Ubungen zur Theoretischen Physik Ib – Elektrodynamik

Universität Regensburg
Institut I - Theoretische Physik
Wintersemester 2015/2016
Übungen zur Theoretischen Physik Ib – Elektrodynamik
Prof. Ferdinand Evers, Dr. Richard Korytár, Dr. Jeongsu Lee,
Michael Kammermeier, Lars Milz, Christian Seiler, Felix Weiner
Blatt 13 (Diskussion: 26. und 27. Januar 2015)
Aufgabe 13.1
10 Punkte
Die Banditen und die Kugel I.
Als die Banditen in ihrem Fluchtfahrzeug abhauen, das mit Geschwindigkeit 34 c fährt, feuert ein
Polizist eine Kugel aus dem verfolgenden Polizeiwagen. Dieser bewegt sich mit Geschwindigkeit
1
1
3 c. Die Mündungsgeschwindigkeit der Kugel (relativ zur Pistole) ist 2 c. Trifft die Kugel ihr
Ziel laut
(a) nicht-relativistischer Kinematik?
(b) relativistischer Kinematik?
Problem 13.2
10 Punkte
Die Banditen und die Kugel II.
Wiederholen Sie die Rechnung aus Aufgabe 13.1 im Inertialsystem des Polizeiwagens. Werden
die Banditen entkommen?
Aufgabe 13.3
17 Punkte
Elektrisches Feld einer homogen polarisierten Kugel
(a) Aufwärmübung: Wiederholen Sie die Berechnung des elektrischen Feldes einer homogen
geladenen Kugel (Radius R, Ladungsdichte ρ(r) = ρ0 Θ(R − r), aber P = 0) mithilfe des
Gausschen Gesetzes.
(b) Es sei nun ρ = 0. Gegeben ist ein Medium mit einer Polarisation P(r), sodass ein Volumenelement d3 r0 bei Punkt r0 ein Dipolmoment P(r0 )d3 r0 besitzt.
Erklären Sie, warum das gesamte elektrostatische Potential durch
ˆ
P(r0 ) · (r − r0 )
.
(1)
Φ(r) = d3 r0
|r − r0 |3
gegeben ist.
(c) Angenommen, die Polarisation sei konstant im Integrationsvolumen V . Dann gilt
ˆ
r − r0
Φ(r) = P ·
d3 r0
.
|r − r0 |3
V
Interpretieren Sie den Ausdruck. Was ist die Bedeutung des Integrals im Sinne der Elektrostatik?
(d) Für die homogen geladene polarisierte Kugel ist P(r) = P0 ez Θ(R − r). Zeigen Sie unter
Verwendung der Erkenntnisse aus (c) und dem Ergebnis aus (a), dass
(
z
if r < R
4π
Φ(r) =
P0
.
z
3
R3 r3 if r > R
(e) Berechnen Sie das zugehörige elektrische Feld und zeichnen Sie die Feldlinien!
Aufgabe 13.4?
10 Bonuspunkte
Elektromagnetische Energie in Materie.
In dieser Aufgabe leiten wir den Satz von Poynting in Materie her. Die Herleitung ist eng
angelehnt an die Herleitung des Satzes im Vakuum, die in der Vorlesung gezeigt wurde.
(a) Betrachten Sie die Joulesche Wärme jfrei · E, wobei jfrei die Stromdichte der freien Ladungen
bezeichnet. Verifizieren Sie die folgende Beziehung mithilfe der Maxwell Gleichungen im
Vakuuum:
4π
1 ∂D
jfrei · E = (rot H) · E −
· E.
(2)
c
c ∂t
(b) Schreiben Sie den ersten Term auf der rechten Seite um, unter Verwendung der (aus der
Vorlesung bekannten) Identitäten ∇ · (A × B) = B · (∇ × A) − A · (∇ × B) und rot E =
− 1c (∂B/∂t)
(c) Überzeugen Sie sich davon, dass Gleichung (2) in folgende Form gebracht werden kann:
−jfrei · E = div S +
∂wem
.
∂t
Geben Sie S und (∂wem /∂t) an.
Aufgabe 13.5?
15 Bonuspunkte
Lagrangefunktion eines relativistischen Teilchens
Die Lagrangefunktion eines Teilchens (Ruhemasse m, Ladung q), das sich in einem elektromagnetischen Feld mit Potentialen φ, A bewegt, ist gegeben durch
r
v2
2
L(r, v, t) = −mc 1 − 2 − qφ(r, t) + qv · A(r, t).
c
(a) Entwickeln Sie die Lagrangefunktion bis zur zweiten Ordnung in v/c. Was folgern Sie
daraus?
(b) Der q
kanonische Impuls ist definiert durch P(r, v, t) := ∂L/∂v. Zeigen Sie, dass P =
2
mv/ 1 − vc2 + qA(r, t)
(c) Berechnen Sie die generalisierte Kraft (∂L/∂r).
Hinweis: ∇(C · D) = (C · ∇)D + (D · ∇)C + C × (∇ × D) + D × (∇ × C).
(d) Die Euler-Lagrange Gleichungen enthalten die totale Zeitableitung von P. Zeigen Sie, dass


dP
∂A(r, t)
d  mv 
∂A(r, t)
q
=
+q
+ qv ·
2
dt
dt
∂t
∂r
1− v
c2
und erklären Sie die einzelnen Terme.
(e) Geben Sie die (Euler-Lagrange-)Bewegungsgleichungen des Teilchens an und vergewissern
Sie sich, dass Sie die Lorentzkraft erhalten.
2