( ) ( ) bx ( ) ax

Vektoralgebra
Schreibweisen für 3-dimensionale Vektoren in kartesischen Koordinaten:
⎛ ax
! ⎜
a = ⎜ ay
⎜ a
⎝ z
⎞
⎟
!
!
!
⎟ = ax ex + ay ey + az ez
⎟
⎠
⎛ ax
! ⎜
Spaltenvektor: a = ⎜ ay
⎜ a
⎝ z
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
!
Zeilenvektor: a T =
(a
x
ay
az
)
Zeilenvektor = transponierter Spaltenvektor
Betrag (Länge):
!
a = ax2 + ay2 + az2
!
Einheitsvektor in Richtung a :
!
! !
ea = a / a
Multiplikation mit skalarer Größe λ :
Vektoraddition und – subtraktion:
⎛ λ ax ⎞
! !
λ a = a λ = ⎜ λ ay ⎟
⎜
⎟
⎜⎝ λ a ⎟⎠
z
! !
!
!
!
a ± b = ( ax ± bx ) ex + ay ± by ey + ( az ± bz ) ez
(
)
Rechenoperationen mit 2 Vektoren
Skalares Produkt („inneres Produkt“): ergibt einen skalaren Wert
⎛ ax ⎞ ⎛ bx ⎞
! ! ! ! ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
a ⋅ b = b ⋅ a = ay ⋅ by = ax bx + ay by + az bz ,
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜⎝ a ⎟⎠ ⎜⎝ b ⎟⎠
z
z
! !
a ⋅b
! ! ! !
a ⋅ b = a b cos α ⇒ cos α = ! !
a b
!
!
α … Winkel zwischen (sich schneidenden Vektoren) a und b
! !
! !
a ⋅b = 0 ⇔ a ⊥ b
Matrizenschreibweise:
! ! ! !
a ⋅ b ≡ aT b =
(a
x
ay
Mathematik Aufbaukurs
az
)
⎛ b ⎞
⎜ x ⎟ !T !
⎜ by ⎟ = b a =
⎜
⎟
⎝ bz ⎠
(b
x
by
bz
)
⎛ a
⎜ x
⎜ ay
⎜
⎝ az
⎞
⎟
⎟ = ax bx + ay by + az bz
⎟
⎠
Forschungsbereich für Baumechanik und Baudynamik (TU-Wien)
Vektorielles Produkt ("äußeres Produkt", Kreuzprodukt): ergibt einen Vektor
⎛a ⎞ ⎛b ⎞
! ! ⎜ x⎟ ⎜ x⎟
! !
a × b = −b × a = ay × by
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜⎝ a ⎟⎠ ⎜⎝ b ⎟⎠
z
z
⎛ ay
⎜ a
⎜ z
⎜ a
x
= ⎜−
⎜ az
⎜
⎜ ax
⎜⎝ ay
by ⎞
bz ⎟⎟
⎛ a b − by az ⎞
bx ⎟ ⎜ y z
⎟ = − ⎡⎣ ax bz − bx az ⎤⎦⎟
⎟
bz ⎟ ⎜
⎜⎝ ax by − bx ay ⎟⎠
⎟
bx ⎟
by ⎟⎠
! ! !
! !
a×b = 0 ⇔ a"b
! !
a×b
! !
! !
a × b = a b sin α ⇒ sin α = ! !
a b
Multiplikation mit skalarer Größe λ :
⎛ λ ax ⎞ ⎛ bx ⎞ ⎛ ax ⎞ ⎛ λ bx ⎞
! ! ⎜
λ a × b = λ ay ⎟ × ⎜ by ⎟ = ⎜ ay ⎟ × ⎜ λ by ⎟
⎜
⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜
⎟
⎜⎝ λ a ⎟⎠ ⎜⎝ b ⎟⎠ ⎜⎝ a ⎟⎠ ⎜⎝ λ b ⎟⎠
z
z
z
z
(
)
Dyadisches Produkt: ergibt eine Matrix
⎛ ax
!
⎜
!
a b T = ⎜ ay
⎜ a
⎝ z
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
(b
by
x
bz
)
⎡ ax bx
⎢
= ⎢ a y bx
⎢
⎢⎣ azbx
a x by
ayby
azby
ax bz ⎤
⎥
aybz ⎥
⎥
azbz ⎥
⎦
Rechenoperationen mit 3 Vektoren
! ! !
! ! ! !
a ⋅ b + c = a ⋅b + a ⋅c
... Skalar
! ! !
! ! !
a ⋅ b ⋅c ≠ a ⋅b ⋅c
... Vektor
! ! !
! ! ! !
a× b +c = a×b +a×c
... Vektor
(
)
(
) (
(
!
a×
!
a×
)
)
!
!
(b! × c! ) ≠ ( a! × b )!× c! ! ... Vektor !
! !
(b × c! ) = ( a! ⋅ c! ) b − ( a! ⋅ b ) c! ,
( a! × b ) × c! = ( a! ⋅ c! ) b − (b ⋅ c! ) a!
Spatprodukt !(gemischtes Produkt): stimmt bis auf Vorzeichen mit dem Volumen des von den drei
! !
Vektoren a, b, c aufgespannten Spats (Parallelepiped) überein.
! ! !
! ! !
⎡⎣ a, b, c ⎤⎦ = a ⋅ b × c = ax by cz − bz cy + ay ( bz cx − bx cz ) + az bx cy − by cx
(
)
(
)
(
)
... Vektor
! ! !
! ! !
! ! !
Es gilt: ⎡⎣ a, b, c ⎤⎦ = ⎡⎣b, c, a ⎤⎦ = ⎡⎣ c, a, b ⎤⎦
Mathematik Aufbaukurs
Forschungsbereich für Baumechanik und Baudynamik (TU-Wien)