7. ¨Ubungsblatt zur Topologie – Lösungen zu Aufgabe 2 und 3

Zentrum Mathematik
Technische Universität München
Prof. Dr. Josef Dorfmeister
WS 2004/05
7. Übungsblatt zur Topologie – Lösungen zu Aufgabe 2 und 3
Aufgabe 2. (Fundamentalgruppe und Wegzusammenhang I)
Sei X ein topologischer Raum, A ⊂ X wegzusammenhängend und x0 ∈ A. Es sei ferner
ι : A −→ X die Einbettung von A in X.
Zeigen Sie: Der induzierte Homomorphismus ι∗ : π1 (A, x0 ) −→ π1 (X, x0 ) ist dann und nur dann
surjektiv, wenn jeder Weg mit Anfangs- und Endpunkt in A homotop (relativ {0, 1}) zu einem
Weg ist, der ganz in A verläuft.
Lösung zu Aufgabe 2. =⇒: Sei ι∗ surjektiv, und sei γ : I → X ein Weg mit Anfangspunkt
x1 und Endpunkt x2 in A. Da A wegzusammenhängend ist existieren Wege α1 : I → X von x0
nach x1 und α2 : I −→ X von x2 nach x0 , die ganz in A verlaufen. (Man beachte aber, dass
α1 , α2 dennoch Wege in X sind.) Dann ist Γ := α1 · γ · α2 ein geschlossener Weg in X um x0 ,
also [Γ] ∈ π1 (X, x0 ). Da ι∗ surjektiv ist, existiert ein G ∈ π1 (A, x0 ), so dass ι∗ (G) = [Γ]. Es ist
G = [γ 0 ] mit einem geschlossenen Weg γ 0 : I → A um x0 . Mit
ι∗ (G) = [ι ◦ γ 0 ] = [Γ]
folgt dann
(ι ◦ γ 0 ) ∼
= Γ = α1 · γ · α2 .
Hieraus folgt nun sofort, dass
γ
∼
=
1·γ·1
∼
=
α1−1 · (α1 · γ · α2 ) · α2−1
∼
=
α1−1 · (ι ◦ γ 0 ) · α2−1 .
Rechts steht hier eine Verknüpfung dreier Wege, die ganz in A verlaufen, also ein Weg der ganz
in A verläuft. Also ist γ homotop zu einem Weg, der ganz in A verläuft. Man beachte, dass hier
alle Homotopien relativ {0, 1} sind.
⇐=: Sei jeder Weg mit Anfangs- und Endpunkt in A homotop (rel {0, 1}) zu einem Weg, der
ganz in A verläuft. Zu zeigen ist, dass ι∗ surjektiv ist. Sei dazu G ∈ π1 (X, x0 ) beliebig. Es ist
G = [γ] Homotopieklasse eines geschlossenen Weges γ : I → X um x0 . Wegen x0 ∈ A existiert
nach Voraussetzung ein zu γ homotoper geschlossener Weg γ 0 : I → X um x0 , der ganz in
A verläuft. Man definiert nun γ 00 : I → A durch γ 00 (t) = γ 0 (t). Dann ist [γ 00 ] ∈ π1 (A, x0 ) und
offensichtlich ι ◦ γ 00 = γ (nach Konstruktion). Also ist γ homotp zu ι ◦ γ 00 , und dies bedeutet
nichts anderes, als
G = [γ] = [ι ◦ γ 00 ] = ι∗ ([γ 00 ]).
Mithin liegt G im Bild von ι∗ , und da G beliebig war, ist ι∗ surjektiv. Damit ist alles gezeigt.
Aufgabe 3. (Fundamentalgruppe und Wegzusammenhang II)
Sei X ein topologischer Raum, x0 ∈ X und X0 die Wegzusammenhangskomponente von x0 .
Ferner sei ι : X0 −→ X die Einbettung von X0 in X. Dann induziert ι bekanntlich einen
Homomorphismus
ι∗ : π1 (X0 , x0 ) −→ π1 (X, x0 )
[γ] 7−→ [ι ◦ γ]
der Fundamentalgruppen. Zeigen Sie: Dies ist ein Isomorphismus.
Erinnerung: Die Wegzusammenhangskomponente von x0 ist die Vereinigung aller wegzusammenhängenden Obermengen von {x0 }, also die größte x0 enthaltende wegzusammenhängende
Teilmenge von X.
Lösung zu Aufgabe 3. Da X0 eine Wegzusammenhangskomponente ist, verläuft jeder Weg
mit Anfangspunkt in X0 ganz in x0 , und ist damit insbesondere homotop (nämlich gleich) einem
Weg, der ganz in X0 verläuft. Es folgt also aus Aufgabe 2 (mit A = X0 ) sofort die Surjektivität
von ι∗ . Damit bleibt nur noch die Injektivität zu zeigen.
Untersuche dazu den Kern des Homomorphismus. Es sei γ : [0, 1] → X0 ein geschlossener Weg
um x0 , in X0 , so dass ι∗ ([γ]) = [ι ◦ γ] = [cx0 ], wobei [cx0 ] das Einselement in π1 (X, x0 ) ist.
Das bedeutet, dass ι ◦ γ und cx0 homotop relativ {0, 1} in X sind. Sei H : [0, 1]2 −→ X die
entsprechende Homotopie, dass heißt H : [0, 1]2 −→ X stetig mit
H( · , 0) = ι ◦ γ, H( · , 1) = cx0 , H(1, s) = H(0, s) = x0 für alle s ∈ [0, 1].
Dann ist für belibiges t ∈ [0, 1] die Abbildung s 7→ H(t, s) eine Weg mit Anfangspunkt in x0 ∈
X0 . Wie schon gesehen liegt dieser Weg ganz in X0 , da X0 eine Wegzusammenhangskomponente
ist. Also ist H(t, s) ∈ X0 für alle (t, s) ∈ [0, 1]2 . Sei nun H̃ : [0, 1]2 −→ X0 , H̃(t, s) := H(t, s)
für alle (t, s) ∈ [0, 1]2 . Dann ist H̃ stetig (selbst), und es gilt offensichtlich
H̃( · , 0) = γ, H̃( · , 1) = cx0 , H̃(1, s) = H̃(0, s) = x0 für alle s ∈ [0, 1].
Mithin ist H̃ eine Homotopie von γ und cx0 in X0 . Also [γ] = [cx0 ] in π1 (X0 , x0 ), und dies
bedeutet, dass der Kern von ι∗ trivial ist. Also ist ι∗ injektiv.
Bemerkungen: In der algebraischen Topologie ist es immer wichtig, genauestens zu beachten,
welche Abbildungen von wo nach wo abbilden. In der hier vorliegenden Aufgabe ist es beispielsweise entscheidend, dass γ eine Weg in X0 , also eine Abbildung nach X0 ist, ι ◦ γ hingegen eine
nach X. Die beiden dürfen also, obwohl in der Abbildungsvorschrift gleich, nicht identifiziert
werden.
Die oben behauptete Stetigkeit von H̃ ist nicht trivial. Sie beruht auf folgender Aussage: Seien
X, Y topologische Räume, A ⊂ Y und f : X −→ Y stetig, so dass das Bild von f in A liegt.
Dann ist die Abbildung
f˜ : X −→ A
f˜(x) := f (x) für alle x ∈ X
stetig.