T1: Theoretische Mechanik, SoSe 2016 Jan von Delft Newtonsche Sätze (Originalformulierung) 1. Jeder Körper verharrt in seinem Zustand der Ruhe oder der gleichförmig geradlinigen Bewegung, wenn er nicht durch einwirkende Kräfte dazu gezwungen wird, seinen Bewegungszustand zu ändern. 2. Die Änderung der Bewegung ist der Einwirkung der bewegenden Kraft proportional und geschieht nach der Richtung derjenigen geraden Linie, nach welcher jene Kraft wirkt. 3. Die Wirkung ist stets der Gegenwirkung gleich; oder: die Wirkungen zweier Körper aufeinander sind stets gleich und von entgegengesetzter Richtung. Begriffsbildung: 1. Bahnkurve Geschwindigkeit: Beschleunigung: Massenpunkt, Bahnkurve, Masse, Kraft, Beschleunigung, Drehimpuls, Energie, Erhaltungsätze ... 2. Newton's Axiome Es gibt Bezugsysteme (BS), in denen kräftefreie Bewegung durch beschrieben wird. 1. Axiom (N1): (Definition von Inertialsystem) Diese BS heißen Inertialsysteme (IS). N1 gilt nicht in jedem BS (z.B. nicht auf Karusell). In IS sind physikalischen Gesetze besonders einfach. N1 ist nicht Spezialfall von N2 mit Kraft = 0, sondern Definition von IS. Definition: Impuls: Masse Geschw. 2. Axiom (N2): (beschreibt Dynamik) In einem IS folgt die Bewegung unter Einfluß einer Kraft folgendem Gesetz: Kraft Einheit: N2 beinhaltet (i) Definition der Masse (vergleiche Beschl. für gleiche Kraft;, (ii) Definition der Kraft (als Beschleunigung mal Masse); (iii) Aussage über Bahnbewegung. N2 gilt nur für "nicht-relativistische" Geschwindigkeiten: 3. Axiom (N3): (Actio = Reactio) 1.ster Zusatz: 2.ter Zusatz: (SuperpositionsPrinzip) Kraft entlang Verbindungslinie Gesamtkraft Summe der Einzelkräfte Gültigkeit von N3 ist eingeschränkt, denn N3 impliziert "instantane" Reaktion, im Widerspruch zur speziellen Relativitätstheorie (nichts propagiert schneller als Licht) Ausweg: Quantenfeldtheorie: Kraft via Austausch von Photonen f. EM-WW, Gluonen f. starke WW, Gravitonen für Gravitation Beispiel: Lösung von N2 für 1-dimensiones Problem ortsabhängige Kraft Betrachte: wobei Kettenregel Integrieren: Integrationskonstante (zeitunabhängig) Gesamtenergie: (erhaltene Größe, weil zeitunabhängig) kinetische Potentielle Energie (5.5) nach gelöst: Vorzeichen: bestimmt Bewegungsrichtung Trennung d. Variablen: Anfangsbedingungen: legen Integrationskonstante fest: Graphische Analyse: klassisch verbotener Bereich Umkehrpunkte: Bei also bei Zwischen Umkehrpunkten ist Bewegung periodisch: Periode: 3. Erhaltungssätze Zunächst mittels N2 hergeleitet, später (eleganter) mittels Lagrange-Formalismus "zu Fuß" "tieferer Grund": Symmetrien! Impulserhaltung: Falls Definition Drehimpuls: Definition Drehmoment: (beide abhänging von Wahl des Ursprungs) N2 für Drehimpuls: ("N2 für Rotationen") Drehimpulserhaltung: Definition v. Arbeit: Falls Teilchen (Masse m) bewege sich unter Einfluss einer äusseren Kraft von 1 nach 2 entlang Weg C12. Die von der Kraft auf m geleistete Arbeit ist: vom Kraftfeld auf m übertragene Energie Vorzeichen: Beispiel Schwerkraft: fallende Masse Wenn Kraft entlang Bewegungsrichtung wirkt, leistet sie positive Arbeit. sei eine beliebige Parametrisierung des Weges Definition: Kinetische Energie Energieänderung auf Grund der Geschwindigkeitsä d Einheiten: Def: Konservatives Kraftfeld Für ein konservatives Kraftfeld ist die entlang geschlossenem Weg verreichte Arbeit Ein Kraftfeld wird konservativ genannt, falls die Arbeit zwischen 1 und 2 unabhängig vom Weg ist. Theorem: Konservatives Kraftfeld (i) ist rotationlos; (ii) kann als Gradient eines skaleren Feldes ausgedrückt werden. Beweis von (i): Stokes Theorem: (2) gilt für beliebige Fläche, also gilt: Beweis von (ii): Jedes Feld der Form erfüllt (i): denn: (11b.6) ausführlich: "rotiationslos" Vorzeichen: Konvention skalares Feld, heißt "Potential", oder "potenzielle Energie" Nullpunkt beliebig wählbar Energieerhaltungssatz: Integriere (11a.4) Änderung v. U in Richtung von (siehe NM13) Aber, wir wissen auch: (- Änderung v. U) (Änderung v.T) Entlang einer Trajektorie (Bahn) in einem konservativem Kraftfeld bleibt die Gesamtenergie E=T+U eines Teilchens erhalten. Alternative Herleitung: Kettenregel Energieerhaltung gilt nicht für zeitabhängige Potentiale: Falls gilt explizite Zeitabhängigkeit, nicht: denn dann : Grund: externes System ist für zeitänderung des Potentials verantwortlich, und kann Energie zuführen oder abziehen. Bewegungsgleichung Erhaltungssätze heissen "Integrale der Bewegung", weil sie Diff.-Gl. 1. Ordnung sind ist eine Diff.-Gl. 2. Ordnung ErhaltungsSätze: Bespiel einer kons. Kraft: Lorentzkraft Kraft auf geladenes Teilchem im Magnetfeld: Energie ist erhalten, also ist Kraft konservativ. Zusammenfassung: Newton'sche Mechanik Def. eines Inertialsystems: Kräftefreie Bewegung: Definitionen: Impuls: Drehimpuls: Erhaltungssätze: Definitionen: Kinetische Energie: Von Kraftfeld geleistete Arbeit: Konservatives Kraftfeld: Lorentz-Kraft: Energieerhaltungssatz für kons. Kraft: Drehmoment: