46k - Institut für Theoretische Physik

Universität Stuttgart
Institut für Theoretische Physik 1
Prof. Dr. G. Wunner
Vorlesung ,,Theoretische Physik 1: Mechanik”, WS 2005/2006
Fragen zum Nachdenken
1. Wie schreibt sich
a) das Flächenelement in ebenen Polarkoordinaten (r, ϕ),
b) das Flächenelement auf der Kugeloberfläche in sphärischen Polarkoordinaten (r, ϑ, ϕ),
c) das ringförmige Flächenelement auf der Oberfläche der Kugel vom Radius r zwischen ϑ und ϑ + dϑ,
d) das Linienelementquadrat in sphärischen Polarkoordinaten?
2. Man gebe für Geschwindigkeit und Beschleunigung auf einer Raumkurve die tangentialen und normalen Komponenten an. In welcher Ebene liegt anormal ?
Was ergibt sich für die Bewegung auf einer Kreislinie vom Radius a bei konstanter
Winkelgeschwindigkeit ω?
3. t0 sei der Einheitsvektor in tangentialer Richtung auf einer Raumkurve, deren Bodt
genlänge durch s gemessen wird. Was kann man über Richtung und Betrag von ds0
sagen?
4. Wie lauten die Komponenten der Geschwindigkeit in ebenen Polarkoordinaten (Radialund Azimutalkomponente)? Wie lauten die entsprechenden Impulskomponenten? Was
ergibt sich für die zu r und ϕ konjugierten verallgemeinerten Impulse? Berechnen Sie
den Drehimpuls bezüglich des Ursprungs nach Betrag und Richtung.
5. Welche Gleichungen gelten in ebenen Polarkordinaten für die kräftefreie Bewegung?
Gewinnen Sie aus diesen Gleichungen die Bahnen, die durch den Ursprung gehen.
6. Man gebe Kriterien dafür an, dass ein Kraftfeld konservativ ist.
a) Wie berechnet man bei einem konservativen Kraftfeld K(r) die zugehörige potentielle Energie?
b) Eine Kraft hat die Komponenten
a) 2 − dim.
Kx = a · y,
Ky = ax
b) 3 − dim. Kx = ay, Ky = az, Kz = ax.
Sind diese Kräfte konservativ, wenn ja, welche potentielle Energie gehört dazu?
7. Man berechne die potentielle Energie eines Massenpunktes
a) im Falle einer elastischen Kraft (3-dim. harmonischer Oszillator),
b) im Gravitationsfeld.
Begründen Sie in beiden Fällen die Wahl des Bezugspunktes.
p
5
8. Gegeben sei ein Kraftfeld der Form Ki = axi / (x21 + x22 + x23 ) , i = 1, 2, 3. Man zeige
dass dieses Kraftfeld konservativ ist und berechne die zugehörige potentielle Energie.
9.
a) Wie sieht eine Zentralkraft in mathematischer Darstellung aus?
b) Man beweise, dass eine Zentralkraft konservativ ist.
c) Man beweise, dass im Feld einer Zentralkraft der Drehimpuls eines Massenpunktes
konstant ist.
d) Wie kann man einsehen, dass die Bahnen in einem Zentralfeld in einer Ebene
verlaufen? Welcher Zusammenhang besteht zwischen Drehimpuls und Flächengeschwindigkeit?
10. Wie gewinnt man aus dem Energiesatz einer eindimensionalen Bewegung m q̇ 2 /2 +
V (q) = E die Bewegungsgleichung?
11. Wie erhält man die allgemeine Lösung der Schwingungsgleichung m q̈ + k q = K(t)?
(Stichwort: Greensche Funktion)
12. Wie sieht die Energie eines a) eindimensionalen, b) dreidimensionalen Oszillators aus?
Wie kann man im Fall a) daraus die Bewegungsgleichung gewinnen?
13. Man löse die Bewegungsgleichung für den freien Fall eines Massenpunktes im Schwerefeld unter dem Einfluß einer Reibungskraft F R = −m α v. (Der Massenpunkt befindet
sich beim Beginn der Bewegung in der Höhe h und ruht.)
14. Ein Massenpunkt durchläuft die Trägheitsbahn r(t) = r 0 + v 0 t; wie ändert sich die
Bahn unter Einwirkung einer Stoßkraft K = Z δ(t)?
15. Gegeben ist ein System von N Massenpunkten (Massen mi , Ortsvektoren r i ). Führen
Sie den Schwerpunktsvektor R und Relativvektoren %i = ri −R ein. Drücken Sie Impuls,
Drehimpuls und kinetische Energie des Gesamtsystems in Abhängigkeit von R, %i und
deren Zeitableitungen aus (Herleitung) und interpretieren Sie die Ergebnisse.
16. Welche Grundoperationen liefern in einem System von Massenpunkten Erhaltungssätze
und unter welchen Voraussetzungen? Welche besonderen Eigenschaften hat der Massenmittelpunkt für die Darstellung von kinetischer Energie und Drehimpuls?
17. Zwei Massenpunkte sind elastisch aneinander gebunden, sonst frei beweglich. Wie lässt
sich die Bewegung durch Zerlegung in Teilbewegungen beschreiben? Welche Erhaltungssätze gelten?
a) für die Gesamtbewegung b) für die Teilbewegungen?
18. Welche Aussage macht der Virialsatz für die Bewegung eines Massenpunktes
a) im Gravitationsfeld
b) im Kraftfeld eines harmonischen Oszillators?
19. Wie sehen die Bahnen im anziehenden und abstoßenden Coulombfeld aus
a) für E = 0
b) für E > 0 ?
20. Ein Planet hat den kleinsten Sonnenabstand a1 , den größten a2 . Die zugehörigen Geschwindigkeiten sind v1 und v2 . Welche 2 Beziehungen gelten auf Grund von Erhaltungssätzen zwischen den angegebenen Größen?
21. Eine Feder hat entspannt die Länge L0 . Für eine Verlängerung ∆L ist eine Kraft F =
f ∆L erforderlich. An der Feder wird eine Masse M mit der Winkelgeschwindigkeit ω
in einer Ebene im Kreis herumgeschleudert. Welchen Radius L nimmt dieser Kreis an,
welche Gesamtenergie hat das System?
22. Für ein Kegelpendel im Schwerefeld berechne man die Winkelgeschwindigkeit des Umlaufs in Abhängigkeit von Länge L und dem Öffnungswinkel α des Kegelpendels sowie
die Fadenspannung.
23. Welcher mathematische Ausdruck gibt die Zwangskräfte auf einen Massenpunkt i in
den Lagrange-Gleichungen 1. Art an?
24. Gilt der Energiesatz bei konservativen äußeren Kräften und zeitabhängigen Zwangsbedingungen? Begründung!
P
25. Unter welchen Voraussetzungen ist der Ausdruck i ∂∂L
q̇i − L zeitlich konstant? Unter
welcher Voraussetzung bedeutet er die Energie?
26. Welchen physikalischen Vorgängen lässt sich die Lagrangefunktion
L = a q̇ 2 + B q 2 (a, b reelle Zahlen) zuordnen?
27.
a) Wie unterscheiden sich reale und virtuelle Verrückungen?
b) Wie kann man einsehen, dass auch bei Einführung unabhängiger Koordinaten qi im
Falle zeitabhängiger Bedingungen die realen Verrückungen nicht in den virtuellen
enthalten sind?
c) Wie sind kanonische Impulse definiert, was sind zyklische Koordinaten?
d) Welcher Erhaltungssatz gilt, wenn L die Zeit nicht explizit enthält?
e) Wann bedeutet er den Energiesatz?
28. Welche der folgenden Aussagen sind wahr und welche sind falsch?
a) Beim Zweikörper-Zentralkraft-Problem (Wechselwirkungspotential V (r12 ) beliebig
mit r12 = Relativabstand, keine äußeren Kräfte)
—
—
—
—
—
—
—
verläuft die Bewegung in einer Ebene
ist die gesamte kinetische Energie konstant
ist der Gesamtdrehimpuls konstant
ist die Schwerpunktskoordinate zyklisch
lässt sich die Relativbewegung auf das Einkörper-Zentralkraft-Problem zurückführen
ist der Drehimpuls im Relativsystem konstant
verläuft die Relativbewegung stets auf Kegelschnitten.
b) Die Lagrange-Gleichungen d/dt(∂L/∂ q̇k ) = ∂L/∂qk gelten nur für Systeme
—
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—
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—
mit holonomen Zwangsbedingugnen
mit skleronomen Zwangsbedingungen
mit Energieerhaltung
ohne Reibung
in denen die Summe aller Kräfte verschwindet
in denen alle Zwangsbedingungen durch geeignete Koordinatenwahl eliminiert
sind
— in denen die Zwangskräfte bei der Bewegung keine Arbeit leisten.
P
c) Die Hamiltonfunktion H(pk , qk , t) =
pk q̇k − L(qk , q̇k , t)
— ist immer konstant
— ist immer die Gesamtenergie E des Systems
— ist konstant, wenn ∂L/∂t = 0 gilt
— ist gleich E, wenn H = const. gilt
— ist gleich E bei holonomen Zwangsbedingungen
— ist gleich E bei skleronomen Zwangsbedingungen.
29. Zwei Massenpunkte(m1 = 3m, m2 = 2m) können sich reibungsfrei längs einer Achse
(z) bewegen. Sie sind durch zwei gleiche Federn (ungespannte Länge `, Federkonstante
k) gebunden, und zwar m1 an den Ursprung und m2 an m1 (z2 > z1 > 0).
a) Stellen Sie die Lagrangefuktion auf und geben Sie die Gleichgewichtslagen z 10 und
z20 an.
b) Wählen Sie als ve rallgemeinerte Koordinaten die Auslenkungen aus den Ruhelagen und schreiben Sie die Lagrangefunktion auf die Koordinaten um. Wie lauten
also die T - und V –Matrix? Berechnen Sie die Frequenzen (kleiner) Schwingungen
um die Gleichgewichtslage.
c) Geben Sie die Normalkoordinaten des Systems an und interpretieren Sie die Eigenschwingung mit der höchsten Frequenz.