Taylor-Entwicklung, Endliche Reihen, Eindimensionale Integration

Universität des Saarlandes
Fakultät 7 – Physik und Mechatronik
Prof. Dr. L. Santen
Dr. C. Arita
S. Klein ([email protected])
Saarbrücken, den 12.11.2015
Fachrichtung 7.1 – Theoretische Physik
Blatt 4 zur MMP, WS 2015/2016
(Abgabe bis 19.11.2015, 12.15 Uhr)
Aufgabe 1 Taylor-Entwicklung [ 11 = 5+6+6 Punkte]
√
a) Entwickeln Sie die Funktion f (x) = 1 − x um den Punkt x = 0 mithilfe der folgenden
P
xn d n f
Formel: f (x) = ∞
n=0 n! dxn (0) . Nutzen Sie die Methode der vollständigen Induktion,
um einen Ausdruck für die n-te Ableitung zu finden.
b) Im Folgenden sollen Funktionen zweier Variablen bis zur zweiten Ordnung entwickelt
P
(x−a)α α
werden. Nutzen Sie hierzu f (x; a) = ∞
|α|=0
α! D f (a).
i) f (x, y) =
1
1−x exp(y)
um (x, y) = (0, 0)
ii) ln(exp(x) + exp(−y)) um (x,y) = (a,b) mit a, b ∈ R.
Aufgabe 2 Endliche Reihen [9 = 1.5+2.5+1.5+2.5+2 Punkte]
Berechnen Sie folgende endliche Reihen
n
X
(4k 3 − 3k 2 + 3k)
a)
b)
k=1
3n
X
d)
n
X
2−k (n − 2k)
n
X
c)
k=1
(k + 1)
e)
k=n
15
X
k=1
k2
1
+ 5k + 6
(161 − 44k + 3k 2 )
k=7
Aufgabe 3 Eindimensionale Integration [4 = 1+1+1+1 Punkte]
Lösen Sie folgende Integrale mit einer Methode Ihrer Wahl
R
R 10 a) (2 exp x + sin x)dx
b) 0 6x2 + x2 − 1 dx
c)
R
cos2 x dx
d)
R e2
e
Aufgabe 4 Partielle Integration [ 7 = 1.5+2.5+3 Punkte]
Lösen Sie folgende Integrale mittels partieller Integration
a)
R
x exp x dx
b)
Re
1
x3 ln x dx
c)
Rπ
0
exp x sin x dx
Hinweis: Integrieren Sie im Aufgabenteil c) zweimal partiell.
Aufgabe 5 Integration durch Substitution [9 = 2+2+2+2+3 Punkte]
Lösen Sie folgende Integrale, indem Sie eine sinnvolle Substitution finden.
Rπ
R x
R 1 dx
R1√
a) 03 cos4 x sin x dx
b)
dx
c)
d)
1 + x2 dx
2
2
0 1+x
0
1+x
1
Hinweis: Nutzen Sie c) x = tan θ, d) x = t − (t > 0).
t
1+x
dx
x2