Bachelor-Prüfung Elektrotechnik Atom-/Quantenphysik

Bachelor-Prüfung Elektrotechnik
Atom-/Quantenphysik
Prüfungstermin : 07.08.2009 , 9:00 - 11:00 Uhr
Name
Vorname
Matrikel-Nummer
Vom Korrektor auszufüllen:
Aufgabe
1
Punkte
2
3
4
5
6
P
Note :
Ich erkläre mich hiermit einverstanden, dass mein Klausurergebnis (Note und
Punkte) unter der Veröffentlichungsnummer
auf der Internetseite und am schwarzen Brett des Instituts für Halbleiterphysik bekanntgegeben wird.
Unterschrift:
Hinweise zur Bearbeitung der Klausur
Lesen Sie bitte die folgenden Hinweise vollständig und aufmerksam durch,
bevor Sie mit der Bearbeitung der Aufgaben beginnen!
1. Als Hilfsmittel zur Bearbeitung der Klausur sind nur Schreibzeug und Taschenrechner
zugelassen.
2. Die Klausur umfasst:
a) 3 Blätter mit 6 Aufgaben und einer Formelsammlung (Konstanten und Formeln), die
Sie nach Beendigung der Klausur mitnehmen können.
b) 1 Deckblatt, dieses Hinweisblatt, sowie 10 leere Blätter zur Bearbeitung der Aufgaben.
Lassen Sie diese Blätter zusammengeheftet und geben Sie sie am Ende der Klausur ab!
3. Füllen Sie, bevor Sie mit der Bearbeitung der Aufgaben beginnen, das Deckblatt mit
Name, Vorname und Matrikelnummer aus!
4. Benutzen Sie bei der Berechnung von Zahlenwerten die Konstanten aus der Formelsammlung!
5. Beginnen Sie für jede Aufgabe ein neues Blatt mit Angabe der Aufgabennummer!
Schreiben Sie die zugehörigen Nebenrechnungen ebenfalls auf dieses Blatt!
Streichen Sie ungültige Lösungen deutlich durch!
Sollten Sie ausnahmsweise zur Bearbeitung einer Aufgabe mehrere nicht aufeinanderfolgende Blätter benötigen, so vermerken Sie, wo die Fortsetzung der Aufgabe zu finden
ist!
6. Benutzen Sie kein eigenes Konzeptpapier! Sollten Sie weitere leere Blätter zur Bearbeitung
der Klausur benötigen, so erhalten Sie diese von uns.
Viel Erfolg!
Bachelor-Prüfung Elektrotechnik
Atom-/Quantenphysik
Prüfungstermin : 07.08.2009 , 9:00 - 11:00 Uhr
Aufgabe 1 (Photoeffekt und Compton-Effekt) [7 Punkte]
Monochromatisches Licht der Wellenlänge λ bzw. Frequenz ν wird, wie in der Abbildung gezeigt, in einer evakuierten Quarzglasröhre auf eine Metallanode mit der Austrittsarbeit WA
gestrahlt. Die aus der Anode austretenden Elektronen fliegen gegen eine angelegte Bremsspannung U zur Kathode und werden als Photostrom Iphoto detektiert. Für U > U0 verschwindet
der Photostrom.
a) [1P] Skizzieren Sie den Photostrom Iphoto als Funktion von U im Bereich −U0 ≤ U ≤ U0
für zwei verschiedene Beleuchtungsstärken L1 < L2 !
b) [1P] Formulieren Sie den mathematischen Zusammenhang zwischen U0 , ν und WA !
c) [1P] Um welches Metall handelt es sich, wenn oberhalb einer Grenzwellenlänge von
λgrenz = 277 nm überhaupt kein Photostrom mehr auftritt?
Element
Li
WA in eV 2,46
Na
K
Rb
Cs
Cu
Pt
2,28
2,25
2,13
1,94
4,48
5,36
Ein Röntgen-Photon der Wellenlänge λ = 1,0 Å wird an einem zunächst ruhenden Elektron
unter einem Winkel von ϑ = 60◦ zur Einfallsrichtung gestreut.
d) [4P] Fertigen Sie eine sorgfältige Skizze des Streuprozesses an, bei der die Impulse von
Photon und Elektron deutlich dargestellt sind! (Beschriftung!)
Berechnen Sie den Betrag und die Richtung der Geschwindigkeit des gestreuten Elektrons!
Prüfen Sie nach, ob relativistisch (falls v ≥ 0, 1 c) gerechnet werden muss!
1
Aufgabe 2 (Elektronenbeugung) [6 Punkte]
Elektronen werden nach Durchlaufen einer Beschleunigungsspannung von U = 10 V an den
Gitteratomen eines Kristalls gebeugt. Der Abstand benachbarter Kristallebenen parallel zur
Oberfläche betrage 0,6 nm.
a) [2P] Berechnen Sie die Wellenlänge der Elektronen! Prüfen Sie nach, ob relativistisch
(falls v ≥ 0, 1 c) gerechnet werden muss!
b) [2P] Erläutern Sie anhand einer ausführlichen Skizze die Bedingung für das Auftreten
eines Beugungsmaximums!
b) [2P] Unter welchen Einfallswinkeln zur Kristalloberfläche treten Beugungsmaxima auf?
Aufgabe 3 (Potentialbarriere) [3 Punkte]
Ein Teilchen mit Masse m und Impuls p bewege sich von x = −∞ her kommend mit der
Energie E < V0 auf die unten dargestellte Potentialbarriere zu. Im Gegensatz zum klassischen
Teilchen, das an der Potentialbarriere reflektiert würde, gibt es für ein quantenmechanisches
Teilchen eine endliche Aufenthaltswahrscheinlichkeit für x ≥ a.
a) [0,5P] Wie bezeichnet man den Vorgang, bei dem das quantenmechanisches Teilchen die
Potentialbarriere durchdringt?
b) [1,5P] Skizzieren Sie den Realteil der Wellenfunktion des Teilchens für −a ≤ x ≤ 2a, d.h.
in den Bereichen I, II und III! Achten Sie dabei auf eine qualitativ korrekte Darstellung
der Amplituden und Wellenlängen!
c) [1P] Die Wellenfunktion ψ(x) = A exp(ikx) + B exp(−ikx) stellt eine allgemeine Lösung
der zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung in den Bereichen I und III dar. Welcher Zusammenhang besteht zwischen E und k sowie zwischen p und k? (Es wird keine Rechnung
verlangt!)
2
Aufgabe 4 (Harmonischer Oszillator) [8 Punkte]
Ein Elektron bewege sich in einem Potential der Form
1
V (x) = mω 2 x2 .
2
a) [3P] Formulieren Sie die zugehörige zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung! Zeigen Sie,
dass die normierte Wellenfunktion
ψ0 (x) = A exp(−Bx2 /2) ,
B=
mω
~
eine Lösung der Schrödinger-Gleichung ist und berechnen Sie den zugehörigen EnergieEigenwert E0 !
b) [1,5P] Bestimmen Sie mit Hilfe eines geeigneten Ansatzes den Parameter A!
c) [1,5P] Berechnen Sie den Erwartungswert hp̂x i des Impulsoperators p̂x im Zustand ψ0 (x)!
Die normierten Wellenfunktionen
√
ψ1 (x) = A 2Bx exp(−Bx2 /2) ,
1
ψ2 (x) = √ A(2Bx2 − 1) exp(−Bx2 /2)
2
sind ebenfalls Lösungen der Schrödinger-Gleichung, und zwar mit den Energie-Eigenwerten
E1 = 3~ω/2 und E2 = 5~ω/2.
d) [2P] Der Zustand des Elektrons vor einer Messung der Energie werde beschrieben durch
die Wellenfunktion
1
i
(1)
ψ(x) = √ ψ0 (x) − √ ψ1 (x) .
2
2
Wie groß ist jeweils die Wahrscheinlichkeit, dass eine Messung der Energie des Elektrons
den Wert ~ω/2, 3~ω/2 und 5~ω/2 liefert? Welchen mittleren Energiewert erhält man,
wenn die Messung vom gleichen Anfangszustand ausgehend sehr oft wiederholt wird?
3
Aufgabe 5 (Wasserstoffatom) [7 Punkte]
a) [2P] Die Lyman-Serie beschreibt alle Übergänge innerhalb des Wasserstoffatoms, die auf
dem Grundzustand enden.
Formulieren Sie eine Gleichung für die möglichen Übergangsenergien! Berechnen Sie die
kleinste und die größte Wellenlänge, die in der Lyman-Serie auftreten können! In welchem
Spektralbereich liegen diese Wellenlängen?
b) [2P] Die normierte Wellenfunktion für den Grundzustand des Wasserstoffatoms lautet
µ
¶
r
1
ψ100 (r, ϑ, ϕ) = p 3 exp −
,
(2)
a0
πa0
mit dem Bohr-Radius a0 .
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, mit der ein Elektron im Grundzustand innerhalb
eines Abstandes a0 vom Kern zu finden ist!
Hinweis: In Kugelkoordinaten gilt dV = r2 sin ϑdrdϑdϕ
c) [3P] Die Wasserstoff-Wellenfunktion
µ
r
ψ2lm (r, ϑ, ϕ) = A · r · exp −
2a0
¶
· cos ϑ ,
A = const.
(3)
wird durch die Hauptquantenzahl n = 2, die Bahndrehimpulsquantenzahl l und die magnetische Quantenzahl m charakterisiert. Bestimmen Sie mit Hilfe der Operatoren
µ
¶
¸
·
2
∂
∂
∂
1
∂
1
2
2
ˆl = −~
(4)
sin ϑ
+
, ˆlz = −i~
2
2
sin ϑ ∂ϑ
∂ϑ
∂ϕ
sin ϑ ∂ϕ
des Quadrates des Bahndrehimpulses und seiner z-Komponente die zu ψ2lm gehörigen
Quantenzahlen l und m!
µ
¶
µ
¶
d
d
d
df (x)
Hinweis:
x
f (x) =
x
= ...
dx
dx
dx
dx
Aufgabe 6 (Elektronenspin-Resonanz) [5 Punkte]
a) [2P] Wie lautet die Gesamtdrehimpuls-Quantenzahl j des Elektrons im Grundzustand
des Wasserstoffatoms? (Begründung!) Zeichnen Sie in einem Vektormodell die möglichen
~ z ! Geben
Einstellungen des Gesamtdrehimpulses ~j bezüglich eines äußeren Magnetfeldes B
Sie die auftretenden Längen in Einheiten von ~ an!
~ 0 sin(2πνHF t) soll ~j ”umgeb) [3P] Durch den Einfluss eines magnetischen Wechselfeldes B
klappt” werden. Wie muss dazu das Wechselfeld polarisiert sein? Bei welcher Frequenz
νHF erfolgt der Umklapp, wenn Bz = 1 T gilt?
4
Mathematische Beziehungen:
Z
1
x
1
x
sin(2ax) + C
cos2 (ax)dx = +
sin(2ax) + C
sin (ax)dx = −
2 4a
2 4a r
r
Z ∞
Z ∞
1 π
1 π
für a > 0
für a > 0
exp(−ax2 )dx =
x2 exp(−ax2 ) dx =
2 a
4 a3
0
0
Z
£
¤
1
x2 exp(−ax)dx = − 3 exp(−ax) a2 x2 + 2ax + 2
a
Z
£
¤
1
3
x exp(−ax)dx = − 4 exp(−ax) a3 x3 + 3a2 x2 + 6ax + 6
a
Z
2
Konstanten:
Lichtgeschwindigkeit : c = 3,00·108 ms−1
Rydberg-Konstante : Ry = 13, 6 eV
Planck-Konstante : h = 6, 63 · 10−34 Js
Boltzmann-Konstante : kB = 1, 3807 · 10−23 JK−1
g-Faktor Elektronenspin : g = 2
Bohrsches Magneton : µB = 0, 579 · 10−4 eVT−1
Elektronenmasse: me = 9, 11 · 10−31 kg
Protonenmasse : mp = 1, 67 · 10−27 kg
Elementarladung : e = 1, 60 · 10−19 C
Atomare Masseneinheit : 1u = 1, 66054 · 10−27 kg
Wien-Konstante : b = 2, 898 · 10−3 Km
Stefan-Boltzmann-Konstante : σ = 5,671·10−8 Wm−2 K−4
1 Joule (J) = 6,24·1018 eV
1 eV = 1,60·10−19 J
[T] = [Vsm−2 ]
0◦ C = 273,16 K
5
Formeln:
Bragg-Bedingung :
2d sin θ = nλ
Ekin = (m − m0 )c2
m0
Geschwindigkeitsabhängige Masse : m = p
1 − v 2 /c2
p
Relativistische Energie-Impuls-Beziehung : E = m20 c4 + p2 c2
h
de Broglie-Wellenlänge : λdB =
p
Relativistische kinetische Energie :
Plancksches Strahlungsgesetz :
Wiensches Verschiebungsgesetz :
Stefan-Boltzmannsches Gesetz :
dP (λ)
2πhc2
A
=
·
5
dλ
λ
exp(hc/λkT ) − 1
λmax = b/T
P = σεAT 4
Wellenlängenänderung beim Compton-Effekt :
Bohrsches Magneton :
µB =
∆λ =
h
(1 − cos ϑ)
me c
e~
2me
Energieeigenwerte des H-Atoms :
En = −
Ry
,
n2
Betrag von Drehimpuls ~l und z-Komponente lz :
(für die Quantenzahlen l und m)
Magnetisches Moment für Elektronenspin ~s :
Einstellenergie des Spins im Magnetfeld :
e4 me
8ǫ20 h2
p
|~l| = ~ l(l + 1) , lz = ~m
Ry =
~µ = −µB · g ·
~
Epot = −~µ · B
~s
~
∂
;
Analog: pˆy , pˆz
∂x
R∞
Quadratische Unschärfe eines Operators A: (∆A)2 = −∞ ψ ∗ (x) (A − hAi)2 ψ(x) dx
Impulsoperator: pˆx = −i~
6