Blatt5 (Abgabe:17.11.2014) - Humboldt

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Humboldt-Universität zu Berlin
Bereich Stochastik und Finanzmathematik
Blatt 5
WS 2014/15
10. November 2014
Prof. Dr. Peter Imkeller,
Victor Nzengang
Übungen zu Stochastik 2
Bitte geben Sie die Lösungen in einer Gruppe von 2
Aufgabe 1 ( 1+1+1 Punkte )
Sei (Fn )n∈N eine Filtration des messbaren Raumes (Ω, F).
1. Sei (τk )k∈N eine Folge von Stoppzeiten bzgl. (Fn ) . Zeigen Sie, dass auch
τ := sup τk
und σ := inf τk
k∈N
k∈N
(Fn )-Stoppzeiten sind.
2. Seien τ und σ Stoppzeiten. Zeigen Sie, dass auch τ + σ, τ ∧ σ, τ ∨ σ Stoppzeiten sind.
3. Sei (Xn )n∈N ein (Fn )-adaptierter Prozess, σ eine Stoppzeit und B ∈ B(R). Sei
τ = inf {n ∈ N : n ≥ σ, Xn ∈ B}
( wobei inf ∅ := +∞) .
Zeigen Sie, dass τ eine Stoppzeit ist.
Aufgabe 2 ( 1+ 1+1+1 Punkte)
Es seien (Ω, F) ein messbarer Raum, (Fn )n∈N eine Filtration in F und τ, σ Stoppzeiten.
Zeigen Sie:
(a) Fτ ist eine σ-Algebra wobei
Fτ := {A ∈ F |A ∩ {τ ≤ n} ∈ Fn für alle n ∈ N} .
(b) Ist τ < ∞, so ist für jeden adaptierten Prozess (Xn )n∈N die Zufallsvariable Xτ Fτ messbar.
(c) Fτ ∧σ = Fτ ∩ Fσ .
(d) {σ ≤ τ } ∈ Fσ ∩ Fτ .
2
Aufgabe 3 (2 Punkte)
Sei (Xn )n∈N eine Folge unabhängiger, identisch verteilter Zufallsvariablen aufP
(Ω, F, P) mit
2
2
E [X1 ] = 0 und EP
[X1 ] < +∞. Ferner sei (cn )n∈N eine Folge reeller Zahlen mit ∞
n=1 cn < ∞.
∞
Zeigen Sie, dass n=1 cn Xn , P-f.s. konvergiert.
Hinweis Verwenden Sie den Martingalkonvergenzsatz.
Aufgabe 4 ( 3 Punkte )
Sei (Ω, F, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Sei (Xn ) eine Folge unabhängiger identisch
verteilter Zufallsvariablen mit P (Xn = 1) = p, P (Xn = −1) = (1 − p), n ∈ N, p > 12 . Sei
S0 = 0, Sn = X1 + · · · + Xn , n ∈ N, Fn = σ (X1 , · · · , Xn ) , F0 = {∅, Ω}. Zeigen Sie:
Sn → ∞ P-f.s.
Hinweis. Zeigen Sie, dass
(a) (Yn )n∈N ein Fn -Martingal ist, wobei Yn = Sn − E [Sn ] , n ∈ N.
(b) P (lim supn→∞ Yn = ∞, lim inf n→∞ Yn = −∞) = 1.
Abgabe: Montag, 17.11.14, 15.15 Uhr in der Übung, Raum 1.013
Bitte geben Sie die Lösungen in einer Gruppe von 2
Die Aufgaben sind auf getrennten Blättern zu bearbeiten und mit Namen und Matrikelnummer zu versehen.