Leistungselektronik - Formelsammlung
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Leistungselektronik - Formelsammlung Seite 1 von 5 allgemeine Formeln Spannung über einer Induktivität Strom durch Kondensator Zeitkonstante τ di uL (t) = L dt du iC (t) = C dt L τ=R oder τ = RC Berechnung des Mittelwertes XAV = Berechnung des Effektivwertes XRM S = 1 T RT 0 x(t)dt q R 1 T T 0 x2 (t)dt Berechnung der höheren Harmonischen Orthogonalitätsbeziehungen T, n = m = 0 cos(nωt) · cos(mωt)dt = T2 , n = m > 0 0 0, n 6= m ( T T R , n=m sin(nωt) · sin(mωt)dt = 2 0, n 6= m 0 RT cos(nωt) · sin(mωt)dt = 0 RT 0 allgemeine Form Eine periodische Funktion lässt sich durch eine Reihe von Sinus- und Kosinusfunktionen darstellen. ∞ f (t) = a0 X + (an · cos(nωt) + bn · sin(nωt)) 2 n=1 Die Koeffizienten der Entwicklung von f (t) sind: RT an = T2 0 f (t) · cos(nωt)dt (n = 0, 1, 2, ...) R T bn = T2 0 f (t) · sin(nωt)dt (n = 1, 2, 3, ...) Sätze zur Berechnung der Koeffizienten Symmetrie Falls f (t) gerade ist (f (t) = f (−t)): → bn = 0, an = Falls f (t) ungerade ist (f (−t) = −f (t)): → an = 0, bn = 4 T 4 T R R T 2 0T 2 0 f (t) · cos(nωt)dt f (t) · sin(nωt)dt Beispiele von geraden Funktionen sind x2 , cos(x) und Beispiele ungerader Funktionen sind x, x3 , sin(x). Ungesteuerter Gleichrichter M1U Mittelwert bei f = 50 Hz RT Rπ 1 URAV = T1 0 uR (t)dt = 2π U2m · sin(α)dα, α = ωt 0 U2m URAV = − 2π (cos(π) − cos(0)) = Uπ2m R 10ms 1 URAV = 20ms uR (t)dt, T = f1 0 bei f = 50 Hz q R q R T π 2 1 URRM S = T1 0 u2R · dt = 2π U2m · sin(α)2 · dα 0 Rπ π 2 sin(α) q · dα = 2 0 R 10ms 2 1 URRM S = 20ms uR · dt 0 Laststrom Wirkleistung iR (t) = uRR(t) R π u2R (α) 1 P = 2π · dα = R 0 Effektivwert allgemein 2 URRM S R = 2 U2m 4R 18. Januar 2013 Leistungselektronik - Formelsammlung Seite 2 von 5 Gesteuerter Gleichrichter M1C der Steuerwinkel des Gleichrichter: α ∈ [0, π] Rπ 1 Mittelwert URAV = 2π U2m · sin(β) · dβ, β = ωt α 2m URAV = U2π (1 + cos(α)) Effektivwert allgemein q q Rπ 2 U2m sin(β)2 · dβ = U2m · 2π α Rπ sin(2α) sin(β)2 · dβ = π−α 2 + 4 α π−α 4π + sin(2α) 8π Gesteuerter Gleichrichter B2C Mittelwert Effektivwert URAV = URAV = q 2 U2m π R 1 π π α U2m · sin(β) U2m π (1 + cos(α)) Rπ α · dβ, β = ωt sin(β)2 · dβ = U2m · q π−α 2π + sin(2α) 4π Leistungsberechnung momentane Leistung Wirkleistung Wirkleistung (Trafoseitig) p(t) = uR (t) · iR (t) R π u2R (α) U2 1 S P = 2π · dα = RRM R R 0 P = U · I1 · cos(ϕ1 ) dabei ist I1 die erste Harmonische Komponente des Stromes und ϕ1 die Phasenverschiebung Grundschwingungsblindleistung Verzerrungsleistung gesamte Blindleistung Q1 = U · Ip 1 · sin(ϕ1 ) P∞ 2 QV =pU · k=2 Ik Q = Q21 + Q2V Grundschwingungsscheinleistung gesamte Scheinleistung S1 = U · I1 p p S = U · IRM S = P 2 + Q2 = P 2 + Q21 + Q2V Leistungsfaktor λ= Welligkeit w= P S FRM S FAV √P∞ Fk2 k=1 = FAV Schaltverluste, Kühlung B2C als Beispiel: in einem ersten Schritt muss der Strom durch den Thyristor berechnet werden: 2m IRm = UR Rπ 1 2π α IRm · sin(β) IRm 2π · (1 + cosα) Mittelwert des Thyristorstroms IT AV = IT AV = Effektivwert des Thyristorstroms IT RM S = IT RM S = q 2 IRM 2π q IRm 2 Rπ · dβ, β = ωt sin2 (β)dβ α π−α π + sin2α 2π momentane Verlustleistung: p(t) = uT (t) · iT (t) 18. Januar 2013 Leistungselektronik - Formelsammlung Seite 3 von 5 Durchlassrichtung: iT , uT Schwellenspannung: UT 0 Differentieller Durchlasswiderstand: duT rT = diT uT = UT 0 + iT (t) · rT RT PT = T1 0 uT (t) · iT (t) · dt RT PT = UT 0 · T1 0 iT (t)dt + rT · Mittelwert der Verlustleistung: Die Werte für UT 0 1 T RT 0 i2T (t)dt PT = UT 0 · IT AV + rT · IT2 RM S IT AV ist der Mittelwert und IT RM S der Effektivwert des Thyristorstroms können aus dem Datenblatt des Thyristors herausgelesen werden. Thermische Kenngrössen Wärmeleistung P (W ) Temperaturunterschied ϑ(K) K Wärmewiderstand Rth ( W ) Elektrische Kenngrössen Strom I(A) Spannung U (V ) Widerstand R( VA ) Thyristor ohne Kühlkörper ϑvJ − ϑU = P · (RthJG + RthGU ) ϑvj = P · (RthJG + RthGU ) + ϑU Rth muss wiederum aus dem Datenblatt herausgelesen werden. Thyristor mit Kühlkörper ϑvJ −ϑU = P ·(RthJG +RthGK +RthKU ) ϑvj = P ·(RthJG +RthGk +RthKU )+ϑU Gleichstromumrichter Buck-Converter (Tiefsetzsteller) Ein einfacher Tiefsetzsteller könnte auch mit einem Spannungsteiler bebaut werden. Die Verlustleistung würde jedoch PV = R1 · I12 betragen. Grundgleichungen: diL , t ∈ [0; Te ] V1 = iL · R + L dt diL diL 0 = iL · R + L , t ∈ [Te ; Ts ] (L ist dabei die Spannung, welche die Induktivität abgibt → Quelle in diesem Fall) dt dt 18. Januar 2013 Leistungselektronik - Formelsammlung Seite 4 von 5 Durch das Lösen der Grundgleichungen erhält man die den Verlauf des Stromes: iL = V1 R1 + iL = V1 R1 · V1 R1 · −Ta τ −Ts 1−e τ −1+e −Te τ −Ts 1−e τ 1−e ·e ·e −(t+Te ) τ −t τ , t ∈ [0; Te ] , t ∈ [Te ; Ts ] mit τ = L1 R1 und folgende Ein- und Ausschaltzeiten: Lmin mit τ = Ta = −τ · ln iiLmax Te = −τ · ln L1 R1 V1 1 iLmax · R1 −1 −Ta V 1 1 τ iLmax · R1 −e ! Ts = Te + Ta Gleichstrom-Schalter, Gleichstrom-Steller nur Einschalten: Lσ ist die Streuinduktivität DGL nach der Zündung des Thyristors: diL (L + Lσ ) · + R · iL = U1 dt t−ton → iL (t) = UR1 · (1 − e− τ ) Ein- und Ausschalten diL + R · iL = U1 , ton 6 t 6 tof f dt t−ton U1 → iL (t) = R · (1 − e− τ ) diL (L + Lσ ) · + R · iL = 0, t > tof f dt t−tof f → iL (t) = UR1 · e− τ (L + Lσ ) · Streuinduktivität Magnetfeld hat die Energie WM = M φσ = Lσ It2 , Lσ = 2W i2 RRR H · BdV t 18. Januar 2013 Leistungselektronik - Formelsammlung Seite 5 von 5 Gleichstromsteller (Chopper) der Mittelwert der Lastspannung ist: RT R te 1 U2AV = T1 0 u2 (t) · dt = te +t U1 · dt 0 a te e U = U2AV = te t+t U 1 1 T a 18. Januar 2013
