Grimmer Statistik im Versicherungs- und Finanzwe- sen

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Zusatzinformationen zu Medien
von Springer Gabler
Grimmer
Statistik im Versicherungs- und Finanzwesen
Eine anwendungsorientierte Einführung
2014 | 1. Auflage
Lösungsskizzen der Übungsaufgaben zu Kapitel 9
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© Grimmer | Statistik im Versicherungs- und Finanzwesen,1. Auflage 2014
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Aufgaben zu Abschnitt 9.3:
Aufgabe 9.3.1:
a) Der Erfolg der Weiterbildungsmaßnahme muss positiv nachgewiesen werden. War die Maßnahme unwirksam, so dass
die Cross-Selling-Quote sich nicht erhöht hat, sollte der Test dies mit hoher Wahrscheinlichkeit auch zeigen; erst recht,
wenn die Quote sogar abgenommen hat. Naheliegend ist also die Wahl
H0: p ≤ p0 = 0,07; H1: p > p0.
Falsch wäre es, die Hypothesen zu vertauschen (also H 0: p > p0 = 0,07; H1: p ≤ p0). Denn dann würde der Test bei unveränderter Quote ebenfalls deutlich zur Beibehaltung von H0 tendieren und einen Erfolg suggerieren.
b) Wird die Nullhypothese beibehalten, deutet dies darauf hin, dass die Quote nicht zugenommen hat, die Weiterbildungsoffensive also nicht erfolgreich war. Trifft dies tatsächlich zu, wird man sich mit (hoher) Wahrscheinlichkeit 1 – α
für die Beibehaltung entscheiden. Wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass die Maßnahmen trotz Beibehaltung von H 0
dennoch erfolgreich waren, kann durch den Hypothesentest nicht geklärt werden!
c) Wird die Nullhypothese abgelehnt, deutet dies darauf hin, dass die Cross-Selling-Quote zugenommen hat, die Weiterbildung also erfolgreich war. Trifft dies tatsächlich zu, wird mit Wahrscheinlichkeit 1 – β für die Alternativhypothese entschieden; 1 – β hängt dabei von der tatsächlichen Quote p1 > p0 ab und wird umso größer ausfallen, je weiter p1 von
p0 entfernt ist. Diese Eigenschaft nennt man Trennschärfe des Tests.
d) Der vorab festgelegte Fehler erster Art (α-Fehler) gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass der Test die Weiterbildungsmaßnahmen als erfolgreich bewertet (H1), obwohl sie es nicht sind (H0). Der nur in Abhängigkeit von p1
H1 bestimmbare Fehler zweiter Art (β-Fehler) gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, die Maßnahmen als unwirksam zu bewerten
(H0), obwohl die Quote gestiegen ist (H1).
Aufgabe 9.3.2:
a) Es wird ein zweiseitiger Hypothesentest durchgeführt, da die Alternativhypothese aus den zwei disjunkten Bereichen p
< p0 und p > p0 besteht. Wegen der vorausgesetzten Größe der Grundgesamtheit und n · p 0 · q0 = 400 · 0,2 · 0,8 = 64 >
9 ist der Anteilswert der Stichprobe unter der Nullhypothese näherungsweise normalverteilt zu den Parametern μ = p0 =
0,2
und
σP =
p0q0 / n
0,02. Zum Niveau
1 – α = 0,95 ergibt sich der zentrale Beibehaltungsbereich
[p0 z1 α / 2 σP ; p0 z1 α / 2 σP ] [0,2 1,96 0,02; 0,2 1,96 0,02] ≈ [0,16; 0,24]. (Die Grenzen des Beibehaltungsbereichs wurden durch die Rundung geringfügig ausgeweitet, was unkritisch ist, da dadurch das geforderte Sicherheitsniveau nicht gesenkt wird.) Bei einem gemessenen Stichprobenanteilswert p̂ zwischen 16% und 24% wird die Nullhypothese also beibehalten, sonst zugunsten der Alternativhypothese verworfen. Im Beispiel ist
p̂ 90 / 400 0,225 ˆ 22,5%, was in den Beibehaltungsbereich fällt, so dass der Test H0 akzeptiert.
b) Beim Verfahren in Teil a) wurden die kritischen Werte p c,u = 0,16 und pc,o = 0,24 bestimmt und mit dem gemessenen
p̂ 0,225 verglichen. Bei der p-Wert-Methode berechnet man dagegen ausgehend von p̂ eine fiktive Ablehnungswahrscheinlichkeit und vergleicht diese mit dem vorab gewählten α: Für die Normalverteilung der Zufallsvariable P̂
(Stichprobenanteilswert) gelten nach wie vor die Parameter der Nullhypothese μ = p 0 = 0,2 und σP =
Wegen
P(p
p 0q 0 / n
0,02.
p̂ > p0 gilt rechtsseitig
p̂)
P Z
p̂ p0
σP
P( Z 1,25) 1 P( Z 1,25) 1 0,8944
0,1056
und damit ein p-Wert (der Test ist zweiseitig) von 2 · 0,1056 ≈ 0,21. Dies ist weit größer als α, so dass die Nullhypothese
klar beibehalten wird, in Übereinstimmung mit dem Ergebnis aus Teil a).
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Aufgabe 9.3.3:
a) Sinnvolle Hypothesen sind die Nullhypothese H0: „Die Fehlerquote hat nicht abgenommen“, p ≥ p0 = 0,07 und die
Alternativhypothese H1: „Die Fehlerquote hat abgenommen“, p < p 0. Aus folgendem Grund: Da der Test konservativ ist
in dem Sinne, dass er zur Beibehaltung von H0 tendiert, ist eine signifikante Abnahme der ursprünglichen Fehlerquote
erforderlich, um die Ablehnung von H 0 zu provozieren und damit die (mit Kosten verbundenen) Texterkennungsprogramme zu rechtfertigen.
Die Normalverteilungsapproximation für den Stichprobenanteilswert P̂ folgt aus n · p0 · q0 = 287 · 0,07 · 0,93 = 18,68 >
9, ihre Parameter lauten μ = p0 = 0,07 und σ P
p 0q 0 / n
0,015 . Der Beibehaltungsbereich ist einseitig zu be-
stimmen, mit einem kritischen Wert pc = pc,u < p0, da für p̂ ≥ p0 natürlich H0 beibehalten werden soll: Die Quote hätte
sich dann ja sogar verschlechtert.
Also errechnet sich [pc,u ; 1] [p0 z1 α σP ; 1] [0,07 1,645 0,015; 1] [0,0453; 1] als Beibehaltungsbereich und
dementsprechend [0; 0,0453) als Ablehnungsbereich.
9 fehlerhafte Verträge aus 287 entsprechen einer Quote von 3,1%, was in den Ablehnungsbereich fällt. Demnach war die
Investition tatsächlich erfolgreich, die Fehlerquote ist signifikant zurückgegangen.
b) Nur der letzte Absatz in Teil a) ändert sich: 14 fehlerhafte Verträge aus 287 entsprechen einer Quote von 4,9%, was in
den Beibehaltungsbereich fällt. Die Quotenreduzierung ist demnach nicht signifikant, man kann nicht mit der gewünschten Sicherheit von 1 – α = 0,95 von einem Erfolg der Investition sprechen.
Aufgabe 9.3.4:
a) Getestet werden soll im Hinblick auf Änderungen der Zufriedenheitsquote, so dass eine zweiseitige Hypothesenkonstellation angemessen erscheint, H0: p = p0 = 0,74; H1: p ≠ p0. Getestet werden soll zum Signifikanzniveau α = 0,1.
Die Normalverteilungsapproximation für den Stichprobenanteilswert P̂ folgt aus n · p0 · q0 = 455 · 0,74 · 0,26 = 87,5 > 9,
ihre Parameter lauten μ = p0 = 0,74 und σ P
p0q0 / n
0,021 . Der Beibehaltungsbereich ist symmetrisch zu be-
stimmen, mit kritischen Werten [ pc,u; pc;o] = [p0 – z1–α/2 · σP; p0 + z1–α/2 · σP]. Einsetzen der Werte führt schließlich zu [0,74
– 1,645 · 0,021; 0,74 + 1,645 · 0,021] = [0,706; 0,775] als Beibehaltungs- und dementsprechend [0; 0,706)
(0,775; 1]
als Ablehnungsbereich.
346 zufriedene Kundenstimmen von 455 entsprechen einer Quote von etwa p̂ 76% , was deutlich innerhalb des Beibehaltungsbereichs liegt. Die beobachtete Quotenänderung ist daher auch nicht signifikant in der Höhe gegangen.
b) Der Stichprobenanteilswert reduziert sich auf
p̂
316 / 455
69,5% , was in den Ablehnungsbereich fällt; die Zu-
friedenheitsquote ist also signifikant gefallen.
c) Das Quantil der Normalbverteilung erhöht sich auf z1–α/2 = z0,99 = 2,326, der Beibehaltungsbereich vergrößert sich damit auf [0,74 – 2,326 · 0,021; 0,74 + 2,326 · 0,021] = [0,691; 0,789]. Die gemessene Quote von 69,5% ist nun wieder im
Beibehaltungsbereich und kann dadurch nicht mehr als signifikant gefallen interpretiert werden. Man sieht an diesem
Beispiel, warum die Festlegung von α vor der Testdurchführung so wichtig ist: Andernfalls könnte man durch geeignete
Anpassung des Beibehaltungsbereichs das Testergebnis manipulieren. Senkung von α vergrößert den Beibehaltungsbereich und erhöht damit die Beibehaltungswahrscheinlichkeit für die Nullhypothese, Erhöhung von α bewirkt dementsprechend eine Erhöhung der Ablehnungswahrscheinlichkeit.
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Aufgabe 9.3.5:
Getestet werden soll im Hinblick auf einen Rückgang der Zustimmungsquote zum Euro-Beitritt, so dass ein einseitiges
Hypothesenintervall festzulegen ist, H0: p ≥ p0 = 0,72; H1: p < p0. Getestet werden soll zum Signifikanzniveau α = 0,1.
Die Normalverteilungsapproximation für den Stichprobenanteilswert P̂ folgt aus n · p0 · q0 = 963 · 0,72 · 0,28 = 194 > 9,
ihre Parameter lauten μ = p0 = 0,72 und σ P
p 0q 0 / n
0,0145 . Der Beibehaltungsbereich ist dann gegeben durch
den kritischen Wert pc = pc,u = p0 – z1–α · σP = 0,72 – 1,282 · 0,0145 = 0,701 und lautet [0,701; 1].
674 Ablehnungen eines Euro-Beitritts unter 963 Antworten entsprechen einer Quote von etwa p̂ 70% , was ganz
knapp außerhalb des Beibehaltungsbereichs liegt. Die beobachtete Quotenreduzierung kann daher auch nur als schwach
signifikant betrachtet werden. In solchen Grenzfällen kann unter Umständen eine Testwiederholung die Entscheidung
absichern.
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Aufgaben zu Abschnitt 9.4:
Aufgabe 9.4.1:
a) Es sei X eine diskrete Zufallsvariable, die die Zahl wöchentlich verkaufter Investmentprodukte eines Mitarbeiters angibt. Die Wirksamkeit des Bonusprogramms soll geprüft werden, ob der Erwartungswert μ = 7 durch das Programm gesteigert werden konnte. Die Wirksamkeit soll nicht dadurch bewiesen werden, dass sich im Test rein zufällig eine Erhöhung dieses Wertes ergibt Deshalb sollte man den Fall, dass das Programm unwirksam ist, als Nullhypothese wählen:
H0: μ ≤ μ0 = 7, H1: μ > 7
b) Wird die Nullhypothese beibehalten, konnte durch den Test nicht bestätigt werden, dass das Bonusprogramm die mittlere Verkaufszahl gesteigert hat.
c) Wird die Nullhypothese abgelehnt, so rechtfertigt das Testergebnis mit hoher Wahrscheinlichkeit die Annahme, dass
das Bonusprogramm wirksam war und die durchschnittliche Verkaufszahl steigern konnte.
d) Der Fehler erster Art (α-Fehler) besteht darin, die Nullhypothese irrtümlich zu verwerfen. Man nimmt demnach an, dass
das Bonusprogramm wirksam war, obwohl dies nur auf einem zufälligen Effekt der Stichprobe beruht. Der Fehler zweiter
Art (β-Fehler) besteht darin, die Nullhypothese irrtümlich beizubehalten. Man geht folglich von einer Unwirksamkeit des
Bonusprogramms aus, obwohl sich die durchschnittliche Verkaufszahl dadurch erhöht hat; mit Wahrscheinlichkeit β
zeigt der Test in diesem Fall jedoch einen zu niedrigen Mittelwert für die Verkaufszahlen an.
Aufgabe 9.4.2:
a) X sei die stetige Zufallsvariable, die die Reparaturkosten eines Versicherungsfalls angibt, μ = 1.745€ deren Erwartungswert. Die kostensenkende Wirkung des Kooperationsvertrages sollte nicht allein aufgrund einer zufälligen Abweichung von diesem Wert bestätigt werden. Deshalb sollte man diesen Fall zur Alternativhypothese erklären, also:
H0: μ ≥ μ0 = 1.745€, H1: μ < 1.745€.
b) Wird die Nullhypothese beibehalten, konnte durch den Test nicht bestätigt werden, dass der Kooperationsvertrag die
mittleren Reparaturkosten gesenkt hat.
c) Wird die Nullhypothese abgelehnt, so rechtfertigt das Testergebnis mit hoher Wahrscheinlichkeit die Annahme, dass
der Kooperationsvertrag wirksam war und die durchschnittlichen Reparaturkosten senken konnte.
d) Der Fehler erster Art (α-Fehler) besteht darin, die Nullhypothese irrtümlich zu verwerfen. Man nimmt demnach an, dass
der Kooperationsvertrag wirksam war, obwohl dies nur auf einem zufälligen Effekt der Stichprobe beruht. Der Fehler
zweiter Art (β-Fehler) besteht darin, die Nullhypothese irrtümlich beizubehalten. Man geht folglich von einer Unwirksamkeit des Kooperationsvertrags aus, obwohl sich die durchschnittlichen Reparaturkosten dadurch reduziert haben; mit
Wahrscheinlichkeit β zeigt der Test in diesem Fall jedoch einen zu hohen Mittelwert für diese Kosten an.
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Aufgabe 9.4.3:
a) Aufgrund der gegebenen Stichprobengröße n = 50 und weil die Standardabweichung von X bekannt ist, kann (nähe-
X des Stichprobenmittelwerts angenommen werden mit den
2 / 50 0,283 .
rungsweise) eine Normalverteilung der Zufallsfunktion
Parametern E( X )
μ0
20 und σ X
σ/ n
Zum gegebenen Hypothesenpaar ist ein einseitig nach rechts begrenzter Beibehaltungsbereich der Form
ist dabei natürlich durch 0 zu ersetzen, wenn X nur
( ; μ 0 z1 α σ X ] zu bestimmen. (Die linke Grenze
positive oder wenigstens keine negativen Werte annehmen kann.) Beim gegebenen Signifikanzniveau lautet das Quantil
z1-α = z0,95 = 1,645 und damit der Beibehaltungsbereich (
; 20 1,645 0,283] ( ; 20,47].
Der gemessene Stichprobenmittelwert x 20,7 liegt oberhalb des kritischen Wertes 20,47 und damit außerhalb des
Beibehaltungsbereichs, so dass die Nullhypothese verworfen werden muss.
b) Wenn der Test gerade bei x
20,7 die Nullhypothese ablehnt, muss der Wert 20,7 gerade den kritischen Wert darstellen, das heißt
20,7 x μ 0 z1 α σ X 20 z1 α 0,283 . Die Gleichung ist für einen Quantilswert
z1 α ( x μ 0 ) / σ X (20,7 20) / 0,283 2,473 erfüllt, was 1 – α = 0,9933 und damit einem Signifikanzniveau α =
0,0067 entsprechen.
c) In diesem Fall wäre der Beibehaltungsbereich nach links abzugrenzen durch μ 0 z1 α σ X 19,53, denn offenbar
ist die Konstellation bezüglich μ0 = 20 gespiegelt. Der Test würde die Nullhypothese also bei Stichprobenmittelwerten
größer oder gleich 19,53 beibehalten, sonst ablehnen. Wegen 19,3 < 19,53 muss also auch hier abgelehnt werden.
Auch das folgt aus der Spiegelgleichheit der Aufgabenstellung mit Teil a), denn da 20,7 und 19,3 gleich weit auf verschiedenen Seiten von μ0 entfernt sind, muss die Testentscheidung in beiden Fällen gleich lauten.
Aufgabe 9.4.4:
a) Die Aufgabe führt die Fragestellung aus Aufgabe 8.3.4 weiter. Das Merkmal X gibt die Diebstahlhäufigkeit (pro Jahr
und pro 10.000 Einwohner) für eine Kleinstadt an und wird als (näherungsweise) normalverteilt angenommen. Die Standardabweichung von X ist zu σ = 85 gegeben, die Stichprobengrößer der untersuchten Kleinstädte ist n = 25.
Der Stichprobenmittelwert
X ist demnach (kleine Stichprobe!) t-verteilt mit Standardabweichung σ X
und ν = 25 – 1 = 24 Freiheitsgraden. Der Beibehaltungsbereich ist wegen t ν;
1–α
= t24;
0,95
85 / 25
17
= 1,711 von der Gestalt
[0; μ 0 t ν;1 α σ X ] [0; 250 1,711 17] [0; 279,1].
Da x 274 innerhalb dieses Bereichs liegt, wird die Nullhypothese beibehalten. Gemäß der getroffenen Hypothesenwahl kann also davon ausgegangen werden, dass die mittlere Diebstahlhäufigkeit den Wert 250 nicht überschreitet, so
dass der vorhandene Tarif auch in der Nachbarregion verkauft werden kann.
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b) Der obige Test war vertriebsfreundlich gestaltet: Die Nullhypothese (mittlere Diebstahlhäufigkeit nicht über μ0 = 250)
wurde beibehalten, obwohl x 274 den Hypothesenwert μ0 deutlich überschritt. Denn die Nullhypothese wird nur
verworfen, wenn ein hoher Stichprobenmittelwert nur mit geringerer Wahrscheinlichkeit als 5% nicht mehr mit μ0 verträglich erscheint. Versicherungsmathematisch seriös ist das aber nicht: Hier müsste vielmehr mit ausreichend hoher Sicherheit gewährleistet werden, dass ein niedriger Stichprobenmittelwert tatsächlich auf eine Diebstahlhäufigkeit von nicht
mehr als 250 hindeutet.
Zu diesem Zweck müssen die Rollen beider Hypothesen vertauscht werden, also H 0: μ > μ0 = 250, H1: μ ≤ 250. Der
). Der kritische Wert ist also sicher kleiner als 250.
Beibehaltungsbereich ist nun von der Form [μ 0 t ν;1 α σ X ;
Wenn jetzt die Nullhypothese verworfen wird, bedeutet dies: Der Stichprobenmittelwert x liegt unterhalb dieses kritischen Werts. Die Wahrscheinlichkeit beträgt demnach nicht mehr als 5%, dass x zu einem wahren Wert μ > 250 gehört. Genau das ist aus Sicht der Versicherungstechnik erforderlich: Bei dieser Hypothesenwahl ist das Risiko gering,
irrtümlich von einer niedrigen Diebstahlhäufigkeit auszugehen, obwohl sie zu hoch ist, um den bestehenden Tarif anwenden zu können. Der Bestandstarif wird also nur zum Verkauf kommen, wenn man hinreichend sicher sein kann, dass
seine kalkulatorischen Grundlagen auch in der Nachbarregion erfüllt sind. Anders ausgedrückt: Der Bestandstarif darf nur
verwendet werden, wenn die Nullhypothese verworfen werden kann.
274 μ 0 gilt, liegt der Stichprobenmittelwert sicher im Beibehaltungsbereich der (geänderten!) Nullhypothese. Man muss also davon ausgehen, dass die Diebstahlhäufigkeit den für den Bestandstarif zu gewährleistenden Grenzwert überschreitet und deshalb in der Nachbarregion
nicht verwendet werden darf.
Hier muss gar keine weitere Rechnung vorgenommen werden, denn da x
Das Beispiel zeigt, dass bei einseitigen Tests der Wahl der Hypothesen eine entscheidende Bedeutung zukommt. Die
falsche Orientierung kann zu unzuverlässigen Ergebnissen führen. Möchte man also eine Behauptung nur mit geringer
Irrtumswahrscheinlichkeit als richtig ansehen, sollte einem entsprechenden Hypothesentest diese Behauptung immer als
Alternativhypothese und nicht als Nullhypothese zugrundegelegt werden.
c) Bei 35 untersuchten Kleinstädten darf davon ausgegangen werden, dass der Stichprobenmittelwert
ist. Der kritische Wert lautet nun
μ 0 z1 α σ X
μ 0 z1 α σ / n
250 1,645 85 / 37
X normalverteilt
227 . Der Messwert 234
ist größer als der kritische Wert, so dass die Nullhypothese nicht verworfen werden kann. Obwohl also gegenüber dem
Vorjahrestest die beobachtete Diebstahlhäufigkeit deutlich abgenommen hat, sind die Voraussetzungen für eine Verwendung des Bestandstarifs nicht erfüllt.
Der Fehler zweiter Art gibt an, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, bei einem Wert μ 1 aus der Alternativhypothese den
Bestandstarif nicht zu verwenden, obwohl er auskömmlich wäre. Die Wahrscheinlichkeit muss nun bezüglich einer Normalverteilung zum Erwartungswert μ1 = 200 bestimmt werden, wobei wir wieder von der Standardabweichung
σX
z1 β
85 / 37
13,97 14
( x μ1) / σ X
ausgehen.
(234 200 ) / 14
Es
ergibt
sich
wieder
durch
Standardisierung
2,43. Dieses Quantil entspricht der Wahrscheinlichkeit 1 – β = 0,9925, also
β = 0,75%, was eine hohe Trennschärfe bedeutet.
d) Die Nullhypothese würde zurückgewiesen, sobald der Stichprobenmittelwert unter den kritischen Wert fällt. Da erster
zu 234 vorgegeben ist, muss also
μ 0 z1 α σ X
μ 0 z1 α σ / n
250 z1 α 14
234 erfüllt werden. Das for-
men wir um zu z1–α = (250 – 234)/14 = 1,143 und erhalten damit α = 1 – 0,8735 = 0,1265, so dass der Messwert erst
oberhalb eines recht groben Signifikanzniveaus von mehr als 12% zur Verwerfung der Nullhypothese und damit zur Verwendung des Bestandstarifs führen würde.
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Aufgabe 9.4.5:
Der Verteilungstyp der Zufallsvariable X des Reparaturpreises in einer beliebigen Werkstatt ist nicht bekannt. Wegen n
= 40 > 30 kann jedoch der Mittelwert
werden.
X in Stichproben dieser Größe näherungsweise als normalverteilt angesehen
Eine sinnvolle Hypothesenwahl lautet H0:
E( X )
μ
μ0
2.753, H1: μ
2.753 . So ist gewährleistet, dass das
Programm nur als wirksam eingeschätzt wird, wenn die Testgröße den Vergleichswert 2.753 € hinreichend deutlich unterschreitet. unter der Nullhypothese lauten die Parameter der Verteilung von X
μ = μ0 und σ X
σ̂ X
σ̂ / n
735 / 40
:
116 ,2 €.
Das benötigte (1–α)-Quantil (einseitiger Test) ist
μ c,u
x
μ0
z1 α σ̂ X
2.753 1,282 116,2
z0,9 = 1,282. Damit ergibt sich für den kritischen Wert
2.604 € und der Beibehaltungsbereich [2.604 €; +∞). Der Prüfwert
2.558 € liegt außerhalb dieses Bereichs, so dass das Assistance-Programm tatsächlich als erfolgreich bewertet
werden kann. Für einen aussagefähigen Test müssen natürlich die zusätzlichen Kosten, die das Programm verursacht (z.
B. für intensivere Kundenbetreuung im Schadenfall) bei den Reparaturkosten berücksichtigt werden.
Aufgabe 9.4.6:
Die Zufallsvariable X: „Zufriedenheitswert eines Bankkunden“ hat einen nicht bekannten Verteilungstyp. Es soll geprüft
werden, ob der zuletzt gemessene Durchschnittswert zwischenzeitlich eine Veränderung erfahren hat. Also wählen wir
H0: μ = μ0 = 6,5; H1: μ ≠ 6,5 zum Signifikanzniveau α = 0,05.
X ist wegen n = 50 > 30 unter der Nullhypothese approximativ normalverteilt mit Parametern μ = 6,5 und (wegen
1
σ σ̂
[(3 6,5)2 (5 6,5)2 ... (4 6,5)2 (9 6,5)2 ] 2,163)
49
σX
σ̂ X
σ̂ / n
2,163 / 50
0,306 . Da wir eine zweiseitige Hypothese testen, lautet das relevante Quantil z1–α/2
= z0,975 = 1,96 und der Beibehaltungsbereich [6,5 – 1,96 · 0,306; 6,5 + 1,96 · 0,306] = [5,9; 7,1]. Die Kundenzufriedenheit
hat sich demzufolge nicht signifikant verschlechtert, denn der gemessene Stichprobenmittelwert liegt bei x 6,34 und
damit deutlich innerhalb der beiden kritischen Werte.
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Aufgaben zu Abschnitt 9.5:
Aufgabe 9.5.1:
Die Hypothesen bezüglich der beiden Anteilswerte p1 in Gesamtheit G1 und p2 in Gesamtheit G2 lauten H0: p1 = p2;
H1: p1 ≠ p2.
p̂1 44 / 200 0,22 und p̂2 30 / 300 0,1. Die Normalverteilungsapproximation
200 0,22 0,78 34,3 und n 2 p̂2 q̂2 300 0,1 0,9 27 gegeben.
Die Stichprobenmesswerte lauten
ist wegen
n1 p̂1 q̂1
Für den Anteilsschätzwert erhalten wir
p̂
200 0,22 300 0,1
200 300
44 30
200 300
0,148,
für die Standardabweichung des Stichprobenanteilswerts
σP
σP̂
0,148 0,852
200 300
200 300
0,032 .
Das Quantil der Standardnormalverteilung lautet
z1-α/2 = z0,975 = 1,96, so dass der Beibehaltungsbereich durch
0,032 ] [ 0,063; 0,063] gegeben ist.
[ z1 α / 2 σP̂ ; z1 α / 2 σP̂ ] [ 1,96 0,032; 1,96
Die Differenz p̂1 p̂2 0,22 0,1 0,12 beider Stichprobenwerte liegt außerhalb des Beibehaltungsbereichs, so dass
die Anteilswerte in den zwei Gesamtheiten nicht als übereinstimmend angesehen werden können.
Aufgabe 9.5.2:
Die Hypothesen bezüglich der beiden Anteilswerte p1 in der Gruppe lediger Männer und p2 in der Gruppe verheirateter
Männer lauten H0: p1 = p2; H1: p1 ≠ p2.
p̂1 138 / 800 0,17 und p̂2 255 / 1.700 0,15. Die Normalverteilungsapproximation ist wegen n1 p̂1 q̂1 800 0,17 0,83 112,9 und n 2 p̂2 q̂ 2 1.700 0,15 0,85 216,8 gegeben.
Die Stichprobenmesswerte lauten
Für den Anteilsschätzwert erhalten wir
p̂
800 0,17 1.700 0,15
800 1.700
136 255
2.500
0,156,
für die Standardabweichung des Stichprobenanteilswerts
σP
σ P̂
0,156 0,844
2.500
1.360 .000
0,0156 .
Das Quantil der Standardnormalverteilung lautet
z1-α/2 = z0,99 = 2,327, so dass der Beibehaltungsbereich durch
[ z1 α / 2 σP̂ ; z1 α / 2 σP̂ ] [ 2,327 0,0156 ; 2,327 0,0156 ] [ 0,036; 0,036 ] gegeben ist.
Die Differenz p̂1 p̂2 0,17 0,15 0,02 beider Stichprobenwerte liegt innerhalb des Beibehaltungsbereichs, so dass
die Anteilswerte in den zwei Gesamtheiten nicht als verschieden angesehen werden können.
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Aufgabe 9.5.3:
Die Hypothesen bezüglich der beiden Anteilswerte p1 (Käuferanteil unter den Weststadtkunden) und p2 (Käuferanteil
unter den Oststadtkunden) lauten H0: p1 = p2; H1: p1 < p2.
p̂1 28 / 250 0,112 und p̂2 49 / 340 0,144. Die Normalverteilungsapproxima250 0,112 0,888 24,9 und n 2 p̂2 q̂2 340 0,144 0,856 41,9 gegeben.
Die Stichprobenmesswerte lauten
tion ist wegen
n1 p̂1 q̂1
Für den Anteilsschätzwert erhalten wir
p̂
250 0,112 340 0,144
250 340
28 49
590
0,131,
für die Standardabweichung des Stichprobenanteilswerts
σP
σP̂
0,131 0,869
590
85.000
0,028 .
Da der Hypothesentest diesmal einseitig formuliert wurde, muss der Beibehaltungsbereich eine andere Gestalt annehz1 α σP̂ 0 , was den
men. Die Alternativhypothese erfordert eine Abgrenzung nach links, also pc μ z1 α σ P̂
Beibehaltungsbereich [pc; 1] ergibt. (Die rechte Grenze liegt nicht bei Null, da die Differenz der zu vergleichenden Anteilswerte positiv oder negativ sein kann.) Das Quantil der Standardnormalverteilung lautet z 1-α = z0,9 = 1,282, so dass
der Beibehaltungsbereich durch [ z1 α σP̂ ; 1] [ 1,282 0,028; 1] [ 0,036; 1] gegeben ist.
0,032 beider Stichprobenwerte liegt innerhalb des Beibehaltungsbereichs, so
Die Differenz p̂1 p̂2 0,112 0,144
dass die Käuferanteile in den zwei Stadtgebieten nicht als verschieden angesehen werden können.
Springer Gabler | Wiesbaden 2014
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http://www.springer.com/978-3-658-02953-1