Humboldt-Universität zu Berlin Bereich Stochastik und Finanzmathematik Blatt 7 WS 2010/11 1. Dezember 2010 Prof. Dr. Dirk Becherer Dipl. Math. Alexander Fromm Übungen zur Stochastik 2 Aufgabe 1 (5 Punkte). Es seien (Ω, F, (Fn )n∈N0 , P) ein filtrierter Wahrscheinlichkeitsraum, σ ≤ τ beschränkte Stoppzeiten und (Mn )n∈N0 ein Martingal mit Mn ∈ L2 (P) für n ∈ N0 . Es ist zu zeigen: a) Mσ , Mτ ∈ L2 (P). b) E[(Mτ − Mσ )2 |Fσ ] = E[Mτ2 − Mσ2 |Fσ ]. c) Sei (An )n∈N0 der vorhersehbare Prozess aus der Doob-Meyer-Zerlegung von X = (Mn2 )n∈N0 entsprechend der P Aufgabe 2 in Serie 5. Zeigen Sie: An = nk=1 E[(Mk − Mk−1 )2 |Fk−1 ] für alle n ∈ N. Aufgabe 2 (5 Punkte). Es seien (Ω, F, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum und X eine Familie von Zufallsvariablen. Zeigen Sie, dass X genau dann gleichgradig integrierbar ist, wenn gilt: sup E[|X|] < ∞ und X∈X lim sup δ→0 X∈X ,A∈F P(A)≤δ E[1A |X|] = 0 Aufgabe 3 (2+2+2 Punkte). Es sei (Ω, F, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Beweisen Sie: a) Es seien X und Y zwei gleichgradig integrierbare Familien von Zufallsvariablen. Dann ist X +Y = {X + Y |X ∈ X , Y ∈ Y} ebenfalls gleichgradig integrierbar. b) Existiert für eine Familie X von Zufallsvariablen ein Y ∈ L1 mit |X| ≤ |Y | P-f.s. für alle X ∈ X , so ist X gleichgradig integrierbar. c) Es sei (Xn )n∈N0 ⊂ L1 eine in L1 gegen X ∈ L1 konvergierende Folge von Zufallsvariablen, d.h. limn→∞ E[|Xn − X|] = 0. Dann ist {Xn |n ∈ N0 } gleichgradig integrierbar. Aufgabe 4 (5 Punkte). a) Es seien (Ω, F, (Fn )n∈N0 , P) ein filtrierter Wahrscheinlichkeitsraum und (Mn )n∈N0 ein in L2 beschränktes Martingal, d.h. supn∈N0 E[|Mn |2 ] < ∞. Zeigen Sie: limn→∞ Mn = M ∈ L2 P-f.s. b) Es sei (Xn )n∈N0 eine Folge unabhängiger identisch verteilter P Zufallsvariablen mit E[X02 ] < ∞ ∞ 2 und E[X0 ] = 0 und sei (an )P n∈N0 eine Folge reeller Zahlen mit n=0 an < ∞. Zeigen Sie, dass die Reihe ∞ n=0 Xn an P-f.s. konvergent ist. Abgabe: Donnerstag, 09.12.2010 in der Übung