a(t)

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3. Eine Metrik für das Universum:
Robertson-Walker Metrik
Kosmologisches Prinzip:
Die Welt ist homogen und isotrop, d.h. das Universum sieht
(zu einem bestimmten Zeitpunkt) von allen Orten aus gleich aus !
Dies gilt nicht nur für die Massendichte, sondern auch in Bezug auf
die chemische Zusammensetzung der Sterne, auf Häufigkeit der
Sterntypen etc.
Welche Zeit ?
Wessen Zeit ?
Spezielle Relativitätstheorie:
Konzept der Zeit ist klar, wenn man das Inertialsystem festlegt
(es gibt globale Inertialsysteme).
Allgemeine Relativitätstheorie:
Es gibt kein globales Inertialsystem.
(Es sei denn, die Raumzeit ist flach !).
Man kann einem Ereignis keine eindeutige Zeit zuordnen !
Konzept der dreidimensionalen raumartigen Hyperflächen !
„Kosmologische Flüssigkeit“:
Betrachte die Menge aller Galaxien
(besser: die Massenmittelpunkte von Galaxien-Clustern)
als homogene Flüssigkeit.
Bewegung dieser Flüssigkeit = kosmologischer Fluss
Weyl Postulat:
Die 4-dim. Raumzeit, in der unser Weltall existiert,
ist zerlegbar in dreidimensionale Hyperflächen konstanter „Zeit“
(Foliation).
Die Teilchen der „kosmologischen Flüssigkeit“ (Galaxien-Cluster)
bewegen sich auf Geodäten, die auf den einzelnen Blättern
der Foliation (das sind 3-dim. räumliche Mannigfaltigkeiten)
senkrecht stehen.
Homogenität des Raumes:
Durch jedes Ereignis im Universum geht eine
homogene raumartige Hyperfläche
Die physikalischen Gegebenheiten (Dichte und Druck)
sind in allen Ereignissen der Hyperfläche gleich.
Isotropie des Raumes:
Ein Beobachter, welcher sich mit der „kosmologischen
Flüssigkeit“ bewegt, kann durch keine physikalische
Messung zwischen verschiedenen Raumrichtungen
unterscheiden.
Weltlinien der kosmologischen Flüssigkeit schneiden die
homogenen raumartigen Hyperflächen senkrecht !
mit Metrik R2(t) gij (xk) dxi dxj
SI mit Metrik gij (xk) dxi dxj
(1.) Wähle eine homogene raumartige Hyperlfäche SI aus und versehe diese mit
einem räumlichen Koordinatennetz (x1, x2, x3).
(2.) Ordne allen Ereignissen auf dieser Hyperfläche die Koordinatenzeit ti zu.
(3.) Verschiebe die Hyperfläche SI entlang der Weltlinien der kosmologischen
Flüssigkeit und ordne allen Ereignissen auf einer Weltlinie diejenige
räumlichen Koordinaten (x1, x2, x3) zu, bei welchen diese die Hyperfläche SI
schneidet !
Parametrisiere die Weltlinie mit reellem Paramter t
(x1, x2, x3) = const.
x0 = t = ti + const.
Metrik (Geometrie) auf SI : gij(xk) dxi dxj
Metrik der Raumzeit in „comoving coordinates“:
ds2 = c2dt2 - a2(t) gij (xk) dxi dxj
universeller Expansionsfaktor / Skalenfaktor
mit a(t0) = 1
Der Weg zur Robertson-Walker Metrik
1.) Isotropie:
Denn: gäbe es Terme
, dann würden
räumliche Verschiebungen dxk und –dxk mit unterschiedlichem
Vorzeichen zu ds2 über ein kleines Zeitintervall dt beitragen
wird durch Isotropie verboten !
Stromlinien / Weltlinien der kosmischen Flüssigkeit stehen
senkrecht auf den homogen raumartigen Hyperflächen.
2.) Die Weltlinien der kosmischen Materie sind zeitartige Geodäten.
d.h. Galaxien-Cluster sind frei „fallende Teilchen“, bewegen sich
also frei im Gravitationsfeld der übrigen Materie.
g00 hängt nur von x0 ab.
neue Zeitkoordinate
3.) Damit die räumliche Isotropie erhalten bleibt, muss die
Zeitabhängigkeit für alle Komponenten von
dieselbe sein:
In einem Blatt fester Zeit t0 sei die räumliche Metrik
universeller Expansionsfaktor / Skalenfaktor
mit a(t0) = 1
Beschreibt die Form aller homogenen raumartigen
Hyperflächen (nicht nur der anfänglichen zum Zeitpunkt t0 )
Expected if universe is undergoing
homogeneous and isotropic expansion
Hubble Law
2
2
3
1
r23
scale factor
a(t)
r12
3
r31
1
(from http://www.roe.ac.uk/~jap/pust/gbirth/sld012.htm)
4.) Bestimmung der möglichen räumlichen 3- Geometrien
für homogene, isotrope räumliche Hyperflächen.
muss um jeden Punkt, und damit speziell um den Koordinatenursprung
isotrop sein – d.h. es besteht Kugelsymmetrie um den Ursprung;
Ansatz (anlog zur Herleitung der Schwarzschildlösung):
r = radiale Koordinate die so gewählt wurde, dass der Umfang
eines Kreises um den Ursprung mit Radius r gerade 2pr wird.
Forderung nach Homogenität = Isotropie um jeden Punkt
Krümmungsskalar von
muss an allen Raumpunkten eines zu einem beliebigen Zeitpunkt t
gehörenden Blattes den selben Wert haben.
Wenn ein Raum existiert, der homogen und um jeden Punkt
isotrop ist, dann muss die räumliche Metrik folgende Form haben:
R = radius of the sphere
r
r
Zusammenfassung: Robertson Walker Metrik
2
R0 =
Krümmungsradius (heute);
hat Dimension der Länge
Parameter der RW-Metrik:
(dimensionsloser) Skalenfaktor a(t)
Krümmung (heute): K0 = k / R02
Mitbewegte Koordinaten:
(r, q, f )
(comoving coordinates)
„Label“, die fest mit den Galaxien-Clustern verbunden sind
und sich daher zeitlich nicht ändern !
q, f
r
l(t) = a(t) r
gewöhnliche Polarkoordinaten, z.B. RA, dec
Mitbewegte radiale Koordinate (Entferung),
unabh. von t,
= physikalische Entfernung heute
radiale Entfernung zur Epoche t
(proper radial distance)
R = radius of the sphere
r
r
Erde
(0,0,0)
Wellenpaket
Galaxie
( r(t), qe, fe )
(re, qe, fe )
Das Signal läuft auf einer
Null-Geodäten („null cone“)
ds2 = 0
Zusammenfassung: Friedmann-Gleichungen
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