Serie8 (Repetition Logik)

Logik & Mengenlehre I
Serie 8
Repetitionsfragen zur Logik
31. Syntax und formale Beweise.
(a) Was ist die Sprache einer Theorie? (z.B. Sprache der Gruppentheorie, Sprache der
Peano-Arithmetik, Sprache der Mengenlehre)
(b) Was sind Terme, was sind Formeln?
(c) Was sind logische Axiome, was sind nicht-logische Axiome?
(d) Was ist ein formaler Beweis?
(e) Wann ist eine Theorie konsistent, und wann ist ein Satz unabhängig von einer
gegebenen Theorie?
(f) Formuliere und beweise den Kompaktheitssatz.
32. Strukturen, Interpretationen und Modelle.
(a) Definiere die Begriffe L -Struktur und L -Interpretation.
(b) Was ist ein Modell einer Theorie?
(c) Formuliere den Korrektheitssatz und skizziere dessen Beweis.
33. Vollständigkeitssätze.
(a) Was besagt der Vollständigkeitssatz der Aussagenlogik, wie wird er bewiesen, und
wo im Beweis wird eine Form des Auswahlaxioms benutzt?
(b) Was besagt der Gödel’sche Vollständigkeitssatz, wie wird er bewiesen, und wo im
Beweis wird eine Form des Auswahlaxioms benutzt?
(c) Was sind die Konsequenzen des Gödel’schen Vollständigkeitssatzes für die “normale” Mathematik?
(d) Konstruiere mit dem Kompaktheitssatz und dem Gödel’schen Vollständigkeitssatz
ein nicht-standard Modell von PA.
34. Der Gödel’sche Unvollständigkeitssatz.
(a) Formuliere den Gödel’schen Unvollständigkeitssatz.
(b) Skizziere den Beweis des Gödel’schen Unvollständigkeitssatzes; insbesondere definiere die Begriffe Gödel’sche β-Funktion, Gödelzahlen, Gödelisierung.
(c) Ist der Satz χ unabhängig von PA und gilt N |= χ, dann muss es, nach dem
Gödel’schen Vollständigkeitssatz, auch ein Modell N |= PA geben, so dass gilt
N |= ¬χ. Wie ist das möglich falls zum Beispiel ¬χ ≡ bew(p0 = 1q).