Rechenübungen zur Physik 1 im WS 2011/2012

Rechenübungen zur Physik 1 im WS 2011/2012
4.Übungsblatt
Aufgabe 16) Kräfte auf Kreisbahn mit Zylinderkoordinaten
Aus der Vorlesung kennen Sie
Zylinderkoordinaten:
y
x
ρ = x 2 + y 2 , ϕ = arctan , z
(4-1)
 cos ϕ 
 − sin ϕ 
 0




mit den Basisvektoren: eˆρ =  sin ϕ  , eˆϕ =  cos ϕ  , eˆz =  0 
 0 
 0 
1




 
x
 
und dem Ortsvektor:
r =  y  = ρ eˆρ + zeˆz
z 
 
a) Auf einer Bahnkurve hängt der Ortsvektor r und damit die Koordinaten von der Zeit ab.
Berechnen Sie die zeitlichen Änderungen eɺˆρ , eɺˆϕ , eɺˆz der Basisvektoren in (4-1)
b) Verwenden Sie diese zur Berechnung der Geschwindigkeit rɺ und Beschleunigung ɺɺ
r in Zylinderkoordinaten und in deren Basis
c) Speziell ist für die Bewegung auf einer
Kreisbahn: ρɺ = 0, ϕɺ = ω = const , zɺ = 0
(4-2)
Geben Sie für diesen Fall die Kinetische Energie und die Kraft an.
d) Wie groß sind diese Kraft, wenn man ein Gewicht an einem Seil horizontal um den Ursprung
schleudert?
Masse:
1kg
Seillänge: 1m
Frequenz: 1/ s
(4-3)
Aufgabe 17) Energiesatz beim Minigolf
Ein Minigolfball mit Masse m soll durch einen Looping geschlagen werden. Wie groß muss wegen der Energieerhaltung die Anfangsgeschwindigkeit v0 mindestens sein, wenn der Looping
einen Radius R hat? Im Zenit sollte die Schwerkraft durch die
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Tübingen, den 27.11.2011
2
(4-4)
mv 2
Zentrifugalkraft: F ( Zentrifugal ) =
eˆn
R
mindestens kompensiert werden
Aufgabe 18) Freier Fall mit Trennung der Variablen
Ein Körper wird zur Zeit t=t0 aus dem Ruhezustand losgelassen und fällt unter Einwirkung der
Schwerkraft F=mg.
a) Drücken Sie die Energie des Körpers durch seine y -Koordinate und deren Zeitableitung
yɺ ( t ) aus. Wie hängt die y -Koordinate zur Zeit t=t0 von der Energie ab? Wir definieren dazu
y0 ≡ y ( t0 )
b) Wir betrachten das
Totale Differential: dy ( t ) ≡ yɺ ( t ) dt = f ( y ( t ) ) dt
(4-5)
Berechnen Sie die Funktion f ( y ( t ) )
Indem wir in (4-5) durch diese Funktion f teilen, trennen wir die Variablen in dem Sinn, dass die
linke Seite der Gleichung ausschließlich von der Ortsvariablen y ( t ) abhängt und die rechte Seite
ausschließlich von der Zeit t . Nach der Substitutionsregel ist das
t
y(t )
t0
y0
Integral: t − t0 = ∫ dt ′ =
dy′
f ( y′ )
∫
(4-6)
Berechnen Sie das Integral und lösen Sie nach y ( t ) auf
c) Welchen Weg legt der Körper in 10 Sekunden zurück?
Aufgabe 19) Wegintegrale und Optimierung
Anne schiebt ihren Kinderwagen von der Aula ( rA = ( −1, 0, 0 ) ) zum Botanischen Garten
( rB = (1, 0, 0 ) ) . Hindernisse spielen für sie keine Rolle, aber die schlechte Beschaffenheit des
Weges macht den Gang doch mühsam. Die Kraft, mit der Anne schieben muss, wird beschrieben durch das Kraftfeld
(4-7)
F ( r ) = 12 (1 + 83 y 2 ) , π1 x, 0
(
)
a) Wie viel Energie braucht Anne für den direkten Weg?
b) Berechnen Sie für den nächsten Aufgabenteil die Integrale
1
1
1
∫0 sin (π s ) ds , ∫0 ( sin (π s ) ) ds und ∫0 ( cos (π s ) ) ds .
( mit Stammfunktion )
3
( mit Substitution )
2
(4-8)
( mit partieller Integration )
c) Wie viel Energie spart Anne maximal auf einem Bogen
r ( t ) = ( − cos (π t ) , α sin (π t ) , 0 ) , t ∈ [ 0,1] , α = konstant ( aber optimal )
(4-9)
d) Ist das Kraftfeld (4-7) konservativ?
Abgabe: Mo 7.11.2011
–
Skript mit mathematischen Grundlagen siehe Homepage (www.kbraeuer.de)
3
Ergänzungsaufgaben
Aufgabe 20) Träge und schwere Masse
a) Was ist 'träge Masse'?
b) Was ist 'schwere Masse'?
c) Wieso sind schwere und träge Masse äquivalent?
d) Wie lautet das Potential der Gewichtskraft? Leiten Sie den Ausdruck her
e) Wo befindet sich ein Körper nach der Zeit t, wenn er zur Zeit t=0 am Ort r0 war, die Ge
schwindigkeit v0 hatte und eine konstanten Beschleunigung a erfährt? Geben Sie die Formel an
f) Wie ist mechanische Arbeit definiert
g) Welche Anteile hat mechanische Energie
Aufgabe 21) Energiesatz
Man lässt eine Masse m aus der Höhe h fallen. Bestimmen Sie mit dem Energiesatz die Geschwindigkeit der Masse beim Aufschlag.
Aufgabe 22) Gradient
Berechnen Sie die Gradienten von
(r − a)
2
1
, r , 3 , e −α r , e a ⋅ r , f ( r )
r −a
(4-10)
Aufgabe 23) Wegintegral
Wir betrachten das
Kraftfeld:
F ( x, y ) = (1 + y , x )
(4-11)
a) Berechnen Sie die
Arbeit:
A=
P2 =( 0,1)
∫
ds ⋅ F
(4-12)
P1 =(1,0 )
auf dem direkten Weg, also auf einer Geraden
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Tübingen, den 27.11.2011