3 eindimensionale verteilungen

3
EINDIMENSIONALE VERTEILUNGEN
3.7
3.7.1
Verteilung stochastischer Größen
Verteilungsfunktionen (1–dim.)
1. Betrachten Sie einen Behälter, der Karten mit jeweils einer aufgedruckten Nummer von 1, 2, . . . , 100 enthält.
Es gebe i Karten mit der Nummer i für i = 1, 2, . . . , 100. Abgesehen von der aufgedruckten Nummer sind
die Karten identisch. Nach guter Durchmischung des Behälters wird eine Karte zufällig entnommen und
X sei die Nummer auf dieser Karte.
(a) Ermitteln Sie die Verteilung von X, d.h. ermitteln Sie W {X = i} für i = 1, 2, . . . , 100.
(b) Berechnen Sie W {X ≤ 50}.
(c) Zeigen Sie, daß die Verteilungsfunktion von X gegeben ist durch (bxc = größte ganze Zahl kleiner
oder gleich x):
F (x) =
bxc(bxc + 1)
,
10100
1 ≤ x ≤ 100
Zeichnen Sie F (x).
3.7.2
*2.
Satz (Eigenschaften)
(a) {An } sei eine wachsende Folge von Ereignissen (d.h. An ⊆ An+1 für alle n); dann gilt:
lim W (An ) = W
n→∞
∞
[
An
n=1
!
(b) {An } sei eine fallende Folge von Ereignissen (d.h. An ⊇ An+1 für alle n); dann gilt:
lim W (An ) = W
n→∞
∞
\
An
n=1
!
3. Zeigen Sie mit Hilfe von B–2 die Eigenschaften (3) – (5) von Satz 7.2 aus der Vorlesung.
4. Betrachten Sie die folgende Funktion:
F (x) =
8
>
>
>
>
>
<
>
>
>
>
>
:
0
x < −1
x+2
4
−1 ≤ x < 1
1
1≤x
(a) Zeichnen Sie die Funktion und zeigen Sie an Hand der Zeichung, daß F (x) eine Verteilungsfunktion
ist. (Welche Eigenschaften müssen erfüllt sein?)
(b) Bestimmen Sie: W {X = 0}, W {X = 1}, W {−1 < X < 1}, W {2 < X ≤ 3}, W {−1/2 < X ≤ 1/2}.
5.
(a) Die sG Y ist stochastisch größer als die sG X, wenn:
W {Y > z} ≥ W {X > z}
für alle z ∈ R und die Ungleichung für zumindest ein z im strikten Sinn gilt. Zeigen Sie, daß diese
Definition äquivalent ist zu:
FY (z) ≤ FX (z)
für alle z ∈ R mit strikter Ungleichung für zumindest ein z.
(b) X sei eine stetige sG mit MX = (−∞, ∞). Wenn Y = X + ∆ mit ∆ > 0, ist dann Y stochastisch
größer als X ?
1
3 EINDIMENSIONALE VERTEILUNGEN
2
3.7.3
Typen von Verteilungen
6. Der Modalwert (Modus) für Datensätze wurde in früheren Beispielen diskutiert. Dieses Konzept gibt es
sinngemäß auch für theoretische Verteilungen. Man versteht darunter jene x–Werte, an denen W {X = x}
(für diskrete Verteilungen) oder f (x) (für stetige Verteilungen) maximal ist. Bestimmen Sie den Modus für
die folgenden Verteilungen:
(a) W {X = x} =
2
` 1 ´x
2
, x = 1, 2, . . . (W {X = x} = 0 sonst)
(b) f (x) = 12x (1 − x), 0 < x < 1 (f (x) = 0 sonst)
(c) f (x) = 0.5 x2 e−x , 0 < x < ∞ (f (x) = 0 sonst)
7. p–Fraktile (p–Quantile, 100p–Perzentile) werden in der VO für stetige Verteilungen definiert. Allgemeiner
versteht man darunter einen Wert xp mit der folgenden Eigenschaft:
W {X < xp } ≤ p,
W {X ≤ xp } ≥ p
Bestimmen Sie für die folgenden Verteilungen den Median, das 0.25– und das 0.80–Quantile:
(a) F von B-1
(b) F (x) = 1 −
(c) F (x) =
1
2
+
` 5 ´2
x
1
π
, x > 5 (F (x) = 0 sonst)
arctan(x), −∞ < x < ∞
8. Gemischte Verteilungen sind weder (rein) diskrete noch (rein) stetige Verteilungen, sondern eine Mischung
aus beiden: F (x) = αF1 (x)+(1−α)F2 (x) (F1 diskrete VF, F2 stetige VF). Bestimmen Sie für die gemischte
Verteilung F von B-4 F1 , F2 und α.
3.8
3.8.1
Diskrete Verteilungen
Dirac–Verteilung
9. Zeigen Sie, daß jede diskrete Verteilung F (Treppenfunktion) eine Mischung aus Dirac–Verteilungen Fi ist:
F (x) =
X
αi Fi (x),
αi > 0,
i
X
αi = 1
i
Bestimmung Sie diese Mischungsdarstellung konkret für die Verteilung von B-1.
3.8.2
Diskrete Gleichverteilung
10. Bestimmen Sie einen explizieten Ausdruck für die Verteilungsfunktion der diskreten Gleichverteilung Dm .
11. Sie sollen eine (natürliche) Zahl zwischen 1 und 100 erraten. Welche der folgenden Mitteilungen hat diesbezüglich den größeren Informationsgehalt?
(1) Die Zahl ist kleiner als 70.
(2) Die Zahl ist ungerade.
12. Die Ausfallrate h einer nichtnegativen, diskreten sG X ist definiert wie folgt:
h(x) = W {X = x|X ≥ x},
x ∈ MX
Bestimmen (und zeichnen) Sie die Ausfallrate der diskreten Gleichverteilung Dm und geben Sie eine Interpretation dieser Funktion. (Hinweis: X sei etwa die – auf ganze Zahlen gerundete – Lebensdauer einer
Komponente mit MX = {1, 2, . . . , 10})
3.8 Diskrete Verteilungen
3.8.3
3
Alternativverteilung
13. Alternativverteilte sG haben zahlreiche Anwendungen; eine wichtige Rolle spielen sie etwa als Indikatoren
für Ereignisse:
I=

1
0
falls A eintritt
falls A nicht eintritt
Dabei gilt W {I = 1} = W (A) und W {I = 0} = W (Ac) = 1 − W (A). Auf P
diese Weise lassen sich häufig
komplexe sGn als Summen von einfachen Indikatorvariablen darstellen, X = i Ii . Stellen Sie die folgenden
sGn auf diese Weise dar:
(a) Die Zahl der Inversionen einer zufälligen Permutation von 1, 2, . . . , n (vgl. B-1-3).
(b) Die Zahl der Läufe in einer zufälligen Binärfolge der Länge n (vgl. B-1-4).
(c) Die Zahl der Titel auf einer CD, die im Shuffle Play an der richtigen Stelle wiedergegeben werden
(vgl. B-2-12).
3.8.4
Binomialverteilung
14. Bestimmen Sie die Modalwerte einer Binomialverteilung, d.h. jene x–Werte, für die W {X = x} maximal
ist. (Hinweis: Betrachten Sie den Quotienten zweier aufeinanderfolgender Wahrscheinlichkeiten.)
15. Angenommen, Flugzeugtriebwerke fallen – unabhängig voneinander – mit Wahrscheinlichkeit 1−p während
eines Fluges aus. Wenn für einen sicheren Flug 50% der Triebwerke notwendig sind, für welche Werte von
p ist ein Flugzeug mit 4 Triebwerken einem mit 2 Triebwerken vorzuziehen?
16. Aus Erfahrung sei bekannt, daß durchschnittlich 5% der für eine Übung Angemeldeten nicht zur Übung
kommen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit finden alle tatsächlich Teilnehmenden einen Platz, wenn sich
52 angemeldet haben und der Hörsaal 50 Plätze hat? Wie groß ist diese Wahrscheinlichkeit, wenn 53
Anmeldungen vorliegen?
17. [R–Aufgabe] Stellen Sie die folgenden Binomialverteilungen jeweils in einem Diagramm graphisch dar;
verwenden Sie zur besseren Unterscheidbarkeit verschiedene Farben:
(a) B15,0.1 , B15,0.5 , B15,0.9
(b) B10,0.25 , B20,0.25 , B40,0.25
3.8.5
Hypergeometrische Verteilung
18. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Gewinnränge des Lotto „6 aus 45“.
19. Ein Los des Umfangs N = 100 wird nach folgendem (einfachen) Plan geprüft: 10 Einheiten werden (ohne
Zurücklegen) entnommen und geprüft; sind davon zwei oder weniger defekt, wird das Los angenommen,
ansonsten zurückgewiesen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, mit der ein Los mit dem hohen Fehleranteil von 20% die Prüfung besteht. Rechnen Sie exakt (hypergeometrische Verteilung) und auf Basis
einer passenden Binomialapproximation.
20. Ein Los aus elektronischen Bauteilen des Umfangs N = 400 wird nach folgendem zweistufigen Plan geprüft:
1. Stufe: Zunächst wird eine Stichprobe (ohne Zurücklegen) des Umfangs 32 gezogen. Gibt es höchstens
ein unbrauchbares Stück, wird das Los sofort angenommen; gibt es 4 oder mehr unbrauchbare Stücke, wird
das Los sofort zurückgewiesen. Gibt es in der Stichprobe 2 oder 3 unbrauchbare Stücke, geht man zur 2.
Stufe.
2. Stufe: Eine weitere Stichprobe (ohne Zurücklegen) des Umfangs 32 wird gezogen. Ist die Zahl der unbrauchbaren Stücke insgesamt (1. + 2. Stichprobe) nicht größer als 4, wird das Los akzeptiert, ansonsten
(endgültig) zurückgewiesen.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit mit der bei diesem Plan ein Los mit einem Ausschußanteil von 2,5%
angenommen wird. Rechnen Sie dabei exakt (hypergeometrische Verteilung) sowie auf Basis einer passenden
Binomialapproximation.
21. [R–Aufgabe] Laut Vorlesung läßt sich eine hypergeometrische Verteilung für n < N/10 gut durch eine
entsprechende Binomialverteilung approximieren. Überprüfen Sie dies graphisch an mehreren Beispielen
(mit und ohne erfüllter Bedingung), etwa durch leicht versetzt nebeneinander gezeichnete Stabdiagramme.
Nehmen Sie als Illustration u.a. auch die Vorgaben des vorigen Beispiels.
3 EINDIMENSIONALE VERTEILUNGEN
4
3.8.6
Poissonverteilung
22. Bestimmen Sie die Modalwerte einer Poissonverteilung, d.h. jene x–Werte, für die W {X = x} maximal ist.
(Hinweis: Betrachten Sie den Quotienten zweier aufeinanderfolgender Wahrscheinlichkeiten.)
23. Ein Lehrbuch besteht aus 500 Seiten. Angenommen, es gibt genau 10 typographische Fehler, die sich
zufällig über das Buch verteilen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit mit der 50 zufällig ausgewählte
Seiten keinen (mindestens zwei) Fehler aufweisen.
24. Bei der Herstellung von Glasscheiben kommt es immer wieder zur Bildung von kleinen Bläschen, die
eine optische Beeinträchtigung darstellen. Ein Abnehmer bezieht 400 Scheiben dieser Art und prüft nach
folgendem Schema: 50 Scheiben werden geprüft; gibt es insgesamt nicht mehr als 14 Bläschen wird die
Lieferung angenommen, ansonsten zurückgewiesen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit der Annahme,
wenn (im Mittel) jede vierte (jede zweite) Scheibe einen derartigen Fehler aufweist?
25. [R–Aufgabe] In der Vorlesung werden Bedingungen angegeben unter denen eine Binomialverteilung gut
durch eine Poissonverteilung approximiert werden kann. Überprüfen Sie dies graphisch an mehreren Beispielen (mit und ohne erfüllten Bedingungen), etwa durch leicht versetzt nebeneinander gezeichnete Stabdiagramme.
3.8.7
Geometrische Verteilung
26. Bestimmen Sie einen expliziten Ausdruck für die Verteilungsfunktion der geometrischen Verteilung Gp .
27. Ein Würfel wird wiederholt geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß der erste „Sechser“ (a) beim
3. Wurf, (b) nach dem 10. Wurf, (c) bei einem geraden Wurf auftritt?
28. Zeigen Sie die „Gedächtnislosigkeit“ der geometrischen Verteilung, d.h. zeigen Sie für X ∼ Gp :
W {X > a + b|X > a} = W {X > b},
a, b ∈ N
Wie läßt sich diese Beziehung interpretieren? (Hinweis: X sei die diskrete Wartezeit auf den Eintritt eines
bestimmten Ereignisses, etwa der Ausfall einer Komponente, der Gewinn beim „Joker“, etc.)
29. Bestimmen Sie die Ausfallrate (vgl. B-12) der geometrischen Verteilung. Interpretieren Sie das Ergebnis
an Hand eines konkreten Beispiels. (Hinweis: Vgl. Sie das vorhergehende Beispiel.)
*30. Betrachten Sie eine Folge von unabhängigen Alternativexperimenten mit gleichbleibender Erfolgswahrscheinlichkeit p. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß der r–te Erfolg beim k–ten Experiment auftritt?
(r, k ∈ N, k ≥ r).
3.9
3.9.1
Kontinuierliche 1-dim. Verteilungen
Definition und Satz
31. Ermitteln Sie zu jeder der folgenden stetigen Verteilungsfunktionen die zugehörige Dichtefunktion; stellen
Sie beide Funktionen (zum einfacheren Vergleich untereinander) graphisch dar.
(a) F (x) = (1 + e−x )−1 , −∞ < x < ∞
(b) F (x) = exp(−e−x ), −∞ < x < ∞
(c) F (x) =
1
2
+
1
π
arctan(x), −∞ < x < ∞
32. Die Verteilungsfunktion einer stetigen sG X ist gegeben wie folgt:
8
< 0
a + b arcsin(x)
F (x) =
:
1
x ≤ −1
−1 < x < 1
1≤x
Bestimmen Sie a und b, ermitteln Sie die Dichtefunktion und zeichnen Sie die beiden Funktionen (zum
einfacheren Vergleich untereinander).
3.9 Kontinuierliche 1-dim. Verteilungen
3.9.2
5
Uniforme Verteilung
33. Bestimmen Sie einen expliziten Ausdruck für die Verteilungsfunktion der uniformen Verteilung Ua,b (a < b).
34. U sei auf dem Intervall (0, 1) uniform verteilt. Zeigen Sie, daß dann X = a + (b − a)U (mit a < b) auf dem
Intervall (a, b) uniform verteilt ist.
35. Ein Geradensegment wird durch einen zufällig gewählten Punkt in zwei Teile geteilt. Bestimmen Sie die
Wahrscheinlichlichkeit mit der der größere Teil mindestens dreimal so lang wie der kürzere Teil ist. Gehen
Sie von einer uniformen Verteilung aus.
3.9.3
Exponentialverteilung
36. Die Kilometerleistung eines Autos bevor die Batterie defekt wird, sei exponentialverteilt mit τ = 10000
km. Jemand möchte eine Reise über 5000 km antreten. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß die Reise
beendet werden kann, ohne die Batterie zu ersetzen? Wie lang darf eine Reise höchstens sein, daß sie mit
90% Wahrscheinlichkeit beendet werden kann, ohne die Batterie ersetzen zu müssen?
37. Zeigen Sie die „Gedächtnislosigkeit“ der Exponentialverteilung, d.h. zeigen Sie für X ∼ Exτ :
W {X > x + y|X > x} = W {X > y},
x, y > 0
Wie läßt sich diese Beziehung interpretieren? (Hinweis: X sei z.B. die Lebensdauer einer Komponente.)
38. Die Anzahl Nt von bestimmten Ereignissen (z.B. Telefonanrufe, Aufträge an einen Netzwerkdrucker, etc.)
im Zeitintervall (0, t] sei eine nach Pλt verteilte sG und T sei die Zeitspanne bis zum Auftreten des ersten
Ereignisses. Bestimmen Sie die Verteilung von T . (Hinweis: Bestimmen Sie zunächst W {T > x}.)
3.9.4
Standard–Normalverteilung
39. Bestimmen Sie für die Dichte der Standard–Normalverteilung N (0, 1) (a) die Wendepunkte, *(b) die
Schnittpunkte der Wendetangenten mit der x–Achse.
40. Zeigen Sie, daß für die Verteilungsfunktion Φ der Standard–Normalverteilung gilt:
Φ(−x) = 1 − Φ(x),
x>0
41. X sei standard–normalverteilt; besimmen Sie:
(a) das 50%–, das 95%–, das 5%– und das 99%–Quantile
(b) die Konstante c so, daß W {|X| > c} = 0.05
(c) W {1 < X 2 < 9}
3.9.5
Allgemeine Normalverteilung
42. Die Lebensdauer einer Bildröhre sei eine normalverteilte sG mit µ = 8.2 Jahre und σ = 1.4 Jahre.
(a) Welcher Anteil solcher Röhren funktioniert länger als 10 Jahre, weniger als 5 Jahre, zwischen 5 und
10 Jahren?
(b) Sie kaufen einen 3 Jahre alten gebrauchten Monitor, der diesen Röhrentyp verwendet. Mit welcher
Wahrscheinlichkeit funktioniert seine Röhre noch länger als 5 Jahre? *Hat die Normalverteilung die
Eigenschaft der „Gedächtnislosigkeit“ (vgl. B-37)?
43. Für eine normalverteilte sG, X ∼ N (µ, σ 2 ), gelte: Der Median ist 89 und das 25%–Quantil ist 75.5.
(a) Bestimmen Sie µ und σ.
(b) Bestimmen Sie das 75%– und das 90%–Quantile.
(c) Berechnen Sie W {X ≤ 100}, W {X > 80}, W {|X − µ| > 10}.
2
44. Bestimmen Sie die Konstante c so, daß f (x) = c 2−x I(−∞,∞) (x) eine Dichte ist. (Hinweis: 2 = eln 2 )
3 EINDIMENSIONALE VERTEILUNGEN
6
3.9.6
Logarithmische Normalverteilung
45. Ermitteln Sie für die logarithmische Normalverteilung X ∼ LN (0, 1):
(a) die Wahrscheinlichkeit von X > 1;
(b) die Dichte (+ Zeichnung);
(c) die Quartile von X (d.h. das 25%, 50% und 75%–Quantile).
46. X sei eine logarithmisch normalverteilte sG, X ∼ LN (µ, σ 2 ).
(a) Wie lautet die Verteilungsfunktion? Wie lautet die Dichte? Stellen Sie die Dichte für µ = 2 und
σ = 0.5 graphisch dar.
(b) Ermitteln Sie allgemein einen Ausdruck für das p-Quantil. Wie lautet allgemein der Median?
*(c) Bestimmen Sie die Konstante k so, daß (m = Median):
W
nm
k
“ 1”
α ∈ 0,
2
o
≤ X ≤ k m = 1 − 2α,
Allgemein und für die konkreten Parameterwerte von (a) (und α = 0.025).
47. Bestimmen Sie den Modus (= Stelle des Maximums der Dichte) der LN (µ, σ 2 )–Verteilung.
3.9.7
t–Verteilung
48. Die sG X habe eine t–Verteilung mit 10 Freiheitsgraden. Bestimmen Sie W {|X| > 2.228}.
49. Bestimmen Sie für X ∼ t14 die Konstante b > 0 so, daß W {−b < X < b} = 0.90.
50. [R–Aufgabe] Stellen Sie die Dichten der folgenden sGn graphisch dar und kommentieren Sie die Ergebnisse.
Zeichnen Sie zum einfacheren Vergleich alle Dichten in einen Plot.
(a) X ∼ N (0, 1)
3.9.8
(b) X ∼ t1
(c) X ∼ t3
(d) X ∼ t10
(e) X ∼ t30
χ2 –Verteilung
51. Die sG X habe eine χ2 –Verteilung mit 5 Freiheitsgraden. Bestimmen Sie die Konstanten c und d so, daß
W {c < X < d} = 0.95. Sind c und d eindeutig bestimmt?
52. Bestimmen Sie den Modus (= Stelle des Maximums der Dichte) der χ2n –Verteilung.
53. [R–Aufgabe] Zeichnen Sie (in einen Plot) die Dichten der χ2n –Verteilungen für n = 1, 2, 5, 10, 30. Kommentieren Sie die Ergebnisse.
3.10
Gemischte Verteilungen
54. Angenommen, die Grünphase (einschließlich Blinkphase) bei einer Fußgängerampel beträgt 20 Sekunden
und die Rotphase 75 Sekunden.
(a) Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion der Wartezeit (+ Zeichnung).
(b) Bestimmen Sie die modifizierte Dichte f ∗ .
(c) Ermitteln Sie den Median der Wartezeit. Wie ist er zu interpretieren?
55. Bei einer Serviceeinrichtung wird man mit Wahrscheinlichkeit 1/4 sofort bedient (d.h. keine Wartezeit),
oder man hat eine nach Ex12 verteilte Wartezeit (Einheit: Minuten). Bestimmen Sie:
(a) die Verteilungsfunktion der Wartezeit (+ Zeichnung);
(b) die modifizierte Dichte f ∗ ;
(c) einen Ausdruck für das p-Quantil, speziell für den Median;
3.11 Erwartungswert
7
(d) die Wahrscheinlichkeit noch mindestens weitere 10 Minuten zu warten, wenn man bereits 10 Minuten
gewartet hat.
56. Angenommen, eine Beobachtung X stammt mit Wahrscheinlichkeit 9/10 aus einer N (0, 1)–Verteilung und
mit Wahrscheinlichkeit 1/10 aus einer N (0, 9)–Verteilung. Bestimmen Sie die Verteilunsgfunktion und die
Dichte von X. Stellen Sie beide Funktionen graphisch dar.
57. Eine Warenliefung besteht im Verhältnis 2:3 aus – äußerlich nicht unterscheidbaren – Komponenten mit
nach Ex100 bzw. mit nach Ex200 verteilter Lebensdauer (Einheit: Stunden). Sie entnehmen willkürlich eine
Komponente. Wie lautet die Verteilungsfunktion/Dichte der Lebensdauer dieser Komponente? Mit welcher
Wahrscheinlichkeit funktioniert die Komponente länger als 300 Stunden?
3.11
3.11.1
Erwartungswert
Diskrete Verteilungen
58. Bestimmen Sie den Erwartungswert einer binomialverteilten sG X ∼ Bn,p .
59. Bestimmen Sie den Erwartungswert einer poissonverteilten sG X ∼ Pµ .
60. *(a) Zeigen Sie: Ist X eine auf den nichtnegativen ganzen Zahlen diskret verteilte sG mit Verteilungsfunktion F , so gilt:
E(X) =
∞
X
ˆ
x=0
1 − F (x)
˜
(b) Berechnen Sie mit Hilfe von (a) den Erwartungswert einer geometrisch verteilten sG, X ∼ Gp , mit
Wahrscheinlichkeitsfunktion:
pX (x) = p (1 − p)x−1 , x = 1, 2, 3, . . .
3.11.2
Kontinuierliche Verteilungen
61. Bestimmen Sie den Erwartungswert einer uniform verteilten sG X ∼ Ua,b .
62. Bestimmen Sie den Erwartungswert einer exponentialverteilten sG X ∼ Exτ .
*63. Bestimmen Sie den Erwartungswert der χ2n –Verteilung. (Hinweis: Führen Sie das zu berechnende Integral
wieder auf eine χ2 –Dichte zurück.)
3.11.3
Gemischte Verteilungen
64. Berechnen Sie den Erwartungswert einer sG mit der Verteilungsfunktion von B-4.
65. Bestimmen Sie den Erwartungswert der Wartezeit bei der Ampel von B-54. Wie ist dieser Wert zu interpretieren?
66. Bestimmen Sie den Erwartungswert der Wartezeit bei der Serviceeinrichtung von B-55.
3.12
Funktionen von stoch. Größen – Erwartungswert
Hinweis zu den Aufgaben 67 – 74: Verwenden Sie für Varianzberechnungen den Verschiebungssatz und für Berechnungen des Erwartungswerts einer Funktion einer sG den SvuStat („Satz vom unbewußten Statistiker“).
67. Bestimmen Sie Varianz einer poissonverteilten sG X ∼ Pµ . (Hinweis: Berechnen Sie zuerst den Erwartungswert von X(X − 1).)
3 EINDIMENSIONALE VERTEILUNGEN
8
68. Bestimmen Sie E(X k ) (k ∈ N) für X ∼ Ua,b . Was folgt daraus für die Varianz?
69. Bestimmen Sie die Varianz/Streuung einer exponentialverteilten sG X ∼ Exτ .
70. Bestimmen Sie die Varianz/Streuung der Wartezeit bei der Ampel von B-54.
71. Bestimmen Sie die Varianz/Streuung der Wartezeit bei der Serviceeinrichtung von B-55.
72. Der Radius X eines Kreises sei eine sG mit Dichte f (x) = e−x I(0,∞) (x).
(a) Zeigen Sie, daß E(X k ) = k! für k ∈ N.
(b) Berechnen Sie den Erwartungswert der Kreisfläche A = X 2 π.
(c) Berechnen Sie die Varianz der Kreisfläche.
73. Bestimmen Sie für X ∼ N (0, 1) den Erwartungswert von Y = |X|.
*74. Die momentenerzeugende Funktion m(t) einer sG X ist definiert als Erwartungswert von etX , falls m(t)
für −h < t < h mit h > 0 existiert (andernfalls ist diese Funktion nicht von Interesse). Bestimmen Sie m(t)
für (a) X ∼ Pµ , (b) X ∼ Ua,b , (c) X ∼ Exτ .
3.13
Verteilung von Funktionen stoch. Größen
75. X sei eine stetige sG mit Dichte f (x), x ∈ R. Ermitteln Sie einen allgemeinen Ausdruck für die Dichte
von Z = X 2 . Überprüfen Sie die Gültigkeit des Ausdrucks an Hand des Beispiels aus der Vorlesung mit
X ∼ N (0, 1).
76. Die sG X sei uniform verteilt auf (0, 1). Bestimmen Sie die Verteilung (Dichte) von Y = −2 ln X.
77. Die sG X sei uniform verteilt auf (−π/2, π/2). Bestimmen Sie die Verteilung (Dichte) von Y = tan X.
78.
(a) Entwickeln Sie – ausgehend von auf (0, 1) uniform verteilten Zufallszahlen – einen Algorithmus zur
Erzeugung von Beobachtungen einer sG X mit der Dichte:
f (x) =
e−x
,
(1 + e−x )2
−∞ < x < ∞
*(b) Schreiben Sie dazu eine R–Funktion. Generieren Sie mit Hilfe dieser Funktion 500 Beobachtungen
von X und stellen Sie das Ergebnis graphisch dar (z.B. in Form eines (Dichte–) Histogramms).
79. Die Methode der Inversion der Verteilungsfunktion zur Simulation von Beobachtungen von sGn läßt sich
auch bei diskreten (oder gemischten) Größen anwenden. Dabei stützt man sich auf eine verallgemeinerte
Definition der Inversen einer Verteilungsfunktion:
F −1 (u) := inf{x : F (x) ≥ u},
0<u<1
Zeigen Sie, daß mit dieser Definition – ausgehend von auf (0, 1) uniform verteilten Zufallszahlen u – durch
u 7−→ F −1 (u) nach F verteilte Zufallszahlen generiert werden.
80. Ein Algorithmus zur Erzeugung von poissonverteilten Beobachtungen X ∼ Pµ lautet wie folgt:
(1) Erzeuge eine (auf (0, 1)) uniform verteilte Zahl U ;
(2) Setze i = 0, α = e−µ , F = α;
(3) Wenn U ≤ F , setze X = i, stop;
µα
(4) Setze α =
, F = F + α, i = i + 1;
i+1
(5) Gehe zu (3).
Zeigen Sie, daß dieser Algorithmus Beobachtungen einer Poissonverteilung mit dem Parameter (= Mittelwert) µ generiert. *Wie oft wird (3) im Mittel zur Erzeugung einer Poisson–Beobachtung aufgerufen?