Lineare Algebra I (WS 13/14)

Lineare Algebra I (WS 13/14)
Alexander Lytchak
Nach einer Vorlage von Bernhard Hanke
13.12.2013
Alexander Lytchak
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Symmetrien des gleichseitigen Dreiecks
I
Die Gruppe GD der Symmetrien des gleichsitigen Dreiecks besteht aus
6 Elementen: den drei Spiegelungen sa , sb , sc und den drei Drehungen
D0 = id, D120 , D240 , um den Winkel 0 bzw. π3 bzw. 2π
3 im
Uhrzeigersinn.
I
Die Gruppengesetze in GD , d.h., die konkrete Bescheibung der
Verknüpfungsabbildung ◦ : GD × GD → GD können anhand der
Bewegungen der Ecken erkannt werden.
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Symmetrien III. Quadrat
Die Gruppe der Symmetrien eines Quadrats Q besteht aus der Identität,
drei Drehungen und vier Spiegelungen.
Alexander Lytchak
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Symmetrien IV. Kreis und affines Dreieck
I
Die Gruppe der Symmetrien eines Kreises ist eine unendliche Gruppe,
die aus allen Drehungen um das Zentrum und allen Spiegelungen an
Geraden durch das Zentrum besteht.
I
Betrachten wir wiederum ein nicht-gleichschenkliges Dreieck, aber
betrachten nun die Gruppe aller Affinitäten der Ebene die das Dreieck
erhalten. Diese Gruppe ist so groß, wie bei einem gleichseitigen
Dreieck und hat auch 6 Elemente.
I
Wir haben diese Gruppe benutzt, um den Massenschwerpunkt des
Dreiecks zu finden.
Alexander Lytchak
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Symmetrien V. Lineare Abbildungen
I
Ist V ein Vektorraum, so sind die Elemente von Bij(V ), die die
Vektorraumstruktur erhalten genau die linearen Abbildungen. Wir
erhalten die Gruppe Aut(V ) also aus demselben Meta-Prinzip.
I
Ist V ein Vektorraum und X eine Teilmenge von V , so können wir die
linearen Symmetrien von X in V betrachten. Nämlich die Menge aller
Automorphismen f : V → V mit f (X ) = X .
I
Ist X ein Untervektorraum von V , so wurden solche Abbildungen in
einer Hausaufgabe untersucht.
I
Ist X die Menge der Basisvektoren eines Basis B, so besteht die oben
definierte Untergruppe von Aut(X ) genau aus den f : V → V , für die
MBB (f ) eine Permutationsmatrix ist.
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Symmetrien V. Permutationen
I
Wenn uns keine Struktur wichtig ist, so betrachten wir jede bijektive
Selbstabbildung als eine Symmetrie. Die entsprechende Gruppe ist die
Gruppe Bij(M) der bijektiven Selbstabbildungen einer Menge M auf
sich selbst. Bijektive Abbildungen M → M werden auch
Permutationen von M genannt. Bij(M) heißt auch symmetrische
Gruppe von M, oder auch die Gruppe der Permutationen von M. Eine
andere übliche Bezeichnung dieser Gruppe ist SymM .
I
Als wichtigsten Spezialfall betrachten wir die n-elementige Menge
M = {1, ..., n}. Die symmetrische Gruppe Bij(M) wird dann als Sn
bezeichnet.
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Gruppen. Dank an die Sponsoren
Évariste Galois 1811 (Bourg-la-Reine) - 1832 (Paris)
Niels Henrik Abel 1802 -1829 (Norwegen)
Felix Klein 1849 (Düsseldorf) -1925 (Göttingen)
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Gruppen-Homomorphismen
Definition
Seien (G , ◦) und (H, ∗) zwei Gruppen. Eine Abbildung φ : G → H heißt
ein Gruppenhomomorphismus, wenn für alle g1 , g2 ∈ G gilt
φ(g1 ◦ g2 ) = φ(g1 ) ∗ φ(g2 ).
Ein Gruppenisomorphismus ist ein bijektiver Gruppenhomomorphismus.
I
Ein Gruppenhomomorphismus φ : G → H schickt das neutrale
Element eG auf das neutrale Element eH .
I
Ferner gilt für alle g ∈ G die Gleichung φ(g −1 ) = (φ(g ))−1 .
I
Ist φ bijektiv, so ist die Umkehrabbildung φ−1 : H → G auch ein
Gruppenisomorphismus.
I
Komposition von Gruppenhomomorphismen ist ein
Gruppenhomomorphismus.
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Gruppenhomomorphismen. Beispiele
I
Ein Vektorraumhomomorphismus f : V → W ist ein
Gruppenhomorphismus von (V , +) nach (W , +). Aber nicht jeder
Gruppenhomomorphismus von V nach W ist ein
Vektorraumhomomorphismus (nicht einfach zu sehen).
I
Ist V ein reeller Vektorraum mit einer Basis B, so ist die Zuordnung
MBB : Aut(V ) → GLn (R), die einem Automorphismus von V seine
darstellende Matrix bezüglich der Basis B zuordnet, ein
Gruppenisomorphismus.
I
Sei V ein Vektorraum und sei Translationen(V ) die Gruppe aller
Translationen von V , also eine Untergruppe von SymV . Die
Abbildung v → Tv ist ein Gruppenisomorphismus. Man könnte (sollte
aber vielleicht nicht) diesen Isomorphismus hochtrabend als
Dualismus zwischen Punkten und Vektoren beschreiben.
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Gruppenhomomorphismen. Kern und Bild
Proposition
Sei φ : G → H ein Gruppenhomomorphismus.
I
Ist K < G eine Untergruppe, so gilt φ(K ) < H.
I
Insbesondere ist das Bild φ(G ) eine Untergruppe von H.
I
Ist K < H eine Untergruppe, dann ist φ−1 (K ) < G .
I
Insbesondere ist das Urbild des neutralen Elements φ−1 (eH ) eine
Untergruppe von G . Diese Untergruppe wird der Kern von φ genannt
und mit ker φ bezeichnet.
Proposition
Ein Gruppenhomomorphismus φ : G → H ist injektiv genau dann, wenn
ker φ nur das neutrale Element enthält. In diesem Fall ist G isomorph zur
Untergruppe φ(G ) von H.
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Gruppenhomomorphismen. Beispiele II
I
Für jede positive reelle Zahl a > 0 ist die Abbildung (R, +) → (Rx , ·)
gegeben durch t → at ein injektiver Homomorphismus. Das Bild ist
die Untergruppe (R+ , ·) der positiven reellen Zahlen. (Analysis)
I
Sei e die Eulersche Zahl (und nicht das neutrale Element einer
Gruppe!). Betrachte die Abbildung φ : (R, +) → (Cx , ·) gegeben
durch z → e z . Das Bild von φ ist der Einheitskreis S 1 ⊂ C, die
Menge aller komplexen Zahlen mit Betrag 1. Wir haben
ker φ = {2πm|m ∈ Z}. (Analysis)
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Gruppenhomomorphismen. Beispiele III
I
Sind G , H beliebige Gruppen, so ist φ : G → H, der alle g ∈ G auf das
neutrale Element eH schickt ein (trivialer) Gruppenhomomorphismus.
I
Alle Gruppen mit nur einem Element sind isomorph.
I
Ist G eine Gruppe mit zwei Elemente und H die Untergruppe {±1}
von (Rx , ·), so gibt es genau einen Gruppenisomorphismus
φ : G → H. D.h. alle Gruppen mit 2 Elementen sind isomorph.
I
Betrachte die 8-elementige Gruppe GQ der Symmetrien des Quadrats.
Sei H ⊂ G die 4-elementige Untergruppe von GQ , die aus den
Drehungen besteht. Sei K4 die 4-elementige Untergruppe von GQ , die
aus den Spiegelungen an den Diagonalen und der Drehung um den
Winkel π besteht. Dies ist die Untergruppe derjenigen Elemente aus
GQ , die die beiden Diagonalen nicht vertauscht. Dann sind H und K4
nicht isomorph.
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Gruppenhomomorphismen. Allgemeine Beispiele
I
Sei (G , ◦) eine Gruppe und sei (Z, +) die additive Gruppe der ganzen
Zahlen. Für jedes Element g ∈ G gibt es genau einen
Homomorphismus f : Z → G mit f (1) = g . Das Bild f (Z) ist eine
zyklische Untergruppe von G (Hausaufgaben).
I
Sei G eine beliebige Gruppe. Dann gibt es einen injektiven
Homomorphismus ψ : G → SymG , der g ∈ G auf die Linkstranslation
Lg : G → G , Lg (h) = g ◦ h abbildet.
I
Damit ist jede (endliche) Gruppe isomorph zu einer Untergruppe einer
(endlichen) symmetrischen Gruppe.
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