Dilation von endlichen Punktmengen

Dilation von endlichen Punktmengen
Seminararbeit von Daniel Lorenz
1. Einführung:
Die Dilation ist das Verhältnis zwischen dem kürzesten Weg im Graphen und dem
euklidischen Abstand zweier Punkte.
Definitionen:
1. Sei G ein beliebiger, planarer Graph, p,q ∈G und ξG(p,q) ein kürzester Weg in G von
ξG ( p , q )
p nach q. Dann ist die Dilation δG ( p, q) :=
.
| pq |
ξG ( p , q )
.
2. Die Dilation des Graphen G ist δG := sup δG ( p, q) = sup
p , q∈G
p , q∈G | pq |
3. Sei S eine beliebige, endliche Punktmenge, dann ist die Dilation der Punktmenge S
∆S := min δG .
G⊇S
Grundsätzlich lassen sich zwei Ansätze zur Betrachtung der Dilation unterscheiden:
1. Die graphentheoretische Dilation. Hierbei werden nur Wege zwischen Knoten des
Graphen betrachtet. Die graphentheoretischen Dilation wäre zum Beispiel ein
passendes Modell um Umwege bei Bahnfahrten zu berechnen. Bei Bahnfahrten kann
man nur bei festgelegten Knotenpunkten ein- und aussteigen und so seine Reise
beginnen oder beenden.
2. Die geometrische Dilation, die in dieser Arbeit ausschließlich behandelt wird. Bei der
geometrischen Dilation werden auch Wege zwischen beliebigen Punkten auf dem
Graphen betrachtet, also auch von inneren Punkten der Kanten. Eine Anwendung
hiervon ist beispielsweise der Straßenverkehr, bei dem man seinen Weg von
beliebigen Punkten entlang der Straße beginnen und beenden kann.
Wir versuchen im folgenden eine gegebene Punktmenge so in planare Graphen einzubetten,
dass die Dilation möglichst gering ist.
In dieser Arbeit wird auf zwei Fragen eingegangen:
1. Existiert eine obere Schranke für den Wert der Dilation, d.h. kann für jede beliebige
Punktmenge ein Graph gefunden werden, die diese Punktmenge einbettet, so das die
Dilation des Graphen einen konstanten Wert nicht überschreitet.
2. Existiert eine untere Schranke c für den Wert der Dilation, d.h. existieren
Punktmengen, so dass jeder Graph der diese Punktmenge einbettet, mindestens die
Dilation c hat.
In dieser Arbeit werden wir für die untere Schranke einen Wert von π/2 und für den Wert der
oberen Schranke einen Wert von 1,67784... beweisen.
2. Die untere Schranke
Zuerst werden wir jetzt eine untere Schranke beweisen. Das heißt wir werden eine
Punktmenge Pn definieren und zeigen, dass es keinen Graphen gibt, der alle Punkte aus Pn
enthält und eine Dilation kleiner als π/2 besitzt. Dazu werden wir folgendes Theorem
beweisen:
Theorem 1: Sei Pn die Knotenmenge eines regelmäßigen Polygons mit n Ecken
auf dem Einheitskreis, dann ist die geometrische Dilation von Pn,
δ(Pn) = π/2 für alle n ≥ 5.
Um dieses Theorem zu beweisen werden wir uns zuerst mit der Dilation von Zykeln
beschäftigen und zeigen, dass die Dilation jeder geschlossenen Kurve mindestens π/2 beträgt.
Danach werden wir dieses Ergebnis erweitern und zeigen, dass die Dilation jedes Graphen der
Zykel besitzt mindestens π/2 ist. Abschließend werden wir dann noch zykelfreie Graphen,
also Bäume, betrachten und zeigen, dass auch kein Baum eine kleinere Dilation als π/2 haben
kann, wenn er alle Punkte von Pn enthält und n ≥ 5 ist.
Wir beginnen jetzt mit der Betrachtung von geschlossenen Kurven. Dazu gibt es folgendes
Lemma.
Lemma 2: Die Dilation jeder geschlossenen Kurve beträgt mindestens π/2.
Beweis: Zuerst beschränken wir uns auf konvexe geschlossene Kurven. Sei C eine
geschlossene konvexe Kurve. Dann können wir zu jedem Winkel α eine Gerade g(α) finden,
die mit der X-Achse des Koordinatensystems den Winkel α
einschließt und C in zwei gleichlange Stücke zerschneidet.
Die beiden Schnittpunkte von g(α) mit C, pα und qα heißen
Teilungspaar. Weiter sei h(α) der Abstand der beiden Punkte des
Teilungspaars zu jedem Winkel α, also
h(α) := |pαqα|.
Aus der Definition der Dilation folgt:
δ≥
|C |
2h(α )
⇔ h (α ) ≥
|C |
2δ
Abbildung 1
Weiter sei b(α) der Abstand der beiden Tangenten, die senkrecht zu g(α) stehen, also die
„Breite“ der Kurve im Winkel α. Trivial ist
b(α) ≥ h(α).
Da pα und qα auf C liegen, muss der Abstand kleiner sein als der Abstand der am weitesten
von einander entfernten Punkte.
Wenn man jetzt Cauchy’s Oberflächenformel anwendet erhält man:
π
π
0
0
π
|C |
π |C |
dα =
2δ
2δ
0
| C |= ∫ b(α )dα ≥ ∫ h(α )dα ≥ ∫
Wenn man diese Ungleichung nach δ auflöst, erhält man δ ≥ π/2.
Den Beweis für konvexe, geschlossene Kurven werden wir jetzt erweitern auf nicht konvexe,
geschlossene Kurven. Bei nicht konvexen Kurven müssen wir uns zuerst davon überzeugen,
dass auch hier für jeden Winkel α ein Teilungspaar pα, qα existiert.
Sei jetzt C eine geschlossene, nicht konvexe Kurve. Sicher
existiert ein Teilungspaar pβ, qβ, das die Kurve C in zwei gleich
lange Stücke teilt. Die Gerade g durch pβ und qβ schließt mit
der X-Koordinatenachse den Winkel β ein. Wenn wir jetzt pβ
und qβ mit gleicher Geschwindigkeit gegen den Uhrzeigersinn
auf der Kurve verschieben, teilen sie die Kurve C zu jedem
Zeitpunkt in zwei gleich lange Teile (siehe Abb. 2).
Irgendwann erreicht dann pβ die Position von qβ und
umgekehrt. Die Orientierung der Graden durch pβ und qβ hat
sich umgekehrt, das heißt während des halben Umlaufs der
beiden Punkte um die Kurve muss die Teilungsgerade jeden
Winkel zwischen 0 und π angenommen haben.
Abbildung 2
Wir können also auch für nicht konvexe, geschlossene Kurven für jeden Winkel α ein
Teilungspaar finden. Wir definieren
h(α) := min|pαqα|.
Sei ch(C) die konvexe Hülle von C und bch(C) der Abstand der Tangenten die senkrecht zu
g(α) von beiden Seiten an ch(C) gelegt werden, dann ist
|C| ≥ |ch(C)| und bch(C) ≥ h(α)
Damit überträgt sich der Beweis aus dem konvexen Fall:
π
π
0
0
π
|C |
π |C |
dα =
2δ
2δ
0
| C |≥| ch(C ) |= ∫ bch ( C )(α )dα ≥ ∫ h(α )dα ≥ ∫
Wenn man diese Ungleichung nach δ auflöst, erhält man δ ≥ π/2.
Als nächstes werden wir Graphen untersuchen, die Zykel enthalten, und dazu folgendes
Lemma beweisen:
Lemma 3: Sei G ein endlicher, geometrischer Graph in der Ebene, der einen Zykel enthält.
Dann existiert ein Zykel C in G, so dass für jedes
p,q∈C ein kürzester Pfad
ξG(p,q) existiert, der eine Teilmenge von C ist.
Beweis: Sei C der kürzeste Zykel in G. Wenn jetzt zwei Punkte a,
b∈C existieren, so dass ξG(a,b) ⊆ C dann kann ich einen kürzeren
Zykel C’ aus ξG(a,b) und dem kürzeren der beiden Stücke aus C
zwischen a und b konstruieren. Das ist ein Widerspruch zu der
Annahme das C der kürzeste Zykel aus G ist.
Abbildung 3
Aus Lemma 2 und Lemma 3 folgt:
Theorem 4: Die Dilation jedes Graphen, der einen Zykel enthält, beträgt mindestens π/2.
Mit Graphen, die Zykel enthalten, können wir also keine Dilation erreichen die besser ist als
π/2. Aber wie sieht es mit zykelfreien Graphen, den Bäumen, aus?
Lemma 5: Sei T ein Baum, der die Punktmenge Pn enthält, so gilt: δ(T) ≥ π/2 für n ≥ 5.
Beweis: Nehmen wir einmal an, es existiert ein Baum T
der Pn enthält mit δ(T) < π/2 für n≥5.
Da Pn die Kotenmenge eines regelmäßigen Polygons mit
n Ecken ist, teilen die Punkte den Einheitskreis in n
gleich große Segmente auf. Daraus folgt
|pq| = 2 sin(π/n) ≤ 2 sin(π/5)
Das heißt die maximale Länge eines kürzesten Pfades
von p nach q ist
Abbildung 4
ξG(p,q) ≤ |pq| * δ(T) < |pq| * π/2 ≤ π sin(π/5)
Somit liegen alle möglichen Kürzesten Pfade zwischen p und q innerhalb der Ellipse E
E := {z | |pz| + |zq| ≤ |pq| * π/2} mit den Brennpunkten p und q.
Der Mittelpunkt M des Einheitskreises auf dem Pn liegt, liegt aber nicht innerhalb der Ellipse
E, weil jeder Pfad von p nach q durch M mindestens die Länge
|pM| + |Mq| = 2 > π sin(π/5) ≈ 1,846... hat.
Wenn man nun die Punkte auf dem Einheitskreis gegen den
Uhrzeigersinn mit p1, p2, ..., pn bezeichnet, dann liegt der Pfad
zwischen pi und pi+1 jeweils in einer Ellipse. Keine dieser
Ellipsen enthält den Mittelpunkt (siehe Abb. 5).
Da auch pn und p1 benachbart sind, muss auch der kürzeste Pfad
von pn nach p1 in einer solchen Ellipse liegen. Das bedeutet aber
das T einen Zykel enthält und der Mittelpunkt M im inneren
dieses Zykels liegt.
Abbildung 5
Beweis von Theorem 1: Der Einheitskreis enthält alle Punkte aus Pn und hat die Dilation π/2.
Nach Theorem 4 gibt es keinen Graph mit Zykeln der eine geringere Dilation besitzt als π/2
und nach Lemma 5 existiert auch kein Baum T mit einer Dilation kleiner als π/2 der Pn
enthält.
Folgerungen
1. Sei C eine geschlossene Kurve und Pn eine Menge von n Punkten, die gleichmäßig auf
C verteilt ist. Dann wächst die Dilation jedes Baumes der Pn enthält gegen unendlich,
wenn n gegen unendlich geht.
2. Die Dilation von P3
δ ( P 3) =
2
= 1,157 ...
3
Jeder Zyklischer Graph hat eine Dilation von mindestens π/2, und wenn man bei dem
angegebenen Graph (Abb. 6) den zentralen Knoten verschiebt, verschlechtert sich der
angegebene Wert.
Abbildung 6: Der blau gezeichnete
Baum ist die ideale Lösung für die
Dilation der Punktmenge P3 auf dem
Einheitskreis
3. Die Dilation von P4
Abbildung 7:
Durchgezogene Linien
zeichnen die ideale Lösung
für die Punktmenge P4
δ ( P 4) = 2 = 1,414...
Ähnliche Argumentation wie im obigen Fall (siehe Abb. 7).
3. Die obere Schranke
Wir wollen nun eine obere Schranke für den Wert der Dilation beweisen, d.h. wir werden
zeigen, dass wir jede Punktmenge in einen Graph einbetten können der eine Dilation von
1,67784... hat.
Theorem 6: Es existiert ein periodischer Graph G∞ der die Ebene bedeckt, mit einer Dilation
von 1,67784..., so dass jede endliche Punktmenge in einem leicht verbogenem
Teil G, einer skalierten Kopie von G∞ enthalten ist.
Um diese Theorem zu beweisen, werden wir zuerst ein technisches Lemma beweisen,
anschließend einen Graphen konstruieren mit einer Dilation von 3 = 1,7320... , und danach
diesen Graphen verbessern um die gewünschte Dilation zu erreichen. Zum Schluss zeigen wir
dann noch, dass jede Punktmenge in diesen Graphen eingebettet werden kann und wie das
endliche Stück aus dem Graphen G∞ ausgeschnitten wird.
Lemma 7: Die geometrische Dilation δ eines Graphen G wird immer von zwei Punkten
angenommen, die gegenseitig sichtbar sind.
Beweis: Nehmen wir einmal an, die Dilation wird nicht von 2
gegenseitig sichtbaren Punkten angenommen. Es gibt zwei
Punkte p,q∈G, so das zwischen p und q die maximale Dilation
angenommen wird. Nach Annahme sind p und q nicht
gegenseitig sichtbar, daraus folgt es existiert eine Kante des
Graphen die zwischen q und p liegt. Sei r∈G der Schnittpunkt
der Graden von p nach q mit dieser Kante (siehe Abb. 8).
Nach Definition der Dilation gilt
δ (G ) =
| ξG ( p , q ) | | ξG ( p , r ) | + | ξG ( r , q ) |
≤
.
| pq |
| pr | + | rq |
Abbildung 8
Da r auf der Geraden von p nach q liegt, gilt |pq| = |pr| + |rq|. Und der Weg im Graphen von p
nach q über r ist mindestens so lang wie der Kürzeste von p nach q. Obige Gleichung kann
man weiter abschätzen
⎛ ξG ( p , r ) ξG ( r , q ) ⎞
⎟ ≤ δ (G )
≤ max⎜⎜
,
| rq | ⎟⎠
⎝ | pr |
Daraus folgt, dass die maximale Dilation bei wenigstens einem der Punktepaare p, r und r, q
angenommen werden muss. Ein Widerspruch zur Annahme, es folgt also das Lemma 7.
Als nächstes wenden wir uns nun der Konstruktion den Graphen G∞ zu. Zuerst werden wir
ein vereinfachten Graphen nehmen und diesen dann im zweiten Schritt so verändern, dass er
die gewünschte Dilation hat.
Beweis Theorem 6: Am Anfang verwenden wir ein einfaches
hexagonales Gitter. Bei der Berechnung der Dilation dieses
Gitters reicht es sich auf die Dilation eines Zykels zu
beschränken, da die beiden Punkte, die die maximale Dilation
annehmen, nach Lemma 7 gegenseitig sichtbar sein müssen.
Die Dilation eines regelmäßigen Sechsecks ist 3
(siehe Abb. 9). Alle Kanten haben die Länge 1, der Weg von a
nach b verläuft über insgesamt 3 Kanten, also hat der Weg im
Sechseck von a nach b die Länge 3. Der euklidische Abstand
von a und b ist
| ab |= 2 sin 60° = 3
⇒δ = 3
3
= 3 = 1.7320 ....
Abbildung 9
Um dieses hexagonale Gitter zu ersetzen werden wir den Umweg verkürzen, indem wir die
Ecken etwas abkürzen. Wir werden also alle Knoten in dem hexagonalen Gitter durch ein
anderes Gebilde ersetzen, welches wir jetzt konstruieren werden.
Dazu zeichnen wir zuerst drei
Halbgeraden jeweils im Winkel von
120° zueinander (siehe Abb. 10)
Wir wählen jetzt zwei Zahlen,
0<c<b< 1
2
mithilfe derer wir das Ergebnis
parametrisieren und so später die
Dilation minimieren.
Jetzt zeichnen wir drei Kreise so, dass
jeder der drei Kreise jeweils zwei der
drei Halbgeraden im Abstand
b1 = (b-c) / 2
zum Schnittpunkt der drei
Halbgeraden berührt.
Abbildung 10
Sei x der Abstand der Mittelpunkte der Kreise vom Schnittpunkt der 3 Halbgeraden und r der
Radius der Kreise dann gilt:
b−c x
⇔
=
⇔ x =b−c
b1 = x ⋅ cos 60°
2
2
3⋅x
3 ⋅ (b − c )
=
2
2
Nun befestigen wir das Liniensegment L (siehe Abb. 10) der Länge b+c, am oberen Kreis und
lassen den Kreis um 60° rotieren. Dabei beschreiben die beiden Endpunkte von L jeweils ein
Sechstel eines Kreises mit Radius R. Nach Pythagoras gilt:
r = x ⋅ sin 60 ° =
R = r +b =
2
2
2
3(b − c ) 2 + (b + c ) 2
= b 2 − bc + c 2
4
wobei b2 = b-b1 = (b+c)/2.
Danach wird L von dem oberen Kreis gelöst und an
dem linken Kreis befestigt. Wir lassen den linken Kreis
60° im Uhrzeigersinn rotieren, lösen L von dem linken
Kreis und führen dieselbe Prozedur mit dem unteren
Kreis durch. Dabei beschreiben die beiden Endpunkte
von L einen Zykel der in Abb. 11 dargestellt ist.
Wenn wir jeden Knoten des hexagonalen Gitters durch
solch einen Zykel ersetzen, erhalten wir den Graphen
G∞ (siehe Abb. 12).
Abbildung 11
Abbildung 12
Um jetzt die Dilation dieses Graphen zu berechnen, reicht es wegen Lemma 7, die Dilation
der zwei Zykeltypen zu berechnen. Dabei gibt es aufgrund der Ergebnisse einer Arbeit [2] von
R. Klein et al. 3 Hauptkandidaten für das auftreten der maximalen Dilation:
1. Ein Teilungspaar p,q aus dem zuletzt konstruierten Zykel (Abb. 11):
Der Zykel C besteht aus sechs sechstel Kreisbogenstücken mit jeweils Radius R, der
kürzeste Weg zwischen p und q hat also die Länge eines Halbreises mit Radius R. Da C
aus der Rotation des Liniensegmentes L entstanden ist, beträgt der euklidische Abstand
von p und q immer die Länge von L = b+c.
⇒ D1 =
πR
b+c
2. Das Teilungspaar, auf der Mitte zweier, gegenüberliegender Kanten eines Sechsecks
(Abb. 13) analog zu der Dilation bei einem einfachen Sechseck (siehe Abb. 9):
Der eukliedische Abstand beträgt √3, wie wir schon berechnet haben. Der kürzeste Weg
im Graphen durchläuft 6 sechstel Kreise vom Radius R sowie insgesamt 3 Kanten des
ursprünglichen Sechsecks. Diese Kanten hatten ursprünglich Länge 1 sind aber dadurch,
dass wir die Knoten ersetzt haben, um 2b verkürzt worden. Die Dilation beträgt also
D2 =
2πR + 3(1 − 2b)
3
.
Abbildung 13
Abbildung 14
3. Die Teilungspaare, die sich auf den Zykeln, die die Knoten im Secheck ersetzt haben,
befinden und den geringsten euklidischen Abstand haben (Abb. 14): Die Punkte des
Teilungspaars liegen auf der Geraden durch die Mittelpunkte der konstruierenden Kreise.
Bei diesem Kandidat berechnen wir zuerst einmal den euklidischen Abstand. Dazu
betrachten wir das Dreieck, das die Seite x mit jeweils der Hälfte der Seite H und D3
bildet. Auf dieses Dreieck wenden wir den Kosinussatz an und erhalten
| m1m 2 |2 = x 2 + ( H ) 2 − 2 x ⋅ H ⋅ cos120° = x 2 + 1 + x
2
2
2
⇒| pq|= 2( x2 +1+ x − R)
Der kürzeste Pfad surchläuft, genau wie beim 2. Kandidat, 6 sechstel Kreise vom
Radius R und drei um 2B verkürzte Kanten. Daraus läst sich die Dilation des dritten
Kandidaten berechnen.
D3 =
2πR + 3(1 − 2b)
2( x 2 + x + 1 − R )
Die Dilation aller drei Kandidaten hängt noch von den Parametern b und c ab. Mit Maple
wurde berechnet, dass es ein Minimum bei D1 = D2 = D3 = 1.6778... gibt für die Parameter
c = 0.1248... und b = 0.1939....
Weiter konnte mit Maple gezeigt werden, dass das Maximum in diesem Fall wirklich bei den
3 Kandidaten angenommen wird. Damit haben wir den gewünschten Graphen G∞ konstruiert.
Es bleibt zu zeigen, wie man beliebige Punktmengen P in diesen Graphen einbetten kann.
Idealerweise soll jeder Punkt aus P auf die Mitte einer horizontalen Kante fallen (siehe
Abb. 12). Im allgemeinen ist dies natürlich nicht exakt möglich.
Sei η>0 eine Fehlerschranke, die beliebig gewählt werden kann, dann suchen wir einen
Skalierungsfaktor γ, so dass folgende zwei Bedingungen erfüllt sind:
1. Jede X-Koordinate αi eines Punktes aus P, liegt in X-Richtung näher an der Mitte
einer Kante als ηγ, das heißt αi muss nah an einem durch 3 teilbaren Vielfachen des
Skalierungsfaktors γ liegen, oder formal ausgedrückt:
| 3 Aiγ − αi |≤ γη ⇔|
αi
η
− A |≤
3γ
3
i
Wobei Ai eine beliebige ganze Zahl ist.
2. Jede Y-Koordinate βi liegt näher als ηγ neben einer horizontalen Kante, deren YKoordinate ein ganzzahliges Vielfaches von γ√3 ist, oder formal:
| 3 Biγ − βi |≤ γη ⇔|
βi
η
− Bi |≤
3γ
3
Wobei Bi eine beliebige ganze Zahl ist.
Die Kanten von G werden so verbogen, dass die Punkte auf den entsprechenden Kanten
liegen. Wenn es solche ganzen Zahlen Ai, Bi, γ zu einer beliebigen Fehlerschranke η gibt,
wird die Änderung der Dilation von G beliebig klein. Dass es solche Zahlen gibt, zeigen wir
mit Hilfe eines Ergebnisses von Dirichlet:
Theorem 8: Seien ρ1,...,ρn relle Zahlen und ε>0. Dann existieren eine natürliche Zahl q und
ganze Zahlen D1,...,Dn die folgende Bedingung erfüllen:
| ρiq − Di |≤
1
≤ε
q1/ n
Wenn man jetzt für q den Skalierungsfaktor γ einsetzt und αi/3 bzw. βi/√3 anstatt ρi sowie η/3
anstatt ε schreibt dann erhält man sofort, dass nach Theorem 8 solche Zahlen existieren wie
sie benötigt werden um die 2 Bedingungen zu erfüllen, die wir aufgestellt hatten um die
Punkte einer beliebigen Punktmenge einzubetten.
Noch ist der Graph G∞ aber ein unendlicher Graph. Um dies zu beheben, schneiden wir ein
Sechseckiges Stück (wie in Abb. 12 in rot) heraus, das alle Punkte der Punktmenge enthält.
4. Ausblick
Damit haben wir sowohl eine obere als auch eine untere Schranke für den Wert der Dilation
gezeigt. Allerdings klafft zwischen der oberen und unteren Schranke immer noch eine Lücke.
So bleiben einige offene Fragen: Was ist der genaue Wert von ∆ := sup ∆( P ) ? Wie schnell
P endlich
kann ein optimaler Graph für P konstruiert werden? Wie schnell kann die Dilation einer
Punktmenge berechnet werden?
Quellen
1. A. Ebbers-Baumann, A. Gruene, R. Klein. On the geometric dilation of finite point
sets. Universität Bonn
Literaturverweise
1. A. Ebbers-Baumann, A. Gruene, R. Klein. On the geometric dilation of finite point
sets. Universität Bonn
2. A. Ebbers-Baumann , R. Klein, E. Langetepe, A. Lingas. A fast algorithm for
approximating the detour of a polygonal chain. Computational Geometry: Theory and
Applications, 27:123-134, 2004