Einführung in die diskrete Mathematik SS 2015

7. Übungsblatt
Einführung in die diskrete Mathematik
SS 2015
Jens M. Schmidt
Aufgabe 1: Linien und Regionen
Es werden nacheinander n > 0 Geraden in die Ebene gezeichnet; keine zwei Geraden
dürfen dabei parallel sein. Was ist die maximale Anzahl von Regionen Rn , in die
man die Ebene damit teilen kann? Was die minimale?
Aufgabe 2: Rot-blaue Kreise
Die Kanten des vollständigen Graphen Kn auf n Knoten werden beliebig mit rot
und blau gefärbt. Zeigen Sie, dass es einen Kreis C gibt, der jeden Knoten genau
einmal besucht, und dabei monochromatisch ist oder aus genau zwei konsekutiven
monochromatischen Teilen besteht.
Aufgabe 3: Farbige Punkte in 3D
Gegeben ist eine t ≥ 1-Färbung der natürlichen Zahlen. Betrachten Sie alle Punkte
der Ebene x + y = z im R3 , deren drei Koordinaten positiv ganzzahlig sind (z.B.
(1, 2, 3) oder (4, 4, 8)). Ein solcher Punkt wird genau dann mit der Farbe i ∈ [t]
gefärbt, wenn seine drei Koordinaten jeweils Farbe i aufweisen; andernfalls ist er
farblos. Die Frage ist, ob alle Punkte farblos sein können.
i) Zeigen Sie, dass das Problem durch folgende Antwort gelöst wird:
Für jedes t ≥ 1 existiert ein kleinstes S(t) ∈ N, so dass jede t-Partition von
{1, 2, . . . , S(t)} eine Klasse mit zwei Zahlen x, y und der Zahl x + y enthält.
t
z
}|
{
ii) Beweisen Sie die Antwort mit Hilfe von n := R2 (3, 3, . . . , 3) − 1 und einer
geeigneten Kantenfärbung von Kn+1 .
Aufgabe 4: Konvexe Punktmengen
i) Es gilt N (5) ≤ 9, d.h. Punktmengen ab 9 Punkten enthalten ein konvexes 5-gon.
Finden Sie eine Punktmenge mit 8 Punkten, die kein konvexes 5-gon enthält.
ii) In der Vorlesung wurde gezeigt, dass N (n) ≤ R4 (5, n) ist. Es wird R3 (n, n) <
R4 (5, n) vermutet (das ist aber noch nicht bewiesen; ein Beweisversuch dazu
entbindet Sie von dieser Aufgabe!). Zeigen Sie, dass sogar N (n) ≤ R3 (n, n)
gilt, in dem Sie nicht-konvexe 4-Mengen geeignet durch gefärbte 3-Teilmengen
ausdrücken.