Universität Stuttgart Institut für Theoretische Physik 1 Prof. Dr. G

Universität Stuttgart
Institut für Theoretische Physik 1
Prof. Dr. G. Wunner
Übungen zur Vorlesung ,,Theoretische Physik 1 (Mechanik)”, SS 2013
14. Übungsblatt vom 11.07.2013
Fragen zum Nachdenken 2013
1. Wie lauten die Komponenten der Geschwindigkeit in ebenen Polarkoordinaten (Radialund Azimutalkomponente)? Wie lauten die entsprechenden Impulskomponenten? Was
ergibt sich für die zu r und ϕ konjugierten verallgemeinerten Impulse? Berechnen Sie
den Drehimpuls bezüglich des Ursprungs nach Betrag und Richtung.
2. Welche Gleichungen gelten in ebenen Polarkordinaten für die kräftefreie Bewegung?
Gewinnen Sie aus diesen Gleichungen die Bahnen, die durch den Ursprung gehen.
3. Man gebe Kriterien dafür an, dass ein Kraftfeld konservativ ist.
a) Wie berechnet man bei einem konservativen Kraftfeld K(r) die zugehörige potentielle Energie?
b) Eine Kraft hat die Komponenten
a) 2 − dim.
Kx = a · y,
Ky = ax
b) 3 − dim. Kx = ay, Ky = az, Kz = ax.
Sind diese Kräfte konservativ, wenn ja, welche potentielle Energie gehört dazu?
4. Man berechne die potentielle Energie eines Massenpunktes
a) im Falle einer elastischen Kraft (3-dim. harmonischer Oszillator),
b) im Gravitationsfeld.
Begründen Sie in beiden Fällen die Wahl des Bezugspunktes.
p
5
5. Gegeben sei ein Kraftfeld der Form Ki = axi / (x21 + x22 + x23 ) , i = 1, 2, 3. Man zeige
dass dieses Kraftfeld konservativ ist und berechne die zugehörige potentielle Energie.
6.
a) Wie sieht eine Zentralkraft in mathematischer Darstellung aus?
b) Man beweise, dass eine Zentralkraft konservativ ist.
c) Man beweise, dass im Feld einer Zentralkraft der Drehimpuls eines Massenpunktes
konstant ist.
d) Wie kann man einsehen, dass die Bahnen in einem Zentralfeld in einer Ebene
verlaufen? Welcher Zusammenhang besteht zwischen Drehimpuls und Flächengeschwindigkeit?
7. Wie gewinnt man aus dem Energiesatz einer eindimensionalen Bewegung m q̇ 2 /2 +
V (q) = E die Bewegungsgleichung?
8. Wie erhält man die allgemeine Lösung der Schwingungsgleichung m q̈ + k q = K(t)?
(Stichwort: Greensche Funktion)
9. Wie sieht die Energie eines a) eindimensionalen, b) dreidimensionalen Oszillators aus?
Wie kann man im Fall a) daraus die Bewegungsgleichung gewinnen?
10. Man löse die Bewegungsgleichung für den freien Fall eines Massenpunktes im Schwerefeld unter dem Einfluß einer Reibungskraft F R = −m α v. (Der Massenpunkt befindet
sich beim Beginn der Bewegung in der Höhe h und ruht.)
11. Ein Massenpunkt durchläuft die Trägheitsbahn r(t) = r 0 + v 0 t; wie ändert sich die
Bahn unter Einwirkung einer Stoßkraft K = Z δ(t)?
12. Gegeben ist ein System von N Massenpunkten (Massen mi , Ortsvektoren r i ). Führen
Sie den Schwerpunktsvektor R und Relativvektoren ̺i = r i −R ein. Drücken Sie Impuls,
Drehimpuls und kinetische Energie des Gesamtsystems in Abhängigkeit von R, ̺i und
deren Zeitableitungen aus (Herleitung) und interpretieren Sie die Ergebnisse.
13. Welche Grundoperationen liefern in einem System von Massenpunkten Erhaltungssätze
und unter welchen Voraussetzungen? Welche besonderen Eigenschaften hat der Massenmittelpunkt für die Darstellung von kinetischer Energie und Drehimpuls?
14. Zwei Massenpunkte sind elastisch aneinander gebunden, sonst frei beweglich. Wie lässt
sich die Bewegung durch Zerlegung in Teilbewegungen beschreiben? Welche Erhaltungssätze gelten?
a) für die Gesamtbewegung b) für die Teilbewegungen?
15. Welche Aussage macht der Virialsatz für die Bewegung eines Massenpunktes
a) im Gravitationsfeld
b) im Kraftfeld eines harmonischen Oszillators?
16. Wie sehen die Bahnen im anziehenden und abstoßenden Coulombfeld aus
a) für E = 0
b) für E > 0 ?
17. Ein Planet hat den kleinsten Sonnenabstand a1 , den größten a2 . Die zugehörigen Geschwindigkeiten sind v1 und v2 . Welche 2 Beziehungen gelten auf Grund von Erhaltungssätzen zwischen den angegebenen Größen?
18. Eine Feder hat entspannt die Länge L0 . Für eine Verlängerung ∆L ist eine Kraft F =
f ∆L erforderlich. An der Feder wird eine Masse M mit der Winkelgeschwindigkeit ω
in einer Ebene im Kreis herumgeschleudert. Welchen Radius L nimmt dieser Kreis an,
welche Gesamtenergie hat das System?
19. Für ein Kegelpendel im Schwerefeld berechne man die Winkelgeschwindigkeit des Umlaufs in Abhängigkeit von Länge L und dem Öffnungswinkel α des Kegelpendels sowie
die Fadenspannung.
20. Gilt der Energiesatz bei konservativen äußeren Kräften und zeitabhängigen Zwangsbedingungen? Begründung!
P
21. Unter welchen Voraussetzungen ist der Ausdruck i ∂∂L
q̇i − L zeitlich konstant? Unter
welcher Voraussetzung bedeutet er die Energie?
22. Welchen physikalischen Vorgängen lässt sich die Lagrangefunktion
L = a q̇ 2 − B q 2 (a, b positive reelle Zahlen) zuordnen?
23.
a) Wie unterscheiden sich reale und virtuelle Verrückungen?
b) Wie kann man einsehen, dass auch bei Einführung unabhängiger Koordinaten qi im
Falle zeitabhängiger Bedingungen die realen Verrückungen nicht in den virtuellen
enthalten sind?
c) Wie sind kanonische Impulse definiert, was sind zyklische Koordinaten?
d) Welcher Erhaltungssatz gilt, wenn L die Zeit nicht explizit enthält?
e) Wann bedeutet er den Energiesatz?
24. Wissensfragen
a) Wie lautet das Hamiltonsche Prinzip?
b) Wie lauten die Hamiltonschen Gleichungen?
c) Was versteht man unter einer kanonischen Transformation?
d) Welche Erhaltungsgrößen gibt es in der klassischen Mechanik? Mit welchen Symmetrien (Invarianzen) der Hamiltonfunktion sind sie jeweils verknüpft?
e) Wie kann man bei einem Massenpunktsystem den Gesamtimpuls, die gesamte
kinetische Energie und den Gesamtdrehimpuls in Kollektiv- und Relativanteile
zerlegen?
f) Wieviele Freiheitsgrade hat ein starrer Körper? Wie lauten die dynamischen Grundgleichungen des starren Körpers?
g) Ein starrer Körper rotiere um eine Achse mit Winkelgeschwindigkeit ω. Wie groß
ist sein Drehimpuls, wie groß seine Rotationsenergie?
25. Welche der folgenden Aussagen sind wahr und welche sind falsch?
a) Beim Zweikörper-Zentralkraft-Problem (Wechselwirkungspotential V (r12 ) beliebig
mit r12 = Relativabstand, keine äußeren Kräfte)
—
—
—
—
—
—
—
verläuft die Bewegung in einer Ebene
ist die gesamte kinetische Energie konstant
ist der Gesamtdrehimpuls konstant
ist die Schwerpunktskoordinate zyklisch
lässt sich die Relativbewegung auf das Einkörper-Zentralkraft-Problem zurückführen
ist der Drehimpuls im Relativsystem konstant
verläuft die Relativbewegung stets auf Kegelschnitten.
b) Die Lagrange-Gleichungen d/dt(∂L/∂ q̇k ) = ∂L/∂qk gelten nur für Systeme
—
—
—
—
—
—
mit holonomen Zwangsbedingugnen
mit skleronomen Zwangsbedingungen
mit Energieerhaltung
ohne Reibung
in denen die Summe aller Kräfte verschwindet
in denen alle Zwangsbedingungen durch geeignete Koordinatenwahl eliminiert
sind
— in denen die Zwangskräfte bei der Bewegung keine Arbeit leisten.
P
c) Die Hamiltonfunktion H(pk , qk , t) = pk q̇k − L(qk , q̇k , t)
—
—
—
—
—
—
ist
ist
ist
ist
ist
ist
immer konstant
immer die Gesamtenergie E des Systems
konstant, wenn ∂L/∂t = 0 gilt
gleich E, wenn H = const. gilt
gleich E bei holonomen Zwangsbedingungen
gleich E bei skleronomen Zwangsbedingungen.
26. Gegeben sei a) ein Hohlzylinder, b) ein homogener Vollzylinder (jeweils Länge L, Radius
R, Masse M ). Berechnen Sie das jeweilige Trägheitsmoment bezüglich der Zylinderachse.
27. Ein Zylinder mit zur Zylinderachse symmetrischer Massenverteilung (Trägheitsmoment
bezüglich der Symmetrieachse J, Masse M ) rolle ohne zu gleiten eine schiefe Ebene mit
Neigungswinkel α hinab.
Berechnen Sie die Beschleunigung des Schwerpunktes. Vergleichen
Sie speziell die Beschleunigungen für einen Hohlzylinder und einen
homogenen Vollzylinder mit gleichen Massen und Radien sowie für
einen gleichschweren Würfel, der die schiefe Ebene hinab gleitet.
28. An dem gezeichneten masselosen starren Gestell hängt ein Gewicht
der Masse M . Berechnen Sie die Vektoren der Auflagekräfte in den
Punkten A und B.
29. Ein homogener Würfel (Masse M , Kantenlänge a, Trägheitsmoment J = 32 M a2 bezüglich Kante A A′ ) gleite reibungsfrei längs
der x-Achse (Geschwindigkeit v0 ) und stoße im Punkte H mit seiner Kante A A′ gegen ein Hindernis vernachlässigbarer Höhe, an
dem er kleben bleibt.
Untersuchen Sie, ob Impuls, Energie und Drehimpuls beim Stoß
erhalten bleiben. Berechnen Sie die Winkelgeschwindigkeit unmittelbar nach dem Stoß (ϕ ≈ 0).
30. Auf einem starren, masselosen Kreisring vom Radius a sitzen diametral gegenüber 2
gleiche Punktmassen m. Der Ring rollt längs einer Geraden mit der Translationsgeschwindigkeit v. Wie groß ist die kinetische Energie des Systems?
31. Ein Massenpunkt bewege sich auf einer mit konstanter Winkelgeschindigkeit rotierenden
Stange im homogenen Schwerefeld (die Drehachse sei parallel zur Erdoberfläche gelagert). Wieviele Freiheitsgrade hat der Massenpunkt? Stellen Sie die Lagrange-Funktion
auf und geben Sie die Bewegungsgleichung an. Bestimmen Sie den verallgemeinerten
Impuls und leiten Sie die Hamiltonfunktion her. Ist die Hamiltonfunktion eine Konstante der Bewegung? Geben Sie die Energie des Systems an. Stimmen Hamiltonfunktion
und Energie überein?
32. Begründen Sie mit Hilfe der Eulerschen Gleichungen, dass bei einem starren Körper
kräftefreie Rotation mit konstanter Winkelgeschwindigkeit nur bezüglich der Hauptträgheitsachsen möglich ist.
33.
a) Berechnen Sie das Trägheitsmoment eines homogenen
Halbzylinders bezüglich der gezeichneten Achse (Masse M , Halbkreisradius a).
b) Wie groß ist das Trägheitsmoment bezüglich einer dazu parallelen Achse durch den Schwerpunkt? (Hinweis: Schwerpunkt einer homogenen halbkreisförmigen
4
Scheibe: OS = 3π
a).
34. Welche der folgenden Aussagen sind wahr und welche sind falsch?
a) Kanonische Transformationen p, q 7→ P, Q
—
—
—
—
—
lassen die Hamiltonfunktion invariant,
lassen die Lagrangefunktion invariant,
lassen die Form des Hamiltonprinzips invariant,
lassen die Form der Hamiltonschen Bewegungsgleichungen invariant,
führen stets auf eine Hamiltonfunktion H(P), die nur von den neuen Impulsen
abhängt,
— ergeben sich bei geeigneter Wahl der Pk aus beliebigen Punkttransformationen Qk = gk (q),
— lassen sich z. B gemäß Qk = ∂S/∂pk , Pk = ∂S/∂qk aus einer Erzeugenden
S(q, p) gewinnen.
35. Bestimmen Sie Winkel- und Wirkungsvariablen
a) für den eindimensionalen harmonischen Oszilator,
b) für ein Teilchen, das (ohne Einwirkung der Schwerkraft) zwischen zwei Wänden
hin und her fliegt.
c) Was liefert in beiden Fällen die semiklassische Quantisierungsvorschrift für die
möglichen Energiewerte?