Inhaltsverzeichnis
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Inhaltsverzeichnis 1 1.1 1.1.1 1.1.2 1.2 1.2.1 1.2.2 1.2.3 1.3 1.3.1 1.3.2 1.3.3 1.3.4 1.4 1.4.1 1.4.2 1.4.3 1.4.4 1.4.5 1.5 1.6 1.6.1 1.6.2 1.7 1.7.1 1.7.2 1.7.3 1.7.4 1.8 1.8.1 1.8.2 1.9 1.9.1 1.9.2 1.9.3 1.10 1.10.1 1.10.2 1.11 Grundlagen Mengenbegriff .................................................... Relationen zwischen Mengen .............................. Das kartesische Produkt ................................... Elemente der Logik .............................................. Aussagen ...................................................... Quantoren..................................................... Logische Argumente ........................................ Zahlsysteme und elementares Rechnen ...................... Die natürlichen Zahlen ..................................... Die ganzen Zahlen .......................................... Die rationalen Zahlen (Bruchzahlen) .................... Die reellen Zahlen ........................................... Potenzen, Wurzeln............................................... Motivation .................................................... Potenzen ...................................................... Wurzeln ....................................................... Lösen von Potenzgleichungen ............................. Prozentrechnung, Rechnen mit Wachstumsraten ..... Kombinatorik ..................................................... Reelle Zahlenfolgen .............................................. Motivation .................................................... Begriffsbildung ............................................... Reihen.............................................................. Motivation .................................................... Summen (Endliche Reihen)................................ Unendliche Reihen........................................... Die (endliche) geometrische Reihe ....................... Funktionen und Abbildungen .................................. Komposition von Funktionen.............................. Umkehrfunktion.............................................. Stetigkeit .......................................................... Motivation .................................................... Begriffsbildung ............................................... Eigenschaften stetiger Funktionen ....................... Exponentialfunktion ............................................. Definition ..................................................... Eigenschaften ................................................ Kontinuierliches Wachstum .................................... 7 8 9 9 10 12 13 18 18 19 19 20 22 22 22 23 23 25 27 33 33 33 36 36 38 38 39 40 44 45 46 46 47 48 49 49 50 51 1.12 Der Logarithmus ................................................. Rechenregeln ................................................. 1.12.1 52 53 2.4.7 2.5 2.6 2.6.1 2.6.2 2.7 2.7.1 2.7.2 2.8 2.8.1 2.8.2 2.9 2.10 2.11 2.12 Deskriptive Statistik Grundbegriffe ..................................................... 57 Klassifikation von Variablen.................................... 58 Population und Stichprobe ..................................... 59 Studiendesigns.................................................... 60 Experiment versus Beobachtungsstudie ................. 60 Fall-Kontroll-Design......................................... 61 Kohortenstudie ............................................... 61 Querschnittsstudie versus Longitudinalstudie .......... 61 Randomisierte Studien/Experimente..................... 62 Vollständige Randomisierung ohne/mit Ausgleich, Schichtenbildung..................................................... 62 Probleme bei Beobachtungsstudien ...................... 63 Datenmatrix (Datenbasis)...................................... 64 Visualisierung empirischer Daten (I) ......................... 64 Nominale Daten ............................................. 65 Metrische Daten ............................................. 65 Quantifizierung der Gestalt empirischer Verteilungen ..... 70 Lagemaße ..................................................... 70 Mittlerer Winkel ............................................. 76 Streuung ........................................................... 77 Nominale/ordinale Merkmale: Wiener-Shannon ....... 77 Stichprobenvarianz und Standardabweichung .......... 79 Quantile ........................................................... 81 Schiefe versus Symmetrie ...................................... 82 Der Boxplot ....................................................... 83 QQ-Plot (Quantildiagramm) .................................. 84 3 3.1 3.2 3.2.1 3.2.2 3.3 3.4 3.5 3.5.1 3.5.2 Differential- und Integralrechnung Motivation ........................................................ 91 Differenzierbarkeit ............................................... 91 Erste Anwendungen ......................................... 94 Ableitungsregeln ............................................. 95 Höhere Ableitungen ............................................. 97 Taylor-Entwicklung .............................................. 98 Optimierung von Funktionen .................................. 100 Notwendiges Kriterium ..................................... 101 Monotoniekriterium ......................................... 102 2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.4.1 2.4.2 2.4.3 2.4.4 2.4.5 2.4.6 3.5.3 3.6 3.6.1 3.6.2 3.6.3 3.6.4 3.7 3.8 3.8.1 3.9 3.10 3.11 3.11.1 3.11.2 3.12 Hinreichendes Kriterium 1. Ordnung für Extrema..... Krümmungsverhalten............................................ Motivation .................................................... Konkav und konvex ......................................... Hinreichendes Kriterium 2. Ordnung für Extrema..... Wendepunkte................................................. Statistische Anwendungen der Optimierung ................ Partielle Ableitung ............................................... Optimierung .................................................. Motivation und Definition des Integrals ..................... Hauptsatz der Integralrechnung............................... Integrationsregeln ................................................ Partielle Integration ......................................... Substitutionsregel ........................................... Integration empirischer Verlaufskurven ...................... Wahrscheinlichkeitsrechnung Grundbegriffe ..................................................... Zufallsexperimente und Wahrscheinlichkeit............. Chancen (Odds) ............................................. Bedingte Wahrscheinlichkeiten............................ Unabhängigkeit .............................................. Der Satz von Bayes ......................................... Zufallsvariablen und Zufallsstichproben ................. Bivariate diskrete Zufallsvariable ......................... Bivariate stetige Zufallsvariable........................... Verteilungsfunktion, Quantilsfunktion und Überlebensfunktion ....................................................... Erwartungswert und Varianz .............................. 4.1.10 Verteilungsmodelle............................................... 4.2 Binomialverteilung........................................... 4.2.1 Die geometrische Verteilung............................... 4.2.2 Multinomialverteilung....................................... 4.2.3 Poissonverteilung ............................................ 4.2.4 Exponentialverteilung ....................................... 4.2.5 Logistische Verteilung ...................................... 4.2.6 Normalverteilung ............................................ 4.2.7 χ2 -Verteilung................................................. 4.2.8 t-Verteilung ................................................... 4.2.9 F -Verteilung.................................................. 4.2.10 Cauchy-Verteilung ........................................... 4.2.11 4 4.1 4.1.1 4.1.2 4.1.3 4.1.4 4.1.5 4.1.6 4.1.7 4.1.8 4.1.9 102 103 103 103 105 105 106 107 109 111 114 115 115 117 118 123 123 126 128 130 130 132 136 139 140 142 144 145 147 149 150 153 154 155 156 158 158 158 4.2.12 Von-Mises-Verteilung ....................................... Grenzwertsätze und ihre Anwendung ........................ 4.3 Das Gesetz der großen Zahl ............................... 4.3.1 Der Zentrale Grenzwertsatz ............................... 4.3.2 5 5.1 5.1.1 5.2 5.3 5.3.1 5.3.2 5.4 5.5 5.5.1 5.5.2 5.5.3 5.5.4 5.5.5 5.6 5.6.1 5.6.2 5.6.3 5.6.4 5.7 5.7.1 5.7.2 5.7.3 5.7.4 5.7.5 5.7.6 5.7.7 5.8 5.8.1 5.8.2 5.8.3 5.8.4 5.8.5 5.9 Schließende Statistik Das Likelihood-Prinzip .......................................... Die Likelihood einer Zufallsstichprobe ................... Güte statistischer Schätzer..................................... Konfidenzintervalle .............................................. Konfidenzintervall für µ .................................... Konfidenzintervall für p .................................... Experimente, Wahrscheinlichkeit und Entscheidungsverfahren .............................................................. 1-Stichproben-Tests ............................................. Motivation .................................................... Stichproben-Modell ......................................... Gauß- und t-Test ............................................ Vorzeichentest und Binomialtest ......................... Robustifizierter t-Tests ..................................... 2-Stichproben-Tests ............................................. Verbundene Stichproben ................................... Unverbundene Stichproben (2-Stichproben t-Test) ... Wilcoxon-Test ................................................ 2-Stichproben Binomialtest ................................ Korrelation und Regression .................................... Kovarianz und Korrelation ................................. Test auf Korrelation......................................... Rangkorrelation nach Spearman .......................... Grenzen der Korrelationsrechnung ....................... Lineares Regressionsmodell ................................ Test der Regressionskoeffizienten......................... Grenzen der Regressionsrechnung ........................ Analyse von Kontingenztafeln ................................. Φ-Kontingenzkoeffizient für 2 × 2-Tafeln............... Vergleich diskreter Verteilungen .......................... Test auf Assoziation (Unabhängigkeitstest, Kreuzklassifikation) ..................................................... Test auf Trend ............................................... Dreidimensionale Kontingenztafeln ...................... Anpassungstests.................................................. 159 160 160 161 169 173 175 181 182 182 183 188 189 189 189 199 201 202 203 204 211 213 215 216 218 219 220 221 226 227 228 228 229 231 234 236 241 5.9.1 5.9.2 5.9.3 5.9.4 5.10 5.10.1 5.10.2 5.11 5.11.1 5.11.2 5.11.3 5.11.4 5.12 5.12.1 5.12.2 5.13 5.14 Quantildiagramm ............................................ Kolmogorov-Smirnov-Test ................................. Korrelationstests und Shapiro-Wilk-Test ................ χ2 -Anpassungstest .......................................... Multiples Testen ................................................. Bonferroni-Prozedur ........................................ Bonferroni-Holm-Prozedur ................................. Varianzanalyse .................................................... Einfaktorielle Varianzanalyse .............................. Multiple Paarvergleiche..................................... Randomisiertes Blockdesign ............................... Zweifaktorielle Varianzanalyse ............................ Nichtparametrische Varianzanalyse ........................... Kruskal-Wallis-Test (Einfaktorielles Design)............ Friedman-Test (Blockdesign).............................. Multiple lineare Regression..................................... Logistische Regression .......................................... 6 6.1 6.2 6.2.1 6.2.2 6.2.3 6.2.4 6.2.5 6.2.6 6.2.7 6.3 6.3.1 6.3.2 6.3.3 6.3.4 6.3.5 6.3.6 6.3.7 Populationsdynamik Biologischer Hintergrund ....................................... Diskrete Populationsdynamik .................................. Grundbegriffe ................................................. Exponentielles Wachstum.................................. Proportionale Abnahme bei konstanter Zufuhr ........ Lösung ......................................................... Ergänzung: Ein Modell mit verzögerten Variablen .... Logistisches Wachstum..................................... Stabilität von Gleichgewichten ............................ Stetige Populationsdynamik ................................... Motivation .................................................... Grundbegriffe ................................................. Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten ....................................................... Lineare DGLs 1. Ordnung.................................. Lineare DGLs 2. Ordnung.................................. Logistisches Entwicklungsgesetz .......................... Enzymkinetik: Michaelis-Menten-Theorie ............... 7 7.1 7.2 Elemente der linearen Algebra Motivation ........................................................ 321 Vektoren ........................................................... 323 241 242 242 245 247 248 249 250 250 253 258 261 267 267 269 272 275 279 279 280 282 283 284 286 292 296 298 298 302 305 306 307 308 310 7.3 7.4 7.5 7.5.1 7.5.2 7.6 7.6.1 7.6.2 7.6.3 7.6.4 7.6.5 7.6.6 7.6.7 7.7 7.7.1 7.7.2 7.7.3 7.8 7.8.1 7.8.2 Geraden und Ebenen ............................................ Längenmessung: Die Norm..................................... Winkelmessung: Das Skalarprodukt .......................... Skalarprodukt ................................................ Winkel ......................................................... Matrizen und Gleichungssysteme ............................. Motivation .................................................... Matrizen und Vektoren ..................................... Matrizenmultiplikation...................................... Lösung von Gleichungssystemen .......................... Wann ist ein Gleichungssystem lösbar? ................. Inverse Matrix ................................................ Drehungen .................................................... Entwicklungsmodelle in diskreter Zeit ....................... Motivation .................................................... Gleichgewicht ................................................ Lösungsfolgen ................................................ Entwicklungsmodelle in stetiger Zeit ......................... Lineare Systeme ............................................. Periodische Systeme ........................................ 326 326 327 327 328 330 330 331 331 332 334 336 337 338 338 339 340 344 344 346 A.1 A.2 A.3 A.4 A.5 Anhang. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Normalverteilung ................................................. t-Verteilung ....................................................... χ2 -Verteilung ..................................................... F -Verteilung ...................................................... Studentisierte Spannweite ...................................... 349 351 353 355 357 366 Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369 Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371
