7. Übungsblatt Einführung in die diskrete Mathematik SS 2015 Jens M. Schmidt Aufgabe 1: Linien und Regionen Es werden nacheinander n > 0 Geraden in die Ebene gezeichnet; keine zwei Geraden dürfen dabei parallel sein. Was ist die maximale Anzahl von Regionen Rn , in die man die Ebene damit teilen kann? Was die minimale? Aufgabe 2: Rot-blaue Kreise Die Kanten des vollständigen Graphen Kn auf n Knoten werden beliebig mit rot und blau gefärbt. Zeigen Sie, dass es einen Kreis C gibt, der jeden Knoten genau einmal besucht, und dabei monochromatisch ist oder aus genau zwei konsekutiven monochromatischen Teilen besteht. Aufgabe 3: Farbige Punkte in 3D Gegeben ist eine t ≥ 1-Färbung der natürlichen Zahlen. Betrachten Sie alle Punkte der Ebene x + y = z im R3 , deren drei Koordinaten positiv ganzzahlig sind (z.B. (1, 2, 3) oder (4, 4, 8)). Ein solcher Punkt wird genau dann mit der Farbe i ∈ [t] gefärbt, wenn seine drei Koordinaten jeweils Farbe i aufweisen; andernfalls ist er farblos. Die Frage ist, ob alle Punkte farblos sein können. i) Zeigen Sie, dass das Problem durch folgende Antwort gelöst wird: Für jedes t ≥ 1 existiert ein kleinstes S(t) ∈ N, so dass jede t-Partition von {1, 2, . . . , S(t)} eine Klasse mit zwei Zahlen x, y und der Zahl x + y enthält. t z }| { ii) Beweisen Sie die Antwort mit Hilfe von n := R2 (3, 3, . . . , 3) − 1 und einer geeigneten Kantenfärbung von Kn+1 . Aufgabe 4: Konvexe Punktmengen i) Es gilt N (5) ≤ 9, d.h. Punktmengen ab 9 Punkten enthalten ein konvexes 5-gon. Finden Sie eine Punktmenge mit 8 Punkten, die kein konvexes 5-gon enthält. ii) In der Vorlesung wurde gezeigt, dass N (n) ≤ R4 (5, n) ist. Es wird R3 (n, n) < R4 (5, n) vermutet (das ist aber noch nicht bewiesen; ein Beweisversuch dazu entbindet Sie von dieser Aufgabe!). Zeigen Sie, dass sogar N (n) ≤ R3 (n, n) gilt, in dem Sie nicht-konvexe 4-Mengen geeignet durch gefärbte 3-Teilmengen ausdrücken.