Theoretische Physik F: Zwischenklausur SS 12 Lösungen

Karlsruher Institut für Technologie
Institut für Theorie
der Kondensierten Materie
Theoretische Physik F: Zwischenklausur
SS 12
Lösungen
Besprechung 18.05.2012
Prof. Dr. Jörg Schmalian
Dr. Igor Gornyi
1. Quickies:
(30 Punkte)
(a) Was besagt der 0. Hauptsatz der Thermodynamik?
Antwort: Es existiert ein thermodynamisches Gleichgewicht, das durch die Temperatur charakterisiert ist.
Wenn A im thermischen Gleichgewicht mit B ist und B im thermischen Gleichgewicht mit C, so ist A auch mit C im thermischen Gleichgewicht
(b) Betrachten Sie ein System von nichtwechselwirkenden klassischen harmonischen
Oszillatoren in vier Dimensionen. Wie lautet die innere Energie im thermischen
Gleichgewicht als Funktion der Temperatur, der Teilchenzahl und des Volumens?
Antwort: Der Hamilton Operator lautet:

 

p
x
n,1
n,1
N 2
X
pn,2  xn,2 
1
p~n
2 2
 

+ mω ~xn
mit p~n , ~xn = 
H =
pn,3  , xn,3 
2m
2
n=1
pn,4
xn,4
2
N X
4
X
pn,i 1
2 2
=
+ mω xn,i
2m 2
n=1 i=1 |
{z
}
| {z }
4N ×
2 quadratische Freiheitsgrade
Wir haben also f = 8N quadratische Freiheitsgrade im System. Nach dem Gleichverteilungssatz wissen wir, dass jeder quadratische Freiheitsgrad eine mittlere Energie von kB T /2 besitzt und damit:
U = 8N
kB T
= 4N kB T
2
(c) Bestimmen Sie die mittlere innere Energie des klassischen, nichtrelativistischen
idealen Gases in zwei Dimensionen als Funktion der Temperatur, der Teilchenzahl
und des Volumens.
Antwort: Der Hamilton Operator lautet hier:
H=
N X
2
X
p2n,i
n=1 i=1
2m
und damit wieder nach dem Gleichverteilungssatz:
U = 2N
kB T
= N kB T
2
(d) Wie lautet die thermische De-Broglie-Wellenlänge des ultra-relativistischen idealen
Gases.
Antwort: Die De-Broglie-Wellenlänge ist in 3D definiert über:
Z
1
d3 p −βH(p)
=
e
(1)
λ3
(2π~)3
weil im ultrarelativistischenb Grenzfall gilt H(p) = c|~p| = cp folgt:
Z
Z
Z ∞
d3 p −βcp 4π
1
4π
2 −βcp
d2 x x2 e−x
=
e
= 3
dp p e
=
λ3
(2π~)3
h
(βch)3
|0
{z
}
(2)
=2!(→siehe Gammafunktion)
=
8π
(βch)3
(3)
Also sehen wir:
λ ∼ βch =
ch
kB T
(4)
(e) Geben Sie den Ausdruck für die Suszeptibilität der nichtwechselwirkenden Spins
Si = ±1 in Abhängigkeit von der Temperatur an.
Antwort: Siehe Curie-Gesetz im Skript (Kapitel 4.2.1) oder Aufgabe 3:
χ(T ) =
µ2 N
kB T
(f) Geben Sie die korrekten Vorzeichen für die Arbeitsänderung an:
δW = ±pdV ± H · dM ± µdN.
Antwort:
δW = −pdV + H · dM + µdN.
(g) Wie lautet die Beziehung zwischen der kanonische Zustandsumme Z(N ) eines idealen Gases von N Teilchen und der Zustandsumme Z(1) eines Teilchens?
Antwort:
[Z(1)]N
Z(N ) =
N!
Siehe Kapitel 5.1.1 im Script.
Im Zustandsintegral wird über alle möglichen Konfigurationen des N -Teilchensystems
integriert. Für ununterscheidbare Teilchen hat man dabei allerdings jeden Phasenraumpunkt N ! mal zu viel gezählt, denn N ! ist ja gerade die Anzahl der Permutationen der N Teilchen – diese Permutationen gebem wegen Ununterscheidbarkeit
alle den gleichen microskopischen Zustand und dürfen deshalb nur einmal gezählt
werden.
(h) Maxwell-Relationen: Zeigen Sie, dass
∂S
∂p
=
∂V T
∂T V
gilt. Geben Sie eine andere Maxwell-Beziehung an.
Antwort:
∂F
S=−
∂T
∂F
p=−
∂V
∂S
∂ 2F
∂ 2F
∂p
=−
=−
=
∂V T
∂V ∂T
∂T ∂V
∂T V
∂T
∂p
=−
∂V S
∂S V
∂V
∂T
=
∂p S
∂S p
∂S
∂V
=−
∂T p
∂p T
(i) Wie lautet die Definition des mikrokanonischen Ensembles?
Antwort: Eine Menge abgeschlossener Systeme mit gegebener Teilchenzahl N , gegebenem Volumen V und gegebener Innerer Energie E.
Geben Sie einen allgemeinen Ausdruck für die Entropie des mikrokanonischen Ensembles an.
Antwort:
S = kB log N (E)
wobei N (E) die Anzahl der möglichen Realisierungen des Systems bei der Energie E
ist (also gerade der Entartungsgrad bei der Energie E ). Dies liegt daran, dass das
System dann gerade N (E) mögliche und gleichwahrscheinliche Zustände besitzt,
wodurch die Wahrscheinlichkeit, dass das System in einem Zustand ist gerade:
ρi =
1
N (E)
Damit folgt aus der mikroskopischen Definition von S:
S = −kB
N (E)
N (E)
X
X
ρi ln(ρi ) = −kB
i
= −kB ln
i
1
N (E)
1
ln
N (E)
1
N (E)
(5)
= kB ln(N (E))
(6)
(j) Für welchen Fall sind die drei verschiedenen statistischen Ensembles (kanonisch,
mikrokanonisch und großkanonisch) äquivalent?
Antwort: Im thermodynamischen Limes N → ∞.
2. Ideales Gasgemisch:
(30 Punkte)
Betrachten Sie ein klassisches ideales Gas bestehend aus zwei verschiedenen Atomsorten
in einem Volumen V . Es gibt NA Teilchen mit Masse MA sowie NB Teilchen mit Masse
MB .
(a) Bestimmen Sie die kanonische Zustandssumme.
V NA +NB
,
3NA 3NB
λA
λB NA !NB !
r
r
β
β
, λB = h
.
λA = h
2πMA
2πMB
Z=
(b) Finden Sie die Zustandsgleichung p = p(V, T, NA , NB ).
p=
NA + NB
kB T.
V
(c) Sind die chemische Potentiale µA and µB gleich?
∂F
µi =
∂Ni T,V,Nj6=i
V
V
− NB kB T 1 + log
F = −NA kB T 1 + log
NA λ3A
NB λ3B
V
µA = −kB T log
NA λ3A
V
µB = −kB T log
6= µA .
NB λ3B
(d) Berechnen Sie die Entropie des Gases.
S = NA kB log
V
NA λ3A
+ NB kB log
V
NB λ3B
5
+ (NA + NB )kB
2
(e) Für MA = MB = M vergleichen Sie die Entropie (d) mit der Entropie eines EinKomponenten Gases aus N = NA + NB Teilchen und Masse M .
MA = MB = M ⇒ λA = λB = λ
V
V
5
+
N
k
log
+
(NA + NB )kB
S = NA kB log
B
B
NA λ3
NB λ3
2
Die Entropie eines Ein-Komponenten Gases aus N = NA + NB Teilchen und Masse
M ist:
V
5
S = N kB log
+ N kB
3
Nλ
2
Es folgt:
S − S0 = kB [(NA + NB ) log (NA + NB ) − NA log(NA ) − NB log(NB )] .
Siehe Kapitel 5.1.2 “Binary classical ideal gas” im Skript:
http://www.tkm.kit.edu/downloads/TheoryF2012.pdf
3. Thermodynamik von N nichtwechselwirkenden Spins:
(40 Punkte)
Betrachten Sie ein System aus N nicht miteinander wechselwirkenden Spins, die an ein
äußeres Magnetfeld B koppeln:
H = −µB
N
X
mit si = ±1.
si
i=1
(a) Bestimmen Sie
PNdie freie Energie F (B, T ), die Entropie S(B, T ) und die Magnetisierung M = µ i=1 hsi i.
Siehe Kapitel 4.2.1 “Spin 1/2 particles . . . (paramagnetism)” im Skript:
http://www.tkm.kit.edu/downloads/TheoryF2012.pdf
Kanonische Zustandssumme:
Z=
X
e
−βEα
=
N
XY
α
α
−βµBsi
e
=
N X
Y
e−βµBsi = [2 cosh (βµB)]N .
i=1 si =±1
i=1
|
{z
Z1
}
Die freie Energie:
µB
F ≡ −kB T ln Z = −kB T N ln 2 cosh
.
kB T
Die Entropie
S=−
∂F
∂T
B
µB
µB
µB
= kB N ln 2 cosh
−N
tanh
.
kB T
T
kB T
Die Magnetisierung
M =−
∂F
∂B
= µN tanh
T
µB
kB T
.
(b) Offensichtlich hängt die Entropie nur vom Verhältnis von Magnetfeld und Temperatur ab, S(B, T ) = S(B/T ). Skizziren Sie S(B/T ).
Wir suchen die Grenzwerte. Definieren wir
x=
µB
kB T
und entwicklen um x = 0:
x2
x2
x2
4
cosh(x) = 1 +
+ O(x ),
ln 1 +
=
+ O(x4 ),
2
2
2
2
4
x · tanh(x) = x + O(x ).
SJ T N
B
k B N logH2L
B
T
Abbildung 1: Entropie als Funktion von B/T
Damit ergibt sich
x2
kB N 2
2
S(x → 0) ≈ kB N ln(2) +
− x = kB N ln(2) −
x.
2
2
Im Grenzwert x → ∞ verwenden wir
cosh(x) =
ex
(1 + e−2x )
2
und
tanh(x) = 1 −
e2x
2
≈ 1 − 2e−2x
+1
und benutzen die Reihenentwicklung des Logarithmus:
S(x → ∞) ≈ kB N x + ln 1 + e−2x − x 1 − 2e−2x
≈ kB N e−2x + 2xkB N e−2x
Daraus ergibt sich die Skizze.
(c) Bestimmen Sie die Näherungsausdrücke für M für kleines Magnetfeld µB/kB T 1
und großes Magnetfeld µB/kB T 1.
M (T, B) = µN tanh
µB
kB T
Der Tangens Hyperbolicus kann fr kleine Argumente x 1 durch tanh(x) ≈ x und
fr groe Argumente x 1 durch tanh(x) ≈ 1 genhert werden. Daraus folgt
µ2 N B
kB T
• µB/(kB T ) 1:
M≈
• µB/(kB T ) 1:
M ≈ µN
(d) Berechnen Sie die Wärmekapazitäten bei konstantem Magnetfeld, bzw. konstanter
Magnetisierung
∂S
∂S
CB = T
; CM = T
.
∂T B
∂T M
µB
N µB
µB
S(B/T ) = kB N ln 2 cosh
−
tanh
.
kB T
T
kB T
CB = T
∂S
∂T
B

µB
= T −kB N
tanh
kB T 2
⇒ CB =
µB
kB T
+
N µB
tanh
T2
µB
kB T
−
N µB
1
T cosh2
µB
kB T

µB 
−
kB T 2
N µ2 B 2
kB T 2 cosh2 kµB
BT
Aus den Teilaufgabe (a) und (b) wissen wir, dass die Entropie nur vom Verhltnis B/T abhängt: S(T, B) = S(B/T ). Ebenfalls aus Teilaufgabe (a) ist bekannt,
dass M = M (B/T ). Diese Abhngigkeit knnen wir invertieren und in die Entropie
einsetzen, woraus folgt, dass CM verschwindet.
∂S
=0
S(B/T ) → S = S(M )
⇒
CM = T
∂T M
(e) Das Spinsystem werde nun bei einer Magnetfeldstärke B1 > 0 durch Kopplung an
ein Wärmebad auf die Temperatur T1 > 0 gebracht und anschließend wärmeisoliert.
Ändert man nun das Magnetfeld auf einen neuen Wert B2 > 0, so verläuft dieser
Prozess adiabatisch. Was folgt daraus für die Entropie? Was gilt also für die Temperatur T2 , die das Spinsystem nach der Magnetfeldänderung besitzt? Wie muss B2
gewählt werden, damit das Spinsystem abgekühlt wird, also T2 < T1 gilt.
δQ = T dS = 0
⇒ dS = 0
im adiabatischen Prozess.
Die Entropie ndert sich nicht. Da S = S(B/T ) folgt B/T = konst. und damit
B1
B2
=
T1
T2
S = const
⇒
⇒
B2 =
T2
B1
T1
B1
B2
=
T1
T2