Discrete and Computational Geometry, SS 09 Exercise sheet 3

Discrete and Computational Geometry, SS 09
Exercise sheet 3
University of Bonn, Institute of Computer Science, Dept. I
Hand over of written solutions: 11th of May
Exercise 1:
Punkte gleichen Abstands
Für jeden Punkt (x, y) ∈ R2 bezeichne |(x, y)| :=
(x, y).
p
x2 + y 2 die Euklidische Norm von
Wir betrachten zwei Abstandsmaße d1 und d2 . Die Funktion d1 misst Abstände vom
Ursprung (0, 0), wohingegen die Funktion d2 Abstände vom Punkt (1, 0) darstellt.
Für drei spezielle Wahlen von d1 und d2 sollen alle Punkte (x, y) ∈ R2 bestimmt
werden, für die d1 (x, y) = d2 (x, y) gilt. Die resultierende Punktmene soll geometrisch interpretiert und mit einem typischen Bild visualisiert werden. Bei den Zahlen
λ1 , λ2 , α1 , α2 handelt es sich um positive Konstanten.
a) d1 (x, y) = |(x, y)| and d2 (x, y) = |(x − 1, y)|
b) d1 (x, y) = λ1 |(x, y)| and d2 (x, y) = λ2 |(x − 1, y)|
c) d1 (x, y) = |(x, y)| + α1 and d2 (x, y) = |(x − 1, y)| + α2
Exercise 2:
Dilation polygonaler Ketten
Zur Bearbeitung des Entscheidungsproblems δ(C) ≤ κ für die Dilation δ(C) einer
einfachen polygonalen Kette C ⊆ R2 haben wir — nach dem Lift der Kette inq den
|C |
R3 mit q = (xq , yq ) 7→ q̂ = (xq , yq , aq ) für alle q ∈ C, wobei Gewicht aq = κp0 , p0
Anfangspunkt von C, |Cpq0 | ’Kilometermarke’ in q auf C — jeweils die Punkte der
Ebene als Region der Ecke q zusammengefasst, von denen aus bei senkrechtem Blick
nach oben der Kegel mit Scheitelpunkt q̂ und Öffnungswinkel π2 als tiefster all dieser
Kegel erscheint.
a) Kann es sein, dass es eine Ecke pi gibt, deren zugehörige Region die leere Menge
ist?
b) Welche Aussage bezüglich des Entscheidungsproblems δ(C) ≤ κ trifft Ihre Antwort aus Teil a)?
Bitte wenden!
Exercise 3:
Lokalisierung von Punkten
Es sei ein kreuzungsfreier, schlichter, geometrischer Graph G = (V, E) in der Ebene
gegeben, so dass die Kanten nicht geradlinig sein müssen, aber jede Kante x-monoton
ist. Das heißt, dass für jede Kante e ∈ E ein x-Intervall [ae , be ] und eine Funktion
fe : [ae , be ] → IR existiert, so dass e = {(x, fe (x))|x ∈ [ae , be ]} ist. Es sei n := |V |.
Bei der Berechnung der Dilation einer polygonalen Kette wird ein Verfahren benutzt,
welches nach Vorbereitungszeit von O(n log n) für jeden Punkt q ∈ IR2 \ G in Zeit
O(log n) sagen kann, in welcher Fläche des Graphen er liegt. Hier wollen wir ein
leichteres Verfahren entwickeln, dessen Vorbereitungszeit und Speicherplatz jedoch in
O(n2 ) liegen.
Die Idee ist, dass wir die Ebene zunächst in vertikale Streifen unterteilen, deren Grenzlinien durch die gegebenen Punkte verlaufen. Wie genau kann man dann in Zeit O(n2 )
eine Struktur aufbauen, mit der man die gewünschten Anfragen in Zeit O(log n) beantworten kann? Wie werden die Anfragen beantwortet? Beweisen Sie, dass die Laufzeitschranken eingehalten werden!
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