Vorlesung 5

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Vorlesung 5:
R t Faden:
Roter
F d
Elektron als Welle
g
Unsicherheitsrelation
Heisenbergsche
((Elektron: g
griechisch für Bernstein,, das durch
Reibung elektrostatisch aufgeladen wurde)
Folien auf dem Web:
http://www-ekp.physik.uni-karlsruhe.de/~deboer/
Wim de Boer, Karlsruhe
Atome und Moleküle, 27.4.2010
1
Erzeugung von Elektronen
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Erzeugung von Elektronen
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3
Erzeugung von Elektronen
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4
Erzeugung von Elektronen
Wim de Boer, Karlsruhe
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5
Sekundäremission
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Photomultiplier:
Photoeffekt plus Sekundäremission
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Erste Experimente mit Elektronen
G
Gasentladungen
l d
i i i
ionisieren
G
Gas-> neg. und
d pos. Teilchen
T il h
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Erste Experimente mit Elektronen
Ionen
(Kanalstrahlung)
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Schlussfolgerung
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Erste Experimente mit Elektronen
mv2/r=evB->
p
p=eBr
e/m=2U/B2r2
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E=p2/2m=eU
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Bestimmung der Elektronladung
Stokesche Reibungsgesetz
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Aus e/m Bestimmung und e-Bestimmung
konnte relat. Massenanstieg bestimmt werden
ħ
Entdeckung
g der relat. Massenzunahme von Kaufmann
VOR der Relativitätstheorie in 1905 von Einstein!
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Davisson und Germer: Elektron
Streuung an Nickel Kristallen
Vor
Rekristallisierung
Ni
θ
ee
Intensität unter
Streuwinkel θ
Nach
Rekristallisierung
Zufällige Entdeckung der Bragg-peaks bei
Streuung von Elektronen an Ni-Kristalle
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Davisson und Germer: Elektron
Streuung an Nickel Kristallen
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Einzel und Doppelspalt Beugung von Elektronen
Max. und Min. in der Intensitätsverteilung
nach Streuung an einem Draht zeigen
Interferenz,
f
d.h.
d h Wellencharakter
W ll
h
k
der
d Elektronen
El k
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Einzel und Doppelspalt Beugung von Neutronen
Experiment
p
mit langsamen
g
Neutronen
(v=200m/s, dB~2 nm)
Doppelspalt:
23 m bzw. 22 m breit
m Abstand
104 
Beugungswinkel ~ 50 rad (~10“)
A. Zeilinger
g et al. Rev. Mod. Phys.
y 60, p.1067
p
(1988)
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Einzel und Doppelspalt Beugung von Neutronen
Einzelspalt
Doppelspalt
Durchgezogene Linie: Vorhersage der (linearen) Quantenmechanik
(unter Berücksichtigung aller Parameter wie Geometrie,
Geschwindigleitsverteilung etc ...) A. Zeilinger et al. Rev. Mod. Phys. 60,
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p.1067 (1988)
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De-Broglie Beziehung
Photon: E=hv=hc/ und E2=p2c2+m2c4
Daher:
h
f m=0 gilt:
für
l E=pc=hc/
E
h / oder
d
p=h/ (de Broglie)
Um Interferenzen der Elektronen zu erklären
postulierte
t li t de
d Broglie
B
li das
d diese
di
B
Beziehung
i h
auch für Teilchen gilt!
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Elektronenmikroskop
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Elektronenmikroskop
Wohldefinierte Energie=
Wohldefinierte Wellenlänge ->
>
hohe Auflösung
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Realisierung elektrostatischer Linsen
Energiefilter
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Magnetische Linsen
Impulsfilter
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Magnetische Linsen
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Elektronenmikroskop
wohldefinierte
Energie=
wohldefinierte
Wellenlänge ->
hohe Auflösung
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Elektronenmikroskop
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Rastertunnelmikroskop
KonstanteTunnelstrom
d
durch
h Höh
Höhenanpassung->
Oberflächentopographie
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Rastertunnelmikroskop
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Rastertunnelmikroskop
Manipulation einzelner Atomen mit Tunnelspitze
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Rastertunnelmikroskop
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Zusammenfassung
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Wenn Energien
Energien, Orte oder Impulse im Bereich E=hv und =p/h
kommen, werden Quanteneffekte wichtig!
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Welle-Teilchen Dualismus
De B
D
Broglies
l
Erklärung
E kl
f die
für
d Quantisierung der
d Atomniveaus und
d die
d
Interferenzpatrone der Teilchen (Davisson, Germer, Doppelspalt) beweisen
eindeutig den Wellencharakter. Jedoch ist das Elektron auch ein Teilchen
mit
it wohl
hl definierter
d fi i t M
Masse und
d Ladung,
L d
das
d eindeutige
i d ti
S
Spuren e.g. iin
einem Nebelkammer hinterlässt. Wie kann man diese Eigenschaften
vereinen?
Max Born schlug in 1926 vor, dass, wie bei einer elektromagn.
Welle, die Wahrscheinlichkeit ein Teilchen vorzufinden, gegeben wird
durch die Energiedichte
Energiedichte, d
d.h.
h das Quadrat der Amplitude der Welle
oder ||2dV ist die Wahrscheinlichkeit das Teilchen im Volumen dV
zu finden (und das Integral über dV ist natürlich 1, da das Teilchen
i
irgendwo
d
sein
i muss.
Wie ist Bahn des Teilchens mit Fortpflanzung der Welle verknüpft?
T il h
Teilchen:
Eki
Ekin=
½ 2 = E = hf,
½mv
hf mv = p = h/.

Die Geschwindigkeit der Welle wäre v=f=(h/mv). (½mv2/h) = ½v,
d h die Welle pflanzt sich nur mit halber Teilchengeschwindigkeit
d.h.
fort! WAS IST FALSCH?
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De Broglie Wellen
E=hv=ħω
p=h/=ħk
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De Broglie Wellen
E2=p2c2+m2c4 oder (ħω)2= (ħk)2c2 +m2c4
Für m=0 dispersionsfrei,
p
, sonst ħω=mc2 für k=0
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Lokalisierung eines Teilchens
Wenn ein Elektron ein wohldefinierter Impuls hat,
hat dann hat es auch
eine wohldefinierte Wellenlänge. Die einzigeWellengleichung für eine
wohldefinierte Wellenlänge ist
mit k = 2

/ , and ω= 2

f.
Das Problem: die Amplitude geht nicht gegen Null im Unendlichen,
d h das
d.h.
d Teilchen
T il h
i t nicht
ist
i ht lokalisiert!
l k li i t!
Lösung des Problems: Wellen können interferieren wenn die Impulse
-und damit die Wellenlängen – NICHT scharf definiert sind.
Dann Teilchen lokalisiert in Wellenpaket. Wenn Teilchen
sehr scharf lokalisiert, muss Unsicherheit in Impuls groß sein.
Dies ist Prinzip
p der Heisenbergsche
g
Unsicherheitsrelation.
Superposition von ZWEI Wellen ergibt Schwebungen:
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Superposition von zwei Wellen
Bei festem t=0
xΔk=2 -> Δx Δp=h
x oder t
Schwebungen konzentrieren
E
Energiedichte
i di ht und
d daher
d h
Aufenthaltswahrscheinlichkeit
eines Teilchens
Teilchens->Lokalisierung
>Lokalisierung
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Bei festem x=0
Δωt=2 -> ΔE Δt=h
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Superposition von zwei Wellen
Freq. 1
Freq. 2
Man kann Resultat der Interferenz
Entweder im Ortsraum oder im
F
Frequenzraum
( d k-Raum
(oder
k R
oder
d
Impulsraum) darstellen, wobei
k=2=p/ħ
Amplitude  1-2
(x)
()
X-Raum: (x,t)
12
Frequenz-Raum (,t) oder (k,t)
(Lä
(Länge
-> A
Amplitude)
lit d )
Es reicht wenn ich Amplituden und Frequenzspektrum angebe,also (k,t).
um (x,t)
(x t) auszurechnen
auszurechnen. Beide Darstellungen völlig equivalent
equivalent. Transformation
vom Ortsraum zum Impulsraum oder umgekehrt, nennt man Fouriertransformation
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Superposition unendlich vieler Wellen
Fouriertrafo
von Orts- zu
Impulsraum
für t=0!
x
Wellenpakete SEHR lokalisiert, wenn x
x=’t,
 t, d.h. wenn
Gruppengeschwindigkeit Teilchengeschwindigkeit entspricht
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Gruppengeschwindigkeit = Teilchengeschwindigkeit
..\Downloads\GroupVelocity.htm
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Auseinanderlaufen der Wellenpakete
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Heisenbergsche Unschärferelation
k
http://www.itkp.uni-bonn.de/~metsch/pdm/pdmquant.html
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Heisenbergsche Unschärferelation
Jede Messung
g von x und p ändern den Zustand des Mikroteilchens
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Unschärfe der Unschärferelation
Viele Bücher ergeben: Δx Δp ≥ ħ statt h.
Wo liegt der Unterschied?
Bei einem gaussförmigen Wellenpaket wird
die Unschärfe MINIMAL (mathematisch zu beweisen)
aber wie groß ist die Unschärfe?
Ein Standardabweichun
Standardabweichung oder Ort wo
Wahrscheinlichkeit auf 1/√e gefallen ist oder …?
Unschärfe ist unscharf definiert!
Δx=Abstand zwischen
Beugungsminima->
Δx Δp ≥ h
(H i
(Heisenberg)
b
)
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Gaussförmige Wellenpakete:
 x p ≥ ħ
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Überlagerung Gausscher Wellenpakete
Überlagerung unendlich vieler Wellen entspricht
das Intergral
g
über  vielen Wellenlängen
g
oder Impulse
p
(p=ħk=h/). Dies ist eine Fourier transformation:
Wichtig!
Die Fouriertransformierte eines gaussförmigen Wellenpaket mit
Standardabweichung  ergibt im Impulsraum wieder einen
Gaussform, jedoch mit Standardabweichung 1/ !
So xk ≥ 1 oder xp ≥ ħ
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Beispiel für Anwendung der Unschärferelation
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Wirkungsquerschnitt e+e-  Quarks
Z0 Resonanz
versus Schwerpunktsenergie
Es gibt nur
DREI leichte
N t i
Neutrinos!
!
Und daher
nur DREI
Generationen
von Quarks
und Leptonen!
(f ll alle
(falls
ll
Neutrinos fast
masselos sind)
Peak hängt von der totalen Breite ΓZ ab.
ΓZ= h/Lebensdauer = F(Anzahl der Neutrinos)
(aus Δt=Lebensdauer, ΓZ= ΔE und ΔE Δt=h )
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Kleine experimentelle Probleme am LEP Beschleuniger:
Einfluss des Mondes und Störungen durch TGV
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Zum Mitnehmen
Teilchen mit Impuls p benehmen sich bei kleinen
Abständen wie Wellen.
Wellen
Wellen mit Wellenlänge  benehmen sich bei kleinen
Abständen wie Teilchen.
Teilchen
Zusammenhang zwischen Wellenlänge und Impuls:
=h/p (de Broglie)
Man kann nicht beliebig genau ORT und IMPULS
bestimmen:
ΔxΔp≥h. (Heisenberg)
Gleiche gilt für ENERGIE und ZEIT.
ZEIT
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