Kontrolltheorie (WS 2012/2013) Serie 5

Kontrolltheorie (WS 2012/2013) Serie 5
1. Ein Räuber-Beute-Modell mit einer als kontinuierlich angenommenen Hasenpopulation x1 (t) und einer ebenfalls kontinuierlichen Fuchspopulation x2 (t) wird durch
das Differentialgleichungssystem
ẋ1 = a1 x1 − a2 x2
ẋ2 = a3 x1 − a4 x2
mit positiven Konstanten ai beschrieben. Kann man auf die Größen beider Populationen schließen, wenn man nur die Gesamtzahl von Tieren kennt?
2. Seien A ∈ Rn×n , B ∈ Rn×m , C ∈ Rk×n , D ∈ Rk×m konstante Matrizen, so daß das
lineare Kontrollsystem
ẋ = Ax + Bu
y = Cx + Du
(1)
(2)
sowohl steuerbar als auch rekonstruierbar ist. Man zeige für die Steuerbarkeitsmatrix
S = [B|AB| . . . |An−1 B]
und die Rekonstruierbarkeitsmatrix


C
 CA 

R=
 ... 
CAn−1
daß rang(RS) = n.
3. Man betrachte noch einmal das Kontrollsystem des Flugzeugs von Serie 4, wobei die
Geschwindigkeit v als konstant vorausgesetzt werde. Man zeige, daß dieses System
beobachtbar ist, wenn die Höhe h als Ausgang gewählt wird. Wie steht es um die
Beobachtbarkeit, wenn eine andere Zustandsgröße als Ausgang genommen wird?
4. Wir betrachten einen (punktförmigen) Satellit der Masse m in einer Erdumlaufbahn. Position und Geschwindigkeiten seien in Kugelkoordinaten r, ϕ, ϑ gegeben,
wobei r den Abstand vom Erdmittelpunkt, ϑ die geographische Länge und ϕ die
geographische Breite bezeichnet.
Unter Verwendung der Lagrangefunktion L = T − V mit der potentiellen Energie
V = −km/r und der kinetischen Energie T = m2 [ṙ2 +(rϕ̇)2 +(rϑ̇ cos ϕ)2 ] erhält man
die (nichtlinearen) Bewegungsgleichungen aus den Euler-Lagrange-Gleichungen
d ∂L
∂L
−
= 0.
dt ∂ q˙j
∂qj
1
Dies ergibt ausgerechnet ein System von Differentialgleichungen 2. Ordnung, das
man mit dem Zustandsvektor
x = [x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 ]> = [r, ṙ, ϑ, ϑ̇, ϕ, ϕ̇]>
in ein System erster Ordnung überführen kann. Die Steuerung des Satelliten erfolge
durch die von kleinen Raketentriebwerken in Richtung der (Kugel-)KoordinatenAchsen erzeugte Kraftwirkung
u = [ur , uϑ , uϕ ]> .
Damit erhält man insgesamt (in naheliegender Schreibweise) die Zustandsgleichungen




ẋ = f (x, u) = 



ṙ
rϑ̇2 cos2 ϕ + rϕ̇2 − k/r2 + ur /m
ϑ̇
−2ṙϑ̇/r + 2 ϑ̇ϕ̇ sin ϕ/ cos ϕ + uϑ /mr cos ϕ
ϕ̇
−ϑ̇2 cos ϕ sin ϕ − 2ṙϕ̇/r + uϕ /mr




.



Der Satellit kann sich ohne Steuerung u(t) ≡ 0 in einer kreisförmigen äquatorialen
Bahn bewegen. Das entspricht der Lösung
x0 (t) = [r0 , 0, ω0 t, ω0 , 0, 0]> ,
wobei der Zusammenhang zwischen Bahnradius r0 und Winkelgeschwindigkeit ω0
des Satelliten durch r03 ω02 = k gegeben ist (3. Keplersches Gesetz).
Durch äußere Einflüsse wird die Bahn des Satelliten nach gewisser Zeit gestört. Ziel
ist die Kompensation dieser Störungen durch geeignete Manöver mit den Triebwerken.
(a) Man linearisiere das System “längs der ungestörten Bahn”.
Das linearisierte System zerfällt in zwei entkoppelte Teilsysteme, das erste enthält
nur die Koordinaten [r, ṙ, ϑ, ϑ̇]> in der äquatorialen Ebene, das zweite die sogenannten azimutalen Koordinaten [ϕ, ϕ̇]. Alle weiteren Fragen beziehen sich auf das
äquatoriale Teilsystem.
Man untersuche die Steuerbarkeit dieses Systems längs der Kreisbahn wenn
(b) beide Triebwerke arbeiten,
(c) nur das radiale Triebwerk arbeitet,
(d) nur das tangentialen Triebwerk arbeitet,
2
durch Linearisierung. Was bedeutet das für das nichtlineare System?
Man untersuche, ob das linearisierte System rekonstruierbar ist, wenn als Ausgang
(e) die Koordinaten r, ϑ
(f) nur die radiale Koordinate r,
(f) nur die Winkelkoordinate ϑ
gewählt werden.
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