¨Ubungen zu Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik

Übungen zu Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik
SS 2012
(Vorlesung von Prof. Reinhard Bürger)
1) Man gebe für die folgenden Experimente Wahrscheinlichkeitsmodelle an: (a) Wurf mit einer
homogenen Münze, (b) Wurf mit zwei unterscheidbaren homogenen Würfeln, (c) Wurf mit
zwei nicht unterscheidbaren Würfeln, (d) Ziehen einer Kugel aus einer Urne mit r roten und s
schwarzen Kugeln.
2) Sei (Ω, P ) ein diskretes Wahrscheinlichkeitsmodell, A, B ⊆ P(Ω). Man zeige (i) P (Ac ) = 1 −
P (A), (ii) A ⊂ B ⇒ P (A) ≤ P (B), (iii) P (A \ B) = P (A) − P (A ∩ B), (iv) P (A ∪ B) =
P
P (A) + P (B) − P (A ∩ B), (v) P (A) = ω∈A P ({ω}).
3) Man zeige
n
n
=
,
k
n−k
n
n−1
n−1
=
+
,
k
k
k−1
n−1
X m n
=
,1 ≤ k ≤ n
k
k−1
m=k−1
4) Beweisen Sie den binomischen Lehrsatz.
5) Aus dem binomischen Lehrsatz folgere man
n X
n
k=0
k
= 2n ,
n
X
(−1)k
k=0
n
= 0,
k
n
X
n
= n2n−1 .
k
k
k=0
6) Ähnlich zeige man
n
X
k=0
n
k
= n(n + 1)2n−2 .
k
2
an
n→∞ bn
7) Zwei Folgen (an ), (bn ) heißen asymptotisch gleich, an ∼ bn , falls lim
= 1. Man zeige die
Existenz einer Konstanten τ > 0 mit n! ∼ τ e−n nn+1/2 . (Anleitung: verwende ln n! = ln 1 + . . . +
k+1/2
k+1
R
R
ln n und
ln x dx ≤ ln k ≤
ln x dx. Damit kann man zeigen, daß
k−1/2
k
τ = lim exp{ln n! − (n + 1/2) ln n + n}
n→∞
1
existiert und eindeutig bestimmt ist.) Man kann weiters zeigen (allerdings schwieriger), daß
√
τ = 2π gilt und erhält damit die Stirlingsche Formel.
8) Ein Prüfer hat 18 Standardfragen, von denen er in jeder Prüfung 6 zufällig auswählt. Ein
Kandidat kennt die Antworten von 10 Fragen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß er
mindestens 3 Fragen richtig beantwortet?
9) Unter 32 Karten befinden sich 4 Asse. Die Karten werden gemischt und nacheinander aufgedeckt.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß die neunte aufgedeckte Karte das zweite aufgedeckte
As ist?
10) Man zeige: Sei P (B) > 0, dann wird (i) durch PB (A) + P (A|B) eine W.-Verteilung auf Ω
definiert. (ii) Ist A ⊂ B c oder P (A) = 0, so folgt P (A|B) = 0.
11) Seien die W. für die Kinderzahlen 0, 1, . . . , 5 einer Familie durch 0.3, 0.2, 0.2, 0.15, 0.1 und
0.05 gegeben. (Die W. für noch höhere Kinderzahlen werden vernachläßigt.) Wie groß ist, wenn
man Jungen- und Mädchengeburten als gleichwahrscheinlich annimmt, die W., daß ein zufällig
ausgewählter Junge mindestens eine Schwester hat?
12) Sei n ≥ 2, Ω = {0, 1}n , und für alle ω = (ω1 , . . . , ωn ) ∈ Ω sei P (ω) = 2−n . Man betrachte
die Ereignisse Aj = {ω ∈ Ω : ωj = 1} (j = 1, . . . , n) und B = {ω ∈ Ω : ω1 + . . . + ωn = 1
mod 2}. Welche der folgenden Familien sind unabhängig: a) {A1 , . . . , An , B}, b) {A1 , . . . , An },
c) {A2 , . . . , An , B}?
13) Man erkläre und diskutiere die Beilage über bedingte W. und Scheinkorrelation.
14) Ein die Blutgruppen des Menschen bestimmendes Gen kann 3 Zustände (Allele) annehmen:
A, B, O. Damit gibt es sechs verschiedene Genotypen AA, BB, OO, AO, BO, AB, die in der
Elterngeneration die W. p1 , p2 , . . . , p6 haben mögen. Berechne die Verteilung der Genotypen
unter den Nachkommen bei zufälliger Paarung und zeige, daß das Hardy-Weinberg Gesetz auch
hier gilt.
15) Auf einer Prüfstation werden Produkte getestet. Man weiß, daß 3% aller erzeugten Produkte
einen Fehler haben. Beim Prüfen wird bei 95% der defekten Teile der Fehler festgestellt, aber
auch 2% der fehlerfreien Produkte werden aussortiert. Mit welcher W. ist ein nicht aussortiertes
Produkt wirklich fehlerfrei?
16) In einer Urne seien N = 20 Kugeln, davon sind 5 gelb, 11 weiß und 4 blau. Wir ziehen mit
Zurücklegen. Wie wahrscheinlich ist die Zugfolge (g, w, b, g, b, b, g, b)? Wie groß ist die W., 3
gelbe, 1 weiße und 4 blaue zu erhalten? Wie groß sind die entsprechenden W., wenn man ohne
Zurücklegen zieht? Vergleichen Sie die W. auch numerisch.
17) Sei X = (X1 , X2 , X3 ) eine vektorwertige ZV, die einen fairen Münzwurf mit drei Münzen
beschreibt. Es seien die folgenden Ereignisse gegeben: A1 = {X1 = X2 }, A2 = {X2 = X3 },
2
A3 = {X3 = X1 }. Zeige, daß die Ereignisse A1 , A2 , A3 paarweise unabhänigg sind, aber nicht
unabhängig.
18) Sei Z := zufällige Anzahl der Asse in einem Blatt von 13 Karten aus 52. Sind die Ereignisse
“Im Blatt ist genau ein As” und “Im Blatt ist mindestens ein As” unabhängig? Seien allgemeiner
A1 , A2 Ereignisse in einem diskreten W-Modell. Unter welchen Bedingungen an P (A1 ) und
P (A2 ) gilt, aus A2 ⊆ A1 folgt P (A2 |A1 ) > P (A2 )?
19) Welches Ereignis ist im obigen Kartenspiel wahrscheinlicher: daß man genau ein As hat, gegeben
man hat das Herz As, oder daß man genau ein As hat, gegeben man hat mindestens ein As?
(Bezeichne mit H das Ereignis “Man hat das Herz As” und zeige
52
P ({Z = 1} ∩ H) = 48
12 / 13 , etc.).
20) Ihr Fahrlehrer meint vor der Prüfung, daß Ihre Chance, die Prüfung zu bestehen, 3 zu 1 betrage.
Welche W. ist damit gemeint? Wenn diese Angabe korrekt ist, wie groß ist dann die W.
a)
b)
c)
d)
die
die
die
die
Prüfung
Prüfung
Prüfung
Prüfung
beim ersten Mal zu bestehen,
genau beim dritten Mal zu bestehen,
spätestens beim dritten Mal zu bestehen,
beim dritten Mal zu bestehen, wenn Sie schon zweimal durchgefallen sind?
21) Für einen Wurf mit einem roten und einem schwarzen Würfel sei ξ1 die zufällige Veränderliche,
die die Augenzahl des roten Würfels angibt, ξ2 die entsprechende für den schwarzen. Berechne
und skizziere die Verteilungen von
a) ξ1 , ξ2 ;
b) ξ1 + ξ2 , ξ1 − ξ2 ;
c) ξ1 ξ2 , ξ1 /ξ2 .
22) (Wartezeit beim Ziehen mit Zurücklegen). In einer Urne sind S schwarze und N − S weiße
Kugeln. T1 sei die Nummer der Ziehung, bei der zum ersten Mal eine schwarze Kugel erscheint
(T1 ist die Wartezeit). Zeige, daß T1 geometrisch verteilt ist, wenn mit Zurücklegen gezogen wird
und berechne Erwartungswert, ET1 , und Varianz, Var(T1 ).
23) (Wartezeit beim Ziehen ohne Zurücklegen). Es soll nun ohne Zurücklegen gezogen werden und
ET1 berechnet werden. (Anleitung: man kann natürlich P (T1 = k) berechnen und daraus
den Erwartungswert. Das ist aber etwas mühsam. Man kann auch so vorgehen: Bei n = N
Ziehungen werden alle Kugeln gezogen, also S schwarze. Sei ωi = s, wenn die i-te gezogene
Kugel schwarz ist und = w, sonst. Aus Symmetriegründen sind alle Elemente ω = (ω1 , . . . , ωN )
gleichwahrscheinlich. Nun definiere Ui als den Zeitpunkt, an dem die i-te schwarze Kugel erscheint
und setze T1 = U1 , Ti = Ui − Ui−1 , (i = 2, . . . , S) und TS+1 = (N + 1) − US . Dann zeige
ET1 = · · · = ETS+1 .)
24) Zeige, daß die hypergeometrische Verteilung die Binomialverteilung approximiert (vgl. Vorlesung).
3
25) Finde den größten Term in der Binomialverteilung Bk (n, p), 0 < k < n. Zeige, daß die Terme
bis zu einem Maximum zunehmen und dann wieder abnehmen.
26) Beweise: Sind X, Y unabhängige ZV und ist ϕ : R → R eine beliebige Funktion, so sind ϕ(X)
und ϕ(Y ) unabhängig.
27) Bestimme Schiefe und Kurtosis der geometrischen Verteilung.
28) Berechne Erwartungswert und Varianz der hypergeometrischen Verteilung.
29) Berechne Schiefe und Kurtosis der Binomialverteilung.
30) Berechne Schiefe und Kurtosis der Poissonverteilung.
31) Die diskreten zufälligen Veränderlichen X, Y seien unabhängig. X sei bn,p -verteilt, Y sei bm,p verteilt. Berechne die Verteilung von X + Y .
32) Erkläre und diskutiere das St. Petersburg Paradoxon (siehe Beilage).
33) Erkläre und diskutiere das Paradoxon vom Bernoullischen Gesetz der großen Zahlen (siehe
Beilage).
34) Beweisen Sie folgenden Satz (Satz 1.18). Seien X, Y , (Xi )ni=1 diskrete ZV für die die zweiten
Momente existieren, und a, b, c, d ∈ R. Dann gilt.
a)
b)
c)
d)
Cov(X, Y ) = E(XY ) − EX · EY
Cov(aX + b, cY + d) = ac Cov(X, Y )
Cov(X, Y ) = Cov(Y, X)
P
P
P
Var ( i Xi ) = i Var(Xi ) + i6=j Cov(Xi , Xj )
35) Beweise Sie den folgenden Satz (Satz 1.19). Seien X, Y diskrete ZV, deren zweite Momente
existieren. Dann gilt
2
2
2
a ) |E(XY )| ≤ E(|X| )E(|Y | )
2
2
b ) (E |XY |)2 ≤ E(|X| )E(|Y | )
c ) |Cov(X, Y )| ≤ σX σY .
36) Sei ρX,Y der Korrelationskoeffizient der ZV X, Y . Beweise (i) |ρX,Y | ≤ 1 und (ii) |ρX,Y | = 1
impliziert die Existenz von a, b ∈ R sodaß P (Y = aX + b) = 1 gilt.
37) In einem Casino werden am Roulettisch an einem Abend 400 Spiele gemacht. Ein Spieler
behauptet, daß an diesem Abend die Zahl 1 nicht öfter als dreimal fällt. Mit welcher W.
hat er recht? (Es gibt 37 Zahlen!) Errechnen Sie diese W. mit Hilfe der Binomial- und der
Poissonverteilung.
4
38) Berechne für eine (n, p)–binomialverteilte Zufallsvariable X die Wahrscheinlichkeit
P (µ − zσ ≤ X ≤ µ + zσ), µ = E(X), für z = 1, 2, 3 und
a) n = 10, p = 0.4
b) n = 20, p = 0.5
(exakt und NV-Approximation).
39) Eine Münze wird 5, 10 bzw. 20 mal geworfen. X sei die Anzahl, wie oft ,,Zahl“ kommt. Bestimme
das kleinste z ∈ R+ , sodaß
P (µ − zσ ≤ X ≤ µ + zσ) ≥
1
2
gilt (µ = E(X)).
40) Sei X eine diskrete ZV mit Wertebereich I ⊂ N und Verteilungsfunktion F (k) =
∞
P
P
P (X = i). Zeige EX =
1 − F (k) und finde eine ähnliche Formel für EX n .
i∈I,i≤k
k=0
41) Die Sterne im Weltall seien Poissonverteilt mit Parameter λ, dh. die W., daß k Sterne in A ⊂ R3
sind, ist e−λ λk /k!. Dabei ist λ proportional zum Volumen von A. Ein Punkt P ∈ R3 wird zufällig
ausgewählt. Sei X die Entfernung von P zum nächsten Stern. Berechne die Verteilung von X,
dh. berechne P (s ≤ X ≤ t).
42) Man berechne Mittelwert und Varianz der Gesamtaugenzahl, wenn man einmal mit k Würfeln
würfelt.
43) Ein Mathematiklehrer führt einen besonderen Beurteilungsmodus ein, der es ihm ermöglichen
soll, bei seinen 34 SchülerInnen solche, die viel gelernt haben, von solchen, die wenig gelernt
haben, zu unterscheiden. Die Klasse ist aber skeptisch und erhebt pro SchülerIn die Lernzeit
und den Erfolg in der neuen Beurteilung, wobei sich folgendes Bild ergibt: 20 SchülerInnen haben
viel gelernt und den Test bestanden, 26 haben insgesamt den Test bestanden, 4 haben den Test
nicht bestanden, obwohl sie viel gelernt haben.
a ) Berechen Sie die W. für das Nichtbestehen unter der Bedingung, daß man viel gelernt hat,
und dafür, daß man gelernt hat, obwohl man den Test nicht bestanden hat. Konstruieren Sie
daraus je ein Argument für bzw. gegen die Fairnis dieser Beurteilung.
b ) Beurteilen Sie die Güte der Beurteilung mittels einer Korrelation!
44) Diskutiere die Beilage über Aussterbezeiten bei Verzweigungsprozessen.
45) Wie groß ist die W., daß bei 180 Würfen mit einem Würfel die Anzahl der Sechser zwischen 25
und 36 liegt? (Verwenden Sie die Normalverteilungsapproximation).
46) Für die Wahrscheinlichkeiten bn,p (k) der Binomialverteilung beweise man
1
1
√ ≤ b2n,1/2 (n) ≤ √
2 n
2n + 1
5
(Induktion!) und
b2n,1/2 (n ± h)
2
= e−z
n→∞
b2n,1/2 (n)
lim
wenn limn→∞
√h
n
= z, 0 ≤ z < ∞ (lokaler Grenzwertsatz!).
47) Man beweise, daß für x > 0 die folgenden Ungleichungen gelten:
2
x
e−x /2 ≤
2
1+x
Z
∞
e−z
2
/2
dz ≤
x
1 −x2 /2
e
.
x
48) Berechne(!) und skizziere die Verteilungsfunktionen für folgende Wahrscheinlichkeitsverteilungen:
a ) Gleichverteilung am Intervall [0, 1];
b ) Exponentialverteilung of [0, ∞);
c ) P (a, b) = 12 (b − a)/(d − c) falls (a, b) ⊆ (c, d), P (c) = P (d) =
(a, b) ⊆ R \ [c, d].
1
4,
und P (a, b) = 0 falls
49) Aufgabe von S. Banach. Ein Mathematiker hat zwei Schachteln Streichhölzer bei sich. Jedesmal
wenn er sich ein Streichholz anzünden will, nimmt er auf gut Glück eine der Schachteln. Man
bestimme die W. dafür, daß, wenn der Mathematiker das erste Mal eine leere Schachtel herausnimmt,
in der anderen Schachtel noch r Streichhölzer sind (am Anfang waren in beiden Schachteln n
Streichhölzer).
λa a−1 −λt
50) Die Gammaverteilung mit den Parametern a > 0 und λ > 0 hat die Dichte γ(t) =
t
e ,
Γ(a)
R ∞ a−1 −t
t > 0, wobei Γ(a) = 0 t
e dt. Skizziere diese möglichst systematisch für verschiedene
Kombinationen von a und λ (sodaß man den Einfluß von a und λ erkennt). Wie sieht die
Verteilungsfunktion aus?
51) Die Betaverteilung mit den Parametern a, b > 0 ist durch die Dichte β(t) = B(a, b)−1 ta−1 (1 −
R∞
t)b−1 , t ∈ (0, 1), definiert. Dabei ist B(a, b) = 0 ta−1 (1 − t)b−1 dt. Skizziere diese möglichst
systematisch für verschiedene Kombinationen von a und b. Man skizziere auch die Verteilungsfunktion
für ein oder zwei Fälle.
52) X1 und X2 seien unabhängige, im Intervall (a, b) gleichverteilte ZV. Berechne die Dichte von
X1 + X2 (Simpson-Verteilung).
53) Seien X und Y unabhängige ZV mit Dichten p1 und p2 . Zeige, daß die Dichte von Z = X/Y
gegeben ist durch
Z
∞
Z
0
zp1 (zx)p2 (z) dz −
pZ (x) =
zp1 (zx)p2 (z) dz.
−∞
0
(Anleitung: Stelle das Gebiet x/y < z graphisch dar und leite daraus die Formel für die
Verteilungsfunktion von Z ab).
6
54) Sei p(x1 , x2 ) die Dichte des zufälligen Vektors (X1 , X2 ) (X1 , X2 nicht notwendig unabhängig!).
Zeige, daß die Dichtefunktion von X1 + X2 gegeben ist durch
Z
∞
p(z, x − z) dz.
q(x) =
−∞
55) Berechne die ersten vier zentralen Momente der Exponentialverteilung.
56) Berechne Erwartungswert und Varianz der Gammaverteilung.
57) Berechne Erwartungswert und Varianz der Betaverteilung.
58) Finde eine Formel für die geraden zentralen Momente der N (µ, σ 2 )–Verteilung.
59) Sei X eine N (0, 1)-verteilte ZV. Berechne die Dichte von X 2 .
Pn
60) Unter der χ2 -Verteilung mit n Freiheitsgraden versteht man die Verteilung von i=1 Xi2 , wobei
die Xi alle N (0, 1)-verteilt sind und unabhängig. Zeige, daß ihre Dichte gegeben ist durch
(
gn (y) =
n
y
n
2− 2 Γ( n2 )−1 y 2 −1 e− 2 ,
y > 0,
0,
y ≤ 0.
Den Beweis kann man mit vollständiger Induktion führen (unter Verwendung des obigen Beispiels
und der Faltungsformel für Dichten).
61) Sei (X1 , X2 ) normalverteilt mit Dichte
p(x, y) =
1
√
2πσ1 σ2
1
exp −
2
2(1 − r2 )
1−r
x2
2rxy
y2
−
+
σ12
σ1 σ2
σ22
.
Zeige, daß die Dichte von X1 + X2 gegeben ist durch
z2
q(z) = p
exp
−
2(σ12 + 2rσ1 σ2 + σ22 )
2π(σ12 + 2rσ1 σ2 + σ22 )
1
.
62) Sei (X1 , X2 ) wie oben. Berechne Erwartungswert und Varianz von (X1 , X2 ), sowie den Korrelationskoeffizienten
von X1 und X2 .
63) Die Verteilungsdichte des absoluten Betrages der Geschwindigkeit eines Gasmoluküls wird durch
das Maxwellsche Gesetz
2
2
4x2
x > 0,
p(x) = 3 √ e−x /α ,
α π
und p(x) = 0, für x < 0 gegeben. Gesucht ist die mittlere Geschwindigkeit eines Moleküls und
ihre Varianz, die mittlere kinetische Energie eines Moleküls (m sei seine Masse), und die Varianz
der kinetischen Energie.
7
64) Seien X1 und X2 normalverteilt mit Mittelwert 0 und Varianzen σ12 und σ22 (nicht notwendigerweise
unabhänigig). Berechne die Dichte des Quotienten X1 /X2 .
65) Beweise: Sind Y1 , . . . , Yn unabhängige N (µ, σ 2 )-verteilte ZV, so ist Ȳ :=
normalverteilt. Berechne Erwartungswert und Varianz.
1
n (Y1
+ · · · + Yn )
66) Hat ein Zufallsvektor Y = (Y1 , . . . , Yk ) eine nicht-ausgeartete k-dim. Normalverteilung, so sind
Y1 , . . . , Yk genau dann unabhängig, wenn sie paarweise unkorreliert sind.
67) (Xn ) sei eine Folge von unabhängigen ZV mit der Dichte f (x) = 1/(π(1 + x2 )), x ∈ R. Gibt es
eine reelle Konstante a derart, daß (X1 + . . . + Xn )/n stochastisch gegen a konvergiert?
8