Vertretungsstunden Mathematik 31

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Marco Bettner/Erik Dinges
Vertretungsstunden
Mathematik 31
10. Klasse: Trigonometrie
Bergedorfer ® Unterrichtsideen
Marco Bettner/Erik Dinges
Downloadauszug
aus dem Originaltitel:
Vertretungsstunden
Mathematik 9./10. Klasse
Sofort einsetzbar –
lehrplanorientiert – systematisch
Tangens an recht winkligen Dreiecken 1
Trigonometrie
1. In verschiedenen rechtGegenkathete
winkligen Dreiecken
4,3
mit γ = 90° und α = 33°
8,6
wurde die Größe
2,2
der Gegenkathete und
3
der Ankathete in die
12
Tabelle eingetragen.
5
Was fällt dir auf?
Tipp: Beachte den Quotienten.
n aus Gege
kath
2. Den Quotienten
Gegenkathete
und
ennt man Tan
Ankathete nennt
Tangens.
zung: tan
Abkürzung:
tan.
Notiere den Tan
Notiere
Tangens von a und b
ngegeb
ck.
beim an
angegebenen
Dreieck.
Ankathete
6,6
13,2
3,4
4,6
18,5
7,7
Gegenk./Ank.
b
a
α
β
c
Marco Bettner/Erik Dinges: Vertretungsstunden Mathematik 31
© Persen Verlag GmbH, Buxtehude
1
Tangens an recht winkligen Dreiecken 2
Trigonometrie
1. Notiere den Tangens für α, β, ε und φ an den beiden Dreiecken.
a)
b)
y
a
b
ε
β
α
x
c
z
φ
2. Betrachte das Dreieck bei Aufgabe 1a. b = 7 cm und α = 35°. Jonas hat mithilfe von Tangens
für a = 4,9 cm berechnet. Diese Rechnung soll von dir überprüft
prüft werden.
w rden
a) Notiere eine passende Tangens-Gleichung.
b) Setze die gegebenen Werte in die Gleichung
hung ein und löse entsprechend
entsprechen auf.
3. Berechne die gesuchte Größe
mithilfe des Tangens.
e im
m Dreieck ABC mit
a)
A
b)
C
10 cm
a
45°
β
b
B
A
c)
C
C
b
25 cm
β
30°
B
A
α
4 cm
51°
B
4. In einem rechtwinkligen
ABC
folgende Größen gegeben: γ = 90°; a = 5 cm;
gen Dreieck
Dr
BC sind
s
b = 6 cm. Erik versucht,
rsucht, den Winkel β mit Tangens zu berechnen. Bringe die Vorgehensweise
zur Berechnung
nun von β in
n die richtige Reihenfolge.
Setze
in die Gleichung ein.
etze die gegebenen
g gebenen Zahlenwerte
Z
lle eine passende Tangensgleichung auf.
Stelle
Ermittle mit dem Taschenrechner β.
Löse die Gleichung nach „tan β“ auf.
5. Berechne die fehlenden Winkelgrößen im Dreieck ABC (γ = 90°) mit dem Tangens.
a) a = 20 cm; b = 30 cm; ges.: β
b) a = 5 cm; b = 11 cm; ges.: α
c) a = 145 mm; b = 111 mm; ges.: α
d) a = 3,8 cm; b = 5,7 cm; ges.: β
e) a = 44 dm; b = 20 dm; ges.: β
f ) a = 85,5 cm; b = 85,5 cm; ges.: α
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2
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Gegenkathete
athete
4,3
8,6
2,2
3
12
5
tan α =
a
b
2. Der Quotient aus Gegenkathete und
Ankathete nennt man Tangens.
Abkürzung: tan.
Notiere den Tangens von a und b
beim angegebenen Dreieck.
Die Quotienten sind alle gleich.
1. In verschiedenen rechtwinkligen Dreiecken
mit γ = 90° und α = 33°
wurde die Größe
der Gegenkathete und
der Ankathete in die
Tabelle eingetragen.
Was fällt dir auf?
Tipp: Beachte den
Quotienten.
Tangens an recht winkligen Dreiecken 1
α
b
Ankathete
Anka
6,6
13,2
3,4
4,6
18,5
7,7
c
β
a
Gegenk./Ank.
Ank.
0,65
0,65
0,65
0,65
0,65
0,65
b
c
a
tan α = a ; tan β = b
ta
α
b
a
β
b)
y
z
x
tan ε = x ; tan φ = y
ε
y
φ
x
7
a = 10 cm
45°
10 cm
C
β
a
B
A
b)
b = 43,3 cm
30°
b
C
β
B
25 cm
A
c)
b = 4,94 cm
α
b
C
51°
b) α = 24,4°
d) β = 56,3°
f ) α = 45°
56,3°
a)) β = 5
c) α = 52,6°°
e) β = 24,4°°
5. Berechne die fehlende
fehlenden Winkelgrößen im Dreieck ABC (γγ = 90°) mit dem Tangens.
Ermittle mit d
dem Taschenrechner β.
Löse die Glei
n β“ auf.
Gleichung nach „tan
Setze die gegebenen
g
Zahlenwerte
werte in die Gleichung ein.
ein
Tangensgle chung auf.
a
Stelle eine passende Tangensgleichung
B
4 cm
e
igen Dreieck ABC sind folgende Größen gegeben: γ = 90°; a = 5 cm;
4. In einem
rechtwinkligen
b = 6 cm. Erik versucht,
cht, den Winkel β mit Tangens zu berechnen. Bringe die Vorgehensweise
zur Berechnung von β in die richtige Reihenfolge.
A
a)
e gesuchte Größe
Grö im Dreieck ABC mithilfe des Tangens.
3. Berechne die
b)
b tan 35°
5° = a ; a = 7 · tan 35° = 4,9 cm
b
a) tan α = a
2. Betrachte
rachte das Dreieck bei Aufgabe 1a. b = 7 cm und α = 35°. Jonas hat mithilfe von Tangens
für a = 4,9 cm berechnet. Diese Rechnung soll von dir überprüft werden.
a)
1. Notiere den Tangens für α, β, ε und φ an den beiden Dreiecken.
Tangens an recht winkligen Dreiecken 2
Lösungen
Trigonometrie
3
Sinunssatz an beliebigen Dreiecken 1
Trigonometrie
C
Gegeben ist das abgebildete
Dreieck ABC.
a = 7 cm; α = 50°; β = 40°
Gesucht ist b.
γ
a
b
β
α
A
B
c
ung mitt dem Sinussatz
S nussatz aauf.
a) Stelle unten eine passende Gleichung
bene Größen (a,
(a α un
Tipp: Achte darauf, dass die gegebenen
und β) und
hung vorkomm
die gesuchte Größe (b) in der Gleic
Gleichung
vorkommen.
en Zahle
nwerte in d
llte Gleichung
eichung unten ei
b) Setze die gegebenen
Zahlenwerte
die aufgestellte
ein.
ung nach b aauf.
c) Löse die Gleichu
Gleichung
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4
Sinunssatz an beliebigen Dreiecken 2
Trigonometrie
1. Berechne die gesuchten Längen im Dreieck ABC mithilfe des Sinussatzes.
a) C
b)
c) C
C
8 cm
60°
A
55°
B
c
A
22 cm
b
10 cm
b
40°
51°
a
35°
B
42°
c
A
B
c
2. In einem Dreieck sind die Länge a = 50 cm, c = 70 cm und der Winkel γ = 52° gegeben.
Der Winkel α soll berechnet werden. Kreuze den richtigen Rechenweg
weg an.
a
= sin γ
c sin α
50 = sin 52°
70
sin α
50 · sin α = sin 52°
70
sin α= 70 · sin 52°
50
sin α ≈ 1,1, d. h. α kann
nn
nicht berechnett werden.
Ein Dreieck mit solchen
Maßen
n existiert
existier nicht.
a sin α
=
c
sin γ
a cos α
=
c
cos γ
50
0 = sin α
70 sin 52°
50 · sin 52° = sin α
70
7
0,56
0,5 ≈ sin α, α ≈ 34,3°
50 = cos α
70 cos 52°
50 · cos 52° = cos α
70
0,44
,44 ≈ cos α, α ≈ 63,9°
3. Berechne die fehlenden Seiten bzw.
w. Winkelgr
ößen im Dreieck.
Winkelgrößen
a) a = 49 cm; b = 42 cm; α = 62°; β = 70°
b c = 5,2 cm; a = 3,9 cm; γ = 29°; α = 85°
b)
c) b = 2,8 dm; c = 3,9 dm; β = 18°; γ = 70°
d) c = 160 mm; a = 98 mm; α = 70°, γ = 55°
m β = 78°;
7 γ = 60°
e) b = 0,5 m; c = 0,9 m;
f ) a = 22,4 cm; b = 28 cm; β = 36°; α = 80°
D
4. Berechne
hne den Umfang des Vierecks.
40°
7,2 cm
100° C
55°
A
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5,5 cm
B
5
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A
α
b
γ
C
c
a
β
7 sin 50°
=
b sin 40°
b)
7 · sin 40°
= b = 5,87 cm
sin 50°
c) 7 · sin 40° = b · sin 50°
a sin α
=
b sin β
a)
c) Löse die Gleichung nach b auf.
b) Setze die gegebenen Zahlenwerte in die aufgestellte Gleichung unten ein.
a) Stelle unten eine passende Gleichung mit dem Sinussatz auf.
auf
Tipp: Achte darauf, dass die gegebenen Größen (a, α und β) und
d
die gesuchte Größe (b) in der Gleichung vorkommen.
Gegeben ist das abgebildete
Dreieck ABC.
a = 7 cm; α = 50°; β = 40°
Gesucht ist b.
Sinunssatz an beliebigen Dreiecken 1
B
c
60°
c = 12,26 cm; b = 10,78 cm
40°
4
8 cm
B
C
c
a
a= 7 cm; c = 12,21 cm
A
35°
10 cm
b)
55°
B
A
51°
c
22 cm
c = 25,56 cm; b = 32,83 cm
42°
b
c) C
50 = sin α
70 sin 52°
50 · sin 52° = sin α
70
0,56 ≈ sin α, α ≈ 34,3°
a sin α
=
c
sin γ
bes
Das Viereck besitzt
einen Umfang von 23,07 cm.
A
40°
5,5 cm
7,2 cm
B
100° C
50 = cos α
70 cos 52°
50 · cos 52° = cos α
70
0,44 ≈ cos α, α ≈ 63,9°
a cos α
=
c
cos γ
55°
f ) γ = 64°; c = 20,44 cm
e) α = 42°; a = 0,34 m
D
d) β = 55°; b = 85,43 mm
c) α = 92°; a = 9,06 dm
hne den Umfang
Umf
cks.
4. Berechne
des Vierecks.
b) β = 66°; b = 3,58 cm
a) γ = 48°; c = 41,24 cm
3. Berech
n Seiten bzw. Wi
Berechne die fehlenden
Winkelgrößen im Dreieck.
50
0 = sin 52°
70
sin α
50 · sin
s α = sin 52°
70
sin α= 70 · sin 52°
5
50
sin α ≈ 1,1, d. h. α kann
nicht berechnet
chnet werden.
Ein Dreieck
ck mit solchen
Maßen existiert
istier nicht
a
in γ
= sin
c sin
in α
2
I einem
em Dre
2. In
Dreieck sind die Länge a = 50 cm, c = 70 cm und der Winkel γ = 52° gegeben.
Der
er Winkel α soll berechnet werden. Kreuze den richtigen Rechenweg an.
A
b
a) C
1. Berechne die gesuchten Längen im Dreieck ABC mithilfe des Sinussatzes.
Sinunssatz an beliebigen Dreiecken 2
B
Lösungen
Trigonometrie
6
Kosinunssatz an beliebigen Dreiecken 1
Trigonometrie
C
Gegeben ist das abgebildete
Dreieck ABC. a = 8 cm; β = 40°; c = 9 cm
Gesucht ist b.
γ
a
a) Wähle unten eine passende
Gleichung mit dem Kosinussatz aus.
Tipp: Achte darauf, dass die
gegebenen Größen (a, c und β)
und die gesuchte Größe (b) in
der Gleichung vorkommen.
b
β
α
A
B
c
a2 = b2 + c2 – 2 · b · c · cos α
b2 = c2 + a2 – 2 · c · a · cos β
c2 = a2 + b2 – 2 · a · b · cos γ
b) Setze die gegebenen
en Zahle
Zahlenwerte
werte in die aufgestellte
llte
e Gleichung
G eichung
g unten eein.
e Gleichung
Gleichung nach
nac der gesuchten Größe auf.
c) Löse die
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Kosinunssatz an beliebigen Dreiecken 2
Trigonometrie
1. Berechne die gesuchten Längen im Dreieck ABC mithilfe des Kosinussatzes.
C
a)
C
b)
6 cm
A
80°
50 cm
b
B
8 cm
36°
A
4,7 dm
3,5 dm
b
40°
C
c)
B
47 cm
B
c
A
ben.
2. In einem Dreieck sind die Längen b = 9 cm, c = 6 cm und a = 8 cm gegeben.
weg an.
Der Winkel α soll berechnet werden. Kreuze den richtigen Rechenweg
a2 = b2 + c2 – 2 · b · c · cos α
82 = 92 + 62 – 2 · 9 · 6 · cos α
64 = 9 · cos α
7,11 = cos α, d. h. der Winkel α kann
berechnet
nn nicht
nic t bere
chnet
werden. Ein Dreieck mit solchen
en Maßen existiert
existier nicht.
a2 = b2 + c2 – 2 · b · c · cos α
a2 = b2 + c2 – 2 · b · c · cos α
82 = 92 + 62 – 2 · 9 · 6 · cos α
82 = 92 + 62 – 2 · 9 · 6 · cos α
64 = 117 – 108 · cos
os α
64
4 = 117
17 – 108 · cos
os α
–53 = 108 · cos α
–53 = -108
-1 8 · cos α
–0,49 = cos α, α = 119,4°
0,49 = cos
co α, α = 60,6°
e fehlend
en Sei
3. Berechne die
fehlenden
Seiten bzw. Winkelgrößen im Dreieck.
a) a = 7 cm;
cm; b = 10 cm; c = 8 cm;
c ges.: α
b) a = 13 cm; b = 14 cm; c = 17 cm; ges.: α
c) a = 14 ccm; b = 20 cm;
cm c = 9 cm; ges.: β
d) a = 144 mm; b = 190 mm; c = 120 mm; ges.: β
e) a = 2,9 m; b = 4,1 m; c = 3,5 m; ges.: γ
f ) a = 623 mm; b = 550 mm; c = 611 mm; ges.: γ
g) a = 20 cm; b = 17 cm; γ = 65°; ges.: c
h) b = 9 cm; c = 14 cm; α = 25°; ges.: a
i) a = 55 cm; c = 61 cm; β= 40°; ges.: b
j) a = 10 cm; c = 7 cm; β = 33°; ges.: b
C
4. Berechne den Umfang des Dreiecks.
40 cm
47°
A
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B
55 cm
8
Marco Bettner/Erik Dinges: Vertretungsstunden Mathematik 31
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B
B
2
2
b = 5,89 cm
b2 = 34,69
b2 = 81 + 64 – 110,31
b) b = 9 + 8 – 2 · 9 · 8 · cos 40°
2
c) Löse die Gleichung nach der gesuchten Größe auf.
ten ein.
b) Setze die gegebenen Zahlenwerte in die aufgestellte Gleichung unten
c2 = a2 + b2 – 2 · a · b · cos γ
A
b)
b
36°
50 cm
47 cm
b = 30,11 cm
C
B
A
80°
C
a2 = b2 + c2 – 2 · b · c · cos α
82 = 92 + 62 – 2 · 9 · 6 · cos α
64 = 117 – 108 · cos α
–53 = -108 · cos α
0,49 = cos α, α = 60,6°
co α
82 = 92 + 62 – 2 · 9 · 6 · cos
7 – 108
10 · cos α
64 = 117
08 · cos
co α
–53 = 108
os α, α = 119,4°
119,4
–0,49 = cos
b) α = 48,4°
fang des Dreiec
Der Umfang
Dreiecks beträgt
135,3 cm.
n Umfang de
4. Berechn
Berechne den
des Dreiecks.
A
47°
40 cm
55 cm
j) b = 5,62 cm
i) b = 40,07 cm
C
f ) γ = 62
62,42°
h) a = 6,97 cm
95
e) γ = 56,95°
d) β = 91,6°
g) c = 20,04 cm
c) β = 119,22°
a) α = 44,05°
3. Berechne die fehlenden
en Seiten bzw. Winkelgrößen im Dreieck.
a2 = b2 + c2 – 2 · b · c · cos α
a2 = b2 + c2 – 2 · b · c · cos α
W
7,11 = cos α, d. h. der Winkel
α kann nicht berechnet
w
n. Ein Dreieck m
werden.
mit solchen Maßen existiert nicht.
c
c = 5,35 cm
3,5 dm
c)
B
2. In einem Dreieck sind die Längen b = 9 cm, c = 6 cm und a = 8 cm gegeben.
De Winkel
ink α soll berechnet werden. Kreuze den richtigen Rechenweg an.
Der
b = 5,14 cm
8 cm
40°
6 cm
64 = 9 · cos
co α
β
A
b
C
82 = 92 + 62
6 – 2 · 9 · 6 · cos α
c
a
a)
1. Berechne die gesuchten Längen im Dreieck ABC mithilfe des Kosinussatzes.
b2 = c2 + a2 – 2 · c · a · cos β
A
α
b
γ
C
Kosinunssatz an beliebigen Dreiecken 2
a2 = b2 + c2 – 2 · b · c · cos α
a) Wähle unten eine passende
Gleichung mit dem Kosinussatz aus.
Tipp: Achte darauf, dass die
gegebenen Größen (a, c und β)
und die gesuchte Größe (b) in
der Gleichung vorkommen.
Gegeben ist das abgebildete
Dreieck ABC. a = 8 cm; β = 40°; c = 9 cm
Gesucht ist b.
Kosinunssatz an beliebigen Dreiecken 1
4,7 dm
B
Lösungen
Trigonometrie
9