1 Trigonometrische Formeln (siehe [1])
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Formelsammlung (30.09.2014)
Munich School of Engineering, Technische Universität München
1
C. Hackl
Trigonometrische Formeln (siehe [1])
Im Folgenden gelte x, y ∈ R (bei entsprechender Einschränkung des Bereiches falls notwendig).
sin(x ± y) = sin(x) cos(y) ± cos(x) sin(y)
cos(x ± y) = cos(x) cos(y) ∓ sin(x) sin(y)
sin(x ± y)
tan(x) ± tan(y)
=
tan(x ± y) =
1 ∓ tan(x) tan(y)
cos(x ± y)
1
cos(x − y) − cos(x + y)
sin(x) sin(y) =
2
1
cos(x) cos(y) =
cos(x − y) + cos(x + y)
2
1
sin(x − y) + sin(x + y)
sin(x) cos(y) =
2 x+y
x−y
sin(x) + sin(y) = 2 sin
sin
2
2
x+y
x−y
sin
sin(x) − sin(y) = 2 cos
2
2
x+y
x−y
cos(x) + cos(y) = 2 cos
cos
2
2
y−x
y+x
sin
cos(x) − cos(y) = 2 sin
2
2
π
− arctan(x)
,x > 0
1
2π
=
arctan
− − arctan(x) , x < 0.
x
2
arctan(−x) = − arctan(x)
y
y = bel.
arctan
x
y
arctan
+
π
y
≥0
x
y
arctan x − π
y<0
atan2(y, x) =
π
y>0
+2
π
−
y
<0
2
undefiniert
y=0
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
,
,
,
,
,
,
x>0
x<0
x<0
x=0
x=0
x=0
Folgende Funktionswerte arctan(x) ergeben sich für ausgewählte Argumente x:
x
arctan(x)
±∞
±
π
2
√
± 3
±
π
3
±1
±
π
4
1
±√
3
π
±
6
0
0
Table 1: Ausgewählte Argumente für und Funktionswerte von arctan : R → R.
— Seite 1/15 —
(13)
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x [◦ ]
0 [0◦ ]
sin(x)
0
cos(x)
1
tan(x)
0
π
[30◦ ]
6
1
√2
3
2
1
√
3
π
[45◦ ]
4√
2
√2
2
2
π
[60◦ ]
3√
3
2
1
2
√
3
1
C. Hackl
π
[90◦ ]
2
2π
[120◦ ]
3 √
3
2
1
−
2
√
− 3
1
0
±∞
3π
[135◦ ]
4 √
2
2
√
2
−
2
−1
π [180◦ ]
3π
[270◦ ]
2
0
−1
−1
0
0
±∞
Table 2: Ausgewählte Argumente für und Funktionswerte von cos, sin, tan : R → R.
2
Energieeinheiten und Umrechnungsfaktoren
Energieträger
1
1
1
1
[kg] Steinkohle
[kg] Rohöl
[m3 ] Erdgas
[kg] Holz
Energiegehalt
8.14
11.63
8.82
4.3
[kWh]
[kWh]
[kWh]
[kWh]
Anmerkung
–
Benzin: 8.7 [kWh/Liter]; Diesel: 9.8 [kWh/Liter]
–
(bei 15% Feuchte)
Table 3: Umrechnungsfaktoren verschiedener Energieträger (siehe [2, Tab. 1.2])
1 [kJ] = 1000 [Ws]
1 [kcal]
1 [kWh]
1 [kg] SKE
1 [kg] RÖE
1 [m3 Erdgas]
[kJ]
[kcal]
[kWh]
[kg] SKE
[kg] RÖE
[m3 Erdgas]
1
4.1868
3600
29308
41868
31736
0.2388
1
860
7000
10000
7580
2.78 · 10−4
1.163 · 10−3
1
8.14
11.63
8.816
3.4 · 10−5
1.43 · 10−4
0.123
1
1.428
1.083
2.4 · 10−5
1 · 10−4
0.086
0.7
1
0.758
3.2 · 10−5
1.3 · 10−4
0.113
0.923
1.319
1
Table 4: Umrechnungsfaktoren zwischen verschiedenen Energieeinheiten (siehe [3, Tab. 1.1]) mit den
Abkürzungen [kJ]: Kilojoule, [Ws]: Wattsekunde, [kcal]:
Kilokalorie, [kWh]: Kilowattstunde,
[SKE]: Steinkohleeinheit, [RE]: Rohöleinheit und m3 : Kubikmeter (Volumen).
Vorsatz Symbol
Wert
Milli
Mikro
Nano
Piko
Femto
Atto
10−3
10−6
10−9
10−12
10−15
10−18
m
µ
n
p
f
a
(Tausendstel)
(Millionstel)
(Milliardstel)
(Billionstel)
(Billiardstel)
(Trillionstel)
Vorsatz Symbol
Wert
Kilo
Mega
Giga
Tera
Peta
Exa
103
106
109
1012
1015
1018
k
M
G
T
P
E
Table 5: Vorsätze, Symbole und Faktoren
— Seite 2/15 —
(Tausend)
(Million)
(Milliarde)
(Billion)
(Billiarde)
(Trillion)
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3
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Wechsel- und Drehstromsysteme (siehe [4])
Im Folgenden sei t0 ≥ 0 [s] ein beliebiger Zeitpunkt und x : R≥0 → R ein periodisches Signal
mit Periodendauer T > 0 [s] (d.h. x(t) = x(t + T ) für alle t ≥ 0) und Amplitude x̂ > 0.
• Gleichwert oder arithmetischer Mittelwert (zeitlich gleitend X(t0 ) bzw. für T periodische Signale X):
1
X(t0 ) :=
T
∀t0 ≥ T :
Zt0
x(τ ) dτ
1
X :=
T
bzw.
ZT
x(τ ) dτ
(14)
0
t0 −T
• Gleichrichtwert (zeitlich gleitend X DC (t0 ) bzw. für T -periodische Signale X DC ):
∀t0 ≥ T :
1
X DC (t0 ) :=
T
Zt0
|x(τ )| dτ
bzw.
X DC
1
:=
T
ZT
|x(τ )| dτ
(15)
0
t0 −T
(für sinus- oder cosinusförmige Signale gilt X DC = π2 x̂ ≈ 0.637x̂)
• Effektivwert (engl. root-mean-square/RMS value) oder quadratischer Mittelwert
(zeitlich gleitend Xeff (t0 ) bzw. für T -periodische Signale Xeff ):
v
v
u
u Zt0
u ZT
u
u1
u1
∀t0 ≥ T :
Xeff (t0 ) := t
x(τ )2 dτ
bzw.
Xeff = t
x(τ )2 dτ (16)
T
T
0
t0 −T
3.1
Wechselstrom
Wechselstromsystem mit sinusförmiger Spannung u [V] und sinusförmigem Strom i [A]:
)
u(t) = û sin ωt + ϕu
und i(t) = ı̂ sin ωt + ϕi
wobei û > 0 [V] , ı̂ > 0 [A] , ϕu ∈ R [rad] , ϕi ∈ R [rad] und ω > 0 [rad/s] .
(17)
Für sinus- oder cosinusförmige Signale wie in (17) gilt:
• Periodizität mit Periode:
T :=
2π
[s]
ω
(18)
• Phasenverschiebung zwischen Spannung und Strom:
(19)
ϕ := ϕu − ϕi [rad]
• Effektivwert:
x̂
Xeff = √ ≈ 0.707x̂
2
• Momentanleistung:
∀t ≥ 0 :
mit
X, x ∈ {u, i}
p∼ (t) := u(t)i(t) [W]
— Seite 3/15 —
(20)
(21)
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• Mittlere Leistung über Periode T wie in (18):
1
P∼ :=
T
Z
T
0
(22)
p∼ (τ ) dτ [W]
• Wirkleistung für Phasenverschiebung ϕ wie in (19):
(23)
P∼ := S∼ cos(ϕ) = Ueff Ieff cos(ϕ) [W]
• Blindleistung für Phasenverschiebung ϕ wie in (19):
(24)
Q∼ := S∼ sin(ϕ) = Ueff Ieff sin(ϕ) [var]
• Scheinleistung:
3.2
S∼ := Ueff Ieff =
p
(25)
P∼2 + Q2∼ [VA]
Symmetrisches Drehstromsystem
Drehstromsystem mit sinusförmigen Strangspannungen uabc [V]3 und -strömen iabc [A]3 :
a
sin ωt + ϕu u (t)
uabc (t) := ub (t) = û sin ωt + ϕu − 32 π und
4
c
u (t)
sin ωt + ϕu − 3 π
a
sin ωt + ϕi i (t)
(26)
abc
2
b
i (t) := i (t) = ı̂ sin ωt + ϕi − 3 π
4
c
i (t)
sin ωt + ϕi − 3 π
wobei û > 0 [V] , ı̂ > 0 [A] , ϕu ∈ R [rad] , ϕi ∈ R [rad] und ω > 0 [rad/s] .
Für ein symmetrisches Drehstromsystem (26) gilt abhängig von der Verschaltung (siehe Abb. 1):
• Periodizität (jedes Stranges) mit Periode:
T :=
2π
[s]
ω
(27)
• Phasenverschiebung zwischen Spannung und Strom (gilt für jeden Strang):
(28)
ϕ := ϕu − ϕi [rad]
• Effektivwert in Stern- bzw. Dreieckschaltung:
r
x̂
3
X verk
(16)
str
verk
str
= √ und Xeff
Xeff
=
x̂ ⇔ Xeff
= √eff ,
2
2
3
X, x ∈ {u, i}
(29)
• Momentanleistung:
∀t ≥ 0 :
p3∼ (t) := uabc (t)⊤ iabc (t) = ua (t)ia (t) + ub (t)ib (t) + uc (t)ic (t) [W]
— Seite 4/15 —
(30)
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• Mittlere Leistung über Periode T wie in (27)
P3∼
1
:=
T
Z
T
(31)
p3∼ (τ ) dτ [W]
0
• Wirkleistung für Phasenverschiebung ϕ wie in (28):
str str
P3∼ := S3∼ cos(ϕ) = 3 Ueff
Ieff cos(ϕ) [W]
(32)
• Blindleistung für Phasenverschiebung ϕ wie in (28):
str str
Q3∼ := S3∼ sin(ϕ) = 3 Ueff
Ieff sin(ϕ) [var]
• Scheinleistung
S3∼
:=
(32),(33)
=
(29)
=
(29)
=
p
2
P3∼
+ Q23∼ [VA]
(33)
str str
3 Ueff
Ieff
√ verk str (29) √ str verk
3 Ueff Ieff = 3 Ueff Ieff
verk verk
Ueff Ieff
— Seite 5/15 —
(34)
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V
u
Z
u
ab
ibc
b
ib
Zb
ib
b
ua
ubc
U
ia
Za
W2
=
V2
=
U2
i
Z
ub
V1
=
W2
V
c
c
uc
iab
Zc
U1=V2
U
ia
ic
Za
uc
U2
=
W1
uca
ica
W
ua
W
(a) Sternschaltung (Symbol ) mit verketteten Spannungen uverk ∈ {uab , ubc , uca },
Strangspannungen ustr ∈ {ua , ub , uc } (über
Z a , Z b , Z c ) und Strangströmen istr ∈
{ia , ib , ic }.
(b) Dreieckschaltung
(Symbol
△)
mit
Strangspannungen ustr ∈ {ua , ub , uc } (über
Z a , Z b , Z c ), Strangströmen istr ∈ {ia , ib , ic }
und verketteten Strömen istr ∈ {iab , ibc , ica }.
U
U
V
V
W
U1
U1
V1
Za
ub
Zb
ia
U2
(c)
uc
Za
ub
Zb
ia
Zc
ic
ib
V2
V1
W1
W1
ua
ua
W
U2
uc
Zc
ic
ib
V2
W2
W2
Verdrahtung zu Sternschaltung (rechtslauf ) der Wicklungen
Z a , Z b , Z c mit Wicklungsanschlüssen
U1, U2, V1, V2 und W1, W2.
(d)
Verdrahtung zu Dreieckschaltung
(rechtslauf ) der Wicklungen Z a , Z b , Z c
mit Wicklungsanschlüssen U1, U2, V1, V2
und W1, W2.
Figure 1: Stern- und Dreieckschaltung mit Anschlussklemmen U, V, W und Wicklungen Z a , Z b , Z c
(Strangimpedanzen).
— Seite 6/15 —
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4
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Grundlagen linearer Regelungstechnik (siehe [1, 5, 6, 7])
• Lösungsformel für ax2 + bx + c = 0
r
ac
−b
x1,2 =
1± 1−4 2
2a
b
für a, b, c ∈ R
(35)
für a, b, c, x ∈ R
(36)
für σ, ω ∈ R
(37)
• Rechenregeln für Logarithmus zur Basis x
logx (a · bc ) = logx (a) + c logx (b)
• Komplexe Rechnung
s = σ + j · ω = |s| exp(j∠s) ∈ C
wobei s∗ := σ − j · ω, |s| =
∠s = arctan
√
s∗ s =
ℑ{s}
ℜ{s}
p
ℜ{s}2 + ℑ{s}2 und tan ∠s =
0
+ π
2π
• Laplace-Transformation x(s) =
Für a, b ∈ R und a 6= b gilt:
R∞
0
ℑ{s}
.
ℜ{s}
Dann
, ℑ{s} ≥ 0 ∧ ℜ{s} ≥ 0
, (ℑ{s} < 0 ∨ ℑ{s} > 0) ∧ ℜ{s} ≤ 0
, ℑ{s} ≤ 0 ∧ ℜ{s} ≥ 0.
x(t) exp(−st)dt (oder kurz x(t) ❞
ẋ(t)
❞
t sx(s) − x(0+)∗
2
ẍ(t)
❞
t s x(s) − sx(0+) − ẋ(0+)
1 ,t ≥ T
0 ,t < T
❞
t
tn , n ∈ N0
❞
t
1
(exp(−bt) − exp(−at))
a−b
❞
t
exp(−at) cos(bt)
❞
σ(t − T ) =
1
exp(−at) sin(bt)
b
1
(s + a)(s + b)2
❞
t
(
t x(s))
(39)
∗
e−sT
s
n!
sn+1
1
(s + a)(s + b)
s+a
t
(s + a)2 + b2
1
(s + a)2 + b2
1
❞
exp(−at)
−
exp(−bt)
+
(a
−
b)t
exp(−bt)
(a − b)2
t
• Faltungsregel für Impulsantworten f (t) ❞ t F (s) und g(t) ❞ t G(s)
Z t
f (t) ∗ g(t) :=
f (τ )g(t − τ )dτ ❞ t F (s)G(s)
0
— Seite 7/15 —
(38)
(40)
(41)
(42)
(43)
(44)
(45)
(46)
(47)
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• Additivität von Betrag (in [dB]) und Phase im Bode-Diagramm
F (jω) = F1 (jω) · . . . · Fn (jω)
= |F1 (jω)| exp(j∠F1 (jω)) · . . . · |Fn (jω)| exp(j∠Fn (jω))
(48)
|F (jω)|dB = 20 log(|F1 (jω)| · . . . · |Fn (jω)|)
= 20 log(|F1 (jω)|) + . . . + 20 log(|Fn (jω)|)
= |F1 (jω)|dB + . . . + |Fn (jω)|dB
(49)
(50)
∠F (jω) = ∠F1 (jω) + . . . + ∠Fn (jω)
• Standardreglerstrukturen
P-Regler:
u(t) = VR e(t)
PI-Regler:
Z
1
u(t) = VR e(t) +
e(t)dt
Tn
❞
❞
t F (s) = u(s) = V
P
R
(51)
e(s)
t F (s) = u(s) = V
PI
R
e(s)
1
1+
sTn
= VR
1 + sTn
sTn
(52)
PD-Regler:
u(t) = VR (e(t) + Tv ė(t))
PID-Regler:
Z
e(t)
u(t) = VR e(t) + Tv ė(t) +
dt
Tn
❞
t F (s) = u(s) = V (1 + sT )
PD
R
v
e(s)
u(s)
1
t F
= VR 1 + sTv +
P ID (s) =
e(s)
sTn
1 + sTn + s2 Tv Tn
= VR
sTn
❞
(53)
(54)
y(s)
Z(s)
• Anfangs- und Endwertsätze für F (s) = u(s)
=N
(s)
Wenn die Endwerte limt→0+ y(t), limt→∞ y(t) und limt→0 ẏ(t) existieren und endlich sind,
dann gilt
lim y(t) = lim (sF (s)u(s))
t→0+
s→∞
für deg(Z) < deg(N )
(55)
lim y(t) = lim(sF (s)u(s))
(56)
lim ẏ(t) = lim (s2 F (s)u(s))
(57)
t→∞
t→0
s→0
s→∞
wobei deg(Z) und deg(N ) die Ordnung des Zähler- bzw. Nennerpolynoms beschreiben.
• Stabilität von linearen Regelkreisen
Ein Regelkreis der Ordnung m, n ∈ N0 , VS ∈ R, c0 , . . . , cm−1 ∈ R und a0 , . . . , an−1 ∈ R
— Seite 8/15 —
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mit der Übertragungsfunktion
FS (s) =
y(s)
Z(s)
c0 + c1 s + · · · + cm−1 sm−1 + sm
:= VS
= VS
u(s)
N (s)
a0 + a1 s + · · · + an−1 sn−1 + sn
mit m ≤ n
(58)
zwischen Eingang u(s) und Ausgang y(s) ist (exponentiell) stabil (d.h. Systemantwort
klingt ab), wenn alle Pole λi von FS (s), d.h. alle Nullstellen des Nennerpolynoms N (λi ) =
0 negativen Realteil ℜ{λi } < 0 für alle i = 1, . . . , n besitzen.
• Routh-Hurwitz Stabilitätskriterium für lineare Regelkreise
Dazu untersucht man das charakteristische Polynom n-ter Ordnung des LTI Systems
N (s) = a0 + a1 s + a2 s2 + · · · + an sn ,
a0 , . . . , an ∈ R.
(59)
Das charakteristische Polynom entspricht dem Nennerpolynom der Übertragungsfunktion
FS (s) in (58). Es gilt: N (s) ist ein Hurwitz-Polynom (d.h. System ist exponentiell stabil),
(i) dann sind alle Koeffizienten ai > 0 in N (s) (notwendige Bedingung, d.h. nicht
unbedingt ausreichend!);
(ii) genau dann, wenn der Koeffizient an > 0 und alle nordwestlichen Hurwitz-Unterdeterminanten Di > 0 für i = 1, . . . , n − 1 (notwendige & hinreichende Bedingung)1
Die Unterdeterminanten Di entstehen aus den Determinanten der entsprechenden (i, i)Untermatrizen in der linken oberen (“nordwestlichen”) Ecke der Koeffizienten-Matrix
an−3
an−5
. . . an−2n+3 an−2n+1
an−1
an
an−2
an−4
. . . an−2n+4 an−2n+2
0
an−1
an−3
. . . an−2n+5 an−2n+3
0
a
a
.
.
.
a
a
n
n−2
n−2n+6
n−2n+4
Mn =
(60)
∈ Rn×n .
..
.
.
.
.
.
.
.
0
0
...
...
a1
0
0
0
...
...
a2
a0
an−1 an−3 , etc. Es gilt a−k = 0 für k > 0.
Zu untersuchen sind D1 = an−1 und D2 = an an−2 • Kausalität (Realisierbarkeit)
m−1 +sm
Z(s)
y(s)
1 s+···+cm−1 s
:= VS N
= VS ca00+c
wird
Ein lineares dynamisches System FS (s) = u(s)
(s)
+a1 s+···+an−1 sn−1 +sn
kausal genannt, wenn m ≤ n. Die Systemantwort y(t) eines kausalen Systems hängt
lediglich vom (vorangegangenen) Verlauf der Eingangsgröße u(τ ) mit 0 ≤ τ ≤ t ab.
• Zustandsdarstellung eines LTI1 Systems (Regelungsnormalform)
1
Falls alle Koeffizienten ai > 0 kann über das Liénard-Chipart-Kriterium die Anzahl der zu untersuchenden
Determinaten reduziert werden. Es müssen lediglich die Determinanten Di mit ungeradem Index i = 1, 3, 5, . . .
oder geradem Index i = 2, 4, 6, . . . auf Positivität geprüft werden. Dieser Sachverhalt basiert auf der linearen
Abhängigkeit der Determinaten für ai > 0 für alle i = 1, 2, 3, . . . .
1
linearen, zeit-invarianten (engl. linear, time-invariant)
— Seite 9/15 —
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Zustandsgleichung (Vektordifferentialgleichung) und Ausgangsgleichung eines dynamischen Systems n-ter Ordnung
ẋ(t) = Ax(t) + bu(t)
, x(0) = x0 ∈ Rn
(61)
y(t) = c⊤ x(t)
mit
– dem Zustandsvektor x(t) = x1 (t), . . . , xn (t)
⊤
∈ R (z.B. Motorstrom & -drehzahl)
– der Stellgröße u(t) ∈ R (z.B. Motorspannung oder -moment)
– der Systemmatrix in Regelungsnormalform (RNF)
0
1
0 ... ...
0
0
0
1 0 ...
0
..
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
A= .
∈ Rn×n
0
... ... 0 1
0
0
... ... ... 0
1
−a0 −a1 . . . . . . . . . −an−1
– dem Steuer-/Einkoppelvektor b = 0, . . . , 0, VS
⊤
(62)
∈ Rn
– dem Auskoppel-/Ausgangsvektor c⊤ = c0 , c1 , . . . , cn−1 ∈ Rn
• Übertragungsfunktion (aus Regelungsnormalform)
Darstellung im Laplace-Bereich mit s = σ + iω ∈ C ergibt
FS (s) =
y(s)
c0 + c1 s + · · · + cn−1 sn−1
= c⊤ (sI n − A)−1 b = VS
u(s)
a0 + a1 s + · · · + an−1 sn−1 + sn
(63)
• Stabilität eines LTI Systems in Zustandsdarstellung (61)
Ein System der Form (61) ist
– für jeden Anfangswert x0 ∈ Rn (exponentiell) stabil und
– für jeden Anfangswert x0 ∈ Rn und jeden beschränkten Eingang u(·) bounded-input,
bounded-output (BIBO) stabil,
wenn alle Eigenwerte λ1 , . . . , λn ∈ C der Matrix A negativen Realteil besitzen, d.h.
ℜ{λi } < 0 für alle i ∈ {1, . . . , n}. Die Eigenwerte können durch Nullsetzen der charakteristischen
Gleichung
χA (s) := det(sI n − A) = 0 bestimmt werden. Hierbei entspricht
1
In =
..
.
1
∈ Rn×n der Einheitsmatrix der Ordnung n. Die Eigenwerte λi sind
identisch mit den Polen der Übertragungsfunktion (63).
— Seite 10/15 —
Edgar-Lüscher Lectures 2014 – “Windenergie”
Formelsammlung (30.09.2014)
Munich School of Engineering, Technische Universität München
5
C. Hackl
Grundlagen zu Drehfeldmaschinen (siehe [5] und [6])
Wichtige Grundlage zum Verständnis von Drehfeldmaschinen ist die Zeigertheorie (engl. space
vector theory). Hierzu siehe Abbildung 2.
β
q′
u
v
w
ωs = φ̇s
iβs
is = iss
q
iqs
ωk = φ̇k
d
′
ids
iqs
b
br
φs
b
br
ar
φk
ar
a
ids
ωr = φ̇r
′
d
φr
α
iαs a
cr
′
c c
r
c
Figure 2: Zeigertheorie: Maschine mit Anschlussklemmen u, v, w, Stator-Wicklungen a, b, c und RotorWicklungen ar , br , cr (links) und unterschiedliche Koordinatensysteme (rechts):
• 3-phasiges Koordinatensystem (a, b, c),
• statorfestes s-Koordinatensystem (α, β),
• rotorfestes r-Koordinatensystem (d′ , q ′ ) und
• beliebiges k-Koordinatensystem (d, q)
und Statorstrom is mit Länge kis k = kiss k =
q
(iαs )2 + (iβs )2 = kisr k = isk mit entsprechen-
den Komponenten (z.B. iαs und iβs im Stator-Koordinatensystem).
• Clarke-Transformation von Stranggrößen xabc in Statorgrößen xs = TC xabc mit
1 − 12 − 12 a
a
α
x
x
√
√ x
2
3
3
b
β
3
3
x
(64)
TC : R → R ,
7→ x
:= 0
xb
−
2
2
3
c
0
c
x
x
x
1
1
1
| {z }
| {z }
2
2
2 }
=:xs
=:xabc
{z
|
0
[Analogie zu D. Schröder: a := e
j 0◦
=:TC ∈R3×3
◦
◦
= 1, a := ej 120 , a2 := ej 240 ]
— Seite 11/15 —
1
Edgar-Lüscher Lectures 2014 – “Windenergie”
Formelsammlung (30.09.2014)
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C. Hackl
wobei x ∈ {ψ r , ψ s , ur , is , . . . }. TC ist regulär mit inverser Matrix
TC−1
1
0
1
1 √3
,
−
=
1
2
2
√
− 21 − 23 1
d.h.
xabc = TC−1 xs .
(65)
Oft wird die Nullkomponente x0 vernachlässigt (z.B. gilt i0 = 0 = ia + ib + ic bei Sternschaltung), dann vereinfachen sich die Clarke-Transformationsmatrizen zu
1
0
"
#
1
1
1 √3
2 1 −2 −2
−1
2×3
∈ R3×2 .
−
√
√
=
∈
R
und
T
TC =
C
2
2
3
3
3 0
√
−
2
2
− 12 − 23
• Park-Transformation von Statorgrößen xs in beliebig umlaufendes Koordinatensystem (z.B. rotorfestes (d′ , q ′ )-KoSy oder rotorflussfestes (d, q)-KoSy)
Zur Vereinfachung wird die Nullkomponente (zero-sequence) x0 in Statorgrößen vernachlässigt
"
#
cos(φ) − sin(φ)
2×2
TP : R → R , φ 7→ TP (φ) :=
[Analogie zu D. Schröder: ej φ ]
sin(φ) cos(φ)
(66)
wobei TP (φ) regulär für alle φ ∈ R mit inverser Matrix
"
#
cos(φ)
sin(φ)
TP (φ)−1 =
= TP (φ)⊤ = TP (−φ).
[Analogie zu D. Schröder: e−j φ ]
− sin(φ) cos(φ)
(67)
Es gilt entsprechend
TP (−φ)−1 =
"
cos(φ) − sin(φ)
sin(φ)
cos(φ)
#
= TP (−φ)⊤ = TP (φ).
(68)
Mithilfe der trigonometrischen Sätze folgt
[Analogie zu D. Schröder: ej (φ1 +φ2 ) ]
(69)
∀ φ1 , φ2 ∈ R : TP (φ1 ) · TP (φ2 ) = TP (φ1 + φ2 ).
Für φ = π/2 gilt
J := TP
π 2
=
"
0 −1
1
0
#
,
π
[Analogie zu D. Schröder: ej 2 ]
was einer (positiven) Drehung um π/2 eines Vektors x ∈ R2 entspricht.
— Seite 12/15 —
(70)
Edgar-Lüscher Lectures 2014 – “Windenergie”
Formelsammlung (30.09.2014)
Munich School of Engineering, Technische Universität München
C. Hackl
Die Matrizen J und TP (φ) kommutieren, d.h.
"
#
− sin(φ) − cos(φ)
∀φ ∈ R :
J TP (φ) =
= TP (φ)J ,
cos(φ) − sin(φ)
π
(71)
π
[Analogie zu D. Schröder: ej( 2 +φ) = ej(φ+ 2 ) = jejφ ].
Für
d
dt
φ =: ω gilt
"
#
− sin(φ) − cos(φ)
d
TP (φ) = ω
= ω J TP (φ) = ω TP (φ)J
ṪP (φ) :=
dt
cos(φ) − sin(φ)
π
π
d jφ
e = jω ejφ = ωej( 2 +φ) = ωej(φ+ 2 ) ]
[Analogie zu D. Schröder:
dt
(72)
und
"
#
− sin(φ) cos(φ)
d
−1
ṪP (φ) :=
TP (φ) = ω
= −ω J TP (φ)−1 = −ω TP (φ)−1 J
dt
− cos(φ) − sin(φ)
(73)
d −jφ
e
= −jω e−jφ ]
[Analogie zu D. Schröder:
dt
−1
Mit der Konvention φk = φ lässt sich mithilfe der Park-Transformation TP (φk ) ausgehend von einem statorfesten Koordinatensystem (α, β) in ein (beliebiges) umlaufendes
k-Koordinatensystem (d, q) (Superskript xk = (xd , xq )⊤ ) übergegangen werden
xk = TP (−φk )xs = TP (φk )−1 xs
=⇒
xs = TP (φk )xk ,
(74)
z.B. zur Rotorfluss-Orientierung (d.h. ψrq = ψ̇rq = 0 und ψrd = kψrr k = ψrk , der
Rotorfluss im k-Koordinatensystem liegt ‘exakt’ auf der d-Achse).
— Seite 13/15 —
′
yref
′
yref,0
1✻
Optimierungstabelle
z
z0 1 ✻
Führungsgröße
Störgröße
yref
✲
FG
′
yref
Führungsglättung
✲❡ ✲
−
✻
FR
z
✲❄
❡− ✲ FSσ
Regler
✲ FS1
y
✲ FS2
Strecke
{
ymax
′
yref,0
′
yref,0
✻
y∞ 1
′
yref,0
y
r ✲
0 tan
Strecke
Nr. Typ
1 PT1
FS
VS
1 + sTσ
Bereich
beliebig
Typ
FR
I
VR
1
s
— Seite 14/15 —
T1
≫1
Tσ
P
T1
>1
Tσ
PI
VR
4
T1
≥4
Tσ
PI
VR
5
T1
≫1
Tσ
PD
VR (1 + sTv )
2
3 PT2
7
IT1
9
11
—
Tv
TG
tan
Tσ
taus
(±2%)
Tσ
ymax
′
yref,0
1
—
2Tσ VS
—
4,7
8,4
1,04
VR
1
VR VS
1 + VR VS
2
(4,7)
1
1 + VR VS
2
2
0,5 ... 1,2
T1 /Tσ
0
3
1,2 ... 1,6
T1 /Tσ
0
4
1
1 + VR VS
5
0
6
0
7
1
VR VS
8
0
9
1
VR VS
10
0
11
8,4
1,04
1
1 + sTn
sTn
SO 4Tσ
—
T1
—
2Tσ VS
0..4Tσ
3,1 ... 4,7
8,4 ... 16,5
1,04 ... 1,43
1
—
4,7 ... 7,6
8,4 ... 13,3
1
2 ... 4
BO
T1
T2
2Tσ VS
(4,7)
(8,4)
1,04 ... 1,08
!
y∞
1,04 ′
yref,0
VR VS
1 + VR VS
2
4+
2
s
—
—
3,1 ... 4,7
8,4 ... 16,5
1,04 ... 1,43
1
—
4,7 ... 7,6
8,4 ... 13,3
1,04 ... 1,08
1
2 ... 4
—
4,7
8,4
1,04
1
2
(4,7)
—
T1
T2
2Tσ VS
SO 4Tσ
T1
T2
2Tσ VS
—
3,1
16,5
1,43
1
—
4Tσ
7,6
13,3
1,08
1
4
—
4,7
8,4
1,04
1
2
—
3,1
16,5
1,43
1
—
4Tσ
7,6
13,3
1,08
1
4
Figure 3: Optimierungstabelle für exakt bekannte Strecken mit Ordnung n ≤ 3 und rein reellen Polen
(T1 , T2 . . . große Zeitkonstanten, Tσ . . . kleine (Ersatz-)Zeitkonstante).
4,4
10
T2
Tσ
r
T2
≈ 10 4
Tσ
4+
≈
p
1
1 + VR VS
1
1 + VR VS
0,5 ... 0,75
p
T2 /Tσ
T1 /Tσ
1,4 ... 1,8
p
T2 /Tσ
T1 /Tσ
≈
1
VR VS
1,6
T1 /Tσ
≈
1
VR VS
1,8
p
T2 /Tσ
T1 /Tσ
C. Hackl
BO
(1 + sTn )(1 + sTv )
sTn
T2
Tσ
T1 T2
Tσ2
r
T2
≈ 10 4
Tσ
T1
—
2Tσ VS
VR (1 + sTv )
≈ 10
1
—
≈
T1
Tσ
1,04
SO 4Tσ
1 + sTn
sTn
T1
T2
2Tσ VS
r
5,5
8,4
T1
—
2Tσ VS
VR
T1
1,04
4,7
—
PID VR
0
4,7
BO
beliebig
0,64
—
—
T1
T2
2Tσ VS
0..4Tσ
T2 > Tσ
6,3
T1
—
2Tσ VS
SO 4Tσ
T1
≫ 1 PD
VS Tσ
2
T1
(1 + sTn )(1 + sTv )
sTn
VS
sT1 (1 + sT2 )(1 + sTσ )
1
BO
PID VR
VR
1 y∞
V S z0
1 + sTn
sTn
T1
≥4
Tσ
PI
1 ymax
V S z0
(8,4)
T2 > Tσ
beliebig
tan
Tσ
(4,7)
BO
P
Ters
Tσ
—
(1 + sTn )(1 + sTv )
sTn
T1
≫1
VS Tσ
y∞
′
yref,0
!
Nr.
y∞
′
yref,0
T1
—
2Tσ VS
PID VR
VS
sT1 (1 + sTσ )
t
Störgröße z
—
T1
>1
Tσ
10
IT2
Krit. Tn
VS
(1 + sT1 )(1 + sT2 )(1 + sTσ )
8
tan
Verhalten bei Sprung der
BO
VR
✲
0
t
′
Führungsgröße yref (bzw. yref
)
Einstellung
Opt.
BO
❩❩
Wendetangente
❩
❩
Formelsammlung (30.09.2014)
6 PT3
VS
(1 + sT1 )(1 + sTσ )
✲
Regler
Günstiger
y
ymax
VS z0 ✻
y∞ V S z 0
VS z0
±2%
taus
t
Edgar-Lüscher Lectures 2014 – “Windenergie”
FS
}|
z
✲
0
t
Munich School of Engineering, Technische Universität München
✲
0
Edgar-Lüscher Lectures 2014 – “Windenergie”
Formelsammlung (30.09.2014)
Munich School of Engineering, Technische Universität München
C. Hackl
References
[1] L. Råde, B. Westergren, and P. Vachenauer, Springers mathematische Formeln: Taschenbuch für Ingenieure, Naturwissenschaftler, Informatiker, Wirtschaftswissenschaftler.
Springer-Verlag, 3. ed., 2000.
[2] K. Mertens, Photovoltaik. Hanser Verlag, 2013.
[3] V. Quaschning, Regenerative Energiesysteme. Hanser Verlag, 2011.
[4] R. Kories and H. Schmidt-Walter, Taschenbuch der Elektrotechnik. Verlag Harri Deutsch,
1998.
[5] D. Schröder, Elektrische Antriebe — Grundlagen (3.,erw. Auflage). Springer-Verlag, 2007.
[6] D. Schröder, Elektrische Antriebe - Regelung von Antriebssystemen (3., bearb. Auflage).
Berlin: Springer-Verlag, 2009.
[7] D. Hinrichsen and A. Pritchard, Mathematical Systems Theory I — Modelling, State Space
Analysis, Stability and Robustness. No. 48 in Texts in Applied Mathematics, Berlin:
Springer-Verlag, 2005.
— Seite 15/15 —
