Physik 4, Formelsammlung, Prof. Förster

Physik 4, Formelsammlung, Prof. Förster
Christoph Hansen
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Inhaltsverzeichnis
1 Brechung
1.1 Licht als Welle
1.2 Einzelspalt . .
1.3 Doppelspalt .
1.4 Gitter . . . . .
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3
3
4
4
4
2 Optische Instrumente
2.1 Matrizenoptik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Eigenschaften des Mikroskops . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Strahlensatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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7
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3 Thermodynamik
3.1 Stephan-Bolzmann-Gesetz und Newtonsches Abkühlugsgesetz
3.2 diverse Formeln zur Thermodynamik . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Energie von Photonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Lorentzverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Elektron im Magnetfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6 De Broglie Wellenlänge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7 Impulsunschärfe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.8 Röntgenbremsstrahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.9 Kristallgitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4 Wärmeleitung
4.1 Der Formkoeffizient . . . . .
4.2 Wärmeübergangskoeffizient
4.3 thermischer Widerstand . . .
4.4 Wärmekapazität . . . . . . .
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5 Quantenmechanik
5.1 Schrödingergleichungen . . . . . . . . . . .
5.2 Kastenpotential mit unendlich hohen Wänden
5.3 Energieniveaus eins Teilchens . . . . . . . .
5.4 Wellen an Potenzialbarrieren . . . . . . . . .
5.5 Teilchen im dreidimensionalen Potenzial: . .
5.6 Transfermatrizen . . . . . . . . . . . . . . . .
5.7 Verhalten des Elektrons im Potential . . . . .
5.8 Zeemann Effekt . . . . . . . . . . . . . . . .
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1
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2
5.9 Quantenzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
3
C. Hansen
1
Brechung
Das Brechungsgesetz nach Snellius ist:
sin(α) n1
=
sin(θ) n2
Zusammenhang geometrische und optische Wellenlänge:
∆geo = L
∆opt = L · n
Für den Phasenunterschied, müssen wir den optischen Weg einfach noch mit der Wellenzahl multiplizieren:
φ= L·n·
2π 4πnL
=
λ
λ
Phasensprünge:
Phasensprünge treten immer dann auf, wenn das Licht wenn das Licht von einem optisch dünneren
Medium (1), in ein optisch dichteres Medium (2) wechselt ⇒ n1 < n1 .
1.1
Licht als Welle
Warum wird Licht gebrochen?
Eine Lichtwelle erzeugt ein elektrisches Wechselfeld, wodurch jeden Atom im Ausbreitungsmaterial
zu einem Dipol wird. Dadurch entsteht eine Sekundärwelle, die sich mit der Primärwelle zu einer
resultierenden Welle vereinigt. Wegen der Dipoleigenschaften der Atom wird die resultierende elektrische Welle ein klein wenig abgelenkt. Wie stark die Welle abgelenkt wird, hängt davon ab wie
viel Energie in die Dipolentstehung gesteckt werden kann. Damit hängt die Ablenkung als von der
Frequenz des Lichtes ab, denn je höher die Frequenz, desto höher die Energie, desto höher die
Ablenkung.
Dispersion
Normale Dispersion bedeutet, wenn der Brechungsindex mit der Frequenz ansteigt.
Anormale Dispersion bedeutet, wenn der Brechungsindex mit der Frequenz abfällt.
Brechungsindex in Abhängigkeit der Resonanzfrequenz
s
n=
1+
Nq2e
1
·
0 · me ω20 − ω2
die Dämpfungskonstante γ ist hier Null
Totalreflexion
Der Winkel ist:
n2
θc = arcsin
n1
!
4
C. Hansen
1.2
Einzelspalt
Intensität in Abhängigkeit des Winkels
I(φ) = I0
sin2 (φ/2)
φ2 /4
φ=
mit
Minima und Maxima
Die Bedingung für Minima ist:
d · sin(θmin ) = mλ
Für Maxima gilt:
d · sin(θmax ) = (2m + 1)
λ
2
Mit d als Breite des Spalts.
1.3
Doppelspalt
Intensität in Abhängigkeit des Winkels
I(α) = I0
sin γ
γ
!2
cos2 δ
mit γ = 2k b sin α und δ = 2k a sin α
Minimum und Maximum
Die Bedingung für Minima ist:
1
a · sin(θmax ) = (m + )λ
2
Für Maxima gilt:
a · sin(θmin ) = mλ
Mit a als Abstand der Spalte.
1.4
Gitter
Gangunterschied:
d = n · λ = g · sin(φ)
2π
d sin(θ)
λ
5
C. Hansen
φ ist hierbei der Ablenkwinkel und n die Ordnung des Hauptmaximums. Für Hauptmaxima gilt
dann:
λ=
g · sin(φ)
n
Das Auflösungsvermögen berechnet sich so:
λ
= nN
∆λ
Dabei ist n wieder die Ordnung des Maximums und N die Anzahl der ausgeleuchteten Linien.
Auflösungsvermögen optischer Instrumente
α = 1.22
n · λ
d
Kohärenzlänge
Unter Kohärenzlänge versteht man die Länge auf der zwei Wellenzüge synchron zueinander verlauλ2
fen und noch interferieren können. Man schreibt: lc = τc · c und lc = ∆λ
Frequenzbandbreite
∆f =
2
c∆λ
λ2
Optische Instrumente
Brennpunkt eines Hohlspiegels
x=
R
1
q
2
1−
y2
R2
Mit R als Radius des Spiegels und y als Abstand des Strahls von der optischen Achse.
Linsenschleiferformel
1
1
1
−
D = = (n − 1)
f
R1 R2
!
Bei einer sphärischen Linse ist der Radius R2 negativ. Bei einer Zerstreuungslinse ist der Radius R1
negativ.
Zusammenhang Gegenstand-, Bild, und Brennweite (dünne Linsen)
1 1 1
= +
f
b g
⇔
b=
gf
g− f
⇔
Es gilt zudem:
1
1
1
1
=
+
+ ··· +
f
f1 f2
fn
f =
gb
b+g
6
C. Hansen
Vergrößerung einer Linse
M=
f
f − S1
dabei ist S 1 der Abstand des Gegenstandes von der Linse
Es gilt auch:
b B
M=− =
g G
Linsenfehler
1) Chromatische Aberration
Verschiedenfarbige Anteile eines Lichtstrahls werden unterschiedlich stark gebrochen
2) sphärische Aberration
Strahlen am Linsenrand werden stärker gebrochen als Strahlen in der Linsenmitte
3) Vignettierung
an den Bildrändern ist weniger Licht als in der Bildmitte. Die Bildränder erscheinen abgeschattet, dunkler.
2.1
Matrizenoptik
ungehinderte Ausbreitung über Distanz d:
1 d
T=
0 1
!
1
B=
0
!
Brechung an ebener Fläche:
0
n1
n2
Dabei entsprechen n1 , n2 den Brechzahlen vor und nach der Grenzfläche.
sphärisch gekrümmte Fläche


1 R =  n1
−
1 1r
n2

0 

n1 
n2
r ist hier der Krümmungsradius der Fläche.
dünne Linse
1
L= 1
−f
!
0
1
f > 0 falls die Linse fokussiert und f < 0, wenn die Linse defokussierend wirkt.
ebener Spiegel
1 0
S =
0 1
!
C. Hansen
7
sphärischer Spiegel
1 0
K= 2
r 1
2.2
!
Eigenschaften des Mikroskops
a) die nummerische Apertur ist mit für die minimale Auflösung des Teleskops verantwortlich, die
sich nach der Formel dmin = 1.22λ
2AN berechnet. Je besser, also je größer die nummerische
Apertur ist, desto besser ist die Auflösung des Mikroskops.
b) der Objektivdurchmesser verändert die Auflösung
c) Eine Feldlinse wir in einem Fernrohr verwendet und am Ort des Zwischenbildes installiert. Sie
lenkt die zusätzlich die äußersten Strahlen des Zwischenbildes ins Auge und trägt somit zur
Schärfung und zur Verbreiterung des Sichtfeldes bei. Siehe Abbildung 1
Abbildung 1:
Dioptrien
Dioptrien ist der Kehrwert der Brennweite. Es gilt D = 1f .
2.3
Strahlensatz
manchmal hilfreich:
Abbildung 2:
8
C. Hansen
3
3.1
Thermodynamik
Stephan-Bolzmann-Gesetz und Newtonsches Abkühlugsgesetz
Das Stephan-Bolzmann-Gesetz lautet:
P = σAT 4
gibt an wie viel Prozent die Fläche tatsächlich absorbiert. In den meisten Fällen wir mit = 1
gerechnet. σ ist die Stephan-Bolzmann-Konstante 5.6703 · 10−8
Das Newton’sche Abkühlungsgesetz gilt nur für Temperaturen nah der Umgebungstemperatur und
lautet:
t
T = T U + (T A − T U ) · e− τ
9
C. Hansen
3.2
diverse Formeln zur Thermodynamik
Ich glaube zwar nicht, das wir diese Formeln brauchen, aber ich packe sie mal dazu:
3.3
Energie von Photonen
E = hν =
3.4
hc
λ
mit
λ=
c
ν
Lorentzverteilung
Diese Verteilung braucht man bei folgendem Szenario:
Man hat ein Messgerät, das auf eine bestimmten Frequenz eingestellt ist, aber auch einen Fehler
hat. Man erhält mit der Verteilung dann eine Kurve, die abhängig vom Fehler beschreibt wie genau
man bei der eingestellten Frequenz messen kann. Dazu nutzt man folgende Formel:
L=
s
π s2 + (x − x0 )2
10
C. Hansen
s beschreibt den Fehler und x0 die eingestellte Frequenz. Das Integral von −∞ bis ∞ ist normiert.
Zwischen Messwert und der Lorentzverteilung gibt es folgenden Zusammenhang:
Messwert =
∞
Z
−∞
=
3.5
2hs
c2
Mν · L dν
Z ∞
−∞
x3
kx
dx
s2 + (ν − x)2 · e kT − 1
Elektron im Magnetfeld
Ein Ladung, das sich im Magnetfeld kreisförmig bewegt verliert Energie durch Strahlung. Diese
Energie ist pro Umlauf:
∆E =
3.6
q4 v2 B2
6π · 0 · m2 · c3
De Broglie Wellenlänge
Für beliebige Teilchen gilt:
λ=
h
p
p ist dabei der relativistische Impuls:
mv
p= q
2
1 − cv
3.7
p=
E
c
Impulsunschärfe
Die Impulsunschärfe ist direkt an das plank’sche Wirkungsquantum gekoppelt und lautet:
∆E · ∆t ≥ h
3.8
Röntgenbremsstrahlung
Es gilt:
Ekin = e · U
e ist die Elementarladung und U die Bremsspanung. Die minimale Wellenlange ist dann:
λmin =
3.9
hc
eU
Kristallgitter
Ich empfehle sich hier nochmal die Aufgabe 3 von Aufgabenblatt 7 anzuschauen!!
11
C. Hansen
Die reziproken Gittervektoren ergeben sich aus den Basisvektoren nach dieser Formel:
a2 × a3
V
a3 × a1
g2 = 2π
V
a1 × a2
g3 = 2π
V
g1 = 2π
Dabei ist V das Volumen, das durch die Basisvektoren aufgespannt wird.
Eine bestimmte Ebene im Kristallgitter wird so bestimmt: m1 : m2 : m3 =
die Länge der Basisvektoren normiert.
4
1
h
:
1
k
:
1
l
Es wird dabei auf
Wärmeleitung
Die Wärmemenge die ein Stoff aufnimmt erhält man so:
Q = m · cw · ∆T
Der Wärmestrom ist einfach die Wärmemenge, die über einen bestimmten Zeitraum fließt.
Die Wärmeleitfähigkeit, hängt vom Wärmestrom, der Länge, der Fläche und der Temperaturdifferenz
ab:
λ=
4.1
Q̇ · l
A · ∆T
Der Formkoeffizient
Es gibt viele Formen in denen es schwierig ist eine einfache Gleichung für den Wärmestrom aufzustellen. Dort kann man sehr einfach mit dem Formkoeffizienten rechnen:
Q̇ = −λF ∗ (T i − T a )
Der Formkoeffizient eines Rohres ist z.B. FR∗ = l ·
4.2
1 ln
ra
ri
Wärmeübergangskoeffizient
Q = αA · (T 1 − T 2 ) · ∆t
⇔
Q̇ = αA · (T 1 − T 2 )
Der Wärmeübergangswiderstand ergibt sich so:
RS =
1
αA
mehrere Schichten hintereinander:
1
1
1
=
+ ··· +
R R1
Rn
innerhalb eines Mediums ist der Wärmeübergangskoeffizient (auch Wärmeduchlasswiderstand)
α=
l
λ
Die Wärmemenge ist dann:
Q = R · A · t · ∆T
12
C. Hansen
4.3
thermischer Widerstand
Aus dem Wärmestrom kann man den thermischen Wiederstand einfach zusammensetzen:
Rth =
4.4
∆T
Q̇
Wärmekapazität
Die Wärmekapazität ergibt sich aus der spezifischen Wärmekapazität des Stoffes, dem Volumen
und der Dichte:
C = c sp · V · ρ
Die Zeit nach der sich ein thermisches Gleichgewicht einstellt, berechnet sich so:
τ = Rth · C
5
5.1
Quantenmechanik
Schrödingergleichungen
Die zeitunabhängige Schrödigergleichung lautet:
Eψ = −
~2 ∂2 ψ
+ V0 ψ
2m ∂x2
Die zeitabhängige Schrödigergleichung lautet:
i~
5.2
~2 ∂2 ψ
∂ψ
=−
+ V0 ψ
∂t
2m ∂x2
Kastenpotential mit unendlich hohen Wänden
Um sinnvolle Berechnungen über Aufenthaltswahrscheinlichkeiten anzustellen muss man die Wellenfunktion normieren. Die normierte Funktion sieht so aus:
r
ψn (x) =
nπ 2
· sin
x
L
L
Eine Kurve, die die Aufenthaltswahrscheinlichkeit beschreibt, erhalten wir indem wir das Quadrat
dieser Funktion über den fraglichen Bereich integrieren:
P=
r
nπ 2
 2

· sin
x 

L
L
b
Z
a
13
C. Hansen
5.3
Energieniveaus eins Teilchens
Die Energie eines Teilchens ist in der Quantenmechanik gequantelt. Das heißt, dass das Teilchen
nur bestimmte Energienniveaus annehmen kann. Die Energie ist dann:
En =
~2
n2
8mT · l2
Dabei gibt l die Länge bzw Breite des Potenzials an und n das Niveau.
5.4
Wellen an Potenzialbarrieren
Wenn eine Welle auf ein Potenzial V0 trifft, dann wird sie entweder verstärkt (Potenzial negativ) oder
abgeschwächt (Potenzial positiv). Dabei tritt in jedem Fall eine Reflexion und eine Transmission auf.
Dazu muss man die Wellenvektoren kennen:
r
Wellenvektor vor der Barriere:
Wellenvektor nach der Barriere:
2mT · E
~2
r
2mT · (E − V0 )
k2 =
~2
k1 =
Der Trans- bzw. Reflexionskoeffizient ist dann:
k1 − k2 2
R = k1 + k2 T =1−R
Die Geschwindigkeit und des Ort eine Teilchens können wir in der Quantenmechanik nur mit der
heisenberg’schen Unschärferelation bestimmen:
x = ∆x · ∆p
Für x wird so wie der Wert besser passt entweder 21 ~ oder 12 h eingesetzt. Die Energie kann man
dann so berechnen:
E=
5.5
∆p2
2mT
Teilchen im dreidimensionalen Potenzial:
Das Teilchen hat hier mehr Freiheitsgrade und es können mehrere Teilchen gleichzeitig verschiedene Energieniveaus n1−3 belegen. Daraus resultiert die sogenannte „Entartung“. Diese gibt an
wie viele Kombinationen es mit den gegebenen Energieniveaus gibt. Die Energie berechnet sich
nach:
En = (n21 + n22 + n23 ) ·
~2
8mT · l2
Die Wellenfunktion ändert sich dann zu folgendem:
ψ=
Cn1 ,n2 ,n3
| {z }
Normierungs f aktor
· sin
n πx n πy n πz 1
2
3
· sin
· sin
a
a
a
14
C. Hansen
In diesem Zusammenhang kann auch die Teilchenstromdichte s als auch die Stromdichte j von
Bedeutung sein:
s=ρ·v
j=n·q·v
5.6
Transfermatrizen
Mit der Hilfe von Transfermatrizen kann man sehr einfach bestimmen wie sich, bei einer bestimmten
eingegangen (oder ausgegangenen) Welle, die ausgehende (oder eingehende) Welle verhält.
Bei einer einfachen Barriere müssen wie Wellenfunktionen und Ableitungen stetig sein:
(1)
(2)
ψI (0) = ψII (0)
ψ0I (0) = ψ0II (0)
ψII (a) = ψIII (a)
ψ0II (a)
=
ψ0III (a)
Für den ersten Übergang
Für den zweiten Übergang
Aus den beiden Gleichungen von (1) können wir nun dieses Gleichungssystem aufstellen:
A+B=C+D
ik1 A − ik1 B = −κC + κD
aus (2) stellen wir äquvalent auf:
Ce−κa + Deκa = Feik1 a + Ge−ik1 a
−κCe−κa + κDeκa = ik1 Feik1 a − ik1Ge−ik1 a
Die Matrizen lauten dann:
!
! !
A
eik1 x
e−ik1 x
A
m1
=
B
ik1 eik1 x −ik1 eik1 x B
!
C
Die Transfermatrix für
erhalten wir aus dem linken Teil der Gleichungen (2):
D
!
! !
C
e−κx
eκx C
m2
=
D
−κe−κx κeκx D
Die Transfermatrix für
!
F
erhalten wir aus dem rechten Teil der Gleichungen (2):
G
!
! !
F
eik1 x
e−ik1 x
F
m3
=
ik
x
ik
x
1
1
G
ik1 e
−ik1 e
G
Wir stellen die Matrizen wie die Gleichungen auf:
m1 | x=0
m2 | x=a
!
A
= m2 | x=0
B
!
C
= m3 | x=a
D
!
C
D
!
F
G
15
C. Hansen
Wir formen um, sodass wir einsetzen können:
!
A
= m−1
1 | x=1 · m2 | x=0
B
!
c
= m−1
2 | x=1 · m3 | x=0
D
!
C
D
!
F
G
Durch einsetzen erhalten wir:
!
!
A
F
−1
= m−1
|
·
m
|
·
m
|
·
m
|
x=1
2 x=0
x=1
3 x=0
B
|1
{z 2
} G
T M1
Damit haben wir unsere Transfermatrix T M1 .
5.7
Verhalten des Elektrons im Potential
Wie beeinflusst man die Zeit des Elektrons im Potential? Dazu gibt es drei Faktoren, die man beeinflussen kann:
1) Breite des Potential zwischen den Barrieren
Wenn die Barrieren weiter auseinander sind, dann ist die Wahrscheinlichkeit, das sich
das Elektron in der Nähe der Barriere aufhält geringer. Man muss allerdings darauf achten, das man sie nicht zu weit auseinander stellt (einige nm), da es sonst keine ResonanzTunnelstruktur mehr ist.
2) Breite der Barriere
Wenn die Barriere an sich breiter wird (Wellenfunktion „sinkt“darin mit e−cx ), dann sinkt
damit die Wahrscheinlichkeit, dass das Elektron überhaupt auf die andere Seite der Barriere tunneln kann.
3) Energie des Elektron an sich
Wenn man ein Elektron mit sehr hoher Energie (hohe Amplitude in der Wellenfunktion)
hat, dann kann es entweder sein, das es das Quantenbauteil überhaupt nicht mitbekommt und einfach hindurchfliegt oder es wird in einem sehr hochenergetischen Energieniveau gefangen. In letzterem Fall kann die Amplitude sehr viel weiter gesenkt werden,
bis sie auf Null ist. Dadurch ist die Wahrscheinlichkeit von Elektronen mit einer hohen
Energie durch die Barriere zu tunneln höher als von Elektronen mit niedrigerer Energie.
Berechnen können wir die Zeit mit der Unschärferelation
∆t =
~
2∆E
Wenn wir Γ0 als Unsicherheitsfaktor der Lorentzfunktion betrachen, dann können wir die Zeit auch
so berechnen:
∆t =
5.8
~
2Γ0
Zeemann Effekt
Die Energie beim Zeemann Effekt ergibt sich aus:
Emag = −~ ·
q
· B · ml
2mq
C. Hansen
16
Dabei gilt folgender Zusammenhang zwischen dem Niveau l und der magnetischen Quantenzahl
ml :
Wenn l = x, dann ist ml = (−x, ..., 0, ...x)
Bei einer Aufspaltung gelten folgende Regeln für Übergange von einem Niveau l = 1 auf ein anderes
z.B. l = 0:
• ∆l = ±1
• ∆ml = ±1 oder ∆ml = 0
5.9
Quantenzahlen
Bei den Quantenzahlen gelten folgende Zusammenhänge:
l=n−1
|m| < l