Präsenzübungen zur Vorlesung “Statistische Physik”

Erlangen den 7. Dezember 2006
Präsenzübungen zur Vorlesung “Statistische Physik”
Q8: Gegeben sei das Spektrum En = ε0 n3 , n = 0, 1, 2, .... Berechnen Sie E für T ≪ ε0 .
), n = 1, ...N. Berechnen Sie wn für T ≫ ε0
Q9: Gegeben sei das Spektrum En = ε0 cos( nπ
N
in nullter Ordnung ε0 /T .
Q10: Gegeben sei ein atomares, ideales Gas in einem Volumen V welches im Kontakt mit
einem Wärmebad der Temperatur T steht. Berechnen Sie das klassische Zustandsintegral,
die mittlere Energie und die Entropie.
Q11: Gegeben sei eine 2×2 Dichtematrix ρnm = 12 δnm. Ist das ein reiner Zustand?
P8:
a) Das System aus Aufgabe Q10 sei jetzt thermisch isoliert, d.h. im mikrokanonischen
Zustand bei einer festen Energie E. Berechnen Sie das klassische Zustandsintegral
Ω und die Entropie S = log(Ω). Schreiben Sie die Terme ∝ log(V ), ∝ log(E) und
den konstanten Rest separat. Hilfe: Die Oberfläche einer Kugel vom Radius k in M
Dimensionen ist
r M/2
M 2πe
(M )
F (k) ≈
k M −1 .
π
M
b) Berechnen Sie für das mikrokanonische Ensemble aus Teilaufgabe a die Temperatur.
Drücken Sie die Energie E als Funktion der Temperatur T aus. Nähern Sie für
N ≫ 1. Vergleichen Sie das Ergebnis mit E(T ) der kanonischen Verteilung (siehe
Aufgabe Q10).
c) Für mikrokanonische Systeme mit variablem Volumen V ist allgemein die Entropie ein
Funktion S = S(E, V ). Nun werden zwei solche Systeme nebeneinandergestellt. Sie
können Energie austauschen (bei Erhaltung der Gesamtenergie E = E1 +E2 ) und ihr
Volumen anpassen, wobei allerdings V = V1 + V2 erhalten bleibt. Bestimmen Sie das
Gleichgewicht des Systems und drücken Sie dieses durch Temperatur T = ∂S/∂E V
sowie Druck P = T ∂S/∂V E aus.
d) Betrachten Sie nun speziell zwei Systeme der Art von Teilaufgabe a. Skizzieren Sie für
den Fall N1 = N2 die Gesamtentropie als Funktion von V1 .
e) Berechnen Sie für das mikrokanonische System aus Teilaufgabe a den Druck. Berechnen
Sie für das
entsprechende kanonische System aus Aufgabe Q10 den Druck P =
T ∂S/∂V T und vergleichen Sie die beiden Ergebnisse.