¨Ubungen zur Experimentalphysik 1 im WS2009/10 v.Issendorff

Übungen zur Experimentalphysik 1 im WS2009/10
v.Issendorff
07.12.2009
22.) Das Gravitationskraftfeld ist durch F~ = Gm1 m2 /r2~er gegeben, wobei ~er der Einheitsvektor
in r−Richtung sein soll. Betrachten Sie eine ebene Bewegung.
a) Stellen Sie das Kraftfeld in kartesischen Koordinaten dar. (1 Punkt)
~ × F~ . (2 Punkte)
b) Ist das Kraftfeld konservativ? Um das zu testen berechnen Sie ∇
(3 Punkte)
23.) Wir bauen ein einfaches Modell-Sonnensystem. Dazu betrachten Sie die Dynamik eines
Massepunktes in einem zweidimensionalen Potential:
k/2(||~r||2 − r02 ) : ||~r|| ≤ r0
V (~r) =
(1)
0
: ||~r|| > r0
Der Bereich ||~r|| ≤ r0 nennen wir das Innere des Sonnensystems und den Rest das Äussere.
a) Hängt die Kraft, die auf den Massepunkt wirkt, von der Konstanten k/2r0 ab? (1
Punkt)
b) Zeigen Sie, daß die Bahnkurve für ||~r|| ≤ r0 durch
~r(t) = ~a sin(ωt) + ~b cos(ωt)
(2)
gegeben ist. Wodurch ist ω bestimmt? Wie sehen die Bewegungen für ||~r|| > r0 aus?
(2 Punkte)
c) Zeigen Sie, daß für ~a = (a, 0) und ~b = (0, b) die Bahn des Massepunktes der Ellipsengleichung x2 /a2 + y 2 /b2 = 1 genügt. Welche geometrische Bedeutung haben a und b?
(1 Punkt)
d) Überprüfen Sie, ob der Drehimpuls ~l = m~r × ~v im gesamten Sonnensystem erhalten
˙
ist. Dazu bestimmen Sie ~l. (1 Punkt)
(5 Punkte)
24.) Nun bestimmen Sie den Durchflug eines Massepunktes (z.B. ein Komet) durch das ModellSonnensystem. Unterteilen Sie die Bewegung in drei Bereiche: 1. Bewegung bis zum Eintritt. 2. Bewegung im Inneren des Sonnensystems. 3. Bewegung nach dem Austritt. Der
Komet treffe zum Zeitpunkt t = 0 bei ~r(t = 0) = (r0 , 0) mit der Geschwindigkeit
~v (t = 0) = v0 (−1, 1) auf das Innere des Sonnensystems.
a) Bestimmen Sie den anfänglichen Drehimpuls ~l(t = 0). Wie wird ~l(t → ∞) sein? (1
Punkt)
b) Wie lautet die Bahnkurve für den ersten Bereich der Bewegung? (1 Punkt)
c) Bestimmen Sie die Bahn im zweiten Bereich indem Sie die allgemeine Lösung aus
Aufgabe 23 stetig an die Lösung des ersten Bereiches anschliessen. (1 Punkt)
Ergebnis:
v0
r0
−1
~r(t) =
sin(ωt) +
cos(ωt)
(3)
1
0
ω
d) Bei welchem Winkel φ = ωt verlässt der Komet das Innere des Sonnensystems? (2
Punkte)
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