5 Das Parallelenaxiom 5.1 Absolute Geometrie, euklidische

5 Das Parallelenaxiom
5.1 Absolute Geometrie, euklidische
Geometrie, hyperbolische Geometrie
Alle Sätze, die aus den Axiomen I/1 bis
IV/3 folgen, gehören zur absoluten Geometrie.
Alle Sätze, die aus den Axiomen I/1 bis V
(Parallelenaxiom) folgen, gehören zur euklidischen Geometrie.
Axiom V’: Zu jeder Geraden g und zu
jedem Punkt P ∈
/ g gibt es mindestens
zwei Geraden h1, h2 mit P ∈ h1 ∩ h2 und
g ∩ h1 = ∅ = g ∩ h2.
Alle Sätze, die aus den Axiomen I/1 bis
IV/3 und V’ folgen, gehören zur (nichteuklidischen) hyperbolischen Geometrie.
5.2 Euklidisches Parallelenaxiom
5.2.1 Def.: Zwei Geraden g, h in E mit
g ∩ h = ∅ oder g = h heißen parallel, in
Zeichen: g k h.
5.2.2 Satz: Schneide eine Gerade g zwei
Geraden a, b in A, B mit A 6= B. Dann
gilt: a k b ⇔ Die Wechselwinkel bei A und
B sind gleich groß. ⇔ Die Stufenwinkel bei
A und B sind gleich groß.
Bew.: Wegen V genügt es, ”⇐” zu zeigen.
Annahme: a ∩ b = {C}. Dann ist bei den
Wechselwinkeln bei A und B einer Außenwinkel im ∆ABC, der andere ein nicht anliegender Innenwinkel.
5.2.3 Bem.: In Axiom V kann man ”genau
eine” abschwächen zu ”höchstens eine”.
5.2.4 Satz: Die Winkelsumme im Dreieck
beträgt zwei Rechte.
Bew.: Sei C ∈ g k AB. Dann treten die
Innenwinkel von ∆ABC bei A und B als
Wechselwinkel bei C auf, und die drei Winkel bei C summieren sich zu zwei Rechten.
5.2.5 Satz: (Außenwinkelsatz)
In jedem Dreieck ist jeder Außenwinkel so
groß wie die Summe der beiden nicht anliegenden Innenwinkel.