Verteilungen, Kenngrößen - staff.uni
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Biostatistik, Sommer 2017 Wahrscheinlichkeitstheorie: Verteilungen, Kenngrößen Prof. Dr. Achim Klenke http://www.aklenke.de 8. Vorlesung: 09.06.2017 1/51 Inhalt 1 Verteilungen Normalverteilung Normalapproximation der Binomialverteilung Poissonapproximation Exponentialverteilung 2 Kenngrößen von Verteilungen Lagemaße Streumaße 2/51 Verteilungen Normalverteilung Verteilungen mit Dichte Wiederholung: Normalverteilung Die Verteilung mit Dichte 1 2 f (t) = √ e−t /2 , 2π t ∈ R, heißt Standardnormalverteilung N0,1 . Ist Z standardnormalverteilt, dann ist 1 P[Z ≤ x] = Φ(x) := √ 2π Z x e−t 2 /2 dt. −∞ 3/51 Verteilungen Normalverteilung 0.3 0.4 Dichte der Standardnormalverteilung 0.0 0.1 0.2 1 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 4/51 Verteilungen Normalverteilung Verteilungen mit Dichte Wiederholung: Normalverteilung Sei Z standardnormalverteilt. Satz P[Z ≤ x] = Φ(x) = 1 − Φ(−x). P[Z ≥ x] = 1 − Φ(x) = Φ(−x). P[x1 ≤ Z ≤ x2 ] = Φ(x2 ) − Φ(x1 ) für x1 < x2 . 5/51 Verteilungen Normalverteilung Verteilungen mit Dichte Wiederholung: Normalverteilung Ist Z standardnormalverteilt und µ ∈ R, σ > 0, so hat X := µ + σZ die Dichte 1 2 2 fX (x) = √ e−(x−µ) /2σ . 2πσ 2 Die Verteilung von X heißt Normalverteilung Nµ,σ2 . 6/51 Verteilungen Normalverteilung Verteilungen mit Dichte Wiederholung: Normalverteilung Sei X ∼ Nµ,σ2 . Dann ist X = µ + σZ mit Z standardnormalverteilt. Also ist X ≤x ⇐⇒ µ + σZ ≤ x ⇐⇒ Z ≤ x −µ . σ Satz Φ (x − µ)/σ = 1 − Φ − (x − µ)/σ . P[X ≥ x] = 1 − Φ (x − µ)/σ = Φ − (x − µ)/σ . P[x1 ≤ X ≤ x2 ] = Φ (x2 − µ)/σ − Φ (x1 − µ)/σ für x1 < x2 . P[X ≤ x] = 7/51 Verteilungen Normalapproximation der Binomialverteilung Normalapproximation der Binomialverteilung Ist X binomialverteilt bn,p mit np(1 − p) groß (mindestens 9), so ist X − np p np(1 − p) ungefähr N0,1 -verteilt. Anders gesagt: X ist ungefähr normalverteilt mit Parametern p µ = np und σ = np(1 − p). Ähnliche Aussage gilt viel universeller (sehen wir später). 8/51 Verteilungen Normalapproximation der Binomialverteilung 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 Binomialverteilung b10,0.4 und Normalapprox. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9/51 Verteilungen Normalapproximation der Binomialverteilung 0.00 0.05 0.10 0.15 Binomialverteilung b20,0.4 und Normalapprox. 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 10/51 Verteilungen Normalapproximation der Binomialverteilung 0.00 0.04 0.08 0.12 Binomialverteilung b50,0.4 und Normalapprox. 5 10 15 20 25 30 35 11/51 Verteilungen Normalapproximation der Binomialverteilung 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 Binomialverteilung b100,0.4 und Normalapprox. 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 12/51 Verteilungen Normalapproximation der Binomialverteilung 0.000 0.010 0.020 Binomialverteilung b1000,0.4 und Normalappr. 340 360 380 400 420 440 460 13/51 Verteilungen Normalapproximation der Binomialverteilung 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 Gartenkresse b100,0.2 und Normalapprox. 0 5 10 15 20 25 30 35 14/51 Verteilungen Normalapproximation der Binomialverteilung 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 Gartenkresse b100,0.5 und Normalapprox. 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 15/51 Verteilungen Normalapproximation der Binomialverteilung 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 Gartenkresse b100,0.8 und Normalapprox. 60 65 70 75 80 85 90 95 16/51 Verteilungen Normalapproximation der Binomialverteilung 0.00 0.10 0.20 0.30 Gartenkresse b100,0.98 und Normalapprox. 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 17/51 Verteilungen Normalapproximation der Binomialverteilung Normalapproximation Sei X binomialverteilt bn,p und k = 0, . . . , n. Satz (Normalapproximation mit Korrekturterm 0.5) Ist np(1 − p) > 9, so gelten P[X ≤ k] ≈ Φ k + 0.5 − np p np(1 − p) ! und P[X ≥ k] ≈ 1 − Φ k − 0.5 − np p np(1 − p) ! . 18/51 Verteilungen Normalapproximation der Binomialverteilung Normalapproximation Beispiel Angenommen, die Samen der Gartenkresse keimen mit Wahrscheinlichkeit p = 0.8. Sei X die Anzahl der gekeimten Samen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit w = P[X ≤ 74], dass höchstens 74 Samen gekeimt sind? w= 74 X b100,0.8 (k) = 0.0875. k=0 Mit R ist dies leicht zu berechnen: > pbinom( q=74, size=100, p=0.8 ) [1] 0.08747538 19/51 Verteilungen Normalapproximation der Binomialverteilung Normalapproximation Beispiel (Fortsetzung) Normalapproximation P[X ≤ 74] ≈ Φ k + 0.5 − np p np(1 − p) ! =Φ 74 + 0.5 − 80 √ 100 · 0.8 · 0.2 = Φ(−1.375) = 1 − Φ(1.375) Mit R ist auch dies leicht zu berechnen: > pnorm( q = -1.375, 0, 1) [1] 0.08456572 Oder ausführlicher > pnorm( q = (74 + 0.5 - 80) / sqrt(100 * 0.2 * 0.8)) [1] 0.08456572 20/51 Verteilungen Normalapproximation der Binomialverteilung Tabelle Normalverteilung Φ x 1.00 1.10 1.20 1.30 1.40 0 .8413 .8643 .8849 .9032 .9192 1 .8438 .8665 .8869 .9049 .9207 2 .8461 .8686 .8888 .9066 .9222 3 .8485 .8708 .8907 .9082 .9236 4 .8508 .8729 .8925 .9099 .9251 5 .8531 .8749 .8944 .9115 .9265 6 .8554 .8770 .8962 .9131 .9279 7 .8577 .8790 .8980 .9147 .9292 8 .8599 .8810 .8997 .9162 .9306 9 .8621 .8830 .9015 .9177 .9319 1.50 1.60 1.70 1.80 1.90 .9332 .9452 .9554 .9641 .9713 .9345 .9463 .9564 .9649 .9719 .9357 .9474 .9573 .9656 .9726 .9370 .9485 .9582 .9664 .9732 .9382 .9495 .9591 .9671 .9738 .9394 .9505 .9599 .9678 .9744 .9406 .9515 .9608 .9686 .9750 .9418 .9525 .9616 .9693 .9756 .9429 .9535 .9625 .9699 .9762 .9441 .9545 .9633 .9706 .9767 2.00 2.10 2.20 2.30 2.40 .9773 .9821 .9861 .9893 .9918 .9778 .9826 .9865 .9896 .9920 .9783 .9830 .9868 .9898 .9922 .9788 .9834 .9871 .9901 .9925 .9793 .9838 .9875 .9904 .9927 .9798 .9842 .9878 .9906 .9929 .9803 .9846 .9881 .9909 .9931 .9808 .9850 .9884 .9911 .9932 .9812 .9854 .9887 .9913 .9934 .9817 .9857 .9890 .9916 .9936 2.50 2.60 2.70 2.80 2.90 .9938 .9953 .9965 .9974 .9981 .9940 .9955 .9966 .9975 .9982 .9941 .9956 .9967 .9976 .9983 .9943 .9957 .9968 .9977 .9983 .9945 .9959 .9969 .9977 .9984 .9946 .9960 .9970 .9978 .9984 .9948 .9961 .9971 .9979 .9985 .9949 .9962 .9972 .9980 .9985 .9951 .9963 .9973 .9980 .9986 .9952 .9964 .9974 .9981 .9986 Also: Φ(1.38) = 0.9162. 21/51 Verteilungen Normalapproximation der Binomialverteilung Normalapproximation Beispiel (2). Normalapproximation mit n = 100, p = 0.8, k = 74 ! 74 + 0.5 − 80 k + 0.5 − np =Φ √ P[X ≤ 74] ≈ Φ p 100 · 0.8 · 0.2 np(1 − p) = Φ(−1.375) = 1 − Φ(1.375) ≈ 1 − 0.9162 = 0.0838. Vergleich mit exakter Rechnung w= 74 X b100,0.8 (k) = 0.0875. k=0 Approximation nicht präzis, aber o.k. 22/51 Verteilungen Poissonapproximation Poissonapproximation Beispiel Angenommen, die Samen der Gartenkresse keimen mit Wahrscheinlichkeit p = 0.98. Sei X die Anzahl der gekeimten Samen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit w = P[X ≤ 99], dass höchstens 99 Samen gekeimt sind? Normalapproximation 99 + 0.5 − 98 P[X ≤ 99] ≈ Φ √ = Φ(1.07) = 100 · 0.98 · 0.02 23/51 Verteilungen Poissonapproximation Normalverteilung Φ x 1.00 1.10 1.20 1.30 1.40 0 .8413 .8643 .8849 .9032 .9192 1 .8438 .8665 .8869 .9049 .9207 2 .8461 .8686 .8888 .9066 .9222 3 .8485 .8708 .8907 .9082 .9236 4 .8508 .8729 .8925 .9099 .9251 5 .8531 .8749 .8944 .9115 .9265 6 .8554 .8770 .8962 .9131 .9279 7 .8577 .8790 .8980 .9147 .9292 8 .8599 .8810 .8997 .9162 .9306 9 .8621 .8830 .9015 .9177 .9319 1.50 1.60 1.70 1.80 1.90 .9332 .9452 .9554 .9641 .9713 .9345 .9463 .9564 .9649 .9719 .9357 .9474 .9573 .9656 .9726 .9370 .9485 .9582 .9664 .9732 .9382 .9495 .9591 .9671 .9738 .9394 .9505 .9599 .9678 .9744 .9406 .9515 .9608 .9686 .9750 .9418 .9525 .9616 .9693 .9756 .9429 .9535 .9625 .9699 .9762 .9441 .9545 .9633 .9706 .9767 2.00 2.10 2.20 2.30 2.40 .9773 .9821 .9861 .9893 .9918 .9778 .9826 .9865 .9896 .9920 .9783 .9830 .9868 .9898 .9922 .9788 .9834 .9871 .9901 .9925 .9793 .9838 .9875 .9904 .9927 .9798 .9842 .9878 .9906 .9929 .9803 .9846 .9881 .9909 .9931 .9808 .9850 .9884 .9911 .9932 .9812 .9854 .9887 .9913 .9934 .9817 .9857 .9890 .9916 .9936 2.50 2.60 2.70 2.80 2.90 .9938 .9953 .9965 .9974 .9981 .9940 .9955 .9966 .9975 .9982 .9941 .9956 .9967 .9976 .9983 .9943 .9957 .9968 .9977 .9983 .9945 .9959 .9969 .9977 .9984 .9946 .9960 .9970 .9978 .9984 .9948 .9961 .9971 .9979 .9985 .9949 .9962 .9972 .9980 .9985 .9951 .9963 .9973 .9980 .9986 .9952 .9964 .9974 .9981 .9986 Also: Φ(1.07) = 0.8577. 24/51 Verteilungen Poissonapproximation Poissonapproximation Beispiel Angenommen, die Samen der Gartenkresse keimen mit Wahrscheinlichkeit p = 0.98. Sei X die Anzahl der gekeimten Samen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit w = P[X ≤ 99], dass höchstens 99 Samen gekeimt sind? Normalapproximation 99 + 0.5 − 98 P[X ≤ 99] ≈ Φ √ = Φ(1.07) = 0.8577. 100 · 0.98 · 0.02 Exakte Rechnung: P[X ≤ 99] = 0.8674. Fehler 0.01. Das ist für viele Zwecke zu groß. Normalapproximation nicht so gut, weil np(1 − p) = 1.96 < 9 ist. 25/51 Verteilungen Poissonapproximation Poissonapproximation Beispiel Normalapproximation 99 + 0.5 − 98 P[X ≤ 99] ≈ Φ √ = Φ(1.07) = 0.8577. 100 · 0.98 · 0.02 Exakte Rechnung: P[X ≤ 99] = 0.8674, Fehler 0.01. Poissonapproximation: 100 − X ist ungefähr Poi2 verteilt, also P[X ≤ 99] = P[100 − X ≥ 1] = 1 − P[100 − X = 0] = 1 − e−2 20 = 0.8647. 0! Fehler < 0.003. Schon besser. 26/51 Verteilungen Poissonapproximation Fehler durch Normalapproximation der Binomialverteilung np(1 − p) Max. Fehler max. Fehler für W’keiten > 0.95 oder < 0.05 5 0.03 0.019 9 0.022 0.013 15 0.017 0.010 50 0.01 0.005 200 0.005 0.0022 1000 0.0022 0.001 27/51 Verteilungen Poissonapproximation Fehler durch Poissonapproximation der Binomialverteilung λ = np = mittlere Anz. Erfolge. Theoretische Fehlergrenze: λ/n. Tatsächlicher maximaler Fehler für einige Werte: λ 1 5 1 5 10 20 5 10 10 n Max. Fehler Max. Fehler für W’keiten > 0.95 oder < 0.05 10 0.02 0.007 10 0.1 0.06 100 0.002 0.0007 100 0.008 0.004 100 0.015 0.009 100 0.03 0.02 1000 0.0007 0.0004 1000 0.002 0.0009 106 2 · 10−6 10−6 28/51 Verteilungen Exponentialverteilung Exponentialverteilung Die Exponentialverteilung mit Parameter θ ist die Verteilung auf [0, ∞) mit Dichte f (x) = θe−θx , x ≥ 0. Formale Bezeichnung: expθ . Bedeutung wie geometrische Verteilung: Wartezeit auf Ereignisse. Beispiel Radioaktive Zerfälle mit Rate 2.7 Becquerel. Also im Mittel 2.7 Zerfälle pro Sekunde. X Wartezeit auf nächsten Zerfall. Dann ist X exponentialverteilt mit θ = 2.7. Also Z ∞ P[X > x] = 2.7 e−2.7 t dt = e−2.7 x . x 29/51 Kenngrößen von Verteilungen Kenngrößen von Verteilungen Wie für Messdaten in der beschreibenden Statistik: Lagemaße geben an, wo die Verteilung konzentriert ist, Streumaße geben an, wie groß die Variabilität der Werte ist. 30/51 Kenngrößen von Verteilungen Lagemaße Median und Quantile Sei X Zufallsvariable mit reellen Werten. Definition (Median) Wir nennen jede Zahl m ∈ R mit P[X ≤ m] ≥ 1 2 und P[X ≥ m] ≥ 1 2 einen Median der Verteilung von X . 31/51 Kenngrößen von Verteilungen Lagemaße Median und Quantile Sei X Zufallsvariable mit reellen Werten. Definition (Quantile) Sei α ∈ (0, 1). Jede Zahl mα ∈ R mit der Eigenschaft P[X ≤ mα ] ≥ α und P[X ≥ mα ] ≥ 1 − α heißt ein α–Quantil der Verteilung von X . Speziell ist m1/2 ein Median. Ein (1 − α)–Quantil wird auch α–Fraktil genannt. 32/51 Kenngrößen von Verteilungen Lagemaße Median und Quantile Für viele Verteilungen gibt es Tabellen der Quantile. Z.B. für zα , das α-Quantil der Standardnormalverteilung. Beispiel Sei X normalverteilt mit Parametern µ = 2 und σ 2 = 1.8. Für welche Zahl x gilt P[X ≥ x] = 0.05? x ist ein 5%-Fraktil von N2,1.8 , bzw. ein 95%-Quantil. Tabelliert sind die Quantile von N0,1 (Standardnormalverteilung). √ (X − 2)/ 1.8 ist standardnormalverteilt, also ist √ (x − 2)/ 1.8 = z0.95 = 33/51 Kenngrößen von Verteilungen Lagemaße Quantile der Normalverteilung α zα α zα 0.8 0.84162 0.995 2.57583 0.9 1.28155 0.9975 2.80703 0.95 1.64485 0.998 2.87816 0.975 1.95996 0.999 3.09023 0.98 2.05375 0.9995 3.29053 0.99 2.32635 34/51 Kenngrößen von Verteilungen Lagemaße Median und Quantile Für viele Verteilungen gibt es Tabellen der Quantile. Z.B. für das zα , das α-Quantil der Standardnormalverteilung. Beispiel Sei X normalverteilt mit Parametern µ = 2 und σ 2 = 1.8. Für welche Zahl x gilt P[X ≥ x] = 0.05? x ist ein 5%-Fraktil von N2,1.8 , bzw. ein 95%-Quantil. Tabelliert sind die Quantile von N0,1 (Standardnormalverteilung). √ (X − 2)/ 1.8 ist standardnormalverteilt, also ist √ (x − 2)/ 1.8 = z0.95 = 1.64485. Auflösen nach x x =2+ √ 1.8 · 1.64485 = 4.2068. 35/51 Kenngrößen von Verteilungen Lagemaße Median und Quantile Für viele Verteilungen gibt es Tabellen der Quantile. Z.B. für das zα , das α-Quantil der Standardnormalverteilung. Beispiel (Variante mit R) Sei X normalverteilt mit Parametern µ = 2 und σ 2 = 1.8. Für welche Zahl x gilt P[X ≥ x] = 0.05? x ist ein 5%-Fraktil von N2,1.8 , bzw. ein 95%-Quantil. Berechung mit R liefert: > qnorm( p = 0.95, mean = 2, sd = sqrt(1.8) ) [1] 4.206803 36/51 Kenngrößen von Verteilungen Lagemaße Median und Quantile Änderung durch Verschieben und Strecken Seien X eine reelle Zufallsvariable, a ∈ R, b > 0 und Y := a + bX . Seien mαX und mαY die α-Quantile von X und Y . Satz Es gilt mαY = a + bmαX . 37/51 Kenngrößen von Verteilungen Lagemaße Erwartungswert Definition Sei X eine Zufallsvariable mit Wertebereich W ⊂ R. Ist W ⊂ R diskret, so definieren wir den Erwartungswert von X durch X E[X ] := w P[X = w]. w∈W Ist W ⊂ R ein Intervall (möglicherweise ganz R), und hat X die Dichte f , so setzen wir Z ∞ E[X ] := x f (x) dx. −∞ Erwartungswert entspricht dem arithmetischen Mittel von Daten. 38/51 Kenngrößen von Verteilungen Lagemaße Erwartungswert Beispiel Würfelwurf X . E[X ] = P[X = 1] · 1 + P[X = 2] · 2 + . . . + P[X = 6] · 6 1 1 1 = · 1 + · 2 + ... + · 6 6 6 6 1 = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) = 3.5. 6 X Wartezeit auf ersten Erfolg, Erfolg mit Wahrscheinlichkeit p. Also X geometrisch mit Parameter p. E[X ] = ∞ X k=0 P[X = k] · k = ∞ X k=0 p(1 − p)k k = 1−p . p 39/51 Kenngrößen von Verteilungen Lagemaße Erwartungswert Beispiel X binomialverteilt mit Parametern n, p: n X n k E[X ] = p (1 − p)n−k k = np. k k=0 X hypergeometrisch verteilt mit Parametern N, K , n: E[X ] = Kn . N 40/51 Kenngrößen von Verteilungen Lagemaße Erwartungswert Beispiel X exponentialverteilt mit Parameter θ: Z ∞ 1 E[X ] = θe−θx x dx = . θ 0 X normalverteilt mit Parametern µ, σ 2 : Z ∞ 1 2 2 E[X ] = √ x e−(x−µ) /(2σ ) dx = µ. 2 2πσ −∞ 41/51 Kenngrößen von Verteilungen Lagemaße Erwartungswert: Rechenregeln Satz Es seien X und Y reelle Zufallsvariablen mit Erwartungswert sowie a, b ∈ R. Dann gelten E[a + bX ] = a + b E[X ], E[X + Y ] = E[X ] + E[Y ], E[X · Y ] = E[X ] · E[Y ], falls X und Y unabhängig sind. Erste Regel gilt auch für Median, zweite und dritte Regel nicht. 42/51 Kenngrößen von Verteilungen Streumaße Robustes Streumaß Interquartilabstand: m0.75 − m0.25 . Entspricht dem Interquartilabstand IQR der beschreibenden Statistik. Wird selten verwendet. 43/51 Kenngrößen von Verteilungen Streumaße Varianz und Standardabweichung Definition Sei X eine reelle Zufallsvariable. Dann heißt Var[X ] := E X 2 − E[X ]2 = E (X − E[X ])2 die Varianz von X (falls alle Erwartungswerte endlich sind). Mit p σ := Var[X ] bezeichnen wir die Streuung oder Standardabweichung von X . Die Varianz misst die quadratischen Abweichungen vom Mittelwert. Die Standardabweichung entspricht der Standardabweichung der beschreibenden Statistik. 44/51 Kenngrößen von Verteilungen Streumaße Berechnung der Varianz Für diskretes X !2 ! Var[X ] = X w 2 P[X = w] − w∈W X w P[X = w] . w∈W Für X mit Dichte f Z Var[X ] = ∞ −∞ 2 x f (x) dx Z 2 ∞ − x f (x) dx . −∞ 45/51 Kenngrößen von Verteilungen Streumaße Berechnung der Varianz Beispiel 1 Sei X binomialverteilt mit Parametern n = 4 und p = 0.3. n X n k E[X ] = k p (1 − p)n−k k k=1 4 X 4 = k 0.3k 0.74−k k k=1 4 4 1 3 =1· · 0.3 0.7 + 2 · 0.32 0.72 1 2 4 4 3 1 +3· 0.3 0.7 + 4 · 0.34 0.70 3 4 = 1 · 4 · 0.3 · 0.343 + 2 · 6 · 0.09 · 0.49 + 3 · 4 · 0.027 · 0.7 + 4 · 1 · 0.0081 · 1 = 1.2. 46/51 Kenngrößen von Verteilungen Streumaße Berechnung der Varianz Beispiel 1 (Fortsetzung) 4 2 X 2 4 E X = k 0.3k 0.74−k k k=1 = 1 · 4 · 0.3 · 0.343 + 4 · 6 · 0.09 · 0.49 + 9 · 4 · 0.027 · 0.7 + 16 · 1 · 0.0081 · 1 = 2.28. Also ist Var[X ] = E[X 2 ] − E[X ]2 = 2.28 − (1.2)2 = 0.84 und √ σ= 0.84 = 0.917. 47/51 Kenngrößen von Verteilungen Streumaße Berechnung der Varianz Beispiel 2 Sei X exponentialverteilt mit Parameter 3. Partielle Integration: Z ∞ Z ∞ 1 E[X ] = x f (x) dx = x 3e−3x dx = 3 0 0 und E X 2 Z = ∞ x 2 3e−3x dx = 0 Also ist 2 Var[X ] = E[X ] − E[X ] = − 9 2 und σ= 2 p 1 Var[X ] = . 3 2 . 9 2 1 1 = 3 9 48/51 Kenngrößen von Verteilungen Streumaße Erwartungswerte und Varianzen, Tabelle Name Binomial geometrisch Symbol Erwartungswert bn,p γp Varianz np 1−p p np(1 − p) 1−p p2 Poisson Poiλ λ λ Normal Nµ,σ2 µ σ2 Exponential expθ 1/θ 1/θ2 49/51 Kenngrößen von Verteilungen Streumaße Erwartungswerte und Varianzen, Tabelle Name Binomial geometrisch Symbol Dichte f (x) oder Gewichte g(k ) k n bn,p p (1 − p)n−k k γp p (1 − p)k e−λ λk k! Erw.wert Varianz np 1−p p np(1 − p) 1−p p2 λ λ Poisson Poiλ Normal Nµ,σ2 2 2 √ 1 e −(x−µ) /(2σ ) 2πσ 2 µ σ2 Exponential expθ θ e−θx 1/θ 1/θ2 50/51 Kenngrößen von Verteilungen Streumaße Varianz: Rechenregeln Satz Seien X und Y unabhängige Zufallsvariablen und a, b ∈ R. Dann gilt 1 Var[a + bX ] = b2 Var[X ] 2 Var[X + Y ] = Var[X ] + Var[Y ]. Regel 1 gilt auch für robuste Streumaße (IQR), Regel 2 nicht. Regel 2 gilt im Allgemeinen nicht für abhängige Zufallsvariablen. 51/51
