Inhaltsverzeichnis
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Inhaltsverzeichnis V Inhaltsverzeichnis Tabellenverzeichnis 1 Arithmetik 1.1 1.2 Elementare Rechenregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Z a h l e n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1.1 Natiirliche, gauze und rationale Zahlen 1.1.1.2 Irrationale und transzendente Zahlen 1.1.1.3 Reelle Zahlen . . . 1.1.1.4 Kettenbriiche... 1.1.1.5 Kommensurabilitat 1.1.2 Beweismethoden . Direkter Beweis .. 1.1.2.1 1.1.2.2 Indirekter Beweis oder Beweis durch Widerspruch 1.1.2.3 Vollstandige Induktion 1.1.2.4 Konstruktiver Beweis . 1.1.3 Summen und Produkte 1.1.3.1 Summen . . 1.1.3.2 Produkte 1.1.4 Potenzen, Wurzeln, Logarithmen . Potenzen .. 1.1.4.1 1.1.4.2 Wurzeln . . 1.1.4.3 Logarithmen 1.1.4.4 Spezielle Logarithmen 1.1.5 Algebraische Ausdriicke . 1.1.5.1 Definitionen . 1.1.5.2 Einteilung del' algebraischen Ausdriicke . 1.1.6 Ganzrationale Ausdrucke Darstellung in Form eines Polynoms .. 1.1.6.1 1.1.6.2 Zerlegung eines Polynoms in Faktoren . . 1.1.6.3 Spezielle Formeln 1.1.6.4 Binomischer Satz . 1.1.6.5 Bestimmung des grcif3tengemoinsamen Teilers zweier Polynome . 1.1.7 Gebrochenrationale Ausdnicke 1.1. 7.1 Ruckfuhrung auf die einfachste Form . 1.1.7.2 Bestimmung des ganzrationalen Anteils 1.1.7.3 Partialbruchzerlegung . . . . 1.1.7.4 Umformung von Proportionen 1.1.8 Irrationale Ausdrilcke . . . . . Endliche Reihen . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Definition del' endlichen Reihe 1.2.2 Arithmetischc Reihen . . 1.2.:3 Ceometrische Reihe . . . 1.2.4 Speziclle endliche Reihen . 1.2.5 Mittclwerte 1.2.5.1 Arithmetisches Mittel. 1.2.5.2 Geometrisches Mittel 1.2.5.3 Harrnonisches Mittel 1.2.5.4 Quadratisches Mittel XXXIX 1 1 1 1 1 2 3 4 5 5 5 5 6 6 6 7 8 8 8 9 9 10 10 11 11 11 11 12 12 14 14 14 15 15 17 17 18 18 18 In ID 19 19 20 20 20 • VI I. Inhaltsverzeichnis 1.3 1.4 1.5 1.2.5.5 Vergleich del' Mittelwerte fur zwei positive GraBen a und b . Finanzmathematik.... 1.3.1 Prozentrechnung . 1.3.2 Zinseszinsrechnung 1.3.3 Tilgungsrechnung. 1.3.3.1 Tilgung . 1.3.3.2 Gleiche Tilgungsraten 1.3.3.3 Gleiche Annuitaten 1.3.4 Rentenrechnung . 1.3.4.1 Rente . . . . . . . . . 1.3.4.2 Nachschtissig konstante Rente 1.3.4.3 Kontostand nach n Rentenzahlungen 1.3.5 Abschreibungen... Ungleichungen . 1.4.1 Reine Ungleichungen 1.4.1.1 Definitionen 1.4.1.2 Eigenschaften del' Ungleichungen vom Typ I und II . 1.4.2 Spezielle Ungleichungen . 1.4.2.1 Dreiecksungleichung . 1.4.2.2 Ungleichungen fur den Absolutbetrag del' Differenz zweier Zahlen 1.4.2.3 Ungleichung fiir das arithmetische und das geometrische Mittel . 1.4.2.4 Ungleichung fur das arithmetische und das quadratische Mittel . 1.4.2.5 Ungleichungen ftir verschiedene Mittelwerte zweier reeller Zahlen 1.4.2.6 Bernoullische Ungleichung . . . . 1.4.2.7 Binomische Ungleichung . 1.4.2.8 Cauchy-Schwarzsche Ungleichung . 1.4.2.9 Tschebyscheffsche Ungleichung . . . 1.4.2.10 Verallgemeinerte Tschebyscheffsche Ungleichung 1.4.2.11 Holdersche Ungleichung . 1.4.2.12 Minkowskische Ungleichung . 1.4.3 Losung von Ungleichungen 1. und 2. Grades. 1.4.3.1 Allgemeines . 1.4.3.2 Ungleichungen 1. Grades . 1.4.3.3 Ungleichungen 2. Grades . 1.4.3.4 Allgemeiner Fall der Ungleiclmng 2. Grades. Komplexe Zahlen .. . . . . . . . . . . 1.5.1 Irnaginare und komplexe Zahlen 1.5.1.1 Imaginare Einheit . 1.5.1.2 Komplexe Zahlen . 1.5.2 Geometrische Darstellung. . 1.5.2.1 Vektordarstellung. 1.5.2.2 Gleichheit komplexer Zahlen 1.5.2.3 Trigonometrische Form del' komplexen Zahlen 1.5.2.4 Exponentialform einer komplexen 2a111 1.5.2.5 Konjugiert komplexe Zahlen 1.5.3 Rechnen mit komplexen Zahlen . . . 1.5.3.1 Addition und Subtraktion . 1.5.3.2 Multiplikation.... . 1.5.3.3 Division....... 1.5.3.4 Allgemeine Regeln ftir die vier Orundreohenarten . 1.5.3.5 Potenzieren einer komplexen Zahl . . . . .. . . . 1.5.3.6 Radizieren oder Ziehen clerno-ten Wurzel aus einer kornplexen Za111 20 21 21 22 23 23 23 24 24 24 25 25 26 28 28 28 29 30 30 30 30 30 30 31 31 31 31 32 32 33 33 33 3:3 33 34 34 34 :34 34 35 ~35 35 35 :36 :36 :36 :36 37 37 :38 38 :38 Inhaltsverzeichnis 1.6 Algebraische und transzendente Gleichungen . 1.6.1 Umforrnung algebraischer Gleichungen auf die Normalform 1.6.1.1 Definitionen . 1.6.1.2 Systeme aus n algebraischen Gleichungen 1.6.1.3 Scheinbare Wurzeln . 1.6.2 Gleichungen 1. bis 4. Grades . . . . . . . . . . 1.6.2.1 Gleichungen 1. Grades (lineare Gleichungen) 1.6.2.2 Gleichungen 2. Grades (quadratische Gleichungen) 1.6.2.3 Gleichungen 3. Grades (kubische Gleichungen) 1.6.2.4 Gleichungen 4. Grades . . . . . . . 1.6.2.5 Gleichungen 5. und hoheren Grades . . . . . . 1.6.3 Gleichungen n-ten Grades " . . . . . . . . . . . . . . 1.6.3.1 Allgemeine Eigenschaften del' algebraischen Gleichungen . 1.6.3.2 Gleichungen mit reellen Koeffizienten . 1.6.4 Ruckfuhrung transzendenter Gleichungen auf algebraische Gleichungen 1.6.4.1 Definition . 1.6.4.2 Exponentialgleichungen 1.6.4.3 Logarithmische Gleichungen . 1.6.4.4 Trigonometrische Gleichungen 1.6.4.5 Gleichungen mit Hyperbelfunktionen 2 Funktionen und ihre Darstellung 2.1 Funktionsbegriff . 2.1.1 Definition del' Funktion 2.1.1.1 Funktion . . . 2.1.1.2 Reelle Funktion 2.1.1.3 Funktion von mehreren Veranderlichen 2.1.1.4 Komplexe Funktion . 2.1.1.5 Weitere Funktionen . . . 2.1.1. 6 Funktionale....... 2.1.1.7 Funktion uncl Abbilclung 2.1.2 Methoclen zur Definition einer reellen Funktion 2.1.2.1 Angabe einer Funktion . . . . . . . . 2.1.2.2 Analytische Darstellung reeller Funktiouen 2.1.3 Einige Funktionstypen . 2.1.3.1 Monotone Funktionen . 2.1.3.2 Beschrankte Funktionen . 2.1.:3.3 Extremwerte von Funktionen . 2.1.:3.4 Gerade Funktionen . . . . . . 2.1.3.5 Ungerade Funktionen . . . . . 2.1.3.6 Darstellung mit Hilfe gerader und ungerader Funktionen . 2.1.3.7 Periodische Funktionen . . . . . 2.1.:3.8 Inverse oder Umkehrfunktionen . 2.1.4 Grcnzwert von Funktionen . 2.1.4.1 Definition des Gronzwortes einer Funktion 2.1.4.2 Zuruckfuhrung auf den Crenzwert einer Folgo . 2.1.4.3 Kouvergcnzkriterium von Cauchy . 2.1.4.4 Unendlicher Grenzwert einer Funktion 2.1.4.5 Linksseitiger und rechtsseitiger Creuzwert duel' Funktion 2.1.4.6 Grenzwert einer Funktion fur x gogen unondlicli 2.1.4.7 Satze tiber Grenzwerte von Funktionon 2.1.4.8 Berechnung von Crenzwerten . VII 38 38 38 39 39 39 39 40 40 42 43 43 43 44 45 45 46 46 46 47 48 48 48 48 48 48 48 48 48 49 49 49 49 50 50 51 51 51 51 52 52 52 5:3 5:3 53 5:3 54 54 54 55 [i5 VIII Inhaltsverzeichnis 2.1.4.9 GroBenordnung von Funktionen und Landau-Symbole . Stetigkeit einer Funktion . . . . . . . . . . 2.1.5.1 Stetigkeit und Unstetigkeitsstelle 2.1.5.2 Definition der Stetigkeit 2.1.5.3 Haufig auftret.encle Arten von Unstetigkeiten 2.1.5.4 Stetigkeit und Unstotigkeitspunkte elementarer Fuuktionen 2.1.5.5 Eigenschaften stetiger Funktionen Elementare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Algebraische Funktionen . . . . . . . . . . . . . 2.2.1.1 GanzrationaJe Funktionen (Polynome) 2.2.1.2 Gebrochenrationale Funktionen 2.2.1.3 Irrationale Funktionen 2.2.2 'Iranszendente Funktionen . . . . . . Exponentialfunktionen... 2.2.2.1 2.2.2.2 Logarithmische Funktionen . 2.2.2.3 Trigonometrische Funktionen 2.2.2.4 Inverse t.rigonometrische Funktionen . 2.2.2.5 Hyperbelfunkt.ionen..... 2.2.2.6 Inverse Hyperbelfunktionen 2.2.3 Zusammengesetzte Funktionen Polynome........... 2.3.1 Lineare Funktion . . . 2.3.2 Quadratisches Polynom 2.3.3 Polynom 3. Grades . . 2.3.4 Polynom n-ten Grades 2.3.5 Parabel n-ter Ordmmg Gebrochenrationale Funktionen 2.4.1 Spezielle gebrochenlineare Funktion . 2.4.2 Gebrochenlineare Funktion 2.4.3 Kurve 3. Ordnung, Typ I . 2.4.4 Kurve 3. Ordnung, Typ II . 2.4.5 Kurve 3. Ordnung, Typ III 2.4.6 Reziproke Pot.enz . . . . . Irrationale Funktionen 2.5.1 Quadratwurzel aus einem lincaren Binom 2.5.2 Quadratwurzel aus einem quadratischen Polynom . 2.5.3 Potensfunktion .. . . . . . . . . . . . . . . . Exponentialfunktionen und logarithrnische Funktionen 2.6.1 Exponontialfunktion . . . . 2.6.2 Logarithmische Funktionen . 2.6.3 Gaufischo Glockenkurve . . . 2.6.4 Exponentialsumme . . . . . 2.6.5 Verallgemeinert.e Gauf3sche Glockenkurve 2.6.6 Produkt aus Pot.enz- und Exponentialfunktion Trigonometrische Funktionen (Winkelfunkt.ionen) . 2.7.1 Crundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.1.1 Definition und Darstollung . . . . . . 2.7.1.2 Wertebereiche und Funktionsvorlaufe 2.7.2 Wichtigo Formeln flir trigonometrische Funktionen 2.7.2.1 Beziehungen zwischen den trigouometrischen Funktionen 2.7.2.2 'Irigonomotrisehe Funktionen der Summe und der Difforenz zweior Winkel (Additionsrhcorernc) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2.1.5 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 57 58 58 59 59 60 61 62 62 62 62 63 63 63 63 63 63 63 63 63 64 64 64 64 65 66 66 66 66 67 67 69 70 71 71 71 71 72 72 73 73 73 74 75 76 7fi 76 78 80 SO SO Inhaltsverzeichnis 2.8 2.9 2.10 2.11 2.7.2.3 Trigonometrische Funktionen fur Winkelvielfache . . . . . . . . 2.7.2.4 Trigonometrische Funktionen des halben Winkels. . . . . . . . 2.7.2.5 Summen und Differenzen zweier trigonornetrischer Funktionen 2.7.2.6 Produkte trigonometrischer Funktionen . 2.7.2.7 Potenzen trigonometrischer Funktionen 2.7.3 Beschreibung von Schwingungen . . . . . . . . . . 2.7.3.1 ProblemstelJung.............. 2.7.3.2 Superposition oder Uberlagerung von Schwingnngen 2.7.3.3 Vektordiagramm fur Schwingungen 2.7.3.4 Dampfung von Schwingungen . . Zyldometrische Funktionen (Arkusfunktionen) .. 2.8.1 Definition del' zyklometrischen Funktionen 2.8.2 Zuriickfuhrung auf die Hauptwerte . . . 2.8.3 Beziehungen zwischen den Hauptwerten . . 2.8.4 Formeln fur negative Argumente . . . . . . 2.8.5 Summe und Differenz von arcsin x und arcsin y 2.8.6 Summe und Differenz von arccos x und arccos y . 2.8.7 Summe und Differenz von arctan x und arctan y 2.8.8 Spezielle Beziehungen fur arcsin x, arccos x, arctan x Hyperbelfunktionen.................... 2.9.1 Definition del' Hyperbelfunktionen . . . . . . . . 2.9.2 Graphische Darstellung del' Hyperbelfunktionen Hyperbelsinlls.. 2.9.2.1 2.9.2.2 Hyperbelkosinus 2.9.2.3 Hyperbeltangens 2.9.2.4 Hyperbelkotangens 2.9.3 Wichtige Formeln fUr Hyperbelfunktionen . 2.9.3.1 Hyperbelfunktionen einer Variablen 2.9.3.2 Darstellung einer Hyperbelfunktion durch eine andere gleichen Argumentes . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. . .. .. . . . . 2.9.3.3 Formeln fiir negative Argumente . . . . . . . . . . . . . . . . . ., 2.9.3.4 Hyperbelfunktionen del' Sumrne und del' Dlfferenz zwcier Argumcnte (Adclitionstheoreme) . . . . . . . . . . . . . . 2.9.3.5 Hyperbelfunktioncn des doppclten Arguments 2.D.3.6 Fennel von Moivre Iiir Hyperbelfunktionen . . 2.9.3.7 Hyperbelfunktionen des halben Arguments . . 2.9.3.8 Summen unci Differenzen von Hypcrbolfunktionen 2.9.:3.9 Zusanunenhang zwischen den Hyperbel- unci den trigonomctrischcn Funktionen mit Hilfe komplexer Arginnonto . Areafunktionen . . . . . . 2.10.1 Dofinitionen . . . . . 2.10.1.1 Areasinus . 2.10.1.2 Areakosinus 2.10.1.3 Areatangcns . 2.10.1.4 Areakotangens 2.10.2 Darstellung del' Areafuuktionen durch den uatiu-licheu Logaru.luuus . 2.10.3 Beziehungen zwischen don vcrschiodenen Aroafunktioneu . 2.10.4 Summon unci Differonzen von Arcafunktiouon . 2.10.5 Formoln fiir negative Argumcnte Kurven dritter Ordnung , . . 2.11.1 Semikubische Pambel 2.11.2 Versiera del' Agnesi . IX 81 82 82 82 83 83 83 83 84 84 85 85 85 86 87 87 87 87 88 88 88 89 89 89 90 90 90 90 90 90 91 91 91 !Jl D1 D2 92 92 92 92 93 93 93 D4 94 D4 D5 95 95 X InhaltslIerzeichnis 2.12 2.13 2.14 2.15 2.16 2.17 2.18 2.11.3 Kartesisches Blatt . 2.11.4 Zissoide . 2.11.5 Strophoide . Kurven vierter Ordnung .. 2.12.1 Konchoide des Nikomedes. 2.12.2 Allgemeine Konchoide 2.12.3 Pascalsche Schnecke . 2.12.4 Kardioide . . . . . 2.12.5 Cassinische Kurven 2.12.6 Lemniskate . Zykloiden . 2.13.1 Gewohnliche Zykloide . 2.13.2 Verlangerte und verkiirzte Zykloiden cder 'Irochoiden 2.13.3 Epizykloide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.13.4 Hypozykloide und Astroide . 2.13.5 Verlangerte und verkiirzte Epizykloide und Hypozykloide Spiralen . 2.14.1 Archimedische Spirale . 2.14.2 Hyperbolische Spirale . 2.14.3 Logarithmische Spirale 2.14.4 Evolvente des Kreises 2.14.5 Klothoide . Verschiedene andere Kurven . 2.15.1 Kettenlinie oder Katenoide 2.15.2 Schleppkurve oder Traktrix . Aufstellung empirischer Kurven .. 2.16.1 Verfahrensweise . 2.16.1.1 K urvenbildervergleiche 2.16.1.2 Rektifizierung . . . . . 2.16.1.3 Pararneterbestirnmung 2.16.2 Gebriiuchlichste empirische Forrneln 2.16.2.1 Potenzfunktionen . . . . 2.16.2.2 Exponentialfunktlonen .. 2.16.2.3 Qnadratisches Polynom . . . 2.16.2.'1 Gobrochenlineare Funktion . 2.16.2.5 Quadratwurzel aus einem quadratischen Polynom 2.16.2.6 Verallgerneinerte GauBsche Glockenkurve 2.16.2.7 Kurve 3. Ordnung, Typ II 2.16.2.8 Kurve 3. Ordnung, Typ III . 2.16.2.9 Kurve 3. Ordnung, Typ I . 2.16.2.10 Produkt nus Potenz- und Exponentialfunktion 2.16.2.11 Exponentialsumme . 2.16.2.12 Vollstandig durchgereehnctes Beispiel Skalen und Funktionspapiere 2.17.1 Skalen . 2.17.2 Funktionspapiere .. . . . . . . . . . . . . . . 2.17.2.1 Einfaoh-Ioganthmisehos Funktionspapior 2.17.2.2 Doppelt-Iogarithmisches Funktionspapier . 2.17.2.3 Funktionspapier mit einer reziproken Skala 2.17.2.4 Hinweis . Funktionon von mehreren Veranderlichen 2.18.1 Definition und Darstellung . . . . 96 96 96 97 97 98 98 99 100 101 101 101 102 103 104 105 105 105 106 106 107 107 108 108 108 109 109 109 109 109 110 110 110 111 112 112 113 113 113 113 114 114 115 116 116 118 118 118 118 119 120 120 Inhaltsverzeichnis XI 2.19 3 2.18.1.1 Darstellung von Funktionen mehrerer Veranderlicher . . . . . . .. 2.18.1.2 Geometrische Darstellung von Funktionen mehrerer Veranderlicher 2.18.2 Verschiedene ebene Definitionsbereiche '.' . . . . . 2.18.2.1 Definitionshereich einer durch eine Menge gegebenen Funktion 2.18.2.2 Zweidirnensionale Gebiete .. . . . . . . 2.18.2.3 Drei- und mehrdimensionale Gebiete 2.18.2.4 Methoden zur Definition einer Funktion . . . . . . . 2.18.2.5 Formen del' analytischen Darstellung einer Funktion 2.18.2.6 Abhiingigkeit von Funktionen 2.18.3 Grenzwerte 2.18.3.1 Definition . . . . . . . . . . . 2.18.3.2 Exakte Formulierung . . . . . 2.18.3.3 Verallgemeinerung auf mehrere Veranderliche . 2.18.3.4 Iterierte Grenzwerte " 2.18.4 Stetigkeit 2.18.5 Eigenschaften stetiger Funktionen . . 2.18.5.1 Nullstellensatz von Bolzano 2.18.5.2 Zwischenwertsatz . . . . . . 2.18.5.3 Satz tiber die Beschranktheit einer Funktion 2.18.5.4 Satz von Weierstrass tiber die Existenz des grofiten und kleinsten Funktionswertes . Nomographic . . . . 2.19.1 Nomogramme . . 2.19.2 Netztafeln . . . . 2.19.3 Fluchtlinientafeln 2.19.3.1 Fluchtlinientafeln mit drei geraden Skalen durch einen Punkt 2.19.3.2 Fluchtlinientafeln mit zwei parallelen und einer dazu geneigten geradlinigen Skala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . " 2.19.3.3 Fluchtlinientafeln mit zwei parallelen, geradlinigen Skalenund einer Kurvenskala . . . . . . . . . . . 2.19.4 Netztafeln Iur mehr als drei Veranderliche . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Geometrie 3.1 Planimetrie 3.1.1 Grundbegriffc............... 3.1.1.1 Punkt, Gerade, Strahl, Strecke . 3.1.1.2 Winkel.............. 3.1.1.3 Winkel an zwei sich schneidcndcu Oeradcn 3.1.1.4 Winkelpaaro an geschnittenen Parallelen . 3.1.1.5 Winkel im Crudmaf lind im Bogeumaf .. 3.1.2 Ceomotrische Definition der Kreis- und Hyperbel-Funktioneu 3.1.2.1 Definition del' Kreis- odor trigonotuotrisoheu Funktionnn . 3.1.2.2 Geometrische Definition riel' Hypcrbolfunktionou 3.1.3 Ebeno Dreiecke , , .. 3.1.3.1 Aussagen ZlI ebenen Drcicckeu 3.1.3.2 Symmetne . .. 3.1.4 Ehene Vierecke . . . . . . . . . 3.1.4.1 Paralldogmmm.... 3.1.4.2 Rechteck lind Quadrat 3.1.4.3 Rhombus oder Raute 3.1.4.4 Trapez . 3.1.4 ..5 Allgemeines Viereck 120 120 121 121 121 121 121 123 124 125 125 125 125 125 126 126 126 126 126 126 127 127 127 128 128 129 129 130 131 131 131 131 iai 132 132 133 133 13:1 1:34 1:35 135 136 1:18 1:38 1:38 ,1:38 138 139 XII Inhaltsverzeichnis I 3.2 3.3 3.4 3.5 3.1.4.6 Sehnenviereck . . . . 3.1.4.7 Tangentenviereck .. 3.1.5 Ebene Vielecke oder Polygone 3.1.5.1 Allgemeines Vieleck . 3.1.5.2 Regelmabige konvexe Vielecke 3.1.5.3 Einige regelmaflige konvexe Vielecke . . 3.1.6 Ebene Kreisfiguren 3.1.6.1 Kreis . 3.1.6.2 Kreisabschnitt (Kreissegment) und Kreisausschnitt (Kreissektor) 3.1.6.3 Kreisring " Ebene Trigonometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Dreiecksberechnungen . 3.2.1.1 Berechnungen in rechtwinkligen ebenen Dreiecken 3.2.1.2 Berechnungen in ebenen schiefwinkligen Dreiecken 3.2.2 Ceodatische Anwendungen . . . . . 3.2.2.1 Ceodatlsche Koordinaten. . . . . . . . 3.2.2.2 Winkel in del' Gecdasie . . . . . . . . . 3.2.2.3 Vermessungstechnische Anwendungen . Stereometrie............... 3.3.1 Geraden und Ebenen im Raum . 3.3.2 Kanten, Ecken, Raumwinkel .. 3.3.3 Polyeder............. 3.3.4 Korper, die durch gekrummte Flachen begrenzt sind Spharische Trigonometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1 Grundbegriffe der Geometrie auf der Kugel . . . . 3.4.1.1 Kurven, Bogen und Winkel auf der Kugel 3.4.1.2 Spezielle Koordinatensysteme 3.4.1.3 Spharisches Zweieck 3.4.1.4 Spharisches Dreieck . 3.4.1.5 Polardreieck . 3.4.1.6 Eulersche und Nicht-Eulersche Dreiecke . 3.4.1.7 Dreikant . 3.4.2 Haupteigenschaften spharischer Dreiecke . 3.4.2.1 Allgemeine Aussagen . 3.4.2.2 Grundformeln und Anwendungen 3.4.2.3 Weit ere Formeln . 3.4.3 Berechnung spharischer Dreiecke . . . . . . 3.4.3.1 Grundaufgaben, Genauigkeitsbetrachtungen 3.4.3.2 Rechtwinklig spharisches Dreieck 3.4.3.3 Schiefwinklig spharisches Dreieck 3.4.3.4 Spharische Kurven . . . Vektoralgebra und analytische Geometrie . 3.5.1 Vektoralgebra 3.5.1.1 Definition des Vektors . Rechenregeln...... . . 3.5.1.2 . 3.5.1.3 Skalarprodukt und Vektorprodukt 3.5.1.4 Mehrfache multiplikative Verkntipfungcn 3.5.1.5 Vektoriclle Gleichungen . 3.5.1.6 Kovariante und kontravariante Koorclinatcn eines Vektors 3.5.1.7 Geometrische Anwendungen del' Vcktoralgebra . 3.5.2 Analytische Geometrie der Ebene . Ebene Koordinatensysteme . 3.5.2.1 139 140 140 140 140 141 142 142 144 144 145 145 145 145 148 148 140 151 154 154 155 156 159 163 163 163 165 166 166 167 168 1G8 HiS 168 HiD 172 In 17:~ In 175 17D 18G ISG 18G 18H 188 IOU 102 10:~ 104 IDG 1DG Inhaltsverzeichnis XIII 3Ji 3.5.2.2 Koordinatentransfonnationen 3.5.2.3 Spezielle Punkte in del' Ebene 3.5.2.4 Fliicheninhalte . . . . 3.5.2.5 Gleichung einer Kurve 3.5.2.6 Gerade. 3.5.2.7 Kreis... 3.5.2.8 Ellipse.. 3.5.2.9 Hyperbel 3.5.2.10 Parabel . 3.5.2.11 Kurven 2. Ordnung (Kegelschnitte) 3.5.3 Analytische Geometrie des Raumes . . . . . 3.5.3.1 Grundlagen, raumliche Koordinatensysteme 3.5.3.2 Transformation rechtwinkliger Koordinaten . 3.5.3.3 Teilung einer Strecke .. 3.5.3.4 System aus vier Punkten 3.5.3.5 Gleichung einer Flache 3.5.:3.6 Ebenen im Raum . . .. 3.5.3.7 Geraden im Raum 3.5.3.8 Schnittpunkte und Winkel von Ebenen und Geraclen 3.5.3.9 Flachen 2. Ordnung, Gleichungen in Normalform . 3.5.3.10 Flachen 2. Ordnung, allgemeine Theorie . Differentialgeometrie . . . . . . . . . . 3.6.1 Ebene Kurven . 3.6.1.1 Definitionen ebener Kurven . 3.6.1.2 Lokale Elemente einer Kurve . 3.6.1.3 Ausgezeichnete Kurvenpunkte und Asymptoten 3.6.1.4 Allgemeine Untersuchung einer Kurve nach ihrer Gleichung 3.6.1.5 Evoluten und Evolventen . . . . 3.6.1.6 Einhtillende von Kurvenscharen 3.6.2 Raumkurven . 3.6.2.1 Definitionen fur Raumkurven 3.6.2.2 Begleitendes Dreibein , . . 3.6.2.3 Krummuug und Windung :3.6.:3 Fliiehcn . :Hi.:3.1 Definitiouon fur Fliichen . 3.6.:3.2 Tangentialebene und Flachennormale :3.0.3.:3 Linienelement auf einer Flache . . . . 3.6.3.4 Krummung duel' Fliiche . . . . . . . :3.CU1.5 Regelfiachen und abwickelbare Fliichen :3.6.:3.G GeocHitische Linien aufeiner Flache . . 4.1.'1 t1.1.5 4.1.6 4.2 Begriff clcr Matrix . . . Quadratische Matrizen Vektorou . Rechenopemtionen mit. Matrizcn . Rechcnregcln fiir Mutrizou Vektor- und Mntrizcnnorm 4.1.6.1 Vcktornormon .. 4.1.0.2 Matrizennormon Determinanten 202 204 206 208 210 213 213 217 219 219 219 220 223 225 226 230 232 232 232 232 238 243 244 244 245 245 246 248 251 251 252 253 255 257 258 259 4 Lineare Algebra ·1.1 I\1ntrizen............ 4.1.1 4.1.2 4.1.:3 196 197 199 199 199 . 259 259 260 261 262 265 266 266 267 267 • XIV Inhaltsverzeichnis I 4.3 4.4 4.5 4.2.1 Definitionen........... 4.2.2 Rechenregeln fiir Determinanten 4.2.3 Berechnung von Determinanten Tensoren................. 4.3.1 Transformation des Koordinatensystems . 4.3.2 Tensoren in kartesischen Koordinaten 4.3.3 Tensoren mit speziellen Eigenschaften 4.3.3.1 Tensoren 2. Stufe . . . . . . 4.3.3.2 Invariante Tensoren. . . . . 4.3.4 Tensoren in krummlinigen Koordinatensystemen 4.3.4.1 Kovariante und kontravariante Basisvektoren . 4.3.4.2 Kovariante und kontravariante Koordinaten von Tensoren 1. Stufe 4.3.4.3 Kovariante, kontravariante und gemischte Koordinaten von Tensoren 2. Stufe . . . 4.3.4.4 Rechenregeln................ 4.3.5 Pseudotensoren.................... 4.3.5.1 Punktspiegelung am Koordinatenursprung 4.3.5.2 Einfuhrung des Begriffs Pseudotensor Lineare Gleichungssysteme . . . . . . . . . . 4.4.1 Lineare Systeme, Austauschverfahren 4.4.1.1 Lineare Systeme . . . . . 4.4.1.2 Austauschverfahren.... 4.4.1.3 Lineare Abhangigkeiten . 4.4.1.4 Invertierung einer Matrix. 4.4.2 Losung linearer Gleichungssysteme . 4.4.2.1 Definition und Losbarkeit 4.4.2.2 Anwendung des Austauschverfahrens 4.4.2.3 Cramersche Regel. . . . . . . . . GauBscher Algorithmus . . . . . . . . 4.4.2.4 4.4.3 Uberbestimmte lineare Gleichungssysteme. . . 4.4.3.1 Uberbestimrnte lineare Gleichungssysteme und lineare Quadratmittelprobleme 4.4.3.2 Hinweise zur numerischen Losung linearer Quadratrnittelproblemo Eigenwertaufgaben bei Matrizen . . . . 4.5.1 Allgemeines Eigenwertproblem . . . . 4.5.2 Spezielles Eigenwertproblem . . . . . 4.5.2.1 Charakteristisches Polynom . 4.5.2.2 Reelle symmetrische Matrizen, AlmlichkeitstransformationCll 4.5.2.3 Hauptachsentransformation quadratischer Formen . . . . 4.5.2.4 Hinweise zur numerischen Bestimmung von Eigenwerten . 4.5.3 Singularwertzerlegung......................... Algebra und Diskrete Mathematik 5.1 5.2 Logik . 5.1.1 Aussagenlogik . 5.1.2 Ausdriicke der Pradikatenlogik . Mengenlehre . 5.2.1 Mengenbegriff, spezielle Mengen 5.2.2 Operationen mit Mengen . . . . 5.2.3 Relationen und Abbildungen .. 5.2.4 Aquivalenz- und Ordnungsrelationen . 5.2.5 Machtigkoit von Mengen . . . . . . . 267 268 269 270 270 270 272 272 273 274 274 274 275 276 277 277 278 279 279 279 279 280 280 280 280 282 283 284 285 285 280 280 28G 280 280 288 280 2m 29:\ 295 2D5 2D5 298 2DD 2DD :301 30:i 300 :307 Inhaltsverzeichnis 5.3 5.4 fiJj Klassische algebraische Strukturen 5.3.1 Operationen. 5.3.2 Halbgruppen . 5.3.3 Gruppen.......... . . 5.3.3.1 Definition und grundlegende Eigenschaften 5.3.3.2 Untergruppen und direkte Produkte . 5.3.3.3 Abbildungen zwischen Gruppen 5.3.4 Darstellung von Gruppen . . . . 5.3.4.1 Definitionen . 5.3.4.2 SpezieIle Darstellungen . 5.3.4.3 Direkte Summe von Darstellungen . 5.3.4.4 Direktes Produkt von Darstellungen . 5.3.4.5 Reduzible und irreduzible DarsteIlungen 5.3.4.6 Erstes Schursches Lemma . 5.3.4.7 Clebsch-Cordan-Reihe . 5.3.4.8 Irreduzible Darstellung del' synunetrischen Gruppe 8 M 5.3.5 Anwendungen von Gruppen . 5.3.5.1 Symmetrieoperationen, Symmetrieelemente . 5.3.5.2 Synunetriegruppen............. 5.3.5.3 Symmetrieoperaticnen bei Molekiilen . . . . 5.3.5.4 Symmetriegruppen in del' Kristallographie . 5.3.5.5 Syrnmetriegruppen in del' Quantenmechanik 5.3.5.6 Weitere Anwendungsbeispiele aus del' Physik 5.3.6 Ringe und Karpel' . 5.3.6.1 Definitionen : . 5.3.6.2 Unterringe, Ideale . 5.3.6.3 Homomorphismen, Isomorphismen, Hornomorphiesatz 5.3.6.4 Endliche Karpel' und Schieberegister 5.3.7 Vektorraume . 5.3.7.1 Definition . 5.:3.7.2 Lineare Abhangigkeit . 5.3.7.3 Linearc AbbilcIungen . 5.:3.7.4 Unterraume, Dimensionsformel 5.3.7.5 Euklldische Vektorraume, Euklidische Norm 5.:3.7.G Lincare Operatoren in Vektorraumen Elementare Zahlcntheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.1 Teilbarkeit . 5.4.1.1 Teilbarkeit und elementare Teilbarkeitsregeln . 5.4.1.2 Primzahlen . .. 5.4.1.:3 Teilbarkeitskriterien 5.4.1.4 Gr6Bter genieinsanier Teller und kleinstes gomeinsames Vielfaches 5.4.1.5 Fibonacci-Zahlen . . . . . G.4.2 Lineare Diophantisohe Glcichungcn 5.iU~ Kongrueuzen und Restklusscn ., . G.4,4 Siitzc von Format, Euler und Wilson 5.4.5 Codierungen . . . . . . . . . . . . . 5.4.5.1 Priifr.oidwnverfahrcn... 5.4.1:i.2 Fehlerkorrigierende Codes Kryptologie . . . . . . . . . . . 5.5.1 Aufgabe del' Kryptologie .. 5.5.2 Kryptosysterne . 5.5.3 Mathcmatische Priizisierung XV 308 308 308 309 309 310 312 313 313 313 314 315 315 316 316 316 317 317 317 318 320 322 322 323 323 324 324 324 327 327 327 327 328 :328 329 330 330 330 330 3:32 333 334 335 337 341 341 342 34:3 34G 34G 34G 34G • XVI Inhaltsverzeichnis • Sicherheit von Kryptosystemen . 5.5.4.1 Methoden der klassischen Kryptologie . 5.5.4.2 Affine Substitutionen . 5.5.4.3 Vigenere-Chiffre . . . . . . . . 5.5.4.4 Matrixsubstitutionen . 5.5.5 Methoden der klassischen Kryptoanalysis 5.5.5.1 Statistische Analyse . . . . 5.5.5.2 Kasiski-Friedman-Test .. 5.5.6 One-Time-Tape . 5.5.7 Verfahren mit offentlichem Schliissel 5.5.7.1 Konzept von Diffie und Hellman 5.5.7.2 Einwegfunktionen . 5.5.7.3 RSA-Verfahren . 5.5.8 AES-Algorithmus (Advanced Encryption Standard) 5.5.9 IDEA-Algorithmus (International Data Encryption Algorithm) Universelle Algebra . 5.6.1 Definition . 5.6.2 Kongruenzrelationen, Faktoralgebren 5.6.3 Homomorphismen . 5.6.4 Homomorphiesatz........ 5.6.5 Varietaten............ 5.6.6 Termalgebren, freie Algebren .. Boolesche Algebren und Schaltalgebra . 5.7.1 Definition . 5.7.2 Dualitatsprlnzip . 5.7.3 Endliche Boolesche Algebren . . 5.7.4 Boolesche Algebren als Ordnungen . 5.7.5 Boolesche Funktionen, Boolesche Ausdriicke . 5.7.6 Norrnalformen . 5.7.7 Schaltalgebra " . Algorithmen der Graphent.heorie . 5.8.1 Grundbegriffe und Bezeichnungen . 5.8.2 Durchlaufungen von ungerichteten Graphen . 5.8.2.1 Kantenfolgen .. 5.8.2.2 Eulersche Linien 5.8.2.3 Hamilton-Kreise 5.8.3 Baume und Geriiste . 5.8.3.1 Baume . 5.8.3.2 Geriiste 5.8.4 Matchings.... 5.8.5 Planare Graphen 5.8.6 Balmen in gerichteten Graphen . 5.8.7 Transportnetze . Fuzzy-Logik............... 5.9.1 Grundlagen der Fuzzy-Logik .. 5.9.1.1 Interpretation von Fuzzy-Mengen (Unscharfe Mengen) 5.9.1.2 Zugehorigkeitsfunktionen................. 5.9.1.3 Fuzzy-Mengen . 5.9.2 Verkniipfungen unscharfer Mengen. . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.9.2.1 Konzept ftir eine Verknupfung (Aggregation) unscharfer Mengcn 5.9.2.2 Praktische Verkntipfungen unscharfer Mengcn . 5.9.2.3 Kompensatorische Operatoren . 5.5.4 5.6 5.7 5.8 5.9 347 347 348 348 348 349 349 349 350 350 350 351 351 352 352 353 353 353 353 354 354 354 355 355 355 356 356 356 358 358 361 361 364 364 365 366 :367 367 368 369 370 371 372 374 374 :374 :375 .377 378 379 379 382 Inhaltsverzeichnis 5.9.3 5.9.4 5.9.5 5.9.6 XVII 5.9.2.4 Erweiterungsprinzip . 5.9.2.5 Unscharfe Komplementfunktion Fuzzy-wertige Relationen . . . . . . . . . Fuzzy-Relationen . 5.9.3.1 5.9.3.2 Fuzzy-Relationenprodukt R 0 S Fuzzy-Inferenz . Defuzzifizierungsmethoden . . . Wissensbasierte Fuzzy-Systems 5.9.6.1 Methode Mamdani 5.9.6.2 Methode Sugeno . . . 5.9.6.3 Kognitive Systeme . . 5.9.6.4 Wissensbasiertes Interpolationssystem 6 Differentialrechnung 6.1 6.2 Differentiation von Funktionen einer Veranderlichen 6.1.1 Differentialquotient..................... 6.1.2 Differentiationsregeln fur Funktionen einer Veranderlicher 6.1.2.1 Ableitungen elementarer Funktionen Grundregeln filr das Differenzieren. . . . . . 6.1.2.2 6.1.3 Ableitungen hohercr Ordnung . . , . . . . . . . . . . 6.1.3.1 Definition der Ableitungen hoherer Ordnung 6.1.3.2 Ableitungen hoherer Ordnung der einfachsten Funktionen 6.1.3.3 Leibnizsche Regel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.3.4 Hohere Ableitungen von Funktionen in Parameterdarstellung 6.1.3.5 Ableitungen hoherer Ordnung der inversen Funktion 6.1.4 Hauptsatze der Differentialrechnung 6.1.4.1 Monotoniebedingungen. 6.1.4.2 Satz von Fermat. . . . . . 6.1.4.3 Satz von Rolle. . . . . . . 6.1.4.4 Mittelwertsatz der Differentialrechnung 6.1.4.5 Satz von Taylor ftir Funktionen von einer Veriinderlichen . 6.1.4.6 Verallgemeinerter Mittelwertsatz der Differentialrechnung 6.1.5 Bestimmung von Extremwerten und Wendepunkten 6.1.5.1 Maxima und Minima. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1..5.2 Notwenclige Bedinguug fiir die Existenz clues relativen Extromwertes 6.1.5.3 Relative Extremwerte einer differenzierbaren, explizit gegebcnen Funktion y = f(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 6.1.5.4 Bestimmung del' globalen Extromwerte . . . . . . . . . . . . .. 6.1.5.5 Bestimmung del' Extremwerte einer irnplizit gegebenen Funktion Differentiation von Funktionen von mehreren Vcriinderlichen . 6.2.1 Particlle Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.1.1 Partielle Ableitung einer Funktiou . . . . . . . . . 6.2.1.2 Geometrische Bedeutung bei zwei Veninderlichen . 6.2.1.:3 Begriff des Differentials. . . . . . . . 6.2.1.4 Hauptcigouschaftcn dOH Differentials. . . . . . . . 6.2.1.5 Partiellcs Differential . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.2 Vollstandiges Differcutial und Differentialc hoheror Ordnung . Bcgriff des vollstandigen Differentials duel' Funktion von mchroren 6.2.2.1 Vorauderlichen (totales Differential) . . . . . . . . . . . . . . 6.2.2.2 Ableitungou und Differentiale hohorer Ordnungen . . . . . . 6.2.2.:3 Satz von Taylor fiir Funktionen von mohrercn Veriindcrlichen 6.2.:3 Differentiationsregeln flir Funktionen von mehreren Veriinderlichen . . 382 382 383 383 385 386 388 389 389 389 390 392 394 394 394 395 395 395 401 401 401 401 402 402 403 403 403 404 404 405 405 405 405 406 406 407 407 40S 40S 40S 408 408 400 410 410 410 411 412 41:3 XVIII I Inhaltsverzeichnis 6.2.4 6.2.5 6.2.3.1 Differentiation von zusammengesetzten Funktionen ' . 6.2.3.2 Differentiation impliziter Funktionen . Substitution von Variablen in Differentialausdriicken und Koordinatentransformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.4.1 Funktion von einer Veranderlichen . 6.2.4.2 Funktion zweierVeranderlicher . Extremwerte von Funktionen von mehreren Veranderlichen 6.2.5.1 Definition . 6.2.5.2 Geometrische Bedeutung . 6.2.5.3 Bestimmung der Extremwerte einer Funktion von zwei Veranderlichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.5.4 Bestimmung der Extremwerte einer Funktion von n Veranderlichen 6.2.5.5 Losung von Approximationsaufgaben . 6.2.5.6 Bestimmung der Extremwerte unter Vorgabe von Nebenbedingungen 7 Unendliche Reihen 7.1 Zahlenfolgen . 7.1.1 Eigenschaften von Zahlenfolgen .. 7.1.1.1 Definition der Zahlenfolge 7.1.1.2 Monotone Zahlenfolgen . 7.1.1.3 Beschrankte Folgen . 7.1.2 Grenzwerte von Zahlenfolgen . 7.2 Reihen mit konstanten Gliedern . . . 7.2.1 AllgemeineKonvergenzsatze . 7.2.1.1 Konvergenz und Divergenz unendlicher Reihen 7.2.1.2 Allgemeine Satze tiber die Konvergenz von Reihen 7.2.2 Konvergenzkriterien ftir Reihen mit positiven Gliedern 7.2.2.1 Vergleichskriterium . 7.2.2.2 Quotientenkriterium von d'Alembert 7.2.2.3 Wurzelkriterium von Cauchy. 7.2.2.4 Integralkriterium von Cauchy 7.2.3 Absolute und bedingte Konvergenz . 7.2.3.1 Definition . 7.2.3.2 Eigenschaften absolut konvergenter Reihen 7.2.3.3 Alternierende Reihen . . . . . . . . . . .. 7.2.4 Einige spezielle Reihen . 7.2.4.1 Summenwerte einiger Reihen mit konstanten Gliedern 7.2.4.2 Bernoullische und Eulersche Zahlen 7.2.5 Abschatzung des Reihenrestes . . . . . .'. 7.2.5.1 Abschiitzung mittels Majorante . 7.2.5.2 Alternierende konvergenteReihen 7.2.5.3 Spezielle Reihen . Funktionenreihen....... .. 7.3 7.3.1 Definitionen . . . . . , .. 7.3.2 CleichmafiigeKonvergenz . ., 7.3.2.1 Definition, Satz von Weierstrass 7.3.2.2 Eigenschaften gleichmafilg konvergenter Reihen . 7.3.3 Potenzreihen , . . . 7.3.3.1 Definition, Konvergenz , . 7.3.3.2 Rechnen mit Potenzreihen . . . . . . . . 7.3.3.3 Entwicklung in Taylor-Reihen, MacLaurinsche Reihe 7.3.4 Naherungsformeln . 413 413 415 415 416 417 417 417 418 418 418 419 420 420 420 420 420 420 421 422 422 422 423 423 423 424 424 425 425 425 420 42G 427 427 428 420 42D 430 430 430 43n 431 4~~1 432 L132 432 43:3 434 435 Inhaltsverzeichnis 7.3.5 7.4 8 Asymptotische Potenzreihen . . . . . 7.3.5.1 Asymptotische Gleichheit . 7.3.5.2 Asymptotische Potenzreihen Fourier-Roihen . . . 7.4.1 Trigonometrische Summe und Fourier-Reihe 7.4.1.1 Grundbegriffe . 7.4.1.2 Wichtigste Eigenschaften von Fourier-Reihen . 7.4.2 Koeffizientenbestimmung fur symmetrische Funktionen 7.4.2.1 Symmetrien verschiedener Art . Formen del' Entwicklung in eine Fourier-Reihe . 7.4.2.2 7.4.3 Koeffizientenbestimmung mit Hilfe numerischer Methoden 7.4.4 Fourier--R.eihe und Fourier-Integral . 7.4.5 Hinweise z ur Tabelle einiger Fourier-Entwicklungen Integralrechnung 8.1 Unbestinuntes Integral . . . . . . . . . 8.1.1 Stammfunktion oder Integral. . Unbestimmte Integrale 8.1.1.1 8.1.1.2 Integrale elementarer Funktionen 8.1.2 Integrationsregeln.............. 8.1.3 Integration rationaler F'unktionen . . . . . 8.1.3.1 Integrale ganzrationaler Funktionen (Polynome) 8.1.:3.2 Integrale gebrochenrationaler Funktionen Vier FaIle bei del' Partialbruchzerlegung. . . . . 8.1.3.3 8.1.4 Integration irrationaler Funktionen Substitution zur Ruckfiihrung auf Integrale rationaler Funktionen. 8.1.4.1 8.1.4.2 Integration binomischer Integranden . Elliptische Integrale. . . . . . . 8.1.4.3 8.1.5 Integration trigonometrischer Funktionen Substitution........... 8.1.5.1 Vereinfachte Methoden . . . . . 8.1.5.2 8.1.0 Integration weiterer transzendenter Funktionen 8.1.G.1 Integrale mit Exponentialfunktionen . 8.l.Ci.2 Integrale mit Hyperhelfunktionen . . Anwenclung del' partiellen Integration S.I.G.3 ii.1.0,4 Irrtegrale transzendonter Funktionen . S.2 Bestimmte Integra.lc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.1 Crundbegrtffe, Regeln und Satze . . . . . . . . Definition und Existenz des bestimmten Integrals. 8.2.1.1 Eigenscuafton bestimmter Integrale . . 8.2.1.2 8.2.1.:3 Weitere Siitze tiber Integrationsgrcnzen 8.2.1..1 Borochnung bestimmter Integrale . . . 8.2.2 Anwondungen bestinuntcr Integrale . . . . . . . Allgemoines Prinzip zur Auwendung des bestimmtcu Integrals. 8.2.2.1 1".2.2.2 Anwendungen in del' Geometric . . . . . . . . . 8.2.2.:3 Anwendungen in Mechanik lind Physik . . . . . 1-\.2.:\ Unnigent.liche Intcgrale, Stieltjes und Lobesgue-Integrale 8.2.:3.1 Verallgemcincruugen des Integralbegriffs .. . H.2.:t2 Integrale mit unendlichen Integrationsgrenzen 8.2.:t:~ Intogralo mit unbeschranktem Integrandon 8.2.4 Panunotoi-integrale . . . . . . . . . . . . . 8.2.4.1 Definition des Parameterintegrals . . . . . XIX 435 435 435 437 437 437 438 439 439 440 441 441 442 444 444 444 445 445 445 449 449 449 449 452 452 453 453 455 455 455 456 456 456 457 457 457 457 457 458 4CiO 462 464 464 4G5 4G7 470 470 471 47:3 47G 476 XX I lnhaltsverzeichnis 8.3 8.4 8.5 8.2.4.2 Differentiation unter dem Integralzeichen . . . . . . . . . . . . .. 8.2.4.3 Integration unter dem Integralzeichen . . . . . . . . . . . . . . .. 8.2.5 Integration durch Reihenentwicklung, spezielle nichtelementare Funktionen. Kurvenintegrale . . . . . . . . 8.3.1 Kurvenintegrale 1. Art 8.3.1.1 Definitionen . 8.3.1.2 Existenzsatz . 8.3.1.3 Berechnung des Kurvenintegrals 1. Art 8.3.1.4 Anwendungen des Kurvenintegrals 1. Art 8.3.2 Kurvenintegrale 2. Art 8.3.2.1 Definitionen............... 8.3.2.2 Existenzsatz............... 8.3.2.3 Berechnung del' Kurvenintegrale 2. Art 8.3.3 Kurvenintegrale allgemeiner Art . . . . . . . . . 8.3.3.1 Definition................ 8.3.3.2 Eigenschaften des Kurvenintegrals allgemeiner Art 8.3.3.3 Umlaufintegral.................. 8.3.4 Unabhsngigkeit des Kurvenintegrals vom Integrationsweg 8.3.4.1 Zweidimensionaler Fall . . . . 8.3.4.2 Existenz del' Stammfunktion . . 8.3.4.3 Dreidimensionaler Fall . . . . . 8.3.4.4 Berechnung del' Stammfunktion Mehrfachintegrale . . . . . . . . . . . . . . 8.4.1 Doppelintegral............... 8.4.1.1 Begriff des Doppelintegrals . . . 8.4.1.2 Berechnung des Doppelintegrals 8.4.1.3 Anwendungen von Doppelintegralen . 8.4.2 Dreifachintegral............... 8.4.2.1 Begriff des Dreifachintegrals . . . . . 8.4.2.2 Berechnung des Dreifachintegrals .. 8.4.2.3 Anwendungen von Dreifachintegralen Oberflachenintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5.1 Oberflachenintegrale 1. Art. . . . . . . . . . . 8.5.1.1 Begriff des 0 berflachenintegrals 1. Art. 8.5.1.2 Berechnung des Oberflachenintegrals 1. Art. 8.5.1.3 Anwendungen des Oberfiachenintegrals 1. Art 8.5.2 Oberfiachenintegrale 2. Art. . . . . . . . . . . . . . . 8.5.2.1 Begriff des Oberflachenintegrals 2. Art. . . . 8.5.2.2 Berechnung des Oberflachenintegrals 2. Art. 8.5.3 Oberflachenintegral allgemeiner Art . . . . . . . . . . 8.5.3.1 Begriff des Oberflachenintegrals allgemeiner Art 8.5.3.2 Eigenschaften des Oberflachenintegrals Differentialgleichungen Gewohnliche Differentialgleichungen 9.1.1 Differentialgleichungen 1. Ordnung 9.1.1.1 Existenzsatz, Richtungsfeld D.1.1.2 Wichtige Integrationsmethoden 9.1.1.3 Implizite Differentialgleichungen . 9.1.1.4 Singulare Integrale und singulare Punkte 9.1.1.5 Naherungsmethoden zur Integration von Differentialgleichungen 1. Ordnung .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. n.I 476 476 477 479 480 480 480 481 482 482 482 483 483 484 484 484 485 485 485 486 486 486 488 488 488 489 491 491 491 492 496 49G 496 496 498 499 499 499 501 502 502 502 504 504 505 505 50G son GI0 51:3 InhaZtsverzeichnis XXI 9.1.2 9.2 Differentialgleichungen hoherer Ordnung und Systeme von Differentialgleichungen . . . . . . . . . 9.1.2.1 Grundlegende Betrachtungen 9.1.2.2 Erniedrigung del' Ordnung . . . . . . . . . . . 9.1.2.3 Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung 9.1.2.4 Losung linearer Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten 9.1.2.5 Systeme linearer Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1.2.6 Lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung 9.1.3 Randwertprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1.3.1 Problemstellung............... 9.1.3.2 Haupteigenschaften del' Eigenfunktionen und Eigenwerte 9.1.3.3 Entwicklung nach Eigenfunktionen 9.1.3.4 Singulars Hille Partielle Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . 9.2.1 Partielle Differentialgleichungen 1. Ordnung . 9.2.1.1 Lineare partielle Differentialgleichungen 1. Ordnung 9.2.1.2 Nichtlineare partielle Differentialgleichungen 1. Ordnung . 9.2.2 Lineare partielle Differentialgleichungen 2. Ordnung . . . . . . . . 9.2.2.1 Klassifikation und Eigenschaften del' Differentialgleichungen 2. Ordnung mit zwei unabhangigen Veranderlichen .. . . . . . '.' . " 9.2.2.2 Klassifikation und Eigenschaften del' Differentialgleichungen 2. Ordnung mit mehr als zwei unabhangigen Veranderlichen 9.2.2.3 Integrationsmethoden fur lineare partielle Differentialgleichungen 2. Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2.3 Partielle Differentialgleichungen aus Naturwissenschaft und Technik 9.2.3.1 Problemstellungen und Randbedingungen. . . . . . . . . . 9.2.3.2 Wellengleichung........................ 9.2.3.3 Warmeleitungs- und Diffusionsgleichung fiir ein homogenes Medium 9.2.3.4 Potentialgleichung 9.2.3.5 Schrodinger-Gleichung........................ 9.2.4 Nichtlineare partielle Differentialgleichungen: Solitonen, periodische Muster und Chaos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2.4.1 Physikalisch-mathematische Problemstellung . 9.2.4.2 Korteweg-de--Vries--Gleichuug... 9.2.4.3 Nichtlineare Schrodinger-Glelchung . . . . . . 9.2.4.4 Sinus-Gordon--Gleichung............ 9.2.4.5 Weitere nichtlineare Evolutionsgleiohungen mit Solitonlosungen . 10 Variationsrechnung 10.1 Aufgabenstellung......... 10.2 10.3 IDA Historische Aufgaben . 10.2.1 Isoperimetrisches Problem 10.2.2 Brachistochronenproblem . Variationsaufgaben mit Funktionen einer Veriinderlichen 10.:3.1 Einfache Variationsaufgabc unci Extremale . . . l(1.~1.2 Eulerschc Differentialgleichung del' Vanationsreohnung . 10.:3.:3 Variationsaufgabeu mit Nebenbediugungen . 10.3.4 Variationsaufgaben mit hoheren Ableitungen . . . . . . 10.:3.5 Variationsaufgaben mit mehreren gesuchten Funktionen 10.3.6 Variationsaufgaben in Parameterdarstcllung . Variationsaufgaben mit Funktionen von mehroren Veriinderlichen 515 515 516 518 520 522 525 532 532 533 534 534 535 535 535 537 540 540 542 543 554 554 555 556 557 557 566 566 5(i8 569 569 571 572 572 573 573 57:3 57:! 574 574 576 577 577 578 579 XXII Inhalteuerzeichmis I 10.5 10.6 10.4.1 Einfache Variationsaufgabe . . . . .. 10.4.2 Allgemeinere Variationsaufgaben . . . Numerische Losung von Variationsaufgaben . Ergiinzungen............. 10.6.1 Erste und zweite Variation . 10.6.2 Anwendungen in del' Physik 579 580 580 582 582 582 11 Lineare Integralgleichungen 583 11.1 Einfilhrung und Klassifikation . . . . . . . . . . . . 583 11.2 Fredholmsche Integralgleichungen 2. Art. . . . . . . 584 11.2.1 Integralgleichungen mit ausgearteten Kernen 584 587 11.2.2 Methode del' sukzessiven Approximation, Neumann-Reihe . 11.2.3 Fredholmsehe Losungsmethode, Fredholmsehe Satze 589 11.2.3.1 Fredholmsche Losungsmethode 5S9 11.2.3.2 Fredholmsche Siitze . . . . . . . . ~ . . . . . . . . 591 11.2.4 Numerische Verfahren fur Fredholmsehe Integralgleichungen 2. Art 592 11.2.4.1 Approximation des Integrals 592 594 11.2.4.2 Kernapproximation . . . 11.2.4.3 Kollokationsmethode . . . . 596 11.3 Fredholmsche Integralgleichungen 1. Art . . . 59S 11.3.1 Integralgleichungen mit ausgearteten Kernen 598 11.3.2 Begriffe, analytische Grundlagen . . . . . . . 599 11.3.3 Zuriickfuhrung del' Integralgleichung auf ein lineares Gleichungssystem 600 11.3.4 Losung del' homogenen Integralgleichung 1. Art . . . . . . . . . . . . . 602 11.3.5 Konstruktion zweier spezieller Orthonormalsysteme zu einem gegebenen Kern 603 604 11.3.6 Iteratives Verfahren . . . 11.4 Volterrasche Integralgleichungen . . 605 11.4.1 Theoretische Grundlagen . . 605 11.4.2 Losung durch Differentiation 606 11.4.3 Neumannsche Reihe zur Losung del' Volterraschen Integralgleichungen 2. Art 607 11.4.4 Volterrasche Integralgleichungen yom Faltungstyp . . . . . . . . 608 11.4.5 Numerische Behandlung Volterrascher Integralgleichungen 2. Art 609 611 11.5 Singulare Integralgleichungen. . . . . . . . . . . . . . . . 11.5.1 Abelschelntegralgleichung . . . . . . . . . . . . . 611 612 11.5.2 Singuliire Integralgleichungen mit Cauchy-Kernen 11.5.2.1 Formulierung del' Aufgabe . . . . . 612 11.5.2.2 Existenz einer Losung . . . . . . . . 613 11.5.2.3 Eigenschaften des Cauchy-Integrals 613 11.5.2.4 Hilbertsches Randwertproblem. . . 613 11.5.2.5 Losung des Hilbertschen R.andwertproblems 614 11.5.2.6 Losung del' charakteristischen Integralgleichung 614 2 Funktionalanalysis 12.1 Vektordiume.................. 12.1.1 Begriff des Vektorraurnes . . . . . . . 12.1.2 Line are und affin-lineare Teilmengen . 12.1.3 Linear unabhsngige Elemente . . . . 12.1.4 Konvexe Teilmengen und konvexe Htille 12.1.4.1 Konvexe Mengen . . . . . . 12.1.4.2 Kegel 12.1.5 Lineare Operatoren und Funktionale . 12.1.5.1 Abbildungen 616 616 616 017 619 619 61D 620 620 620 Inhalisuerzeichnis 12.2 12.3 12.4 12.5 12.1.5.2 Homomorphismus und Endomorphismus 12.1.5.3 Isomorphe Vektorraume . . 12.1.6 Komplexifikation reeller Vektorraume 12.1.7 Geordnete Vektorraume . . . . . . . . 12.1.7.1 Kegel und Halbordnung .. 12.1.7.2 Ordnungsbeschrankte Mengen 12.1.7.3 Positive Operatoren . 12.1.7.4 Vektorverbande . . . Metrische Raume . . . . . . . . . . . 12.2.1 Begriff des metrischen Raumes 12.2.1.1 Kugeln, Umgebungen und offene Mengen 12.2.1.2 Konvergenz von Folgen im metrischen Raum 12.2.1.3 Abgeschlossene Mengen und AbschlieJ3ung . 12.2.1.4 Dichte Teilmengen und separable metrische Raume . 12.2.2 Vollstandige metrische Raume . . . . . . 12.2.2.1 Cauchy-Folge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2.2.2 Vollstandiger metrischer Raum . . . . . . . . . . . . 12.2.2.3 Einige fundamentale Satse in vollstandigen metrischen Raumen . 12.2.2.4 Einige Anwendungen des Kontraktionsprinzips 12.2.2.5 Vervollstandigung eines metrischen Raumes . 12.2.3 Stetige Operatoren . . . . . . Normierte Raume . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.3.1 Begriff des normierten Raumes . . . . . . 12.3.1.1 Axiome des normierten Raumes 12.3.1.2 Einige Eigenschaften normierterRaume . 12.3.2 Banach-Raume . . . . . . . . . . . . . . 12.3.2.1 Reihen in normierten Raumen . 12.3.2.2 Beispiele von Banach-Raumen . 12.3.2.3 Sobolew-Raume . 12.3.3 Geordnete normierte Raume 12.3.4 Normierte Algebren . . . . . Hilbert-Raume 12.4.1 Begriff des Hilbert-Raumes . 12.4.1.1 Skalarprodukt . . . 12.4.1.2 Unitare Raume und einige ihrer Eigenschaften 12.4.1.3 Hilbert-Raum . . . . . . . . . . . 12.4.2 Orthogonalitat 12.4.2.1 Eigenschaften del' Orthogonalitat 12.4.2.2 Orthogonale Systeme . . 12.4.3 Fourier-Reihen im Hilbert-Raum . . . . . 12.4.3.1 Bestapproximation . . . . . . . . 12.4.3.2 Parsevalsche Gleichung, Satz von Riesz-Fischer . 12.4.4 Existenz einer Basis. Isomorphs Hilbcrt-Rhumc . . . . . . Stetige lineare Operatoren und Funktionale . . . . . . . . . . . . 12.5.1 Boschranktheit, Norm und Stetigkeit linearer Operatoren 12.5.1.1 Bescliriinktheit und Norm lincarer Operatoren 12.5.1.2 Raum Iinearcr stetiger Oporatoreu . . 12.5.1.:3 Konvergenz von Operatorcnfolgen . . . . 12.5.2 Lineare stetige Operatoren in Banach-Riunnen . . 12.5.3 Elemento der Spcktraltheorie Iinearer Operatorcn . 12.5.:.3.1 Resolventenmenge und Resolvcnte eines Operators 12.5.3.2 Spektrum cines Operators . . . . . . . . . . . . . XXIII 621 621 621 621 621 622 623 623 624 624 626 626 627 627 628 628 628 628 629 631 631 631 631 631 632 632 632 633 633 634 634 6:35 635 6:35 G:35 6:3G G3G 63G G:37 G:38 638 GS8 G30 0:39 G:3D (j:39 040 640 G40 642 G42 643 XXIV 12.6 12.7 12.8 12.9 Inhaltsverzeichnis 12.5.4 Stetige lineare Funktionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.5.4.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.5.4.2 Stetige lineare Funktionale im Hilbert-Raum, Satz von Riesz 12.5.4.3 Stetige lineare Funktionale in LP . 12.5.5 Fortsetzung vonlinearen Funktionalen . 12.5.6 Trennung konvexer Mengen. . . . . . . 12.5.7 Bidualer Raum und reflexive Raume . . Adjungierte Operatoren in norrnicrten Raumen 12.6.1 Adjungierter Operator zu eincm beschrankten Operator 12.6.2 Adjungierter Operator zu einem unbeschrankten Operator. 12.6.3 Selbstadjungierte Operatoren , . . . . . 12.6.3.1 Positiv definite Operatoren , . 12.6.3.2 Projektoren im Hilbert-Raum Kornpakte Mengen und kompakte Operatoren . 12.7.1 Kompakte Teilmengsn in norrnierten Raumen . 12.7.2 Kompakte Operatoren 12.7.2.1 Begriff des kompakten Operators .. 12.7.2.2 Eigenschaften linearer kompakter Operatoren . 12.7.2.3 Schwache Konvergenz von Elementen 12.7.3 Frednolmsche Alternative. . . . . . . . . 12.7.4 Kompakte Operatoren im Hilbert-Raum 12.7.5 Kompakte selbstadjungierte Operatoren . Nichtlineare Operatoren 12.8.1 Beispiele nichtlinearer Operatoren . . . . 12.8.2 Differenzierbarkeit nichtlinearer Operatoren . 12.8.3 Newton-Verfahren 12.8.4 Schaudersches Fixpunktprinzip . 12.8.5 Leray-Schauder-Theorie . . . . 12.8.6 Positive nichtlineare Operatoren 12.8.7 Monotone Operatoren in Banach-Raumen Ma.J3 und Lebesgue-Integral. . . . 12.9.1 Sigma-Algebren und MaJ3e . 12.9.2 Mefibare Funktionen . . . . 12.9.2.1 Mei3bare Funktion 12.9.2.2 Eigensehaften der Klasse der meJ3baren Funktionon . 12.9.3 Integration. . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.9.3.1 Definition des Integrals . . . . . . 12.9.3.2 Einige Eigenschaften des Integrals 12.9.3.3 Konvergenzsiitze 12.9.4 LP~Riiume . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.9.5 Distributionen , , , .. , , . 12,9.5.1 Formel der partiellen Integration, 12.9.5.2 Verallgemeinerte Ableitung . 12.9.5.3 Distribution .. , . . . . . . 12.9.5.4 Ableitung einer Distribntion .3 Vektoranalysis und Feldtheorie 13.1 GrundbegrifIe der Feldtheorie. . . . . , . . .. 13.1.1 Vektorfunktion einer skalaren Variablen 13.1.1.1 Definitionen. . . , . . . . . . 13.1.1.2 Ableitung einer Vektorfnnktion 13.1.1.3 Differentiationsregeln fUr Vektoren 643 643 644 64,1 645 645 646 646 646 647 648 648 648 648 648 649 649 649 649 G50 650 650 651 651 652 652 653 654 654 G55 G55 G55 G57 G57 G57 Gr.7 (jfi7 G58 058 fi5!] GGII GGII fifilJ <ilil filiI 6(j3 Uti:! fiU:l Wi:l UIi:.l UU:l Inhaltsver'zeichnis 13.2 13.1.1.4 Taylor-Entwicklung fur Vektorfunktionen . 13.1.2 Skalarfelder .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.1.2.1 Skalares Feld oder skalare Punktfunktion . 13.1.2.2 Wichtige FaIle skalarer Felder . . . . . . . 13.1.2.3 Koordinatendarstellung von Skalarfeldern . 13.1.2.4 Niveauflachen und Niveaulinien . . . . . . 13.1.3 Vektorfelder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.1.3.1 Vektorielles Feld oder vektorielle Punktfunktion 13.1.3.2 Wichtige FaIle vektorieller Felder . . . . . . . . 13.1.3.3 Koordinatendarstellung von Vektorfeldern . . . . . . . . 13.1.3.4 Ubergang von einem Koordinatensystem zu einem anderen 13.1.3.5 Feldlinien . . . . . . . . . . . . . . . . . Raumliche Differentialoperationen . . . . . . . . . . . . . 13.2.1 Richtungs- und Volumenableitung . . . . . . . . . 13.2.1.1 Richtungsableitung eines skalaren Feldes . 13.2.1.2 Richtungsableitung eines vektoriellen Feldes 1:3.2.1.3 Volumenableitung oder raumliche Ableitung 1:3.2.2 Gradient eines Skalarfeldes . . . . . . . . . . . . . . 13.2.2.1 Definition des Gradienten . . . . 13.2.2.2 Gradient und Richtungsableitung 13.2.2.3 Gradient und Volumenableitung. ., 13.2.2.4 Weitere Eigenschaften des Gradienten . . . . . . . . . 13.2.2.5 Gradient des Skalarfeldes in verschiedenen Koordinaten 13.2.2.6 Rechenregeln . . 13.2.3 Vektorgradient 13.2.4 Divergenz des Vektorfeldes . . . . 13.2.4.1 Definition del' Divergenz 1:3.2.4.2 Divergenz in verschiedenen Koordinaten 1:3.2.4.3 Regeln zur Berechnung del' Divergenz 1:3.2.4.4 Divergenz eines Zentralfeldes .. .. 1:3.2.5 Rotation des Vektorfelcles . . . . . . . . . . . . 1:3.2.5.1 Definitionen del' Rotation 1:3.2.5.2 Rotation in verschiedenen Koordinaten 1:3.2.5.:3 Rcgeln zur Bcrechnung cler Rotation. 1:3.2.5.4 Rotation des Potentialfeldes 1a.2.G Nal.laoperator, Laplace-Operator . . . . . . . 1:3.2.G.l Nahlaoperator . . . . . . . . . . . . . 1:3.2.fi.2 Rnchenregeln fiir den Nablaoperator . 13.2.G.:3 Vektorgradient .. . . . . . . . . . . 1:3.2.GA Zweifache Anwenclung des Nablaoperators 1:3.2.G.5 Laplace-Operator. . . . . . . . . . . . . . 1:3.2.7 Ol)(!rsicht zu den riiumlichen Dlffereutialoperationen 13.2.7.1 Prinzipielle Vorknupfungen und Ergebnisse fur Differentialoperatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1:\.2.7.2 Rechenregeln fiir Differentialopcratoren . . . . . . . . . . . . . . . la.2.7.:3 Vektoranalytische Ausdriicke in kartesischen, Zylindcr und Kugel- koordinatcn . . . . . . . . . . . . t:i.a XXV Integrat.ion ill Vektorfulderu la.a.l Knrvenintegral und Potential im Voktorfeld l:L:3.l.1 Knrvenintegral im Voktorfeld .. 1:~.:U.2 Bedeutung des Knrvenintegrals in dol' Mechanik 1a.:.U.:.3 Eigenschaften des Kurvenintegrals . . . . . . . . 664 664 664 664 665 665 665 665 666 667 668 669 670 670 670 670 671 671 671 672 672 672 672 673 673 673 673 674 674 674 675 G75 G7G (j7G G77 G77 G77 G77 G7S G7S G7S G7D G7D G70 mm G81 081 081 082 G82 XXVI Inhaltsverzeichnis 683 683 683 684 684 685 685 13.3.1.4 Kurvenintegral in kartesischen Koordinaten . 13.3.1.5 Umlauf integral eines Vektorfeldes 13.3.1.6 Konservatives oder Potentialfeld .. 13.3.2 Oberfiachenintegrale . 13.3.2.1 Vektor eines ebenen Flachenstiickes 13.3.2.2 Berechnung von Oberflachenintegralen 13.3.2.3 Oberflachenintegrale und Fluf von Feldern 13.3.2.4 Oberflachenintegrale in kartesisc:hen Koordinaten als . Oberflachenintegrale 2. Art 13.3.3 Integralsatze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 13.3.3.1 Integralsatz und Integralformel von GauE 13.3.3.2 Integralsatz von Stokes . 13.3.3.3 Integralsatze von Green. Berechnung von Feldern . 13.4.1 Heines Quellenfeld . 13.4.2 Heines Wirbelfeld oder quellenfreies Wirbelfeld 13.4.3 Vektorfelder mit punktformigen Quellen .. 13.4.3.1 Coulomb-Fold del' Punktladung . 13.4.3.2 Gravitationsfeld del' Punktmasse 13.4.4 Superposition von Feldern ., . . . . . . . 13.4.4.1 Diskrete Quellenverteilung . . . . 13.4.4.2 Kontinuierliche Quellenverteilung 13.4.4.3 Zusammenfassung . . . Differentialgleichungen der Feldtheorie .. 13.5.1 Laplacesche Differentialgleichung . 13.5.2 Poissonsche Differentialgleichung . 686 687 687 687 688 689 689 689 690 690 690 690 690 691 691 691 691 691 14 Funktionentheorie 14.1 Funktionen einer komplexen Veranderlichen . 14.1.1 Stetigkeit, Differenzierbarkeit . . . . . 14.1.1.1 Definition del' komplexen Funktion 14.1.1.2 Grenzwert der komplexen Funktion 14.1.1.3 Stetigkeit del' komplexen Funktion . 14.1.1.4 Differenzierbarkeit der komplexen Funktion . 14.1.2 Analytische Funktionen . . . . . . . . . . . . . 14.1.2.1 Definition del' analytischen Funktion . 14.1.2.2 Beispiele analytischer Funktionen . . . 14.1.2.3 Eigenschaften analytiseher Funktionen 14.1.2.4 Singulare Punkte . . . . . . . . . . . . 14.1.3 Konforme Abbildung . . . . . . . . . . . . . . . 14.1.3.1 Begriff und Eigenschaften del' konforrnen Abbildung 14.1.3.2 Einfaehste konforme Abbildungen 14.1.3.:3 Sehwarzsches Spiegelungsprinzip . 14.1.:3.4 Komplexe Potentialc: . . . . . . . 14.1.3.5 Superpositionsprinzip. . . . . . . 14.1.3.6 Beliebige Abbildung del' komplexen Zahlenebene .2 Integration im Komplexen 14.2.1 Bestimmtes und unbestimmtes Integral . . . . . . . . . . 14.2.1.1 Definition des Integrals im Komplexen , . . . . . 14.2.1.2 Eigenschaften und Berechnung komplexer Integrale 14.2.2 Integralsatz von Cauchy, Hauptsatz del' Funktionontheorie . . . . . . . . 14.2.2.1 Integralsatz von Cauchy fur einfach zusammenhangend« Gebiete 693 693 693 693 69:3 693 60:3 6D4 694 G04 094 605 GDG GDG (if)7 703 70:3 705 700 707 707 707 708 710 710 13.4 13.5 Inhaltsverzeichnis 14.:3 14.4 14.5 14.6 14.2.2.2 Integralsatz von Cauchy fiir mehrfach zusammenhangencle Gebiete 14.2.~3 Integralformeln von Cauchy 14.2.3.1 Analytische Funktion innerhalb eines Gebietes 14.2.3.2 Analytische Funktion auferhalb eines Gebietes Potenzreihenentwicklung analytischer Funktionen. . . . . . . . 14.3.1 Konvergenz von Reihen mit komplexen Gliedern .. . . . . . . 14.3.1.1 Konvergenz einer Zahlenfolge mit komplexen Gliedern 14.3.1.2 Konvergenz einer unendlichen Reihe mit komplexen Gliedern 14.3.1.3 Potenzreihen im Komplexen 14.:3.2 Taylor-Reihe 14.3.3 Prinzip del' analytischen Fortsetzung . 14.3.4 Laurent-Entwicklung . . . . . . . . . . . . . . 14.3.5 Isolierte singulare Stellen und del' Residuensatz 14.3.5.1 Isolierte singulare Stellen 14.3.5.2 Meromorphe Funktionen 14.3.5.:3 Elliptische Funktionen 14.3.5.4 Residuum . . . . . . . . 14.3.5.5 Residuensatz " . . . .. Bereclmung reeller Integrale durch Integration im Komplexen 14.4.1 Anwendung del' Cauchyschen Integralformeln 14.4.2 Anwendung des Residuensatzes . . 14.4.3 Anwendungen des Lemmas von Jordan .. 14.4.3.1 Lemma von Jordan . . . . . . . . 14.4.3.2 Beispiele zum Lemma von Jordan . Algebraische und elementare transzendente Funktionen 14.5.1 Algebraische Funktionen . . . . . . . . . . . 14.5.2 Elementare transzendente Funktionen . . . . 14.5.3 Beschreibung von Kurven in komplexer Form Elliptisehe Funktionen H.eLl Zusammenhang mit elliptischen Integralen 14.0.2 .Iacobische Funktionen .. . 1'1.0.:3 Thetafuuktionen . . . . . . . 1·1.0,4 Weierfltrasflsche Funktionen . 15 Integrnltransformationen 1s.t l.'i.:.! XXVII Bl'/!;riffdel' Integraltransformation . . . . . . . . . . . . . . 1G.I.! Allgemeine Definition del' Integraltrausformationen . IG.1.2 Spezlelle Integraltransformationeu . . . IS.1.:1 Umkchrtrausformationen . . . . . . . . . . . . . . . If>.1 A Linearitfit del' Integraltransformationen . . . . . . . lfl.1.5 Integraltransformationcn fiir Funktionen von mehreren Verandorlichen 1:).1.0 Anwondungun del' Intograltrausformatlonen . Laplace Transformation 1;;.2.1 Eiw·usdmft,(·u del' Laplaca-Transformation . . . . . . . . . 1fi.2.1.1 Laplace-Transformierte, Original- und Bildbereich 1fl.2.1.2 Rcchonrogeln zur Lnplaoc-Transformation ., lfl.2.1.:3 Bildfunktioueu apozieller Funktionen . . . . . 1fl.2.1.'1 Diracsohe Delta- Funktion und Distributionen lfi.2.2 H.ikktl'llllflformlLtion in den Originalbereich . . . . . 18.2.2.1 Riicktransfonnution mit. Hilfe von Tabollen 1fi.2.2.2 Partialbruohzerlegung 1f,.2.2.:3 Rnihunentwickluugen . . . . . . . . . . . . 710 711 711 711 711 711 711 712 712 713 714 714 715 715 715 715 7Hi 7Hi 717 717 717 717 717 718 720 720 720 723 724 724 72G 727 728 7aO 7:30 7an 7:~() 7:Hl 7:32 7:t2 7:32 7~~a 7;):~ 7;);) 7:M 7:37 740 741 741 741 742 XXVIII Inhalisuerzeichsiis I 15.3 15.4 15.5 15.6 15.2.2.4 Umkehrintegral " 15.2.3 Losung von Differentialgleichungen mit Hilfe del' Laplace-Transformation.. 15.2.3.1 Gew6hnliche Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten 15.2.3.2 Gewohnliche Differentialgleichungen mit veranderlichen Koeffizienten. . . . . . . . . . . . . . . . 15.2.3.3 Partielle Differentialgleichungen . Fourier-Transformation............... 15.3.1 Eigenschaften del' Fourier-Transformation. 15.3.1.1 Fourier-Integral. . . . . . . . . . 15.3.1.2 Fourier-Transformation und Umkehrtransformation 15.3.1.3 Rechenregeln zur Fourier-Transformation. . . . . . . 15.3.1.4 Bildfunktionen spezieller Funktionen .. . . . . . . 15.3.2 Losung von Differentialgleichungen mit Hilfe del' Fourier-Transformation. 15.3.2.1 Gewohnliche lineare Differentialgleichungen . 15.3.2.2 Partielle Differentialgleichungen Z-Transformation............... 15.4.1 Eigenschaften del' Z-Transformation . . . 15.4.1.1 Diskrete Funktionen . . . . . . 15.4.1.2 Definition del' Z-TI'ansformation . 15.4.1.3 Rechenregeln " . 15.4.1.4 Zusammenhang mit del' Laplace-Transformation 15.4.1.5 Umkehrung del' Z-Transformation . . . . . . . . 15.4.2 Anwendungen del' Z-Transformation. . . . . . . . . . . . 15.4.2.1 Allgemeine Losung linearer Differenzengleichungen . 15.4.2.2 Differenzengleichung 2. Ordnung (Anfangswertaufgabe) 15.4.2.3 Differenzengleichung 2. Ordnung (Randwertaufgabe) . Wavelet-Transformation 15.5.1 Signale . . . . . . . . . . 15.5.2 Wavelets . . . . . . . . . 15.5.3 Wavelet-Transformation 15.5.4 Diskrete Wavolet-Transformation 15.5.4.1 Schnelle Wavelet-Transformation 15.5.4.2 Diskrete Haar-Wavelet-Transforrnation . 15.5.5 Gabor-Transformation Walsh··Ful1ktionen..... 15.6.1 Treppenfunktionen . . 15.6.2 Walsh-Systems . .. . 16 Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik 16.1 16.2 Kornbinatorik . . . . . 16.1.1 Permutationen. 16.1.2 Kombinationen 16.1.3 Variationen .. 16.1.4 Zusammenstellung del' Formeln del' Kombinatorik Wahrscheinlichkeitsrechnung . 16.2.1 Ereignisse, Haufigkeiten und Wahrseheinlichkeiton 16.2.1.1 Ereignisso . 16.2.1.2 Haufigkeiten undWahrscheinlichkoiten . 16.2.L3Bedingte Wahrscheinlichkeiten, Satz von Bayes. 16.2.2 Zufallsgrofien, Verteilungsfunktion 16.2.2.1 Zufallsveranderliohe . 16.2.2.2 Verteilnngsfunktion . . . 743 744 744 745 746 747 747 747 748 750 753 754 754 755 757 757 757 757 758 759 760 761 761 762 763 763 763 764 765 766 76G 76G 76G 767 767 767 768 768 7Ci8 768 70D 770 770 770 770 771 77:J 774 77·1 7711 Inhaltsvcrzeichnis 16.3 10.,1 16.2.2.3 Erwartungswert und Streuung, Tschebyscheffsche Ungleichung 16.2.2.4 Mehrdimensionale Zufallsveranderlichn 16.2.3 Diskrete Verteilungen . . . . . . . . . . . . 16.2.3.1 Binomialverteilung . . . . . . 16.2.3.2 Hypergeometrische Verteilung . 16.2.3.3 Poisson-Verteilung 16.2.4 Stetige Verteilungen . . . 16.2.4.1 Normalverteilung . . . . . . . 16.2.4.2 Normierte Normalverteilung, GauBsches Fehlerintegral . 16.2.4.3 Logarithmische Normalverteilung 16.2.4.4 Exponentialverteilung 16.2.4.5 Weibull-Verteilung 16.2.4.6 x2-Verteilung . . . 16.2.4.7 Fisher-Verteilung . 16.2.4.8 Student-Verteilung . 16.2.5 Gesetze der grofien Zahlen, Crenzwertsatze 16.2.5.1 Gesetz der grofien Zahlen von Bernoulli 16.2.5.2 Grenzwertsatz von Lindeberg-Levy .. 16.2.6 Stochastische Prozesse und stochastische Ketten 16.2.6.1 Grundbegriffe, Markoffsche Ketten 16.2.6.2 Poisson-Prozesse Mathematische Statistik . . . . . . . . . 16.3.1 Stichprobenfunktionen 16.3.1.1 Grundgesamtheit, Stichproben, Zufallsvektor . 16.3.1.2 Stichprobenfunktionen . 16.3.2 Beschreibende Statistik 16.3.2.1 Statistische Erfassung gegebener MeBwerte . 16.3.2.2 Statistische Parameter . 16.3.3 Wichtige Prufverfahren . 16.3.3.1 Priifen auf Normalverteilung 16.3.3.2 Verteilung del' Stichprobenrnittelwerte 16.3.3.3 Vertrauensgrenzen fur den Mittelwert 16.3.:3.4 Vertrauensgrenzen fiir die Streuung 16.3.:3.5 Prinzip der Priifvcrfahren . lCi.:3.4 Korrelation und Regression . . . . . . . . . . . 16.:3.4.1 Lineare Korrelation bei zwei meJ3baren Merkmalen 16.:3.4.2 Lineare Regression bei zwei mef3baren Merkmalen 16.3.4.3 Mehrdirnensionale Regression 16.:3.5 Monte-Carlo-Methode 16.3.5.1 Simulation . lG.:3.5.2 Zufallszahlen . . . . . . . . . Hi.:3.5.:3 Beispiel nil' eine Monte-Carlo-Simulation . lG.:3.5.'1 Anwendungen del' Monte-Carla-Methode in der numerischen Mathematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.:3.5.5 Weitere Anwcmclungen del' Monte-Carlo-Methode Theorio del' Melifehler . 1GA.1 Mcfifehler und ihre Verteilung . WALl Mel3fehlereillteilullg nach qualitativen Merkmalen W.4.1.2 Meffehlerverteilungsdichte . . . . . . . . . . . . . 16.4.1.:3 Meffehlereinteilung nach quantitativen Merkmalen . 16.4.1.4 Angabe von Mef3ergebnissen mit Fehlergrenzen . . . 16.4.1.5 Fehlerreehnung ftir clirekte Messungen gleicher Genauigkeit XXIX 776 777 777 778 779 780 780 780 782 782 783 784 785 785 786 787 787 788 788 788 791 793 793 793 794 795 795 796 797 797 799 800 801 802 802 802 803 804 806 806 806 808 808 810 811 811 811 811 813 816 816 • XXX Inhaltsverze'ichnis 16.4.1.6 Fehlerrechnung fur direkte Messungen ungleicher Genauigkeit 16.4.2 Fehlerfortpflanzung und Fehleranalyse . . . . . 16.4.2.1 GauBsches Fehlerfortpflanzungsgesetz 16.4.2.2 Fehleranalyse . . . . . . . . . . . . . 17 Dynamische Systeme und Chaos 17.1 17.2 17.3 Gewohnliche Differentialgleichungen und Abbildungen 17.1.1 Dynamische Systeme . . . . 17.1.1.1 Grundbegriffe. . . . . . .. . . . . . 17.1.1.2 Invariante Mengen . 17.1.2 Qualitative Theorie gewohnlicher Differentialgleichungen . 17.1.2.1 Existenz des Flusses und Phasenraumstruktur 17.1.2.2 Lineare Differentialgleichungen 17.1.2.3 Stabilitatstheorie . . . . . . . 17.1.2.4 Invariante Mannigfaltigkeiten . 17.1.2.5 Poincare-Abbildung . . . . . . 17.1.2.6 Topologische Aquivalenz von Differentialglelchungen 17.1.3 Zeitdiskrete dynamische Systeme. . . . . . . . . . . . . . . 17.1.3.1 Ruhelagen, periodische Orbits und Grenzmengen . . . 17.1.3.2 Invariante Mannigfaltigkeiten . . . . . . . . . . . . . 17.1.3.3 Topologische Konjugiertheit von zeitdiskreten Systemen 17.1.4 Strukturelle Stabilitat (Robustheit) . . . . . . . 17.1.4.1 Strukturstabile Differentialgleichungen 17.1.4.2 Strukturstabile zeitdiskrete Systeme . 17.1.4.3 Generische Eigenschaften . . . . Quantitative Beschreibung von Attraktoren . . . 17.2.1 WahrscheinlichkeitsmaBe auf Attraktoren 17.2.1.1 Invariantes MaB . . . . . . . . 17.2.1.2 Elemente del' Ergodentheorie . 17.2.2 Entropien . . . .. . . . . . . . 17.2.2.1 Topologische Entropie 17.2.2.2 Metrische Entropie 17.2.3 Lyapunov-Exponenten . . . . . 17.2.4 Dimensionen . . . . . . . . . . . 17.2.4.1 Metrische Dimensionen . 17.2.4.2 Auf invariants MaBe zuriickgehende Dirnensionen 17.2.4.3 Lokale Hausdorff-Dimension nach Douady-Oesterle 17.2.4.4 Belsplele von Attraktoren . . . 17.2.5 Seltsame Attraktoren und Chaos. . . . . . . 17.2.6 Chaos in eindimensionalen Abbildungen . . . 17.2.7 R.ekonstruktion del' Dynamik aus Zeitreihen . 17.2.7.1 Grundlagen, Rekonstruktionen mit generischen Eigenschaften . 17.2.7.2 Rekonstruktionen mit pravalenten Eigenschaften Bifurkationstheorie und Wege zum Chaos . . . . . . . 17.3.1 Bifurkationen in Morse-Smale-Systemen . . . . . . . . . 17.3.1.1 Lokale Bifurkationen nahe Ruhelagen . . . . . . 17.3.1.2 Lokale Bifurkationen nahe einem periodischen Orbit 17.3.1.3 GlobaleBifurkationen 17.3.2 Ubergange zum Chaos 17.3.2.1 Kaskade von Periodenverdopplungen 17.3.2.2 Intermittenz. . . . . . . . . . . . 17.3.2.3 Globale homokline Bifurkationen .. 817 818 818 819 821 821 821 821 823 824 824 825 827 830 834 834 836 836 836 837 837 837 838 839 840 840 840 841 843 843 843 844 845 845 848 850 850 852 852 853 85:3 854 850 850 85G S(il 864 865 8(35 865 86G Inhaltsverzeichnis 17.3.2.4 Auflosung cines Torus 180ptimierung 18.1 18.2 18.:3 Lineare Optimierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.1.1 Problemstcllung und geometrische Darstellung 18.1.1.1 Formen del' linearen Optimierung . . 18.1.1.2 Beispiele und graphische Li:isungen. . 18.1.2 Grundbegriffe del' linearen Optimierung, Normalform 18.1.2.1 Ecke und Basis . . . . . . . . . . . . . . . . 18.1.2.2 Normalform del' linearen Optimierungsaufgabe 18.1.3 Simplexverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . 18.1.3.1 Simplextableau . . . . . . . . . . . . . . . 18.1.3.2 Ubergang zum neuen Simplextableau . . . 18.1.3.3 Bestimmung eines ersten Simplextableaus . 18.1.3.4 Revidiertes Simplexverfahren . . . . 18.1.3.5 Dualitat in del' linearen Optimierung 18.1.4 Spezielle lineare Optimierungsprobleme 18.1.4.1 Transportproblem . . 18.1.4.2 Zuordnungsproblem 18.1.4.3 Verteilungsproblem . 18.1.4.4 Rundreiseproblem , . 18.1.4.5 Reihenfolgeproblem . Nichtlineare Optimierung . . . . . . . 18.2.1 Problemstellung und theoretische Grundlagen . 18.2.1.1 Problemstellung. . . . . . . 18.2.1.2 Optimalitatsbedingungen 18.2.1.3 Dualitat in del' Optimierung . . . . 18.2.2 Spezielle nichtlineare Optimierungsaufgaben 18.2.2.1 Konvexe Optimierung 18.2.2.2 Quadratische Optimierung . . . . . 18.2.3 Losungsverfahren fur quadratische Optimierungsaufgaben 18.2.3.1 Verfahren von Wolfe .. . . . . 18.2.3.2 Vorfahrcn von Hildreth-cl'Esopo 18.2.4 Numerische Suchverfahren . . . . . . . . 18.2.4.1 Einduuensionale Suche . . . . . 18.2.4.2 Minimumsuche im n-dimensionalnn euklidischou Vektorrrunu 18.2.5 Verfahren fiir unrcstringierte Aufgabcn .. . . . . . . . . . . . . 18.2.5.1 Vorfahren des steilsten Abstiegos (Orudicntonverfnhrcn) 18.2.5.2 Anwcndung des Newtou-Vorfahrens . . . . . . . . . 18.2.5.3 Verfahren del' konjugierten Gradionteu . . . . . . . 18.2.5.4 Verfaliren von Davidon, Fletcher und Powell (DFP) 18.2.6 Evolutionsstrutegien 18.2.6.1 Mutntious-Solcktions-Strategie . . . . . . . . . . . 18.2.tJ.2 Stmtegien mit Rokombinutton . . . . . . . . . . . . 18.2.7 Crndioutenverfuhren fiir Problomo mit Uugloichuugsrcstriktiouen 18.2.7.1 Vorfaurou dor zuliissigcn Richtungon . 18.2.7.2 Vorfahren del' projlziorten Grndlcutou 18.2.8 Straf-- nnd Bamereverfahren 18.2.8.1 Strafvorfnhreu . . 18.2.8.2 Bnrrtereverfahren 18.2.0 Sclmittebcuenvorfahren . . Diskrete dynamische Optimierung XXXI 868 873 873 873 873 874 875 875 877 878 878 878 880 881 882 884 884 886 887 887 887 888 888 888 888 889 890 890 890 891 891 893 8m 894 804 805 3lJ5 8fJ5 8!lG 80G 807 307 807 808 808 000 002 002 sus !l04 DD5 I XXXII Inhaltsverzeichnis 18.3.1 Diskrete dynamische Entscheidungsmodelle . 18.3.1.1 n-stufige Entscheidungsprozesse .. 18.3.1.2 Dynamische Optimierungsproblerne 18.3.2 Beispiele diskreter Entscheidungsmodelle 18.3.2.1 Einkaufsproblem . 18.3.2.2 Rucksackproblem . 18.3.3 Bellmansche Funktionalgleichungen . 18.3.3.1 Eigenschaften del' Kostenfunktion 18.3.3.2 Formulierung del' Funktionalgleichungen 18.3.4 Bellmansches Optirnalitatsprinzip . 18.3.5 Bellmansche Funktionalgleichungsmethode . 18.3.5.1 Bestimmung del' minimalen Kosten . 18.3.5.2 Bestimmung del' optimalen Politik . . .. 18.3.6 Beispiele zur Anwendung del' Funktionalgleichungsmethode 18.3.6.1 Optimale Einkaufspolitik . 18.3.6.2 Rucksackproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Numerische Mathematik 19.1 Numerische Losung nichtlinearer Gleichungen mit einer Unbekannten 19.1.1 Iterationsverfahren . . . . . . . . . . . . . 19.1.1.1 Gewohnlichee Iterationsverfahren 19.1.1.2 Newton-Verfahren . . 19.1.1.3 Regula falsi . . . . . . 19.1.2 Losung von Polynomgleichungen 19.1.2.1 Horner-Schema . . . . 19.1.2.2 Lage del' Nullstellen . . 19.1.2.3 Numerische Verfahren 19.2 Numerische Losung von Gleichungssystemen 19.2.1 Lineare Gleichungssysteme . . . . . . 19.2.1.1 Dreieckszerlegung einer Matrix. 19,2.1.2 Cholesky-Verfahren bei symmetrischer Koeffizientenmatrix 19.2.1.3 Orthogonalisierungsverfahren . . . . . . 19.2.1.4 Iteration in Cesamt- und Einzelschritten 19.2.2 Nichtlineare Gleichungssysteme 19.2.2.1 Gew6hnliches Iterationsverfahren . . . . 19.2.2.2 Newton-Verfahren . . . . . . . . . . . . 19.2.2.3 Ableitungsfreies Gauf-Newton-Verfahren 19.3 Numerische Integration . . . . . . . 19.3.1 Allgemeine Quadraturformel 19.3.2 Interpolationsquadraturen 19.3.2.1 Rechteckformel . . 19.3.2.2 Trapezformel . . . 19.3.2.3 Hermitesche Trapezformel 19.3.2.4 Simpson-Forrnel . . . . . 19.3.3 Quadraturformeln vom Gaufi-Typ . 19.3.3.1 Gaui3sche Quadraturformeln 19.3.3.2 Lobattosche Quadraturformeln 19.3.4 Verfahren von Romberg. . . . . . . . . . 19.3.4.1 Algorithmus des Romberg-Verfahrens . 19.3.4.2 Extrapolationsprinzip 19.4 Geni:iherte Integration von gewohnlichen Differentialgleichungen . 19.4.1 Anfangswertaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 905 905 905 905 905 906 906 906 907 907 908 908 908 909 909 909 911 911 911 911 912 913 914 914 915 916 917 917 918 920 920 922 92:3 923 924 92.1 925 925 926 92Ci 926 927 927 927 927 928 928 928 929 931 931 InhaltsvcTzcichnis 19,4,1.1 Eulersches Polygonzugverfahren 19.4.1.2 Runge-Kutta-Verfahren , , . , 19.4,1.3 Mehrschrittverfahren , . , , , , 19.4.1.4 Prediktor-Korrektor-Verfahren , 19.4,1.5 Konvergenz, Konsistenz, Stabilitat 19.4,2 Randwertaufgaben " . " , 19.4.2,1 Differenzenverfahren 19,4,2,2 Ansatzverfahren . , , "."".. 19.4,2,3 SchieJ3verfahren . . " 19,5 Genaherte Integration von partiellen Differentialgleichungen 19.5,1 Differenzenverfahren " . , . , . . . . . . . 19.5,2 Ansatzverfahren . , . , . . . , , , . , . , .. , . . . 19,5.3 Methode del' finiten Elemente (FEM) ,. , . . . , , 19,6 Approximation, Ausgleichsrechnung, Harmonische Analyse 19,6.1 Polynominterpolation , , . , , , . , . , , , , 19,6.1.1 Newtonsche Interpolationsforrnel . 19,6.1.2 Interpolationsformel nach Lagrange 19,6.1.3 Interpolation nach Aitken-Neville . 19.6.2 Approximation im Mittel, . . . , , , .. , . 19.6.2,1 Stetige Aufgabe, Norrnalgleichungen . 19.6.2,2 Diskrete Aufgabe, Normalgleichungen, Householder-Verfahren 19,6,2.3 Mehrdimensionale Aufgaben , . , , , 19.6.2.4 Nichtlineare Quadratmittelaufgaben , , 19,6,3 Tschebyscheff-Approximation . , .. , , . , . , 19.6,3,1 Aufgabenstellung und Alternantensatz 19,6.3.2 Eigenschaften del' Tschebyscheff-Polynome 19.6,3.3 Remes-Algorithmus " 19.6.3.4 Diskrete Tschebyscheff-Approximatlon und Optimierung 19,6.4 Hannonische Analyse , . . . , , , .. , .. , , , , . , 19.6.4.1 Forrneln zur trigonometrischen Interpolation 19.6.4,2 Schnelle Fourier-Transformation (FFT) . HJ.7 Darstellung von Kurven und Flachen mit Hilfe von Splines 10.7.1 Kubische Splines " . . . ,. 1g.7,1,1 Interpolationssplines 1D,7.1.2 Ausgleichssplines . , W.7.2 Bikubische Splines. , , . , , , 1D,7,2.1 Anwendung bikubischer Splines 19,7.2.2 Bikubische Interpolationssplines 19.7,2,:3 Bikubische Ausgleichssplines , . lD,7.:3 Bernstein-Bosicr-Darstellung von Kurven und Flachen , 10,7,3,1 Prinzip del' B-B--Kurvenclarstellung . 19,7,:3,2 B-B--FUichendarstellung l!),S Nutzung von Computern . , . , , H),8,l Interne Zeichendarstellung , , . , 10.8,1.1 Zahlensystemc " . " 10.8.1.2 Interne Zahlondarstellung 10,8,2 Numerische Problems bairn Rechnen auf Computern ID,8,2,1 Einfiihrung, Fehlerarten . , , , , , . , . , 1D,8,2.2 Normalisierte Dezimalzahlen und Rundung 1D,8.2,:3 Ccnauigkeltsfragen beim numerischen Rechnen , lD,8,S Bihliotheken numerischer Verfahren 19,8.:3.1 NAG-Bibliothek , . . . , , , .. , " , , , . , XXXIII 931 931 932 933 934 935 935 936 937 938 938 939 940 945 945 945 945 946 947 947 948 949 950 951 951 951 953 953 954 954 955 959 959 959 960 961 961 961 962 962 963 964 965 965 965 966 968 968 968 970 973 974 I XXXIV Inhaltsverzeichnis 19.8.3.2 IMSL-Bibliothek 19.8.3.3 Aachener Bibliothek . . 19.8.4 Anwendung von Computeralgebrasystemen 19.8.4.1 Mathematica 19.8.4.2 Maple . 20 Computeralgebrasysteme 20.1 Einfuhrung . 20.1.1 Kurzcharakteristik von Computeralgebrasystemen . 20.1.2 Einfiihrende Beispiele ftir die Hauptanwendungsgebiete . 20.1.2.1 Formelmanipulation . 20.1.2.2 Numerische Berechnungen . 20.1.2.3 Graphische Darstellungen . 20.1.2.4 Programmierung in Computeralgebrasystemen 20.1.3 Aufbau von und Umgang mit Computeralgebrasystemen . 20.1.3.1 Hauptstrukturelemente. 20.2 Mathematica . 20.2.1 Haupstrukturelemente . 20.2.2 Zahlenarten in Mathematica . 20.2.2.1 Grundtypen von Zahlen in Mathematica 20.2.2.2 Spezielle Zahlen . 20.2.2.3 Darstellung und Konvertierung von Zahlen 20.2.3 Wichtige Operatoren . . . . . . 20.2.4 Listen . 20.2.4.1 Begriff und Bedeutung 20.2.4.2 Verschachtelte Listen . 20.2.4.3 Operationen mit Listen. 20.2.4.4 Spezielle Listen . . . . . 20.2.5 Vektoren und Matrizen als Listen 20.2.5.1 Aufstellung geeigneter Listen. 20.2.5.2 Operationen mit Matrizen und Vektoren 20.2.6 Funktionen . 20.2.6.1 Standardfnnktionen. 20.2.6.2 Spezielle Funktionen 20.2.6.3 Reine Funktionen 20.2.7 Muster . . . . : . . . . 20.2.8 Funktionaloperationen . . 20.2.9 Programmierung . . . . . 20.2.10 Erganzungen zur Syntax, Informationen, Meldungen 20.2.10.1 Kontexte, Attribute. 20.2.10.2 Informationen . 20.2.10.3 Meldungen . . . . . 20.3 Maple 20.3.1 Hauptstrukturelemente . . . . 20.3.1.1 Typen und Objekte . 20.3.1.2 Eingaben und Ausgaben 20.3.2 Zahlenarten in Maple . . . . . . . 20.3.2.1 Grundtypen von Zahlen in Maple 20.3.2.2 Spezielle Zahlen . 20.3.2.3 Darstellung und Konvertierung von Zahlen 20.3.3 Wichtige Operatoren in Maple 20.3.4 Algebraische Ausdnicke . 974 975 975 975 979 982 982 982 983 983 983 984 984 984 984 986 98(:i 987 987 987 988 988 989 989 990 990 990 991 991 991 90a soa DOa D!l::$ Dn:l D04 on;:. DOG 90C. 9D7 9H7 ODS: DOR 908 Don 100ft 100f) 100ft lOon 1001 1001 Inhaltsverzeichnis 20.4 20.5 20.:3.5 Folgen und Listen . . . . . . . . 20.:3.6 Tabellen- und feldartige Struktu~~n: Vei(t'o;e~ ~~d'Jviat,riz~l~ 20.3.6.1 Tabellen- und feldartige Strukturen . 20.3.6.2 Eindimensionale Arrays . 20.3.6.3 Zweidimensionale Arrays . 20.3.6.4 Spezielle Anweisungen zu Vektoren und Matrizen . 20.3.7 Prozeduren, Funktionen und Operatoren 20.3.7.1 Prozeduren . . . . .. 20.3.7.2 Funktionen . . . . .. 20.3.7.3 Funktionaloperatornn , 20.3.7.4 Differentialoperatorsn .. 20.3.7.5 Der Funktionalopsrator map 20.3.8 Programmierung in Maple . . . . . . . . . . . . 20.3.9 Erganzungen zur Syntax, Informationen und Hilfe 20.3.9.1 Nutzung del' Maple-Bibliothek . 20.3.9.2 Umgebungsvariable . 20.3.9.3 Informationen und Hilfe . Anwendungen von Computel'algebrasystemen . 20.4.1 Manipulation algebraischer Ausdrucke . 20.4.1.1 Mathematica . 20.4.1.2 Maple . . . . . . . . . . . . . .. 20.4.2 Losung von Gleichungen und Gleichungssystemen . 20.4.2.1 Mathematica . . . . 20.4.2.2 Maple . . . . . . . . 20.4.3 Elemente der linearen Algebra 20.4.3.1 Mathematica . . . . 20.4.3.2 Maple . . . . . . .. 20.4.4 Differential- und Integralrechnung 20.4.4.1 Mathematica . 20.4.4.2 Maple . Craphik in Computeralgebrasystemen 20.5.1 Graphik mit Mathematica .. 20.5.1.1 Grundlagen des Graphikaufbaus 20.5.1.2 Craphik-Primitive . 20.5.1.3 Graphikoptionen . 20.5.1.4 Syntax del' Graphikdarstellung . 20.5.1.5 Zweidimensionale Kurven .. , 20.5.1.6 Parameterdarstellung von Kurven 20.5.1.7 Darstellung von Flachen und Raumkurven 20.5.2 Graphik mit Maple . 20.5.2.1 Zweidimensionale Craphik 20.5.2.2 Dreidimensionale Graphik 21 Tabellen 21.1 21.2 21.:~ 21.4 21.ii 21.G 21.7 Haulig gobranchte Konstanten Fuudamcntale physikalischc Konstanten Dei':imalvorsiitzc............ Physikalischo Einheiten im Sf-System vVichtige Roihonentwicklungen FOul'icl'Entwicklllngen........ Uubrstimmto Integrale . 21.7.1 Intograle rationaler Funktionen . xxxV 1002 1003 1003 1004 1004 1005 1005 1005 1006 1007 1007 1007 1008 1008 1008 1009 1009 1010 1010 1010 1012 1015 1015 1017 1019 1019 1021 1023 1023 1027 1030 1030 1030 103Cl 1031 1031 1033 1034 1035 1037 1037 1039 1041 1041 1041 1043 1043 1045 1050 1053 1053 XXXVI lnhaltsverzeichnis I 21.7.1.1 Integrale mit X = ax + b . . . . 21.7.1.2 Integrale mit X = ax 2 + bx + c 21.7.1.3 Integrale mit X = a2 ± x2 21.7.1.4 Integrale mit X = a3 ± x3 21.7.1.5 Integrals mit X = a4 + x 4 21.7.1.6 Integrale mit X = a4 - x 4 21.7.1.7 Einige Fane der Partialbruchzerlegung 21.7.2 Integrale irrationaler Funktionen . . . . 21.7.2.1 Integrals mit und a2 ± b2x 21.7.2.2 Andere Integrale mit 21.7.2.3 Integrale mit vax + b . 21.7.2.4 Integrale mit vax + b und.;rr:+g 21.7.2.5 Integrale mit va2 - x2 21.7.2.6 Integrale mit Vx 2 + a2 21.7.2.7 Integrale mit ~ 21.7.2.8 Integrale mit vax 2 + bx + c 21.7.2.9 Integrals mit anderen irrationalen Ausdrucken 21.7.2.10 Rekursionsformeln fiir Integral mit blnomischem Differential 21.7.3 Integrale trigonometrischer Funktionen . 21.7.3.1 Integrale mit Sinusfunktion . 21.7.3.2 Integrale mit Kosinusfunktion . 21.7.3.3 Integrale mit Sinus- und Kosinusfunktion 21.7.3.4 Integrale mit Tangensfunktion . 21.7.3.5 Integrale mit Kotangensfunktion . 21.7.4 Integrale anderer transzendenter Funktionen . 21.7.4.1 Integrale mit Hyperbelfunktionen .. 21.7.4.2 Integrale mit Exponentialfunktionen . 21.7.4.3 Integrale mit logarithmischen Funktionen . 21.7.4.4 Integrals mit inversen trigonometrischen Funktionen . 21.7.4.5 Integrale mit inversen Hyperbelfunktion . Bestimmte Integrale . 21.8.1 Bestimmte Integrale trigonometrischer Funktionen 21.8.2 Bestimmte Integrale von Exponentialfunktionen 21.8.3 Bestimmte Integrale logarithmischer Funktionen 21.8.4 Bestimmte Integrale algebraischer Funktionen . Elliptische Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.9.0.1 Elliptische Integrale 1. Gattung . 21.9.0.2 Elliptische Integrale 2. Gattung . 21.9.0.3 Vollstandige elliptische Integrale K und E . Cammafunktion . Bessel-Funktionen (Zylinderfunktionen) . Legendresche Polynome 1. Art (Kugelfunktionen) . Laplace-Transformationen . . . . . . . . . Fourier-Transformationen . 21.14.1 Fourier-Kosinus-Transformationen 21.14.2 Fourier-Sinus-Transformatlonen .. 21.14.3 Fourier-Transforrnationen . . . . . 21.14.4 Exponentielle Fourier-Transformationen Z- Transformationen . Poisson-Verteilung . Normierte Normalverteilung vx vx . 21.8 21.9 21.10 21.11 21.12 21.13 21.14 21.15 21.16 21.17 1053 1055 1056 1058 1059 1059 1059 1060 1060 1060 1060 1062 1063 1064 106£; 1068 1070 1070 1070 1070 107:3 1075 1079 1079 1080 1080 1081 1082 108.::;1 10S5 1086 108G 1087 108S lOB!) 1091 IOn 1 1001 1()D2 iooa 10n·l 10!)(j 1097 110;;4 110:'5 11()!,) 111 ~l . ·ll1ti 1117 1120 1122 Inhaltsverzeichnis 21.18 21.19 21.20 21.21 21.17.1 Normierte Normalverteilung fill' 0.00:::; x ::; 1.99 X· -Verteilung . Fishersche F-Verteilung Studentsche r-Verteilung Zufallszahlen . . . . . . . xxXVI.l 1122 1124 1125 1127 1128 22 Literatur 1129 Stichwortverzeichnis 1145 Mathematische Zeichen 1194
