FormelsammlungLK.nb 1

Römische Zahlzeichen
Iõ1
Zahlbereiche
Võ5
X õ 10
L õ 50
C õ100
D õ 500
M õ 1000
z natürliche Zahlen z ganze Zahlen z rationale Zahlen Ø reelle Zahlen Ø komplexe Zahlen
griechische Buchstaben
a A z Alpha b B z Beta g G z Gamma d D z Delta e E z Epsilon l L z Lambda p P z Pi s S z Sigma f F z Phi
Prozentrechnung / Maßeinheiten
Prozentrechnung :
G : Grundwert
W : Prozentwert
p : Prozentsatz
W =
Flächenmaße :
Volumen :
G◊ p
1 m2 = 100 dm2 = 10 000 cm2
1 m3 = 1000 dm3
100
1 a = 100 m2
1 dm3 = 1000 cm3
1 l = 1 dm3
1 ha = 100 a = 10 000 m2
Präfixe für Maßeinheiten
Exa
1018
Peta
1015
Tera
1012
Giga
109
Mega
106
Kilo
103
= Trillionen
= Billiarden
= Billionen
= Milliarden
= Millionen
= Tausend
Milli
10-3
= Tausendstel
Mikro
10-6
= Millionstel
Nano
10-9
= Milliardstel
Piko
10-12
= Billionstel
Femto
10-15
= Billiardstel
Atto
10-18
= Trillionstel
Ebene Figuren (A: Flächeninhalt, u Umfang)
Rechteck
Dreieck
A=a◊b
u = 2a + 2b
A=
u = a+b+c
Parallelogramm
Trapez
A = g ◊h
u = 2a + 2b
A=
u = a+b+c+d
Kreis
Kreissektor und Kreisbogen
A = p ◊ r2
u = 2p r
p r2 a
360 °
p ra
b=
180 °
1
gh
2
1
Ha + cL ◊ h
2
A=
Satz des Pythagoras
Im rechtwinkl. Dreieck gilt
Höhen - und Kathetensatz
a2 + b2 = c 2
a2 = c ◊ p
c HHypotneuseL, a, b HKathetenL
h2 = p ◊ q
b2 = c ◊ q
Trigonometrie (im rechtwinkligen Dreieck)
Im rechtwinkligen Dreieck gilt :
a
b
Gegenkathete
a
=
Hypotenuse
c
b
Ankathete
cos a = =
Hypotenuse
c
sin a =
tan a =
Gegenkathete
a
=
b
Ankathete
aA
2
FormelsammlungLK.nb
Körper (V: Volumen O: Oberfläche G: Grundfläche M: Mantelfläche )
Quader
Prisma
V = a◊b◊c
O = 2ab +2ac +2bc
V = G◊ h
O = 2◊G + M
Zylinder
quadratische Pyramide
V = p◊ r2 ◊ h
1
1
◊ a2 ◊ h = G ◊ h
3
3
O = a2 + 2 ◊ a ◊ h s
V=
O = 2 ◊ p ◊ r2 + 2 ◊ p ◊ r ◊ h
Kegel
Kugel
1
◊ p ◊ r2 ◊ h
3
O = p ◊ r2 + p ◊ r ◊ s
V =
4
◊ p ◊ r3
3
O = 4 ◊ p ◊ r2
V =
Binomische Formeln
Ha + bL2 = a2 + 2 a b + b2
Ha -bL2 = a2 - 2 a b + b2
Ha + bL ◊ Ha - bL = a2 - b2
Potenz- Wurzel- Logarithmengesetze
1
an
Iam Ln = am ◊ n
am ◊ bm = Ha ◊ bLm
a-n =
a0 = 1
am ◊ an = am + n
am : an = am - n
logb HaL =
a x = „ x ◊ lnHaL
n
loge Ha ◊ bL = loge HaL + loge HbL
loge HaL x = x ◊ loge HaL
lnHaL
lnHbL
Zinseszinsen (exponentielles Wachstum)
k0 : Anfangskapital HAnfangsmengeL
kn : Endkapital
HEndmengeL
n : Zeit in Jahren Hoder ZinsperiodenL
p % : Zinssatz pro Periode in %
Zinsfaktor
q=
100+ p
100
Zinseszinsformel
kn = k0 ◊ qn
Lineare Funktion
Normalform :
y = m◊x +b
m : Steigung der Geraden
b : y - Achsenabschnitt
Steigung der Geraden g durch die Punkte P1 Hx1 y1 L und
y -y
P2 Hx2 y2 L :
m= 2 1
x2 -x1
Parallelität : Geraden sind parallel, wenn ihre Steigungen
gleich sind :
m1 = m2
Geraden stehen aufeinander senkrecht, wenn für ihre
Steigungen gilt :
m1 ◊ m2 = -1
Steigungswinkel a :
tan HaL = m
quadratische Funktion
m
am = a n
b
FormelsammlungLK.nb
y = a ◊ x2 + b ◊ x + c
Normalform :
Scheitelpunktform : y = a Hx - eL2 + f
Koordinaten des Scheitelpunktes : SHe f L
a < 1 ï Parabel gestaucht
a > 1 ï Parabel gestreckt
a < 0 ï Parabel nach unten geöffnet
Quadratische Gleichung (p - q - Formel)
p 2
2
Lösung : x = - p ±
1,2
2
Normalform : 1 x2 + p ◊ x + q = 0
J N -q
Ableitungsregeln
konstante Summanden fallen weg
konstante Faktoren bleiben erhalten
Summen werden einzeln abgeleitet
konstanter Summand
konstanter Faktor
Summenregel
Gilt für alle n e Potenzregel
Hu ◊ vL ' = u ' ◊ v + u ◊ v '
HuHvLL ' = u' HvL ◊ v '
Produktregel
Kettenregel
J N =
u '
v
u'ÿv-uÿv'
v2
f -1 sei Umkehrfunktion
H f HxL + cL ' = f HxL '
Hc ÿ f HxLL ' = c ÿ f ' HxL
H f HxL + gHxLL ' = f ' HxL + g ' HxL
Hxn L ' = n ÿ xn-1
H f HxL ÿ gHxLL ' = f ' HxL ÿ gHxL + f HxL ÿ g ' HxL
H f HgHxLL ' = f ' HgHxLL ÿ g ' HxL
f HxL '
Quotientenregel
K
Umkehrfunktionsregel
f -1 HxL =
gHxL
O=
'
f ' HxLÿgHxL- f HxLÿg' HxL
gHxL2
1
f ' I f -1 HxLM
Hauptsatz der Differential-und Integralrechnung (HDI)
b
F ist Stammfunktion von f :
b
Ÿ f HxL „ x = @FHxLDa = FHbL - FHaL
a
Integrationsregeln
Ÿ f Hm x + bL dx =
f ' HxL
1
FHm x + bL
m
‡ f HxL dx = @lnH f HxLD
Lineare Substitution
Ÿ ‰2 x+3 dx = B ‰2 x+3 F
Logarithmische Substitution
‡
1
2
2x
x2 +3
dx = AlnIx2 + 3E
Ÿ 2 x ÿ‰ x dx = B ‰ x F mit y = gHxL = x2 ;
2
Ÿ g ' HxL ◊ f HgHxLL dx = @FHgHxLLD
Ÿ f HxL ÿ g ' HxL dx = @
f HxL ÿ gHxLD - Ÿ f ' HxL g ' HxL dx
Substitutionsregel
y' =
dy
dx
2
= 2 x ï dx =
dy
2x
Ÿ 2 x ÿe x dx = @2 x ‰ x D - Ÿ 2 ÿ‰ x dx
Partielle Integration
Wichtige Ableitungen und Stammfunktionen
Ableitung
Funktion
1
x
1
2
1
3
x2
2x
1
2
x
x
n ÿ xn-1
Stammfunktion
xn
2
3
x2
Ableitung
Funktion
‰x
Stammfunktion
‰x
lnHxL
x ÿ ln x -x
1
x
lnH x L
a ÿ‰aÿx+b
‰aÿx+b
1 aÿx+b
ÿ‰
a
a
aÿx+b
lnHa ÿ x + bL
Ñ
‰x
1
x
x3
x3
1
xn+1
n+1
1
x2
Fläche zwischen Funktionsgraphen
6
4
2
2
4
6
8
3
4
FormelsammlungLK.nb
6
a und b seien die x-Werte der Schnittpunkte der Graphen von f und g. Gibt es mehr als 2
Schnittpunkte, müssen die Teilintegrale einzeln bestimmt und aufsummiert werden. Für eine
4
2
b
A=
Teilfläche gilt:
Ÿ H f HxL - gHxLL ‚ x
-2
a
-4
2
4
6 8
b
a
Rotationskörper
f HxL
Rotiert ein Graph zwischen den Grenzen a und b um die x-Achse, entsteht ein Rotationskörper.
b
V = p Ÿ f HxL2 ‚ x
Für sein Volumen V gilt:
a
a
b
Geraden- und Ebenengleichungen
Parameterformen:
Normalenformen:
g : x = a + k ÿu
Gerade
x, a = Ortsvektor
”
u, v = Richtungsvekoren
”
E : x = a + k ÿu + l ÿv
Ebene
Gerade (Punkt-NF)
g : n ÿIx - pM = 0 Hexistiert nur in d. EbeneL
Ebene (Allgemeine-NF E : n ÿ x - c = 0
Hesse'sche Normalenform
Koordinatenformen:
Gerade
Ebene
n = Normalenvektor
x, p = Orts - HStützL vektoren
n0 = EinheitsnormalenvektorHLänge 1L
E : n0 ÿ x - d = 0
g : a x + b y = d Hnur in d. EbeneL
E: a x+ by +cz =d
x, y, z = Punktkoordinaten
a, b, c, d = Zahlen HSkalareL
Skalarprodukt
Definition :
” ”
a◊b =
”
”
a ◊ b ◊ cosHaL
a
d
b ◊ e
c
f
Berechnungsformel:
= ad +be+c f
a = Winkel zwischen a und b
Ermöglicht Winkel und Längenmessung
Vektorprodukt
” ”
aâb = n
a ä b = a ÿ b ÿ sin HaL
Definition :
a
d
b â e =
c
f
Berechnungsformel:
Spatprodukt
Quadrat, Rechteck, Parallelogr.
Definition :
Pyramide mit quadratischer Grundfl.
Pyramide mit dreieckiger Grundfl.
b f - ce
- Ha f - c dL
ae -bd
n Fläche des Prallelogramms
”
a, b, c bilden Rechtssystem
Berechnung von Normalenvektoren
x2 -Wert anderes Vorzeichen
Flächen und Körperberechnungen
A = g ÿh = a ä b
1
1
A = gÿh =
2
2
Dreieck
n steht senkrecht auf a und b
a und b sind aufspannende Vektoren
aäb
”
VSpat = G ÿh = Ja ä bN ÿc
1
1
”
G ÿh = Ja ä bN ÿc
3
3
1
1
”
Vdreieck.Pyra. = G ÿh = Ja ä bN ÿc
3
6
Vquadr.Pyra. =
Spat gleich "schräger Quader"
”
a, b und c sind aufspannende Vektoren
Dreieck ist halbes Parallelogramm
Winkel
Merksatz zum Senkrechtstehen:
” ”
a = 90 ° ñ a ◊ b = 0
FormelsammlungLK.nb
Zwischen 2 Vektoren:
a
a
cosHaL =
Zwischen 2 Geraden :
a
a
cosHaL =
Zwischen 2 Ebenen :
a
a
cos HaL =
Zwischen Gerader u. Ebene :
a
a
aÿb
aÿ b
sinHaL =
a
a
Skalarprodukt anwenden
aÿb
a ÿb
Betrag, Richungsvektoren
a
a
nÿm
n ÿm
uÿn
uÿ n
Betrag, Normalenvektoren
a
a
Sinus, Betrag, NV und RV!
a
a
Längen und Abstände
x1
x2
x3
Länge eines Vektors:
x= x
Abstand zweier Punkte A und B
dHA, BL = b - a
Abstand Punkt - Gerade HIL
emittelt zusätzlich den Lotfußpunkt
=
=
x1 2 + x2 2 + x3 2
Den Wert für k in die gegebene Geradengleichung einsetzen,
uÿH p-aL ergibt den Fußpunkt F des Lotes von P auf g. Dann die Länge der
k=
uÿu
Strecke PF berechnen.
Abstand Punkt - Gerade HIIL
schneller mit dem Vektorprodukt
d HP, gL =
uäAP
Fläche durch Grundseite ergibt die Höhe
u
P œ g1 ; Q œ g2 . Der Vektor PQ steht auf beiden Geraden senkrecht (Gemeinlot).
Abstand windschiefer Geraden (I)
mit Berechnung des Gemeinlotes
P und Q sind allgemeine Punkte mit Parameter k bzw. l .
”
Daher gelten die beiden Gleichungen:H1L u ÿ Iq - pM = 0 und H2L v ÿIq - pM = 0 .
Auflösen nach den Geradenparametern k und l ergibt die Lotfußpunkte P und Q.
”
IuävM ÿ AB
dHg, hL =
”
uäv
Abstand windschiefer Geraden HIIL
schneller mit dem Spatprodukt
Volumen durch
Grundfläche ergibt die Höhe
n ÿH p-aL Den Punkt in die Hesse`sche Form der Ebenengleichung einsetzen.
d=
d ist positiv, wenn der Ursprung und der Punkt P auf verschiedeÖ
n
Abstand Punkt - Ebene
nen Seiten der Ebene liegen.
Pfadregeln
1. Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses (z.B. A › B ):
Multipliziere die Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades
zum Ergebnis.
2. Wahrscheinlichkeiten eines Ereignisses:
Start
PH AL
PH AL
A
P AH BL
A
P AHBL
P AHBL
B
B
PH AL ◊ P AH BL
= PH A › BL
P AH BL
B
PH AL ◊ P AH BL
= PI A › BM
B
PH AL ◊ P AHBL
PH AL ◊ P AH BL
= PI A › BM
= PI A › BM
Kombinatorik
k Ziehungen
Addiere die Wahrscheinlichkeiten aller Pfade, die zum
Ereignis gehören.
Unabhängigkeit/Bedingte Wahrscheinlichkeit
Anzahlbestimmungen bei Urnenziehungen
n Kugeln
(z.B. 9A › B, A › BM=:
mit Zurücklegen
geordnet
nk
ungeordnet
n+k-1
k
ohne Zurücklegen
nHn - 1L ... Hn - k + 1L
= nPr
n
= nCr
k
Satz von Bayes (Umkehrung des Baumdiagramms)
Bedingte Wahrscheinlichkeiten
Definition
PA HBL =
PHA›BL
PHAL
Unabhängigkeit
A und B sind unabhängig PHA › BL = PHAL ◊ PHBL
Satz von Bayes
" Umkehrformel "
PA HBL =
PHBL◊PB HAL
PHAL
5
FormelsammlungLK.nb
6
Start
Start
A
B
A
B
B
0.025
A›B
B
B
0.225
0.6
0.15
A›B
A›B
A›B
Die fehlenden bedingten WahrscheinÖ
lichkeiten auf der 2. Stufe ergeben sich
nach der Bayes'schen Regel, die allerdÖ
ings sofort aus der Pfadregel folgt:
B
A
A
A
A
0.025
A›B
0.6
0.225
0.15
A›B
A›B
A›B
PB HAL =
PHAL◊PA HBL
PHBL
Erwartungswert m und Standardabweichung s einer Zufallsgröße
E HXL = m = a1 ◊ PHX = a1 L + a2 ◊ PHX = a2 L + a3 ◊ PHX = a3 L + ... + an ◊ P HX = an L
s =
Hx1 - mL2 ◊ PHX = x1 L + Hx2 - mL2 ◊ PHX = x2 L + ... + Hxn - mL2 ◊ PHX = xn L
Hypergeometrische Verteilung (Erweiterung des Urnenmodells derKombinatorik)
Aufteilung der Grundgesamtheit N in 2 Teile der Größen R und N - R . Dann werden n “Kugeln” ohne Zurücklegen gezogen und
nach der Wahrscheinlichkeit von k “Kugeln” aus dem Teil der Größe R gefragt. Z.B. Lotto: 49 (N) Kugeln, 6 (R) richtige und 43
(N - R) “Nieten”. Wahrscheinlichkeit von z.B. 3 (k) Richtigen unter den 6 (n) gezogenen.
HHN, R, n, kL = PHX = kL =
R
k
N-R
n-k
N
n
Bernoulli-Versuche - Binomialverteilung
Ein Bernoull-Versuch hat nur 2 mögliche Ausfälle (Erfolg und Missefolg).Wird ein Bernoulli-Versuch mit einer Erfolgswahrscheinlichkeit von p n mal durchgeführt,so gilt für die Wahrscheinlichkeit von k Erfolgen nach der sogenannten Binomialverteilung :
B Hn, kL = PHX = kL =
n k
p H1 - pLn-k
k
Grid@881, Grid@88a, b<<, Alignment → 8Left, Center<D, SpanFromLeft<<,
Alignment → 8Left, Center<, ItemSize → [email protected], Automatic<D
1
gh hj h
jk j kj k