Ubungsserie 14

I-Math, UZH
kommutative Algebra
Frühjahrssemester 2014
Prof. em. Markus Brodmann
Übungsserie 14
Ausgabe: elektronisch auf der Vorlesungshomepage www.math.uzh.ch/fs14/mat506 am 29.5.2014.
Punktevergabe: Diese Serie dient der Übung der letzten Kapitel des Skriptes und der Vertiefung einiger
Aspekte der Vorlesung, ist aber unbepunktet.
1
Sei R ein Ring und R[x] der Polynomring in einer Variablen über R. Zeigen Sie:
(a) Für jedes Primideal p ∈ Spec(R) gibt es die zwei Primideale q1 := (p)R[x] , q2 := (p, x)R[x] ∈
Spec(R[x]) mit den Eigenschaften qi ∩ R = p und q1 ( q2 .
(b) Für jedes Primideal p ∈ Spec(R) gibt es eine (inklusionserhaltende) Bijektion zwischen {r ∈
Spec(R[x]) : r∩R = p} und Spec((Quot(R/p))[x]). Folgern Sie daraus für drei Primideale r1 , r2 , r3 ∈
Spec(R[x]) mit den Eigenschaften ri ∩ R = p und r1 ⊂ r2 ⊂ r3 , dass r1 = r2 oder r2 = r3 .
(c) Folgern Sie aus a) und b), dass dim(R) + 1 ≤ dim(R[x]) ≤ 2 dim(R) + 1.
(d) Ist R noethersch, so ist dim(R) + 1 = dim(R[x]).
Folgendes Beispiel entstammt Hutchins: Examples of Commutative Rings, Example 27. Sei k ein Körper
und T := k ⊕ xk(y)[[x]] ⊂ k(y)[[x]] der Unterring eines Potenzreihenringes über einem Funktionenkörper.
Zeigen Sie:
(e) Spec(T ) = {0, m := xk(y)[[x]]} besteht aus genau zwei Elementen und dim(T ) = 1.
(f) Spec(T [z]) ⊃ {p0 := 0, p1 := (z −y)k(y)[[x]] ∩T [z], p2 := (p1 , xk(y)[[x]])T [z] , p3 := (p1 , xk(y)[[x]], z)T [z] };
weiter ist p0 ( p1 ( p2 ( p3 und dim(T [z]) = 3.
(g) T ist nicht noethersch.
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Sei k ein Ring und R eine k-Algebra, also sei ein Ringmorphismus ϕ : k → R gegeben. Eine Z-indizierte
Familie {Ri }i∈Z von k-Untermodul von R (mit Standard-k-Modulstruktur einer k-Algebra) heisst (Z)Graduierung über k, wenn
L
(a) R = i∈Z Ri ,
(b) ∀i, j ∈ Z : Ri · Rj ⊂ Ri+j , wobei die Elemente aus Ri , Rj in R multipliziert werden.
Ein Element r ∈ R heisst homogen bezüglich der Graduierung {Ri }i∈Z , wenn ∃ir ∈ Z : r ∈ Rir . Man
sagt dann auch r sei homogen vom Grad ir . Zeigen Sie für k, R, {Ri }i∈Z wie eben, aber zusätzlich R 6= 0:
(a) Für jeden Grad i ∈ Z ist 0 homogen vom Grad i, 1R ist homogen vom Grad 0 und von sonst keinem
anderen Grad und für jedes a ∈ k ist ϕ(a) homogen vom Grad 0.
(b) Ist R zusätzlich ein Integritätsbereich und r ∈ R homogen, sowie f g = r eine Faktorisierung in R,
so sind auch f und g homogen.
Sei nun k ein Körper, R := k[x, y] und p, q ∈ N teilerfremde natürliche Zahlen. Zeigen Sie:
L
m n
(c) Durch Ri :=
m≥0,n≥0,qm+pn=i kx y für i ∈ Z ist eine Graduierung von R über k gegeben;
anschaulich erhält x den Grad q und y den Grad p.
(d) r := xp − y q ist irreduzibel in R.
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Sei k ein Körper, R := k[x, y], dann p, q ∈ N>1 teilerfremde natürliche Zahlen, r := xp − y q ∈ R und
setze A := R/(r).
(a) Zeigen Sie: A ist ein 1-dimensionaler Integritätsbereich.
Hinweis: Benutzen Sie 2 (d).
(b) Bestimmen Sie eine Noether-Normalisierung von A.
(c) Bestimmen Sie eine Normalisierung B von A und zeigen Sie, dass alle Lokalisierungen (Bp , pBp ) für
p ∈ Spec(B) regulär sind.
(d) Folgern Sie: es gibt so ein m ∈ Spec(A), dass Am nicht regulär ist. Bestimmen Sie so ein m.
4
Betrachten Sie für k einen Körper die Ringe A := k[x, y, z] und R := A/(xy − z 2 ), sowie · : A → R die
Restklassenabbildung. Man setze m := (x, y, z)R . Zeigen Sie:
(a) R ist integer, von Dimension 2 und m ∈ Max(R).
1
(b) Rx ∼
, Z][Y ]/(Y −
= k[X, X
Z2
X )
∼
= k[X, Z]X .
(c) Daraus kann man mit Symmetrieargumenten folgern, dass ∀p ∈ Spec(R) \ {m} : Rp ist regulär.
(d) (Rm , mRm ) ist CM aber nicht regulär.
(e) R ist normal, aber nicht alle Lokalisierungen (Rp , pRp ) für p ∈ Spec(R) sind regulär.
Bemerkung: Mit der letzten Aussage hat man ein Beispiel, dass Normalisierung nicht immer desingu”
larisiert“.
5
Sei R ein Ring. Im Folgenden werden solche Unterringe R0 ⊂ R gegeben, dass ϕR0 : R0 ,→ R eiϕ
ne ganze Erweiterung ist. Definiere für i ∈ N ∪ {∞} die Mengen Xi := Xi R0 := {x ∈ Max(R) :
#((Spec(ϕR0 ))−1 ((Spec(ϕR0 ))(x))) ≤ i}. Bestimmen Sie die Mengen Xi für i ≤ 10 in der Form Xi =
Var(ai ) ∩ Max(R) für Ideale ai , wobei im Folgenden k ein algebraisch abgeschlossener Körper der Charakteristik 0 ist.
(a) R0 = k[x, y 2 ] ⊂ R = k[x, y],
(b) R0 = k[x2 , y 2 ] ⊂ R = k[x, y],
(c) R0 = k[x2 , xy, y 2 ] ⊂ R = k[x, y],
(d) R0 = k[x2 , y 2 ] ⊂ R = k[x2 , xy, y 2 ],
(e) R0 = C[x] ⊂ R = C[x, y]/(y 2 − x2 − 1),
(f) R0 = R[x] ⊂ R = R[x, y]/(y 2 − x2 − 1).
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Zeigen Sie unter Verwendung des Serre-Kriteriums: ist R noethersch und normal, so ist auch der Polynomring R[x] normal.
Bemerkung: Allgemeiner gilt für (nicht notwendigerweise noethersche) Ringe R, dass R genau dann
normal ist, wenn R[x] normal ist (vgl. Bourbaki: Algèbre Commutative V, §1, cor. 2 de la prop. 13, p. 16
– intégralment close“ entspricht normal).
”
Bemerkung: Wir fassen einige Resultate über noethersche Ringe aus den Übungen in salopper Notation
zusammen:
1
2
R aus Serie 13 Aufgabe 1 ist singulär und die Normalisierung desingularisiert R.
Ist ein Ring A von Dimension 1 und singulär, so desingularisiert die Normalisierung immer – siehe Serie
14 Aufgabe 3 für ein Beispiel.
3
R aus Serie 14 Aufgabe 4 ist singulär aber normal – die Normalisierung ist also R selbst, desingularisiert
also nicht. In diesem Beispiel ist dim(R) = 2 > 1.
4
A aus Serie 11 Aufgabe 1 ist ein lokaler, nicht-regulärer Ring, bei dem alle nichttrivialen Lokalisierungen
regulär sind.
5
Sei k ein Körper und R := k[x2 , x3 , y], m := (x2 , x3 , y), sowie (A, n) := (Rm , mRm ). A ist ein lokaler
3
2
Ring, bei dem manche nicht-triviale Lokalisierungen regulär sind (bei ( x1 , x1 )) und andere nicht (bei y1 ).
6
Der Ring S := k[x]/(x2 ) ist lokal, nicht-regulär und besitzt neben dem maximalen Ideal keine Primideale
– also gibt es keine (insbesondere keine nicht-trivialen) Lokalisierungen, die regulär wären.
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Aufgaben, in denen Ringe mit nicht-regulären Lokalisierungen vorkommen:
Serie 3 Aufgabe 2, Serie 5 Aufgabe 3, Serie 5 Aufgabe 4, Serie 7 Aufgabe 3, Serie 7 Aufgabe 5, Serie 9
Aufgabe 1, Serie 11 Aufgabe 1, Serie 11 Aufgabe 3, Serie 11 Aufgabe 4, Serie 13 Aufgabe 1, Serie 13
Aufgabe 2, Serie 14 Aufgabe 3, Serie 14 Aufgabe 4.
Serie 14 Aufgabe 1 gibt ebenfalls ein Beispiel eines nicht-regulären Ringes, aber dieser Ring ist nicht
noethersch (gegen die Vereinbarung am Anfang der Bemerkung), sodass er gesondert aufgeführt wird.