frr
zoenn
9t als
y^r^t
©m
güi.
Koeffizientenbereich zugrunde gelegt wird;
b)
wenn
=
afo
=
^
und
(modm),
Koeffizientenbereich zugrunde gelegt wird.
Dabei ist
in b unter m( die Ordnung von zrt und unter
p^ die Ordnung von
zu verstehen. Es sind a und b in
C\
Matrizengleichung ausgedrückt:
a)
r
b)
r'D
wenn
die
Diagonalmatrizen
5.2. mit D und A
und
=
G
=
GA
—
(modm),
und
transponierte
—
entsprechend Kap. I,
Matrizen mit
'
bezeichnet
werden.
Beweis: Der Beweis ist für den Koeffizientenbereich SR oder für
den
speziellen
Fall
%m
von
gruppen rein sind mod m, in
keit
halber
Kap. I, 4.2,
H22)
in dem die Torsions¬
enthalten.
Der
Vollständig¬
führen wir ihn nachstehend noch für den Koeffi¬
zientenbereich
®m
mit
beliebigem
m
2la)
Für die Bettischen Zahlen in H, Satz
22)
H, § 3, Satz Ia.
5: 2
durch.
111b, enthalten.
Beiträge
[21]
Aus der
zur
Untersuchung
der
Voraussetzung (2)
<p(crr) *:
•
~
Abbildungen
und
von
Kap. I,
Mannigfaltigkeiten.
4.2
s vir *rr •*:-*».
folgt
{vir 3 *°>
wobei ms die
Ordnung von zrs ist; z° ist die durch einen positiv
signierten, einfach gezählten Punkt bestimmte Homologieklasse
von $l(L). Hat £° in $1{A) die analoge Bedeutung wie z° in fR(L),
ist
so
Anderseits ist nach der
Ordnung
p^ die
wenn
err •/«)
von
Voraussetzung (1)
£J bedeutet,
s & err
~
•
es- r»
und
Kap. I, 4.2,
(g«i J) c°>
also nach Satz I
rrr^^glA^
§
(modm).
5.
Das Verhalten der Schnitt-Matrix.
Die
Dimension der
9t oder
Es seien
{zs}
9t(/l) und {2S}
Ferner
bzw.
4.2
Mannigfaltigkeiten
seien
L und A sei
n
=
2r.
als Koeffizientenbereich
©m
bzw.
bzw.
zugrunde gelegt.
Basen
r-dimensionale
von
SR(L)
{£CT}
Sinne
von Kap. I, 4.1 und
{fff} ihre im
dualen Basen. Es sei noch
/(2s)~Sg8ffC0!
(1)
(2)
zs
~
S wSfZ/
,
C„~2t>„£T,
(3)
Matrix: G,
Matrix: U,
Matrix: Y.
Nach Satz IV ist
?>(?«;)
(4)
wobei
r'
(mod m)
—
G
2 y«*..
für den Koeffizientenbereich
(5)
Andererseits
Matrix: T,
für den Koeffizientenbereich
Nach Satz Ia und
(6)
~
(3)
@m
ist.
ist
/MCff))~c?ff~c2i;ffTCT.
folgt
aus
(4), (2)
und
(1)
f{<P(ta))~2>yasustgnÏT-
9ft und r'D
=
Gzl
Marcel Rueff.
führen
(5) und (6)
somit
zur
wobei das
Gleichheitszeichen bei
Kongruenz
mod
m
zu
cY
TUG.
=
Ist als Koeffizientenbereich 9î
oder, falls die Torsionsgruppen
&m zugrunde gelegt,
cY
(7')
Hieraus
folgenden Matrizengleichung,
Zugrundelegung von @m als
deuten ist:
(7)
rein sind mod m,
[22]
=
so
folgt
aus
und
(4)
(7)
G'UG.
Ergebnis von 5.2 folgt unmittelbar
Satz V: L und A seien Mannigfaltigkeiten der Dimension n
2r,
und L sei durch f mit dem Grade c auf A abgebildet. Der Koef¬
fizientenbereich sei 91, oder, falls die Torsionsgruppen rein mod m
sind, auch ©m. Es seien {zs}, {Ça} r-dimensionale Basen in L bzw.
und
aus
dem
=
A; die Schnitt-Matrizen der
bzw.
S; die Wirkung
von
diesen Basen dualen Basen seien S
zu
f auf
die Basen werde durch
(1)
be¬
schrieben.
Dann
gilt
(7")
cZ=G'SG.
Aus Satz V
Satz Va: Die
folgt
Voraussetzungen
erfüllt; außerdem
Einheit,
Gruppen
von L und A in bezug auf den zugrunde gelegten Koeffizientenbereich
seien zueinander isomorph. Dann gilt
sei
c
eine
von
Satz V seien
und die r-dimensionalen
(7'")
cS
GZG'
=
wobei S bzw. S die Schnitt-Matrizen der in
{zs}
Bettischen
(1) auftretenden
selben Klasse. )
Basen
(c
gehören
{Ca}
Bemerkung: Wir sagen, daß zwei Matrizen A und B zur gleichen
Klasse gehören, wenn es eine quadratische, nichtsinguläre Matrix
G gibt so, daß A
GBG' ist. Diese Ausdrucksweise ist besonders
für den Fall gebräuchlich, daß A und B symmetrisch sind; dann
gehören die zugehörigen quadratischen Formen zur selben
bzw.
sind,
S und 27
zur
=
Klasse.
Beweis
L und A
\S\
und
aus
von
Va: Da die r-dimensionalen Bettischen
isomorph
^0,
\S\
(7") hervor,
bare
t^O,
daß
=
Z~x
so
\G\
geht
quadratisch.
durch
Da
Bildung
c
Gruppen
aus
von
eine Einheit ist
der Determinanten
eine Einheit ist. G ist also eine umkehr¬
(7") folgt durch Einsetzen von
(man vergl. 5.2) die Behauptung (7'").
Matrix und
und 2"
sind, ist G
S'
=
S_1
[23]
Beiträge
zur
Untersuchung
Abbildungen
der
§
Das Verhalten der
Die Dimension der
von
Mannigfaltigkeiten.
6.
Verschlingungs-Matrix.
Mannigfaltigkeiten
L und A sei
n
=
2r + 1.
{zs} bzw. {C^} r-dimensionale Basen von %Tm(L) bzw.
%rm{A) und {zs} bzw. {£ff} ihre im Sinne von Kap. I, 4.4 dualen
Basen von m%n~r~1 (L) bzw. m%n~r~1(A). Es sei noch (in Bezug
Es
seien
auf
©J:
M)~SgsffCff,
(1)
(2)
ï»(2»)~2«rfS/
(3)
rw(Cff)~2^TCT,
.
Matrix: G,
Matrix: U,
Matrix: Y.
Nach Satz IV ist
?>(*(&))
(4)
wobei r'D
Anderseits
folgt
J\
(3)
ist
aus
(4), (2) und (1)
/Ä)-Syff,V«P(W-
(6)
und
(6)
führen somit
(7)
Torsionsgruppen
(7')
Satz
1r
bildet.
VI.
und
L
dem
aus
und
A
rUG
=
rein mod m,
cY
Hieraus
folgenden Matrizenkongruenz:
zur
cY
Sind die
=
Matrix:
/^(P^-cP^-cS^P^).
(5)
n
2 ÎV.V
G.d ist.
=
Nach Satz Ia und
(5)
~
=
G'UG
(mod m).
so
folgt
aus
(4)
und
(7)
(mod to).
Ergebnis von 6.2 folgt unmittelbar
Mannigfaltigkeiten der Dimension
seien
-\-1, und L sei auf A mit dem ganzzahligen Grade c abge¬
seien Basen von 2^(L) bzw. %Tm(A); die Ver-
{zs}, {Ca}
schlingungs-Matrizen der zu diesen Basen dualen Basen {zs}, {Ça}
(vergl. Kap. I, 4.4 und 6.1); die Matrix G ist durch
seien T bzw. 0
(1) erklärt.
Dann
gilt
c9
=
G'TG.
Marcel Rueff.
[24]
ZWEITER TEIL.
Anwendungen
und
1.
§
der Schnitt-Matrix.
Anwendungen
Es sei 3î als Koeffizientenbercich
1.1.
eine
n
=
und
orientierte
geschlossene,
Es sei
2k.
/
Beispiele.
eine
{zj},
i
Abbildung
1,
=
.
.
.,
zugrunde gelegt. L sei
Mannigfaltigkeit der Dimension
pk, eine Basis der Dimension k
mit dem Grade
c
von
L auf sich mit*
f(zk) ~S44.
Nach Satz V
von
Kap. II, §
cS
(1)
=
5 ist
G5G',
wobei 5 die Schnitt-Matrix einer ft-dimensionalen Basis bedeutet.
(1) liefert durch Bildung
Kap. I, 5.3, (6):
der Determinanten, mit Rücksicht auf
(2)
cp*
Aus
=
\G\2.
ist ersichtlich:
(2)
Satz Vb: L sei 2k-dimensional;
ist dann
pk ungerade,
so
ist
jeder Selbstabbildung von L eine Quadratzahl. 22a)
Ist pk ungerade, so gestattet L keine Selbstabbildung
negativem Grade; insbesondere ist L also asymmetrisch.
der Grad
c
Korollar:
von
Auf Grund des Poincaréschen Dualitätssatzes ist die im Satz
gemachte Voraussetzung, daß pk
ungerade ist, gleichbedeutend mit der folgenden: Die Eulersehe
Charakteristik von L ist ungerade.
Es sei jetzt k
4q; dann ist die Matrix S sym¬
2q, also n
und
Vb
seinem
Korollar
=
=
metrisch,
d.h. dem
er
darf
von
Trägheitsindex
der
und
man
ihrem
zu
S
„Trägheitsindex" sprechen
gehörigen quadratischen Form;
—
sei t.
Da die Schnitt-Matrizen
von
L
d.h.
gehören,
wie
man
S, Sl5.
leicht
durch Transformationen
S1
=
index
L" bezeichnet werden.
Die
U S
unabhängig
Voraussetzung
sein; also: k
=
2q,
von
des Satzes kann nach
n
=
4q.
zu
zu
U',
verschiedenen Basen
einer Klasse
\U\
gehören,
^0, ineinander
gleichen Trägheitsindex
„Trägheits¬
der Basis und darf als
t
22a)
die
bestätigt,
haben, ist
erfüllt
.,
und da Formen einer Klasse
übergehen,
von
.
Kap. I, 5.3,
nur
bei
geradem
fr
[25]
Beiträge
sei
Nun
daher
folgt
negativ;
c
einer
Formen
Da
von
Mannigfaltigkeiten.
t.
Trägheitsindex pk
haben,
gleichen Trägheitsindex
dann hat cS den
den
Klasse
n
=
gestattet L
so
Abbildungen
—
Satz Va:
aus
Satz Vc: Ist
\fk,
der
Untersuchung
zur
&q und der Trägheitsindex
keine
Selbstabbildung
L nicht gleich
negativem Grade;
von
von
asymmetrisch. 23)
insbesondere ist also L
1.2. L und L' seien zwei
Exemplare
Ebene. Aus L und L' kann
man
der
komplexen projektiven
„Summenbildung" zwei
durch
Mannigfaltigkeiten L1 und L2 ableiten. Man bohrt aus L
je eine kleine Kugel aus und klebt die beiden entstehenden
berandeten Mannigfaltigkeiten in ihren Randkugelflächen auf¬
einander, das eine Mal mit Umkehrung (Lx), das andere Mal
mit Erhaltung (L2) der Orientierung. 24)
Die Schnitt-Matrizen St und S2 von L1 und L2 sind, wie man
leicht bestätigt,
neue
und L'
5i
einer
Bei
Abbildung
der
5, Satz Va für
Kap. II, §
und für
(o l)'
=
/c
0\
\0
~c)
igli
zeigt
L2
(0
_{)
auf sich ist nach
Mannigfaltigkeit
Lx
+
g\2
gn gn + g12 g22\
=
—
§h
Sil ^21
—
gl»
gii\
\gtl
sich also:
Die Grade der
von
=
L2
Sil
Es
S2
sind
Selbstabbildungen
Differenzen
von
von
Lx sind Summen, diejenigen
zwei Quadraten.
Abbildungen einer dieser Man¬
nigfaltigkeiten Lx, L2 auf die andere; da sie isomorphe Bettische
Gruppen haben, ist der Satz Va anwendbar. Aber für jedes c^O
also für jede Einheit in bezug auf den rationalen Koeffizien¬
1.3.
Wir betrachten noch die
—
tenbereich
23)
—
gehören
Verallgemeinerung
zitierten
24)
9t
G.
Arbeit,
de
offenbar
eines Satzes
von
G.
sowohl
die Matrizen
(
de Rham: in der in Fußnote
I
16)
Théorème IV.
Rham, Sur la dualité
en
analysis
situs
[C.
R. 186
(1928), 6T0—672].
[26]
Marcel Rueff.
(
und
)
als
die
auch
)
(
Matrizen
(
und
)
zu
(denn die Determinanten haben entge¬
gengesetztes Vorzeichen). Daher folgt aus Va:
Keine der Mannigfaltigkeiten Lv L2 läßt sich auf die andere
mit einem von 0 verschiedenen Grade abbilden.25)
Klassen
verschiedenen
2.
§
2.1.
Es sei
Verschlingungs-Matrix.
der
Anwendungen
als Koeffizientenbereich
®m
seien
rein
mod
Torsionsgruppen
Mannigfaltigkeit L
sei eine Basis in 2^, und es sei
betrachteten
L auf sich
von
Nach Satz
gegeben
cT
wobei
G'TG
=
cr=
(2)
n
=
ist,
6
(2) ergibt
VIb26):
2r-\-\;
m
=
+
2r
1.
Die
Dimension
{^},
Abbildung /
wenn
i
=
vom
der
l,..., f,
Grade
c
(c, m)
=
1
ist,
(modm),
Verschlingungs-Matrix
(1) liefert durch Bildung
auf Kap. I, 6.3, (6):
Rücksicht
Satz
eine
die
T
bedeutet.
Aus
n
die
mit
VI, Kap. II, §
(1)
sei
zugrunde gelegt.
und
m,
der
zu
{zj}
Basis
dualen
Determinanten,
der
mit
|G|2 (mod m).
sich
L
sei
Mannigfaltigkeit
eine
der
Dimension
Primzahl,
ungeraden
Torsionskoeffizienten von L aufgeht. Dann
Selbstabbildungen, von L quadratische Reste
sei eine
die genau in einer
Anzahl r-dimensionaler
sind die Grade
mod
c
der
m.26a)
25)
26)
Verallgemeinerung
eines Satzes
Verallgemeinerung
eines Satzes
von
von
G. de Rham: siehe Fußnote
H. Seifert: in der in
Fußnote18)
24).
zitierten
Arbeit, § 5, II.
S-Thr, S. 280, Aufgabe
Die
obige Voraussetzung
Darstellung
von
der
4.
über
Primzahlpotenzordnung
Summanden Potenzen
m
gleichbedeutend
ist
Torsionsgruppe
r-ten
von
sind die
als
direkter
Ordnungen
einer
Für
m
=
2
sagt der Satz nichts
ungeradem
r
erfüllt
folgenden:
In der
zyklischer Gruppen
ungeraden
Anzahl direkter
m.
26a) Entgegen der üblichen Bezeichnungsweise zählen
quadratischen Resten.
bei
mit der
Summe
aus;
für
sein, nach Kap. I,
m
wir immer die Null
> 2 kann
6.3.
seine
zu
den
Voraussetzung
nur
[27]
Beiträge
zur
Untersuchung
der
Abbildungen
Beweis: Die Anzahl der durch
sei u; dann ist
und in
(2)
%rm
ist f'
u.
Da
u
Mannigfaltigkeiten.
teilbaren Torsionskoeffizienten
m
direkte Summe
=
von
Zyklen
der
ungerade ist, folgt
aus
von
u
Ordnung
(2)
m,
die Be¬
hauptung.
Korollar: Ist die im Satz VIb genannte Primzahl m von der
Form ix + 3, so gibt es keine Selbstabbildung vom Grade
1
—
insbesondere ist daher L
;
asymmetrisch.
2.2.
Es seien L und L' zwei Exemplare des gleichen Linsen¬
(m, q)27). Durch die gleichen Summenbildungen wie unter
1.2 dieses Kapitels erhalten wir zwei dreidimensionale
Mannig¬
faltigkeiten L1 und L2; man sieht leicht, daß die Verschlingungsraumes
Matrizen mod
folgendermaßen
m
ri=(o °)und
betrachten
Wir
jetzt
faltigkeiten L-y, L2
Es
sei
keine
der
Grade,
die
T*
aussehen:
^
6 -Î)
Abbildungen einer dieser Mannig¬
behaupten:
auf die andere und
eine Primzahl der Form
m
(mod m>-
m
=
4>x
—
1 ; dann
gestattet
beiden
der
fé
0
Beweis: Nach
dem Grade
Mannigfaltigkeiten eine Abbildung mit einem
mod m wäre, auf die andere. 28)
Kap. II, § 6, Satz VI ist für eine Abbildung mit
c
bzw.
(je
nachdem wir
L2
auf
Determinanten
Dies
nur
ist,
für
da
c
=
oder
Z,1
auf
L2 abbilden). Für die
c2g2
c2q2
|G|2<72 bzw.
|G|2ç2.
quadratischer Nichtrest mod m ist,
möglich.
ergibt
q=éO und
0 mod
Lx
m
sich
—
=
—
—
=
1
§ 3.
Dreidimensionale Linsenräume.
3.1.
Es sei eine dreidimensionale
euklidischen i?4
27
§
)
gegeben.
Wir verweisen für die
Ihre
Sphäre
Gleichung in
vom
Radius 1 im
cartesischen Koor-
Erklärung dieser Bezeichnung
auf den
nachfolgenden
3.
28) Verallgemeinerung
Aufgabe 1.
eines
Satzes
von
Seifert-Threlfall;
S-Thr,
S.
280,
Marcel Rueff.
[30]
eindimensionalen
von
q mod
Zyklen enthalten, die
vollständig bestimmt ist.
m
durch
die Restklasse
seien nun zwei Linsenräume L(m, q) und A(m, q')
Abbildung / vom ganzzahligen Grad c von L auf A
gegeben. Es sei &m als Koeffizientenbereich zugrunde gelegt.
Wir werden zunächst eine notwendige Bedingung für c auf¬
stellen und dann unter 3.3 zeigen, daß alle c, welche dieser not¬
wendigen Bedingung genügen, tatsächlich auch als Abbildungsgrade auftreten.
Es sei Riz1)
z2, und es seien Ç1 bzw. P(C1)
C2 die ent¬
sprechenden Basiselemente von A. Wir setzen den Homologie¬
typus mod m in seiner allgemeinsten Form an:31a)
3.2.
Es
und eine
=
=
f(z*)
(1)
?
a
~
(modm).
/(22)~6Ç2
f(L)~cA
Wegen
fR(z*)
(Kap. II, § 2)
-Pf{z*)
=
ist
b
(mod m).
a
=
Nach 3.1,
(4)
sind q z1 und z2 bzw.
Kap. I, § 4,
4.2
dual, und
da die
Torsionsgruppen
folgt
es
rein sind mod m,
/(z2)
und nach
aus
at}:
~
<p(q'P)
(2)
Anderseits ist nach
q' Ç1 und f2 im Sinne von
Kap. II, § 4, Satz IV,
nach
aqz\
~
Kap. II, 3.2,
Satz Ia
f(q>{q'P))
q'P,
~
c
(2)
f(<p(q'P))
~
fiagz*)
~
a*gp,
also
c
q't}
~
a2q «,
d.h.
(3)
c
q'
=
a2q
(mod m)
,
oder mit d=—7
9
(3')
3la)
c
Wir unterscheiden im
Mißverständnisse sind nicht
=
d2qq'
(mod m).
folgenden nicht mehr
zu
befürchten.
zwischen z1 und
^(z1)
usw.;
[31]
Beiträge
zur
der
Untersuchung
Abbildungen
Mannigfaltigkeiten.
von
notwendige Bedingung für den Abbildungsgrad c hätte
übrigens auch aus Kap. II, § 6, Satz VI entnommen werden
können. Wir haben hier besonderen Wert darauf gelegt, den
Homologietypus (1) vollständig zu beschreiben.
Der Homologietypus mod m der Abbildung f sieht folgender¬
Diese
maßen
aus:
/(z2)
a
—
C2
(mod m).
f(L)~a*±A
Im
auf
speziellen
Abbildung eines Linsenraumes L(m, q)
Homologietypus folgendermaßen aus:
Fall der
sich, sieht also der
/(z1)
^BZ1
/(z2)
~dz2
f(L)
Also hat
Die
Grade
3.3.
als Korollar:
man
quadratische
Wir
Satz VII:
Selbstabbildungen
der
Reste mod
wie
c
(die
Abbildungen
die ganzen Zahlen
(3')
erfüllen
also
Linsenraumes
sind
nun:
Als Grade der
nur
eines
m.
behaupten
treten die und
(mod m).
a*L
~
von
auf,
quadratischen
gleichen
L(m, q) auf A(m, q')
die eine Kongruenz
(mod m)
d2qq'
=
c
Restcharakter
haben
qq').
Beweis:
Die
Notwendigkeit
bewiesen worden. Jetzt sei
Abbildung
eine
L
->
A
c
eine
vom
Kongruenz ist soeben
Zahl, die (3') erfüllt; wir haben
dieser
Grade
c
zu
konstruieren.
Wir werden diese Konstruktion in zwei Schritten ausführen:
Unter A werden wir
eine
Abbildung /
von
unter B werden wir
einer willkürlichen ganzen Zahl d 5; 0
zu
zu
L auf A
einer
ganzen Zahl
einer
beliebigen
c'
-\- km konstruieren.
—
c
vom
Grade
d2qq' konstruieren;
Abbildung / vom Grade c und zu
k eine Abbildung /' vom Grade
A) Wie in 3.1 besprochen, wird L(m, q) durch eine zyklische
Bewegungsgruppe einer Sphäre S dargestellt; t sei eine erzeugende
Transformation dieser Gruppe. Analog wird A(m, q') durch eine
Bewegungsgruppe einer Sphäre E dargestellt, und diese Gruppe
Marcel Rueff.
werde durch eine
S auf
von
Bewegung
E, für welche
erzeugt.
r
[32]
Ist dann
/ eine Abbildung
J-t=i*>f
(4)
mit einem
wird dadurch offenbar
eine
und
gewissen Exponenten n gilt, so
Abbildung / von L auf A bestimmt,
gleichen Grad. Unsere Aufgabe ist daher,
S auf E
/ und /
Abbildung / von
den Grad d2qq' hat,
finden, die (4) erfüllt und die
zu
wobei d eine willkürlich
vorgeschriebene
es
haben
eine
Zahl ist.
Auf 5 und E seien, wie in 3.1, die Punkte durch
je
zwei
komplexe
1
Zahlen wv w2 bzw. co^ w2 mit {w^2 + |œ2|2
1, |ct>a[2 -+- |cü2|2
bestimmt. Dann dürfen wir t und t durch die folgenden Formeln
=
=
2m
als
gegeben annehmen,
in denen wir der Kürze wegen
'
.
e
m
setzen:
w'2
Wir
behaupten, daß
Eigenschaften hat:
_co2
=
\ü)'2
'
=
ew2
die
eco2
folgende Abbildung/
Xw$a
In der Tat
=
die
gewünschten
V|o!1|2*<'+|a>i!p'
aus den Formeln
bestätigt man
für t, x und /, daß (4) mit n
dq gilt; daß / zweitens auch den
gewünschten Grad d\q' hat, ist in dem folgenden Hilfssatz ent¬
erstens unmittelbar
=
halten:
Hilfssatz: Die
(5)
(r
>
Abbildung
.
;
g
mit
von
À
0,
>
auf E,
V\<a>1\»+
ßj2= Arof
s
S
0) gegeben ist, hat den Grad
Beweis: Es
genügt,
für ein Gebiet auf
die durch
|œ2|2'
rs.
E, das die beiden Ver¬
0 und co2
0 ausschließt, zu zeigen, daß
zweigungslinien co1
es rs-mal positiv bedeckt wird.
Aus (5) ist ersichtlich, daß jeder Punkt eines solchen Gebietes
rs Originalpunkte hat. Wir müssen also nur noch zeigen, daß
bei der Abbildung g sämtliche Bedeckungen positiv sind. Dazu
genügt es, wie man sich leicht überlegt, folgendes zu zeigen:
=
Faßt
man
=
o)ls w2 bzw. ft>l5 eo2 als Koordinaten in den vierdimen-
sionalen euklidischen Räumen auf, in denen S und E
betrachtet
man
die
Abbildung
liegen,
und
[33]
Beiträge
Untersuchung
zur
der
Abbildungen
des einen Raumes auf den andern,
von
Mannigfaltigkeiten.
ist die reelle Funktional-
so
determinante
~ùx'x
<tei
ctej
(tei
~àxx
(te2
ite3
(te4
0\X-^, X%i Xs, X^)
?)xî
<tej
ï)x't
"àx^
~bxx
~àx2
(te3
(te4
0\XX, X%, Xs, X±)
positiv.
Diese
Determinante
ändert
ihren
Wert
nicht,
wenn
wir in
Zähler und Nenner formal die Linearkombinationen
einführen.
32)
X2, X3,
=
xL
w-,
=
x,
tx9
Also hat
~is{x'x, x'a, x'3, x'é)
1)(XV
wx
.
XA)
tlün
<#?q -[— IOC a
w2
W/q
man
ï>(w'1,w'1,wi,w2)
7>(w'1,w'2)
xw^w't)
7>{wî, w2)
()(!%,
()(!!£>!, W2)
7>(WU 0>2)
ï{wlt œ2)
Da wir den Fall w1
Wv W„
tOj)
0 ausgeschlossen
0, w2
Determinante im betrachteten Gebiet > 0.
=
—
hat. Wir
ist diese
vom
/ eine Abbildung von L auf A, welche den Grad c
geben jetzt ein Verfahren an, um aus / eine Abbildung
Grade
c
-\- km
zu
konstruieren.
Man kann ein dreidimensionales
auf
haben,
Es sei
B)
/'
)
tub A
den Linsenraum A
Simplex
mit dem Grade km
A(m, q') abbilden, und zwar so, daß
Simplexes auf einen festen Punkt von A abgebildet
wird. Diese Tatsache folgt unmittelbar daraus, daß einerseits A
Diskontinuitätsbereich einer Bewegungsgruppe von der Ordnung
=
der Rand des
m
der 27 in sich ist, und daß
Simplex
man
anderseits ein dreidimensionales
beliebig vorgegebenem Grad k auf die 27 abbilden
Simplexes auf einen festen Punkt
der 27 abgebildet wird.
Wir nehmen zunächst an: Es gebe in L ein dreidimensionales
Simplex X, das durch / ganz auf einen festen Punkt P von A
abgebildet wird; wir verstehen unter g eine Abbildung des Grades
km von X auf A, bei der der Rand von X auf P abgebildet wird,
mit
kann derart, daß der Rand des
und setzen
und
32
)
Van
Geometrie
dee
/'=/
in
L-X
f'
in
X.
=
g
Waeeden, Topologische Begründung des Kalküls der abzählenden
[Math.
Ann.
102
(1929), 337—302],
unter
S.
349.
Marcel Rueff.
/'
f
=
/
/
und g, also
Es bleibt der Fall
c
von
stetig
/' ist
sind und auf dem Rand
von
X
offenbar die Summe der Grade
-f- km.
erledigen, daß es in L kein dreidimensionales
/ ganz auf einen Punkt von A abgebildet
führen wir folgendermaßen auf den bereits
zu
das durch
Simplex gibt,
Diesen Fall
wird.
und g
Der Grad
g ist.
von
da
stetig,
ist
[34]
behandelten zurück.
X sei
/ als simplizial annehmen.
dimensionales Simplex von L, P0 ein fester
Wir dürfen
X' sei ein dreidimensionales
liegt
X
P0
und
Simplex,
irgendein
innerer Punkt
drei¬
von
das ganz im Innern
als innern Punkt enthält.
Q
irgendein
sei
X.
von
Punkt
X und Q' der Punkt von S2'
X', der
Randsphäre S2
QP0 liegt. Qr bzw. Qr sei der Punkt auf der Strecke
r) teilt
QP0 bzw. QQ', der diese Strecke im Verhältnis r zu (1
in
X
definiert:
wird
nun
folgende Abbildung f1
(O^rgl). Es
der
=
=
auf der Strecke
—
A(X')=/(Po);A(5,) =/(&)•
hat denselben Grad wie
/x
da außerhalb des
/,
worden ist; X' wird durch
f(X) nichts geändert
abgebildet. Wir befinden
uns
A
Bildsimplexes
auf/(P0)
ganz
somit im bereits behandelten Falle.
Damit ist der Beweis des Satzes VII beendet.
3.4.
Dem
hinreichende
Nicht
nur
entnehmen wir als
Satz VII
notwendig,
sondern auch hinreichend
Grade
-)-
1
dafür, daß
L(m, q') gegenseitig mit
L(m, q)
aufeinander abbilden lassen,
und
zwei Linsenräume
die
Spezialfall folgende
Bedingung:
ist
die
Lösbarkeit
sich
dem
der
Kongruenz
lsi2'
(6)
(d.h.
die
qq'
Tatsache, daß qq' quadratischer Rest mod
und
m
ist).
daß die beiden Linsenräume
gezeigt 33),
1.(7,2) nicht homöomorph
K. Reidemeister hat
1,(7,1)
(mod m)
sind. Anderseits wird die
Kongruenz
1
x2
=
•
2
(mod 7)
ergibt sich:
1.(7,1) und 1.(7,2) liefern ein Beispiel
von zwei Mannigfaltigkeiten, die nicht homöomorph sind und sich,
trotzdem gegenseitig mit dem Grad 1 aufeinander abbilden lassen.
durch
x
=
2 erfüllt. Daher
Die beiden Linsenräume
33
)
K. Reidemeister, a.a.O.
8).
[35]
Beiträge
zur
Untersuchung
Damit ist eine
die
Frage,
der
Abbildungen
H.
von
Mannigfaltigkeiten.
von
Hopf formuliert
worden ist
34),
im verneinenden Sinne beantwortet.
Wenn
Bemerkung.
c
jà
mod
0
und daher werden die Bettischen
ist,
m
ist auch
so
mod
Gruppen
A
a
m von
=bfâ
0,
L auf die
± 1 (ganzzahlig),
isomorph abgebildet; ist aber sogar c
so erleidet auch die einzige nicht-triviale ganzzahlige Bettische
Gruppe, nämlich die dreidimensionale, einen Isomorphismus auf
die entsprechende Gruppe von A; also ist im Falle c
± 1 alles
so wie bei einer Homöomorphie. Dies ist eine Bestätigung des
allgemeinen Satzes IIb.
von
=
=
§
4.
Höherdimensionale Linsenräume.
Allgemeines. Es sei
heitssphäre im euklidischen
S2n+1 die
4.1.
R?n+z. Ihre
(2n-f-l)-dimensionale Ein¬
Gleichung in cartesischen
Koordinaten lautet
sr.r4=i,
a)
oder mit den
komplexen
Wl
=
ix&
xi +
Es
=
W2
=
X3 +
ixi>
•
•
•
USW.:
s^k-i^i.
(i')
j
Zahlen
sei
1,
.
.
.,
n
Bewegung
eine
S: 2
m
+ 1, seien
a'j
Die
zu m
und
die
n
+1 Zahlen qp
teilerfremd. Wir betrachten
folgende
der S2n+1 in sich:
(2)
wobei qn+1
Zahl,
feste
=
1
=
e
m
wp
j
=
l,...,n + l,
ist.
Transformation
(2) erzeugt
eine
zyklische Bewegungs¬
Ordnung m, deren Elemente alle, die Identität aus¬
genommen, fixpunktlos sind. Der geschlossene Diskontinuitätsbereich dieser Gruppe ist der (2n + l)-dimensionale Linsenraum
L{m; q±, q2,
qn).
Man kann zeigen, daß die ganzzahlige Bettische Gruppe
die Dimensionen 0 und 2n -f- 1 ausgeschlossen, in welchen sie
die durch ein Element erzeugte unendliche zyklische Gruppe ist
in ungeraden Dimensionen zyklisch der Ordnung m ist und in
geraden Dimensionen aus dem Nullelement allein besteht. Die
gruppe der
.
.
.,
—
—
34)
siehe Fußnote
9).
Marcel Rueff.
Bettische
Gruppe
Ordnung
m.
Werden
mod
ist in
m
[36]
Dimension
jeder
zyklisch
der
35)
in
(2 ) s < n + 1 unter den Wj gleich 0 gesetzt, so
zyklische fixpunktlose Bewegungsgruppe der aus
erzeugt (2)
(1) hervorgegangenen (2(n
s) + l)-dimensionalen Sphäre in
sich, deren Diskontinuitätsbereich ein (2(n
s) + l)-dimensionaler
eine
—
—
(2(n
s) + l)-dimen(m; qx, q2,
qn) gewählt
n + L der
3)-dimen(2n
entsteht. Das Produkt (also
Linsenraum ist, der als Basiselement der
sionalen
Bettischen
werden kann. Es sei
sionale
Linsenraum,
der
Gruppe
von
Lj, /
1,
der
=
aus
œ
—
L
.
.,
—
.
.
.,
0
=
Schnitt) ir Ls,
Lj ist der
0
der
entsteht.
aus wr
(2n
5)-dimensionale Linsenraum,
ws
Das Produkt Lr Ls Lt, r =£s, s ^ t, r ^ t, dreier dieser Linsen¬
räume Lj ist der (2n
7)-dimensionale Linsenraum, der aus
s
•
^r, zweier dieser Linsenräume
=
—
—
•
—
wr
entsteht,
0
ein
eindimensionaler
durchlaufen
ist.
Diese
=
=
0
^
Produkt
Das
w(
ws
Linsenräume ist
=
usw.
über
Zyklus,
Schnitteigenschaften
der
n
erst
dieser
m-mal
können leicht
(1) und (2) abgelesen werden; sie erlauben folgende
Behauptung zu beweisen:
1,
n, sei der (2n
\)-dimensionale Zyklus mod m,
Zj, j
der durch den Linsenraum
0 gegeben ist. Irgendeiner der
Wj
Zj
und seine Potenzen m)
können
als
Basiselemente
von
zj, zj, .,Zj
aus
=
—
.
.
.,
=
.
^öL"1» ®@T
$®75>
>
•
•
•>
^®m gewählt
Beweis: Wir beweisen die
elemente sind,
werden.
Behauptung
für zv Da die Zj Basis¬
gilt
zi
~
j
aizp
(ap m)
Um
.
=
1,
=
-,
n,
1.
zeigen, daß die Potenzen von zx als
entsprechenden Dimensionen verwendet
genügt es zu zeigen, daß z\ die Ordnung m hat,
zu
Basiselemente in
den
für 0 < k <
die
m
Ordnung
ist.
m.
Dann hat auch
(J\jüj, m)
=
~
LT,- afj
1, da
eindimensionaler Zyklus,
also die
35)
Math.
36
)
W.
d.h. daß kz
jede niedrigere
Potenz
<^
von
0
zx
Es ist aber
2"
Es ist
können,
werden
Ordnung
m
~
(üj, m)
der
11^- a} IIj Zj.
=
erst
1
ist; anderseits ist
m-mal durchlaufen
hat. Daher hat auch z die
Franz, Über die Torsion einer
TljZj
~
0
Ordnung
Überdeckung [Journal
f.
r. u.
ein
ist,
m.
angew.
173 (1935), 245—254].
In
diesem
Paragraphen bedeuten obere Indizes
nicht Dimensionszahlen,
z',
hat die Dimension 2»
—
an
2r -j- 1.
Zyklen Exponenten,
[37]
Beiträge
zur
Untersuchung
der
Abbildungen
von
Mannigfaltigkeiten.
4.2.
Abbildung eines mehrdimensionalen Linsenraumes auf sich.
eine
Abbildung / vom ganzzahligen Grade c von
L{m;q-y,
qn) auf sich gegeben. Es sei ®m als Koeffizienten¬
bereich zugrunde gelegt.
Es
sei
...,
Genau
wie
Dimensionen
drei
in
notwendige Bedingung
werden
wir
zunächst
eine
aufstellen und dann unter 4.3
zeigen,
notwendigen Bedingung genügen,
tatsächlich auch als Abbildungsgrade auftreten.
zn 37) seien gemäß 4.1 gewählte Basiselemente der
z\ z2,
Bettischen
Gruppen mod m ungerader Dimensionen. Riz1),
R(z2),
R(zn) wählen wir als Basiselemente der Bettischen
daß
alle
c,
.
.
.
c
dieser
welche
.,
.,
.
Gruppen
mod
m
Wir setzen den
Form
für
gerader Dimensionen.
Homologietypus mod
in seiner
m
allgemeinsten
an:
/(z*)
~
atz\
n,
/(*(*<)) ~6«tf(s<),
(1)
f(L)
~
cL.
Wegen
fR(zi)
(Kap. II, § 2)
=
Rf(zi)
ist
(1')
at=bf.
Wir
behaupten
ferner: Es ist
K~i+1
(2)
=
mit i
ai
=
1,
•
•
-,
n
und
(3)
c
=
Beweis: Zu dem
(s, m)
=
1
at an_{+1 mit
Zyklus R(zi)
(Kap. I, 4.2).
Da
nun
fRfë)
ist,
ist daher nach Satz
~
i
=
1,
.
.
.,
ist dual ein
nach
(1)
n.
Zyklus
(1')
szn~i+1 mit
und
aiR(sfi)
IV, da die Torsionsgruppen rein sind
mod m,
(4)
(p(zn-i+1)
also wegen der
aizn-i+1,
multiplikativen Homomorphie
(ç5(21))'l^+1~aiz»-£+1.
(5)
37
~
)
siehe Fußnote
36).
von
q>
Marcel Rueff.
Setzt
man
n, so
(4) i
(5) einsetzt,
in
dies in
man
erhält
=
Damit ist
Satz Ia
(2) bewiesen. Es
(Kap. II, § 3) ist
und
aus
(1)
und
~
(6) und (7) folgt
(3) folgt für i
dann die
=
und
wenn
beweisen: Nach
czn-i+1,
Behauptung (3).
1
(8)
c
=
a^an.
1 in (8) eingesetzt, liefert
(2) für i
folgende notwendige Bedingung:
=
für den
Abbildungsgrad
c^<+1.
(9)
Das
zu
anzl,
(4) folgt
Aus
c
(3)
~
/(v(*B-'+1))~«n-m-«*a,,-<+1;
(7)
aus
^(z1)
man
bleibt noch
f{<p(zn~"i+1))
(6)
[38]
Ergebnis
ist:
Durch die Kongruenzen (2)
vollständig beschrieben; es ist
ai
Die
Grade
=
bi= a~~i+l,
Wir
(n-\-\)-te
behaupten
nur
Homologietypus (1)
c
=
a^+x (mod m).
eines
(2n-\-l)-dimensionalen
Potenzreste modm.
Selbstabbildungen vonL(m; qlf
qm)
c auf, die eine Kongruenz
.
.
.,
die ganzen Zahlen
(9)
c
erfüllen,
ist der
weiter:
Satz VIII: Als Grade der
treten die und
(9)
Selbstabbildungen
der
Linsenraumes sind
4.3.
und
nämlich
=
dn+1
(modm)
(n-\-l)-te Potenzreste modm sind.
analog wie in 3.3, Satz VII. Den
denke man sich in zwei Exemplaren vorliegend,
die also
Der Beweis verläuft ganz
Linsenraum L
von
denen
Exemplare
man
das erste auf das zweite abbildet. Die beiden
seien auf
Sphären S bzw. Z, bei Benutzung der zu
analogen Bezeichnungen durch Bewegungsgruppen
dargestellt, die durch folgende Transformationen erzeugt werden
den früheren
2Jtt
(der
Kürze wegen setzen wir em
=
e):
Beiträge
[39]
zur
der
Untersuchung
Abbildungen
w'2
Mannigfaltigkeiten.
Z
S
wx
von
=
£ai w-y
=
eQ2 w2
co-'
eei
=
(
t:
w„
Dann definiert
man
/:
wf,
eo,-
und
man
A
=
die
j
=
Abbildung /
l,...,
n
+ l,
—
e*«o)„
S auf Z durch
von
mit A
=
daß sie eine
bestätigt,
und den Grad dn+1 hat. Im
Abbildung
übrigen ist alles
=,
von
L auf A
erzeugt
ebenso wie früher.
38)
ANHANG.
Über faserungstreue Abbildungen der Sphäre.
Wir betrachten die dreidimensionale
Sphäre S3;
wie im zweiten
3.1, beschreiben wir die Punkte durch Paare
Teil,
komplexer
Zahlen wv wz.
Es sei
der
von
(k)1; w2)
ein fester Punkt der S3, t ein
0 bis 2n
läuft; dann beschreibt
(w1eit, w2eil)
w{:
eine
bilden
Faserung
Die
sei
Diese Großkreise
w geht.
Ausnahmefasern39). Diese
nachfolgenden %.
Großkreis, der durch den Punkt
einen
es
stetiger Parameter,
der Punkt
Faserung
nennen
der
wir im
S3
ohne
Abbildung / sei wie im Beweis des Satzes VII, A, erklärt,
aber jetzt Z
L, also q'
S, und ferner A
q. Dann ist
=
=
=
durch
f
i»J
(1)
beschrieben.
Durch
/
=
lWj,
a
>0,
wird der Punkt
w
in den Punkt Xwa und
übergeführt. Wenn nun t
Bildpunkt von weil a-mal
Durch die Abbildung / wird
der Punkt weil in den Punkt Xwaeial
von
0 bis
den durch
38)
2n
Abgehenden
39)
Großkreis.
Wir setzen d Si 0 voraus; dies bedeutet auch bei
Einschränkung,
60
läuft,
durchläuft der
H.
da
es
genügt,
aus
jeder
Restklasse mod
m
ungeradem
beliebiges
ein
Seifert, Topologie dreidimensionaler gefaserter
(1932), 147—238].
Räume
n
d
+ 1 keine
zu
nehmen.
[Acta
math.
Marcel Rueff.
also
jede
Faser auf eine Faser
[40]
abgebildet, und zwar so, daß die
/ nennen wir daher „faserungs-
Bildfaser a-mal durchlaufen wird.
treü\ Nach dem zweiten Teil, 3.3, Hilfssatz, ist anderseits der
Quadrat. Es liegt
Vermutung
spezielle Abbildung (1) so ist,
sondern daß der folgende Satz gilt.
Satz: Jede Abbildung f der S3 auf sich, welche die Faserung %
in sich überführt, hat als Abbildungsgrad eine Quadratzahl.
Wir zeigen, daß dies in der Tat so ist.
Beweis: Die Zerlegungsfläche der Faserung $ ist die Kugel40).
n sei die eindeutige stetige Abbildung, welche jede Faser von S3
auf ihren entsprechenden Punkt der S2 abbildet. / sei die faserungstreue Abbildung der S3 und q> die in S2 durch/induzierte Abbil¬
dung. Es gilt dann die Funktionalgleichung
Abbildungsgrad
/
von
nahe, daß dies nicht
ein
nur
nun
die
für die
(2)
<p7l=7lf.
Abbildung g von S3 auf S2 läßt sich nach H. Hopf41)
y(g), die Verschlingungszahl der Originalzyklen
zweier beliebiger Punkte von S2, zuordnen. y(g) hat, angewendet
auf die Abbildungen /, <p und n, folgende Eigenschaften:
Ist c der Grad von /, so ist
Jeder
eine ganze Zahl
y{7tf)
(3)
Ist k der Grad
von
<p,
so
cy{n)).
ist
y(cpn)=kZy(K)i3)-
(4)
Aus
(2), (3)
(4) folgt
und
(5)
cy{n)
Es ist
y(ïi)
±
=
1
44),
also
(6)
Die
H.
bei
und
es
folgt
aus
(5)
/c2.
bewiesen.
topologische Abbildung
welcher die Faserung ^ in
mit
si°h
Hopf, Über die Abbildungen der dreidimensionalen Sphäre auf die
Kugelfläche [Math.
Ann.
104
41)
Fußnote 40), Satz II.
42
Fußnote 4°), Satz II, b.
)
kzy(7t).
S3 gestattet keine
Umkehrung der Orientierung,
übergeführt wird.
)
=
Behauptung
unsere
Korollar:
=
y{n) ^0,
c
Damit ist
40
=
43)
Fußnote
40), Satz IIb'.
44)
Fußnote
40), §
5.
(1931), 637—665].
[41]
Beiträge
zur
Man könnte dies auch
Abbildungen
der
Untersuchung
so
von
Mannigfaltigkeiten.
„Die Faserung % der S3
ausdrücken:
Diese Tatsache ist darum bemerkenswert, weil
ist
asymmetrisch."
analoge Satz für die analoge Faserung der fünfdimensionalen
Sphäre S5 nicht gilt; denn indem man jeden Punkt (wv w2, w3)
durch (äJj, w2, w3) ersetzt, wobei w^ die zu % konjugiert komplexe
Zahl bedeutet, entsteht eine topologische Abbildung des Grades
1 der S5, bei der £f invariant ist.
Bemerkung: Herr H. Hopf machte mich darauf aufmerksam,
daß der obige Satz samt seinem Beweis und Korollar allgemeinere
Gültigkeit haben: Es sei M3 eine dreidimensionale orientierbare
geschlossene Mannigfaltigkeit und Ç eine Faserung von M3,
der
—
der wir zweierlei voraussetzen:
von
1)
2)
Die
ist
zugehörige „Zerlegungsfläche"
die Fasern sind
^
0 in
orientierbar;
M3.
jede Abbildung von M3 auf sich, bei der Ç in sich
übergeht, eine Quadratzahl zum Grade.
An dem obigen Beweis ist nichts zu ändern; denn erstens ist
Dann hat
die Invariante y unter den genannten Voraussetzungen für die
Abbildung n von M3 auf die Zerlegungsfläche definiert und hat
Produkteigenschaften45), und zweitens
jede derartige Abbildung; diese letzte Tatsache
ergibt sich aus einer brieflichen Mitteilung von Herrn Seifert an
Herrn Hopf.
die
ist
benützten
uns
von
y # 0
für
Zum Schluß
gleich
Bildfaser
zeigen
F'
Beweis:
C
wir noch,
daß die in (6) auftretende Zahl
ist,
abgebildet wird46).
C2 sei ein beliebiger,
dem Grad
mit dem eine
a
=
beliebige
von
Faser F
auf
k
ihre
der Faser F berandeter
Komplex:
C
Bild/(C)
ist, folgt
Das
sei ein
Komplex
C
r=r2 sei ein
=
beliebiger
=
von
F.
C.
Da/(F)
=
aF'
und/(C)' =/(C)
aF'.
der Faser F' berandeter
Komplex:
r=F'.
ar und C werden
dimensionaler
Zyklus.
«)
H.
46)
Daß dieser Grad
eine Faser
von
aF' berandet; C
—
aT ist somit ein zwei¬
Da aber ein zweidimensionaler
Hopf, a.a.O. 40), besonders Fußnote 12) auf S.
stetig
a
für alle Fasern der
in eine andere überführt.
654 und
gleiche ist, ergibt sich,
Zyklus
§
z2
7.
indem
man
Marcel Rueff.
0 in
~
S3 ist, ist auch sein Bild
[42]
n(z2)
~
0 in
S2, d.h. ji(z2)
=
0
in S2. Dies bedeutet
n{C)
Nach
ist
y{n)
§ 2,
=
n{ar)
=
an{r).
6 der in der Fußnote 40 zitierten Arbeit
auch der Grad, mit dem ein
von
H.
Hopf
Original¬
beliebiger,
beliebigen Punktes berandeter zweidimensionaler
Komplex abgebildet wird. Die Funktionalgleichung (2) auf C
angewendet, ergibt somit:
faser
eines
cp(y(ji)S2)
=
ky{n)S2
und da
y(~)
=
1^0 ist 47),
H.
Hopf, a.a.O. *»), §
5.
tz(C)
=
folgt
k
")
von
=
=
an(r),
ay(jr)S2,
die
a.
Behauptung
der
LEBENSLAUF.
Ich wurde
Nach
am
wenigen
Primarschule
25. November 1910 in Moutier
(Bern) geboren.
Jahren zogen meine Eltern nach Biel,
und
das
besuchte und
Progymnasium
wo
ich die
später
am
städtischen Gymnasium die Maturität bestand. Hierauf studierte
ich
an
der
Abteilung
für Mathematik
und
Physik
Techn.
Hochschule und erwarb im Sommersemester
Diplom
als Mathematiker.
Vom Herbst 1933 bis
zum
Frühjahr
Seit
März
1936
bin ich
an
Eidg.
1933
das
1936 durfte ich als Assistent
für höhere Mathematik bei Herrn Prof. Dr. F.
sein.
der
der
Gonseth
tätig
Schweizerischen Lebens-
versicherungs- und Rentenanstalt in Zürich angestellt. Ich be¬
schäftigte mich seit dem Sommer 1935 mit der vorliegenden
Arbeit, zu der mir Herr Prof. Dr. H. Hopf die Anregung gab.
Für die vielen wertvollen Anregungen und Ratschläge während
deren Ausarbeitung spreche ich meinem verehrten Lehrer, Herrn
Prof. Dr. H. Hopf, meinen herzlichsten Dank aus.
Zürich,
im Dezember 1937.
Marcel Rueff.