Optik

3. Optik
3.1. Geometrische Optik
3.1.1. Geradlinige Ausbreitung
- Licht ist elektromagnetische Welle,
- Ausbreitungsgeschwindigkeit c im Vakuum hängt nicht von der Frequenz  ab:
c0 
1
 0  0


k
da c0 nicht von  

2     
 
2 

2 
(Phasengeschwindigkeit)
abhängt, gilt auch:
c0 

k

d
 v gr
dk
In Materie gilt
das nicht!
c

c  0   0  
n
n
mit n = n()
- Ausbreitungsrichtung der elektromagnetische Welle ist durch Poynting-Vektor gegeben:
  
S  EH
- Lichtwelle jetzt als Lichtstrahl dargestellt, die in jedem Punkt die Richtung des
Poynting-Vektors S angeben
- geradlinige Lichtausbreitung
1
3.1.2. Reflexion
Fermatsches Prinzip:
„Das Licht wählt zwischen zwei Punkten stets den Weg, bei dem die Laufzeit ein Minimum besitzt.“
Reflexion an ebenen Spiegel:
Laufzeit t längs des Weges P1O  OP2 :
x  x1 2  y12
P O  OP2
t 1

c
c

x2  x 2  y 22
c
Forderung aus Fermatschen Prinzip:
O
dt dx 
1
2c

2x  x1 
x  x1 



2
y12

dt dx  0
2x2  x 
1
2c
 x2  x 
2

y22
0

cos 90     cos 90    '  sin   sin  '  0
 Laufzeit hat Minimum für
  
Reflexionsgesetz
Exp.: Ebener Spiegel
2
3.1.3 Brechung
- Brechung von Lichtstrahl an Grenzfläche eines isotropen Mediums (1) beim Übergang in
ein anderes Medium (2)
- Einfallender, gebrochener und reflektierter Lichtstrahl sowie Grenzflächennormale liegen in
einer Ebene
(a) Brechungsgesetz
Laufzeit t längs des Weges P1O  OP2 :
n1 , c1 
O
c0
n1
P O OP
t 1  2 
c1
c2
c1

x2  x 2  y22
c2
dt dx  0
Forderung aus Fermatschen Prinzip:
dt dx 
n2 , c2 
x  x1 2  y12
c0
n2

1
2c1
2x  x1 
x  x1 
2


y12


1
2c2
2x2  x 
 x2  x 
2

y22

cos 90   cos 90   sin  sin 



0
c1
c2
c1
c2
Laufzeit hat Minimum für:
sin  c1

sin  c2
ci 
Snellius’sches Brechungsgesetz
c0
ni
sin  n 2

sin  n1
3
0
sin  c1 n 2


sin  c 2 n1
- Beachte:  bleibt unverändert, aber c i 
c0
und
ni
i 
0
ni
ändern sich an Grenzfläche
Dispersion !
0
Exp.: Messung des Brechungsindex n für Plexiglas
4
(b) Totalreflexion
n1  n2
Für n1 > n2
(Übergang vom optisch dichten (n1),
in optisch dünneres (n2) Medium) ergibt sich
 > :
T
sin  n2

sin  n1
und da  nur maximal  = 90°, d. h sin   1
sein kann folgt    T
für gebrochenen Strahl mit Grenzwinkel T:
sin T 
sin  
n1
 sin 
n2
Anwendungen:
- Refraktometer zur Bestimmung von
Brechungsindex n1
- Umkehrprisma
- Lichtleiterkabel
n2
n1
Für  > T gibt es keinen gebrochenen Strahl,
sondern Totalreflexion an Grenzfläche!
Exp.: Totalreflexion, Brechungsindex n von
Plexiglas
5
(c) Prisma
A

 

 2    2     
2
 2

Dreieck ABC:
2 2  
1   2   1   2        
21   2   
Dreieck BCD:
Addition:
21    
Brechungsgesetz:
sin 1 n2

n
sin  2 n1
D
B
C
n

  
sin 

n
sin

2
2


für kleine Winkel
 ,   1 :
  n  1
6
  n  1
Beachte: n  n  bzw. n  n0 
n hängt ab von Farbe des Lichtes (Dispersion),
deshalb spektrale Zerlegung des Lichtes am Prisma
Blau wird stärker abgelenkt als rot!
normale Dispersion: nblau > nrot
anormale
Dispersion
anormale
Dispersion
(Absorption)
normale
Dispersion
0
Anwendung: Prismenspektrometer
Exp.: Prisma
0
7
3.2. Wellenoptik
3.2.1. Interferenz
Überlagerung (Superposition) von Lichtwellen i mit
gleicher Frequenz ,
gleicher Wellenlänge ,
gleicher Polarisation und
gleicher Ausbreitungsrichtung
aber
unterschiedlicher Phasenlage  im Punkt P zur Zeit t,
Ausbreitung in Medien mit unterschiedlichen Brechungsindex ni:
 
 
E r , t    Ei r , t 
i
8
  
 


E1 r , t   E0 sin  t  k r  1 
2

  
 


E2 r , t   E0 sin  t  k r  2 
2 

Phasendifferenz  
1  2
2

2
 
2

n1r1  n2 r2  
2

l
mit
ci 



l  n1r1  n2 r2
maximale Verstärkung (konstruktive Interferenz):
  2z
z = 0, 1, 2, …
l   z
2

r
Beachte:
Lichtgeschwindigkeit ci im Medium i
umschreiben von  auf Differenz l der optischen
Weglängen gibt:
r
 r
r 
r
  2  1  2   2  1  2
 1  2 
  / n1  / n 2
als Gangunterschied   kr 
ci 
1
 0  r , i  0  r ,i

c0
 r ,i  r ,i
c0
ni

c0
 r ,i
mit  r  1
Wellenlänge i im Medium i:

i 
mit ci   i , c0   
ni
Phasendifferenz
Gangunterschied
maximale Auslöschung (destruktive Interferenz):
  2 z  1
l  

2
2 z  1
z = 0, 1, 2, …
Phasendifferenz
Gangunterschied
Bedingung für räumlich und zeitlich konstantes Interferenzmuster:
interferierende Wellen müssen kohärent sein
Wellen sind kohärent, wenn Zeitabhängigkeit
9
der Amplitude bis auf Phasenverschiebung  gleich ist
Optische Kohärenz der interferierenden Wellen
Wellenzug:
elektrische
Feldstärke
elektrische
Feldstärke
Zeit
Kohärenzzeit
C
Ort
Kohärenzlänge LC
10
Optische Kohärenz der interferierenden Wellen
Wellenzug:
elektrische
Feldstärke
elektrische
Feldstärke
Zeit
Kohärenzzeit
C
Ort
Kohärenzlänge LK
11
Optische Kohärenz der interferierenden Wellen
Wellenzug:
elektrische
Feldstärke
elektrische
Feldstärke
Zeit
Kohärenzzeit
C
Ort
Kohärenzlänge LC
12
Weitere Bedingung für Interferenz:
Optische Kohärenz der interferierenden Wellen
Wellenzug:
elektrische
Feldstärke
elektrische
Feldstärke
Zeit
Kohärenzzeit
C
Ort
Kohärenzlänge LK
13
Weitere Bedingung für Interferenz:
Optische Kohärenz der interferierenden Wellen
Wellenzug:
elektrische
Feldstärke
elektrische
Feldstärke
Zeit
Kohärenzzeit
C
Ort
Kohärenzlänge LC
Einstellen der Kohärenzlänge: 2 Verfahren
a) durch Dauer t des Wellenzuges eines optischen Impulses: LC = c0 t
Beispiel: Femtosekundenlaser: t = 10 fs → LC = 3 µm
b) durch breites Spektralband  der Lichtquelle: LC  0,5 (2peak/ )
Beispiel: rote Super-LED: peak = 640 nm;  = 100 nm → LC = 2 µm
14
3.2.2. Interferenz durch Reflexion- Michelson Interferometer
Gangunterschied (n = 1):
l  2d 2  2d1
mit max. Verstärkung bei:
l   z
Auslöschung bei Änderung
von d2 um:
l  

2
2 z  1
d 2  2z  1 / 4
Anwendung: - Michelson-Experiment (Unabhängigkeit der
Lichtgeschwindigkeit vom Bewegungszustand des Beobachters)
- sehr präzise Längenmessungen (Werkzeugmaschinenbau
Exp.: Michelson-Interferometer
15
3.1.3. Interferenz durch Beugung
3.1.3.1 Beugung am Einzelspalt
Grundlage: Huygensches Prinzip:
Jeder Punkt einer Wellenfläche wirkt wie ein Streuzentrum, von dem eine Kugelwelle ausgeht.
Wellenfläche ist Tangente an Kugelwellen zur Zeit t
Wellenfläche zur Zeit: t0 + t
t0
Beugung am Spalt:
r0 + c t
r0
Wellenfläche als Tangente
an Kugelwellen, die zu
gleicher Zeit entstanden sind
Wellenfläche als Tangente
an Kugelwellen, die zu
verschiedenen Zeiten
entstanden sind
16
- Zerlegung in Teilbündel entsprechend Huygensches Prinzip, z. B. zwei Teilbündel, die von unteren und
mittleren bzw. mittleren und oberen Strahl begrenzt werden

Wellenfläche
Intensitätsminimum - Auslöschung
- Annahme:Gangunterschied zwischen oberen und unteren Randstrahl  = :
es existiert zu jedem Strahl in den beiden Teilbündeln ein anderer Strahl, der einen Gangunterschied von
/2 besitzt.
  d  sin    z
Damit Intensitätsminimum - Auslöschung bei:
z = 1, 2, 3,...
Intensitätsmaximum - Verstärkung
- Annahme:Gangunterschied zwischen oberen und unteren Randstrahl  = 3/2 :
Zerlegung in drei Teilbündel,
es existiert zu jedem Strahl in den zwei benachbarten Teilbündeln ein anderer Strahl, der einen
Gangunterschied von /2 besitzt und damit zur Auslöschung der beiden Teilbündel führt,
das dritte Teilbündel führt aber zum Intensitätsmaximum
1

z = 1, 2, 3,...
  d  sin    z    
Damit Intensitätsmaximum - Verstärkung bei:
2

17
Experiment: - Beugung am Einzelspalt, Beugung an Lochblende
3.2.3.2 Beugung am Mehrfachspalt - Gitter
Beugungsgitter
- große Anzahl (N) paralleler Spalten gleichen Abstands (d - Gitterkonstane) und gleicher Breite (b)
- einfallende Welle wird an Spalten gebeugt
Wellenflächen als Tangente
an Kugelwellen die zu
gleicher Zeit entstanden sind
Wellenfläche als Tangente
an Kugelwellen, die zu
verschiedenen Zeiten
entstanden sind
18
Intensitätsmaximum
- gebeugte Strahlen haben Gangunterschied
  d  sin    z  
z = 1, 2, 3,...
Experiment: - Beugung am Gitter
19
3.2.3.3 Röntgen - Beugung
Beugung von Röntgenstrahlen an dreidimensionale (3D) Kristallgittern
= 0.02 nm – 0.2 nm (Röntgenstrahlen)
Kristallgitter:
- periodische Anordnung von Atomen (Moleküle)
- Beugung der Röntgenstrahlen an Atomen
Atome bilden verschiedene Netzebenen (gestrichelt) an den Röntgenstrahl selektiv reflektiert wird
Intensitätsmaximum:
Röntgenstrahlen
Netzebenen
Bragg – Gleichung:
2d sin   z
z = 1, 2, 3,...
Experiment: - Modell Röntgen-Beugung mit Mikrowellen
20
Experiment: Röntgenbeugung an LiF
a = 0.4028 nm
d100 = 0.2014 nm
21
3.3. Quantenoptik
3.3.1. Welle – Teilchen Dualismus
3.3.1.1 Das Photon
Photon:
- elektromagnetische Strahlung, also auch Licht, ist aus Energiequanten (Photonen) zusammengesetzt
- Energie des Photons:
E=h
mit Planck’schen Wirkungsquantum h = 6.63 10-34 Ws2
22
Quantisierung - Photoelektrischer Effekt (Einstein)
Experiment: Photoelektrischer Effekt
23
Quantisierung - Photoelektrischer Effekt (Einstein)
- Elektronen werden nur emittiert für Lichtfrequenzen die
größer sind als einer charakteristische Grenzfrequenz:
h  h g
 Teil der Lichtenergie ist notwendig, um Elektronen aus Metall zu lösen,
entspricht Austrittsarbeit WA
- Energiebilanz:
eVstop
me v 2

 h  W A
2
Experiment: Photoelektrischer Effekt
Vstop - Stopppotential
24
Quantisierung - Photoelektrischer Effekt (Einstein)
- Elektronen werden nur emittiert für Lichtfrequenzen die
größer sind als einer charakteristische Grenzfrequenz:
h  h g
 Teil der Lichtenergie ist notwendig, um Elektronen aus Metall zu lösen,
entspricht Austrittsarbeit WA
- Energiebilanz:
eVstop
me v 2

 h  W A
2
Vstop - Stopppotential
- Energie der emittierten Elektronen (eVstop) hängt nicht von
Lichtintensität ( E2) ab
- Zahl der emittierten Elektronen ist proportional zu Lichtintensität ( E2)
Experiment: Photoelektrischer Effekt
25
Quantisierung - Photoelektrischer Effekt (Einstein)
- Elektronen werden nur emittiert für Lichtfrequenzen die
größer sind als einer charakteristische Grenzfrequenz:
h  h g
 Teil der Lichtenergie ist notwendig, um Elektronen aus Metall zu lösen,
entspricht Austrittsarbeit WA
- Energiebilanz:
eVstop
me v 2

 h  W A
2
Vstop - Stopppotential
- Energie der emittierten Elektronen (eVstop) hängt nicht von
Lichtintensität ( E2) ab
- Zahl der emittierten Elektronen ist proportional zu Lichtintensität ( E2)
Ergebnisse sind nicht erklärbar mit Welleneigenschaft
des Lichtes
aber erklärbar
wenn Licht aus Photonen (Lichteilchen – Quanten)
mit Energie h besteht
Experiment: Photoelektrischer Effekt
26
3.3.1.2 Materiewellen
Beugungseffekte an Teilchenstrahlen
Röntgenbeugung an Al
Erklärung: Teilchenstrahlen haben Welleneigenschaften
de-Broglie-Wellenlänge
eines Teilchens:
h
h
   
p mv
Elektronenbeugung an Al
(in umgekehrter Analogie zum Photon)

p - Impuls des Teilchens
m - Masse des Teilchens

v - Geschw. des Teilchens
27
Experiment: Elektronenbeugung
3.2.1.2 Materiewellen
Beugungseffekte an Teilchenstrahlen
Röntgenbeugung an Al
Erklärung: Teilchenstrahlen haben Welleneigenschaften
(in umgekehrter Analogie zum Photon)

p - Impuls des Teilchens
h
h
   
p mv
de-Broglie-Wellenlänge
eines Teilchens:
Elektronenbeugung an Al
m - Masse des Teilchens

v - Geschw. des Teilchens
Wellenfunktion des Teilchens:


mit Impuls p  K
Wellenfunktion eines Teilchens:
Experiment: Elektronenbeugung

und Wellenzahlvektor K  2 /  und Energie E  h  
i


 Et  pr 

i  t  Kr 
 r , t    0 e
 0 e 
28
Interpretation der Wellenfunktion eines Teilchens:

 r 
Wahrscheinlichkeitsamplitude (keine phys. Bedeutung)




 * r  r 
Wahrscheinlichkeitsdichte

 * r  r dx dy dz  r  dV
2
= Wahrscheinlichkeit ein Teilchen im Volumenelement dx dy dz  dV

an der r Position zu finden
Berechnung der Wellenfunktion eines Teilchens mit Schrödinger Gleichung:
Zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung
  2  2
2
2
 2  2  2
E  r   
y
z
 2m  x
Gesamtenergie
kin. Energie



  E pot r   r 


pot. Energie

E – Energie (Eigenwert) des Teilchens im Zustand  mit Eigenfunktion (Wellenfunktion)   r 
29
3.3.1.3 Das Wasserstoffatom
a) quantenmechanische Behandlung
Potentielle Energie (Coulomb) des Elektrons im elektrischen Feld des Protons:
zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung
des H-Atoms:
  2
E n n r   
 2me
e2
E pot (r )  
40 r
 2
2
2
 2  2  2
y
z
 x
1


e2 
 
 n r 
 40 r 
Lösung mittels Polarkoordinaten gibt Energieeigenwerte (Energiezustände des H-Atoms):
En  
me e 4
2 2 40 
2
1
n2
mit Hauptquantenzahl n = 1, 2, 3, …
und zugehörige Eigenfunktionen (Wellenfunktionen)
 nlm r   Rnl r  Pl m cos  e im
Atomorbitale
mit Nebenquantenzahlen l und ml
Kugelfunktionen
l – Drehimpuls-Quantenzahl
ml - magnetische Quantenzahl
l = 0, 1,…, n-1
ml = -l, -l+1, ...,l
Radialfunktion
Bezeichnung: l = 0 1 2 3
s p d f
30
Rnl r 
Rnl  N nl e

r
na0
l
2l 1
n 1
r L
 2r

 na
 0






N nl ist Normalisierungsfaktor   R 2 r 2 dr  1
0

 2r
L2nl11 
 na 0




Ableitungen der
Laguerre-Polynome Ln+1
31
Kugelfunktionen
Pl m cos  e im
Atomorbitale
ml = 0
32
Kugelfunktionen
Pl m cos  e im
Atomorbitale
33
 nlm r   Rnl r  Pl m cos  e im
ml = 0
Pl m cos e im
Rnl r 
Wahrscheinlichkeit, Elektron
entlang Richtung r zwischen
r und r + dr zu finden
Wahrscheinlichkeit, Elektron
zwischen r und r + dr zu finden
34
b) Optisches Spektrum des H-Atoms
n=3
n=2
Energie des H-Atoms:
En  
me e 4
2 2 40 
2
n=1
1
n2
- Emission: bei Übergang des H-Atoms von einem Zustand mit n = na nach n = ne mit na > ne
Frequenz des emittierten Photons:
n
a , ne
n
, ne
a
E n a  En e
h
mee4  1
1 


2
2
2
8 0 h3  ne
na 

- Absorption: bei Übergang des H-Atoms von einem Zustand mit n = na nach n = ne mit na < ne
Frequenz des absorbierten Photons:
n
n
a
a
, ne
, ne

En e  En a
h
mee4  1
1 


2
2
2
8 0 h3  na
ne 
35
Serien-Spektren des H-Atoms
Experiment: Spektrum H-Atom
36
3.3.1.4 Röntgenstrahlung
37
38
39
e-
40
e-
e41
e-
e42
e-
hK
e43
44
Emission: bei Übergang eines Elektrons aus
höher Schale (na) in tiefere Schale (ne)
ist Frequenz des emittierten Photons:
n
a
, ne
 1
mee 4  1
1  ' 2
1  ' 2


 2  Z  R c 2  2 Z
2 3
2
8 0 h  ne na 
 ne na 
Rydberg-Konstante:
R 
me e 4
8 0 2 h 3 c
 10973731 m 1
'
effektive Kernladung: Z e
(Kernabschirmung durch verbliebene 45
Elektronen auf tiefen Schalen)
Moseley-Gesetz:
1 1 
1 4 
 K  R c  Z  12
 K 
für K-Strahlung: ne = 1, na = 2
 1
1  ' 2

Z
n 2 n 2 
a 
 e
 na ,ne  R c
hier Z '  Z  1 da Atomkern durch das zweite Elektron
in der K-Schale abgeschirmt wird
3
R cZ  12
4
46
Moseley-Gesetz:
1 1 
1 4 
 K  R c  Z  12
 K 
für K-Strahlung: ne = 1, na = 2
 1
1  ' 2

Z
n 2 n 2 
a 
 e
 na ,ne  R c
hier Z '  Z  1 da Atomkern durch das zweite Elektron
in der K-Schale abgeschirmt wird
3
R cZ  12
4
47