Teilchenphysik II-III
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Prof. Dr. André Rubbia Übungschef: Dr. Andreas Badertscher http://neutrino.ethz.ch/Vorlesung/ (WS 2003/04 – SS2004) Abteilung IX ETH/Zürich Teilchenphysik II-III Physik Kapitel 3 Kapitel 2 Kapitel 1 Störungstheorie 62 Drehimpuls-Operator 60 Spin-Operator 61 Drehimpuls und Spin 60 Die Wellenfunktion 55 Die Operatoren 56 Die Schrödinger-Gleichung 57 Die Kontinuitätsgleichung 58 Die Schrödinger-Gleichung 55 Die nicht-relativistische Störungstheorie 55 Der Wirkungsquerschnitt 50 Die Entdeckung des Neutrons 51 Das Streuexperiment von Rutherford 43 Die Entdeckung des Elektrons 39 Die Entdeckung der Struktur der Atome 43 Die Kathodenstrahlröhre 35 Röntgenstrahlen (1895) 37 Drei Arten von Strahlen 37 Der Ursprung der Teilchenphysik 35 Das Elektron und das Atom 35 Die Symmetrien 26 Die Theorie von Allem 30 Natürliche Einheiten 33 Klassifikation der Teilchen 15 Die Leptonen 16 Die Quarks 18 Die Hadronen 20 Eichbosonen 22 Was ist die Teilchenphysik? 11 Die Teilchen 15 Einleitung 11 1 2 Physik Kapitel 7 Kapitel 6 Kapitel 5 Kapitel 4 79 101 Einleitung 109 Bosonfelder: Die Klein-Gordon Gleichung 109 Invarianzeigenschaft der Lagrange-Funktion 105 Lagrange-Funktion in der relativistischen Feldtheorie 102 Euler-Lagrange-Gleichung 101 Der Lagrange-Formalismus “Fixed-target” Kinematik 97 Übergang vom SP- zum Laborsystem 98 Der Energie-Impuls 4-Vektor 93 Relativistische Kinematik 96 Relativistische Kinematik 93 Diskrete (uneigentliche) Lorentz-Transformation 89 Die Poincaré-Gruppe 91 Die L-Matrix und die Notation 84 Vierer-Vektoren 85 Kovarianter und Kontravarianter 4-Vektor 85 Das Skalarprodukt 86 Tensoren 88 Inverse Lorentz-Transformation 89 Warum? 79 Die Notation 80 Eigentliche Lorentz-Transformation 80 Die Lorentz-Transformationen Rutherford-Streuung 72 Fermis Goldene Regel 62 Elastische Streuung 68 Physik Kapitel 8 Lorentz-Transformation des Spinors 172 Raumspiegelung (Parität) des Spinors 174 Skalar und Pseudoskalar 174 Bilineare Kovarianten 175 Dirac-Spinoren für Antiteilchen 169 Lorentz-Transformationen und bilineare Kovarianten 172 Die Helizität eines Dirac-Teilchens 161 Das Dirac-Teilchen und die “Loch”-Theorie 165 Die Entdeckung des Positrons 167 Lösung der Dirac-Gleichung 151 Der adjungierte Spinor 158 Normierung 159 Orthogonalität 160 Lagrange-Funktion der Dirac-Gleichung 150 Lösungen der Dirac-Gleichung 150 Dirac-Spinoren 144 Kovariante Form der Dirac-Gleichung 145 Die adjungierte Gleichung und die Dichte 147 Herleitung der Dirac-Gleichung 139 Fermionfelder: Die Dirac Gleichung 139 Quantisierung des komplexen Klein-GordonFeldes 134 Einfacher harmonischer Oszillator 125 Das Klein-Gordon-Feld aus einfachen harmonischen Oszillatoren 127 Energie- und Impulsspektrum des Feldes 128 3 Lagrange-Funktion des skalaren Klein-Gordon Felds 119 Die “zweite” Quantisierung 120 Quantisierung des reellen Klein-Gordon-Feldes 123 Skalares Feld 114 Interpretation der Klein-Gordon-Gleichung 115 Die Klein-Gordon-Gleichung 110 4 Physik Kapitel 11 Kapitel 10 Kapitel 9 Ladungsspiegelung 176 Einleitung 229 Quantenelektrodynamik (QED) 229 Berechnung eines Feynman-Diagramms 219 Diagramme der niedrigsten Ordnung 204 Feldkontraktion 207 Diagramme der nächsten Ordnung; das WickTheorem 210 Elektron-Myon-Streuung 210 Elementare Prozesse 212 Boson- und Fermion-Propagator 216 Elementare Prozesse in der QED 202 Von der S-Matrix zu Feynman-Diagrammen 203 Der Zeitentwicklungsoperator 198 Die Streuamplitude 201 Der Propagator eines Dirac-Teilchens 197 Die S-Matrix 198 Ausbreitungsamplitude 193 Zeitgeordnete Ausbreitung 196 Der Feynman-Propagator des reellen Klein-GordonFeldes 193 Propagatortheorie 193 Elektromagnetismus 188 Teilchen im elektromagnetischen Feld 190 Lagrange-Formalismus der Elektrodynamik 188 Quantenelektromagnetismus 186 Klassische Maxwellsche Theorie 181 Das Photon 186 Die Elektrodynamik und das Photon 181 Quantisierung des Dirac-Feldes 177 Physik Kapitel 14 Kapitel 13 Kapitel 12 245 Der Isopsin 300 Die Isospin-Symmetrie 301 Dynamische Folgerung 303 Elektrodynamik von skalaren Feldern 297 Isospin-Symmetrie 300 Entdeckung des Myons 295 Entdeckung des geladenen Pions 296 Entdeckung des neutralen Pions 296 Die starke Kraft 291 Entdeckung des Mesons 295 Mesonen 291 Ward-Identitäten 289 Renormierung 286 Selbst-Energie des Photons 273 Anomales magnetisches Moment 281 Einfache Strahlungskorrekturen erster Ordnung 269 Einleitung 267 Strahlungskorrekturen 267 Ultra-relativistischer Grenzfall 245 Erhaltung der Helizität 250 Vorwärts-rückwärts-Asymmetrie 256 Der e–m– Æ e–m– Prozess 259 “Crossing”-Symmetrie 264 QED-Prozesse Zweikörper-Streuung im SP 241 Der Wirkungsquerschnitt 239 Mandelstam-Variablen 237 Der e+e– Æ m+m– Prozess 234 5 6 Physik Kapitel 17 Kapitel 16 Kapitel 15 Entdeckung der “Strangeness” 343 Die “Strangeness”-Quantenzahl 347 Strangeness (1943-1959) 343 Typische “General-purpose” Detektoren 341 Elektromagnetische Kaskade (“EM-Shower”) 338 Hadronische Kaskade 341 Unendlich massive Detektoren (Kalorimeter) 338 Blasenkammer (“Bubble-chamber”) 334 Proportional-Kammer und Driftkammer 334 Szintillatoren 337 Halbleiter-Detektoren 337 Einleitung 333 Masselose Detektoren 333 Detektoren 333 Mittlerer Energieverlust 319 Mittlerer Energieverlust der Elektronen 323 Mittlerer Energieverlust der Myonen 326 “Straggling” des Energieverlusts 327 Vielfach-Streuung (“Multiple scattering”) 329 Strahlungsemission 331 Geladene Teilchen 317 “Harte” Photonen (Eg > KeV) 310 Strahlungslänge 313 Abschwächungslänge 314 “Weiche” Photonen (Eg < KeV) 314 Grundlegende Prozesse 307 Photonen 310 Wechselwirkung von Teilchen mit Materie 307 Physik Kapitel 20 Kapitel 19 Kapitel 18 Der Myon-Zerfall 407 Der Pion-Zerfall 414 Der schwache geladene Strom 402 Die Universalität 404 Die Chiralitäts-Spinoren 397 Die Fermi-Theorie (b-Zerfall) 389 Die V-A Theorie 395 Einleitung 381 Die schwache Kopplung 385 Die schwache Wechselwirkung 381 Farb-Quantenzahl 376 Quark-Fluss-Diagramme 379 Hadronen als Quarkzustände 368 SU(3)-Klassifikation der Mesonen 370 SU(3)-Klassifikation der Baryonen 374 Das Quark-Modell 366 Das Baryon-Oktett 361 Das Meson-Oktett 364 Das Baryon-Dekuplett 365 Das Vektor-Meson-Oktett 366 Ein Dschungel von Resonanzen 353 Klassifikation der Teilchen 355 “Eightfold-Way” 356 Hadronische Resonanzen und das Quark Modell (1950-1960) 353 Die Baryon-Quantenzahl 349 Entdeckung des Antiprotons 350 Entdeckung der anderen Antibaryonen 352 Antibaryonen (1955-1959) 349 7 8 Physik Kapitel 23 Kapitel 22 Kapitel 21 Der U(1)-Fall 481 Der SU(2)-Fall 484 Eichtheorien mit SSB (“Higgs-Mechanismus”) 481 Klassische SSB 475 SSB für eine kontinuierliche Symmetrie 479 Spontane Symmetriebrechung (SSB) 473 Lokale, Nicht-Abelsche Eichinvarianz 467 Nicht-Abelsche Eichtheorien 466 Globale Eichinvarianz 461 Lokale Eichinvarianz 463 Feynman Regeln 457 Eichinvarianz 460 Standardmodell der elektroschwachen Wechselwirkungen (SM) 457 Die Elektroschwache Theorie 449 Entdeckung der neutralen Ströme (1973) 447 Neutrinos 439 Neutraler schwacher Strom 444 Neutrinos und neutrale schwache Ströme 439 Das J/y Teilchen 431 Entdeckung des y’ und anderer angeregter Zustände 433 Die OZI-Regel 436 Die “November”-Revolution 431 Das SLAC-Experiment (Richter et al.) 426 Das Brookhaven-Experiment (Ting et al.) 430 Die Quark-Mischung 419 Der GIM-Mechanismus 423 Die Entdeckung des Charm-Quarks 426 Charm und der GIMMechanismus 419 Physik Kapitel 24 Ultrarelativistische Grenze 519 Quantenchromodynamik 519 Entdeckung der W,Z-Bosonen (1983) 492 Genaue Tests der Theorie (1989-2001) 494 Das fehlende Element: das Higgs-Boson 511 Experimentelle Überprüfung der elektroschwachen Theorie 492 Masse der Eichbosonen 486 Masse der Fermionen 490 SSB in der elektroschwachen Theorie 485 9 10 Physik Kapitel 1 Teilchenphysik 11 Hier heisst “letzte” die fundamentalsten, wesentlichen Teilchen, die in der Natur existieren. Die Antwort zu dieser Frage ist nicht so trivial. Wir nehmen heute an, dass es nicht-reduzierbare “letzte” Bausteine gibt, die sogenannten Elementarteilchen, die nicht weiter geteilt werden können. Alle Strukturen, die wir im Universum beobachten, sind aus diesen elementaren Bausteinen aufgebaut. In diesem Was sind die “letzten” Bausteine der Materie im Universum? Historisch ist das Verständnis der fundamentalen Struktur der Materie immer ein wichtiger Aspekt der Naturphilosophie gewesen. Die Hauptfrage war: Wenn man das Universum beobachtet, sieht es a priori sehr kompliziert und vielfältig aus. Trotz dieser grossen Komplexität gibt es eine grundlegende “Simplizität” und eine genaue Regelmässigkeit in seiner inneren Struktur. 1.1 Was ist die Teilchenphysik? Einleitung 12 Teilchenphysik II&III, WS 03/04-SS04, Prof. André Rubbia (ETHZ) Das Elektron wird als ein Lepton klassifiziert. Heute denkt man, dass das Elektron elementar ist. Heute werden die Protonen und die Neutronen nicht mehr als Elementarteilchen, sondern als ausgedehnte, aus Quarks bestehende Objekte betrachtet. Allgemein gehören die Protonen und Neutronen zu einer Familie von Teilchen, die als Hadronen bezeichnet werden. Alle Hadronen sind gebundene Quark-Systeme: sie können nur aus 3 Quarks (oder Antiquarks) oder aus einem Quark-Antiquark-Paar bestehen. Hadronen sind daher nicht strukturlose Elementarteilchen, obwohl sie eine wichtige Rolle in der Teilchenphysik spielen. Das Konzept der Elementarteilchen ist daher nicht statisch, sondern hat sich mit der Zeit stark geändert. Durch Experimente mit grösserer Empfindlichkeit und Auflösung haben die experimentellen Physiker zuerst die Moleküle, dann die Atome, nachher die Elektronen und Kerne und schliesslich die Protonen und Neutronen, die die Kerne aufbauen, entdeckt. Die Skalen der verschiedenen Schichten der Struktur der Materie sind in Abb. 1 gezeigt. Die Geschichte der Physik des infinitesimal Kleinen ist meistens eine Geschichte der Entdeckung der aufeinanderfolgenden Schichten der Struktur der Materie. Die Entdeckung des Atoms und auch die des Elektrons and Protons haben eine wichtige Rolle gespielt in der Argumentation für die Existenz von nicht-reduzierbaren, unteilbaren Elementarteilchen. Wir bemerken: Fall denkt man, dass man schliesslich die kleinsten Teile der Materie eventuell finden wird oder schon gefunden hat. Im Gegensatz dazu wäre es aber auch möglich, dass die Materie unendlich teilbar ist. Einleitung Die Skalen der verschiedenen Schichten der Struktur der Materie. Physik Die Wechselwirkung der Elementarteilchen wird von einer kleinen Zahl von fundamentalen Kräften beherrscht. 13 Das Schauspiel ist nicht total zufällig. Es gibt kein Chaos im Universum: die fundamentalen Bausteine vereinigen sich nach einer Ordnung, die die von uns beobachteten makroskopischen Strukturen bewirkt. Wir bemerken: Die Elementarteilchen sind wie die “Schauspieler eines Theaterstücks”. Die Raumzeit ist die Bühne des Schauspiels und jedes Teilchen spielt eine bestimmte Rolle. Merkwürdig ist, dass die Elementarteilchen in grossen Mengen vorkommen. Diese grosse Zahl von Teilchen und ihre Wechselwirkungen bauen das Universum auf, wie wir es beobachten: Figur 1. Was ist die Teilchenphysik? 14 Teilchenphysik II&III, WS 03/04-SS04, Prof. André Rubbia (ETHZ) Die modernen Theorien sind sogenannte Quantenfeld-Theorien und basieren auf dem Prinzip der Eichinvarianz. Dieses Prinzip wird heute als fundamental betrachtet. Die modernen Theorien der elektromagnetischen, starken und schwachen Wechselwirkungen sind daher Eich-Quantenfeld-Theorien. Wir bemerken: Heutzutage ist es gelungen, drei der vier fundamentalen Wechselwirkungen (d.h. elektromagnetisch, stark, schwach) in ähnlicher mathematischer Form auszudrücken. Diese Theorie heisst das Standard-Modell der Teilchenphysik. Durch Untersuchungen bezüglich der Vereinigung der Kräfte wurden grosse Fortschritte im Verständnis der grundlegenden Konzepte der Wechselwirkungen gemacht: Historisch wurden verschiedene Kräfte durch unterschiedliche Theorien behandelt: Newton und Einstein haben die Gravitationstheorie entwickelt. Maxwell hat eine sehr wichtige Rolle im modernen Elektromagnetismus gespielt. Yukawa hat die Theorie der starken Kraft entwickelt und Fermi hat die erste Theorie der schwachen Wechselwirkung festgeschrieben. Heutzutage denkt man, dass die Zahl der fundamentalen Wechselwirkungen auf eine kleine Zahl gleich 3 reduziert werden kann: die Gravitation, die elektroschwache Wechselwirkung, und die starke Wechselwirkung. Die elektroschwache Kraft beschreibt die elektromagnetische und die schwache Wechselwirkung. Bei niedriger Energie sehen diese zwei Kräfte verschieden aus, aber wir wissen heute theoretisch und experimentell, dass die zwei Kräfte bei hohen Energien sehr ähnlich sind. Was sind die fundamentalen Kräfte? Diese Frage versucht die Teilchenphysik auch zu beantworten. Was für fundamentalen Gesetzen oder Regeln folgen die fundamentalen Wechselwirkungen? Einleitung Spin 1/2: Fermionen wie die Quarks und Leptonen Spin 1: Bosonen wie die Eichbosonen (“Gauge-Bosons”) Physik 2. 1. 15 Man denkt, dass die wirklich elementaren Teilchen in drei Spin-Kategorien fallen: Alle Teilchen (Quarks, Leptonen und Hadronen) werden durch spezifische Eigenschaften charakterisiert und klassifiziert, wie z.B. ihre Ruhemasse, ihre elektrische Ladung, und ihren Spin (Eigendrehimpuls) oder ihre spezifischen Quantenzahlen (Parität, Isospin, usw...). Die fundamentalen Bausteine der Materie werden als Teilchen bezeichnet. Die Leptonen und Quarks sind Elementarteilchen; die heutige obere Grenze für ihre Durchmesser ist 10–18 m. Sie werden daher als punktförmig betrachtet. Hadronen sind aus Quarks zusammengesetzte Objekte und besitzen einen Durchmesser von ungefähr 1 fm (oder 10–15 m). 1.2.1 Klassifikation der Teilchen 1.2 Die Teilchen Wir werden dieses Konzept später in der Vorlesung weiter diskutieren. Eichinvarianz heisst, dass die Theorie ungeändert bleiben muss, wenn man bestimmte Arten von Transformationen über alle Teilchen-Felder in verschiedenen Punkten der Raumzeit unabhängig voneinander durchführt. Quantenfeld-Theorien beschreiben Elementarteilchen als Anregungen von Quantenfeldern. Die Teilchen 16 Spin 0: Bosonen wie das Higgs-Boson. Das Higgs-Boson-Teilchen wird von der Standardmodell-Theorie vorausgesagt, aber wurde bis jetzt nie beobachtet. Teilchenphysik II&III, WS 03/04-SS04, Prof. André Rubbia (ETHZ) Die Leptonen kommen in drei Familien vor. Das Elektron e und das Elektron-Neutrino ne gehören zur ersten Familie. Die Leptonen der drei Familien unterscheiden sich nur durch ihre Ruhemasse und sind sonst sehr ähnlich. Das Myon und das Tau sind ungefähr 200 mal resp. 3500 mal schwerer als das Elektron! Leptonen sind unteilbare Teilchen und im Gegensatz zu Quarks spüren sie die starke Kraft nicht. Es gibt total 6 Leptonen (Siehe Tab. 1). Leptonen besitzen Spin-1/2 und sind daher Fermionen. Die geladenen Leptonen wie das Elektron, das Myon und Tau spüren die elektrische und schwache Kraft. Die Neutrinos spüren nur die schwache Kraft. 1.2.2 Die Leptonen Gruppen von Fermionen folgen der Fermi-Dirac Statistik und Gruppen von Bosonen folgen der Bose-Einstein Statistik. Zwei Teilchen mit denselben Eigenschaften (Ruhemasse, Ladung, Spin, andere Quantenzahlen) sind einander ganz gleich und nicht unterscheidbar. Teichlensysteme werden daher einer bestimmten Statistik folgen: Heute ist es experimentell gesichert, dass Elementarteilchen Spin-1/2 oder Spin-1 hatben. Elementarteilchen mit Spin-0 werden gesucht. Obwohl die Theorie die Existenz von elementaren Spin-0-Teilchen voraussagt, wurden sie nie beobachtet: 3. Einleitung £ 3 ¥ 10 -6 MeV ª 6 ¥ 10 -6 0, 511 MeV Elektron - Zahl Physik 17 und in ähnlicher Weise werden die Myon-Zahl Lm und die Tau-Zahl Lt eingeführt. Diese Zahlen wurden eingeführt, weil, wie im Fall der Ï+1 für e - und n e Ô Le = Ì-1 für e + und n e Ô0 alle anderen Ó Zu jedem Lepton gibt es ein Antilepton (sein Antiteilchen). Das Teilchen und das Antiteilchen besitzen gleiche Ruhemassen, gleich Spins und gleiche Lebensdauer. Die elektrischen Ladungen haben gleiche Stärke, besitzen aber umgekehrte Vorzeichen. Andere Quantenzahlen (oder sogenannte allgemeine Ladungen) sind auch entgegengesetzt, wie z.B. die Lepton-Zahlen. Wir definieren die Elektron-Zahl Le: Die elektrische Ladung des Elektrons, Myons und Taus ist gleich –1 (in der Einheit der elementaren Ladung e=1,602¥10–19 Coulomb). Die Neutrinos sind elektrisch neutral. me mn e Die Ruhemassen der Neutrinos sind viel kleiner (verschwindend klein) als die der geladenen Leptonen. Die genauen Ruhemassen sind nicht bekannt und es gibt Grenzen dafür (Siehe Tabelle 1). Aber es gibt heute starke experimentelle Hinweise, dass sie nicht verschwinden. Neutrinos sind daher sehr leicht und viel leichter als die entsprechenden geladenen Leptonen. Wir bemerken z.B.: Die Teilchen 18 0.511 <0.170 105.7 <17 1777 e– nm m– nt t– Elektron Myon–Neutrino Myon Tau-Neutrino Tau –1 0 –1 0 –1 0 Elektrische Ladung Teilchenphysik II&III, WS 03/04-SS04, Prof. André Rubbia (ETHZ) Der grosse Unterschied zwischen Leptonen und Quarks ist die Tatsache, dass die Quarks die starke Kraft spüren, während die Leptonen sie nicht spüren. D.h., dass die Quarks eine “starke Ladung” besitzen. Diese Art von Ladung wird als “Farbe” bezeichnet und kommt in drei Die anderen Quarks werden als c (charm), s (strange), t (top) und b (bottom) bezeichnet. Die Quarks, wie die Leptonen, sind Spin-1/2 Teilchen. Im Gegensatz zu Leptonen besizten Quarks nicht ganzzahlige elektrische Ladung: +2/3 für u,c,t und –1/3 für d,s,b (in der Einheit der elementaren Ladung e). Die Antiquarks besitzen entgegengesetzte Ladungen. Die u- und d-Quarks (und das Elektron) bauen die erste Familie auf und stellen die grundlegenden Komponenten der stabilen Materie im Universum dar. Zurzeit sind 6 Quarks bekannt (Siehe Tab. 2). Die zwei leichten Quarks werden als u (up) und d (down) bezeichnet und gehören zur ersten Familie (oder Generation). 1.2.3 Die Quarks <3¥10–6 Symbol ne Flavor Elektron-Neutrino Leptonen Ruhemasse (MeV/c2) Tabelle 1. Die elektrischen Ladung, die einzelnen Lepton-Zahlen in jeder Reaktion erhalten werden müssen. Einleitung d c s t b charm strange top bottom –1/3 +2/3 4000 bis 4500 –1/3 ª175’000 +2/3 –1/3 +2/3 Elektische Ladung 80 bis 155 1000 bis 1400 5 bis 8,5 1,5 bis 4,5 Ruhemasse (MeV/c2) Physik 1. Genauer: bei grosser Impulsübertragung (siehe Kap. 24). 19 Weil Quarks nie frei beobachtet werden können, ist eine genaue Definition ihrer Ruhemasse nicht trivial. Fast freie Quarks können nur bei hoher Energie1 beobachtet werden, d.h. wenn die Auflösung des Experiments so gut ist, dass man mit einem einzelnen Quark wechselwirken kann. Die Ruhemasse des Quarks wird dann definiert als ein Parameter, den man in diesen Wechselwirkungen misst. Wir werden im nächsten Abschnitt sehen, dass für leichte Quarks die Ruhemasse eine kleine Rolle für die Gesamtmasse des Hadrons spielt, das durch sie aufgebaut wird. u down Symbol Quarks up Flavor Tabelle 2. Die Teilchen mit nicht ganzzahliger Ladung wurden nie experimentell beobachtet. Diese Beobachtung kann mit dem Prinzip des “Quark confinment” erklärt werden. Die Quarks können nie frei sein. Sie existieren nur als Mitgleid gebundener Systeme, d.h. nur in Hadronen. Hadronen müssen “farblos” sein (dies ist eine Annahme, die in Übereinstimmung mit experimentellen Beobachtungen ist) und die Farben in einem Hadron müssen daher so sein, dass sie einander kompensieren: entweder eine Farbe-Antifarbe (wie z.B. Rot-Antirot) oder eine “farblose” Rot-Blau-Grün Kombination. Sorten: Rot, Blau und Grün. Jedes Quark kann in drei Farben existieren. Weil Leptonen “farblos” sind, spüren sie keine starke Kraft. Die Teilchen 20 Teilchenphysik II&III, WS 03/04-SS04, Prof. André Rubbia (ETHZ) Wir bemerken, dass Gruppen von Teilchen ähnliche Ruhemassen besitzen. Wir sehen auch, dass alle Teilchen mit gleichem Spin und gleicher Parität ähnliche Ruhemasse besitzen. Die Lebensdauern sind zwischen 10–8 und 10–20 Sekunden (ausser dem Proton, das vielleicht stabil ist, und dem Neutron, das eine Lebensdauer von ungefähr 1000 Sekunden hat). Man unterscheidet die elektromagnetischen Zerfälle mit Lebensdauern zwischen 10–20 und 10–16 Sekunden und die schwachen Zerfälle mit Lebensdauern grösser als 10–8 Sekunden. Ein Quark-Antiquark-Hadron wird als Meson bezeichnet und ein Hadron mit 3 Quarks wird als Baryon bezeichet. Bis heute wurden ungefähr 100 Hadronarten in Experimenten erzeugt, nachgewiesen, identifiziert und klassifiziert und ihre Eigenschafte (Ruhemasse, Spin, Lebensdauer, ...) bestimmt. Beispiele dafür mit den kleinsten Ruhemassen sind in Tabellen 3 und 4 aufgelistet. Der Name, der Isospin, der Spin, die Parität, die Ruhemasse, die Lebensdauer und der Hauptzerfallsmodus sind gezeigt. Wir haben schon erwähnt, dass Hadronen als aus Quarks bestehende gebundene Systeme mit einer inneren Struktur betrachtet werden. Weil Quarks die starke Kraft spüren, werden sie durch sie und wegen ihrer Farbe gebunden. Trotzdem beobachtet man experimentell, dass die Hadronen immer “farblose” Kombinationen von Quarks sind. Diese Beobachtung stellt eines der fundamentalen Gesetze der Quantenfeldtheorie der starken Kraft (die Quantenchromodynamik) dar und wird als Hypothese des “Quark confinment” bezeichnet, nämlich, dass freie farbige Teilchen nicht existieren können. Als Folge können nur Kombinationen von 3 Quarks (oder Antiquarks) oder Quark-Antiquark-Paare existieren. 1.2.4 Die Hadronen Einleitung 0(0–) 1/2(0–) h K+- 1/2(1/2+) 0(1/2+) 1(1/2+) 1(1/2+) 1(1/2+) 1/2(1/2+) 1/2(1/2+) n L0 S+ S0 SX0 X- Physik 1/2(1/2+) Isospin, Spin, Parität I(JP) p Baryon 2,6¥10–10 0.8¥10–10 7¥10–20 1,5¥10–10 2,9¥10–10 1,6¥10–10 1189,4 1192,5 1197,4 1314,9 1321,3 917 939,6 1115,6 > 1031 Jahre Lebensdauer (s) 5,2¥10–8 0,9¥10–10 938,3 Masse (MeV/c2) leichte Baryonen. 497,7 Tabelle 4. Einige 497,7 KL 1,2¥10–8 135,0 493,7 0,8¥10–16 0,8¥10–18 26¥10–9 139,6 547,3 Lebensdauer (s) Ruhemasse (MeV/c2) KS K0, K 1(0–) p0 1/2(0–) 1(0–) p+- 0 Isospin, Spin, Parität I(JP) leichte Mesonen. Meson Tabelle 3. Einige Die Teilchen Lp- Lp0 np- Lg pp0, np+ pp-, np0 pen 21 unbekannt (stabil?) Hauptzerfallsmodus pen, pmn p+p-p0,3p0, p+p-,2p0 50% KS, 50% KL mn,p±p0 gg, 3p0, p+p-p0 gg mn Hauptzerfallsmodus 22 Teilchenphysik II&III, WS 03/04-SS04, Prof. André Rubbia (ETHZ) Die Tabelle 5 listet die vier fundamentalen Wechselwirkungen auf (wir unterscheiden elektromagnetische und schwache Wechselwirkung). Die effektive Kopplung ist ein Mass für die Stärke der Kraft. Man sieht, dass die Stärke der fundamentalen Kräfte einen grossen relativen Bereich umfassen: obwohl die Gravitationskraft sehr wichtig für die Bewegung von makroskopischen Körpern ist, ist sie bei Prozessen der Elementarteilchen so schwach, dass ihre Effekte auf die Teilchen bis jetzt nicht bemerkbar waren. Tatsächlich gibt es heute keine erfolgreiche Quantenfeldtheorie der Gravitation (Siehe Kap. 1.4) und die Gravitation wird daher in der Teilchenphysik vernachlässigt. Trotzdem denkt man, dass die Gravitation eine wichtige Rolle spielt (vielleicht die wichtigste Rolle) bei der sogenannten Planck-Skala oder bei den extremen Distanzen kleiner als 10–35 m. Bei diesen Distanzen erwartet man, dass die Quanteneffekte der Gravitation hochwichtig sind. Heutige Experimente können “nur” 1.2.5 Eichbosonen Wir werden die Hadronen später in Kap. 19 weiter diskutieren. Wir haben schon gesagt, dass die Ruhemasse der leichten Quarks eine kleine Rolle für die Ruhemasse des Hadrons spielt. Wir erwähnen als Beispiel den Fall des Protons: wir werden später sehen, dass ein Proton aus zwei u-Quarks und einem d-Quark besteht (d.h. ein uud-Baryon). Die u- und d-Quarks wurden in Tabelle 2 mit Ruhemassen kleiner als 10 MeV aufgelistet. Die Ruhemassen der Quarks tragen daher zur Masse des Protons ungefähr 20 MeV bei. Dieser Wert muss mit der gemessenen Ruhemasse des Protons von ungefähr 1000 MeV verglichen werden. Wir werden später sehen, dass die Differenz der Massen aus der Bindungsenergie der Quarks kommt. Eine ähnliche Situation findet man auch beim Neutron. Es folgt daraus, dass der grösste Teil der Masse der stabilen Materie, die wir im Universum sehen, aus der Bindungsenergie der starken Kraft zwischen Quarks kommt. Einleitung 1 1/137 10–5 10–40 Stark Elektromagnetisch Schwach Gravitation Physik Effektive Kopplung Graviton ? W±, Z Photon Gluon Eichboson unendlich <10–18 80, 90 0 unendlich <10–15 Reichweite (m) 0 0 Ruhemasse (GeV) fundamentalen Wechselwirkungen Wechselwirkung Tabelle 5. Die 10–10 10–20 10–23 23 Typische Dauer (s) In der Quantenfeldtheorie werden Teilchen durch ein “Quantenfeld” dargestellt: in Übereinstimmung mit der Quantenmechanik kann ein Teilchen Wellennatur aufweisen. Ein Teilchen kann sich daher wie ein Feld verhalten, d.h. eine Wirkung über eine endliche Distanz ausüben. Wie erklärt man die Wirkung einer Kraft über eine Distanz im Raum? In der klassischen Theorie führt man ein Feld (z.B. elektrisches oder magnetisches Feld) ein. Ein Körper erzeugt ein Feld im ganzen Raum und die anderen spüren das Feld in einem bestimmten Punkt des Raums. Wir bemerken, dass die Kräfte verschiedene Reichweite besitzen. Die Gravitation und die elektromagnetische Kraft haben unendliche Reichweite. Ihre Wirkung ist uns daher aus unserer täglichen Erfahrung bekannt. Die starken und schwachen Kräfte wirken nur, wenn die Distanz zwischen den Teilchen ziemlich klein ist: z.B. ist die Reichweite der starken Kraft ungefahr 1 fm (tatsächlich gleich dem Durchmesser eines Hadrons). Distanzen grösser als 10–18 m testen und die Quantengravitation wird deshalb nicht so bald experimentell prüfbar! Die typische Dauer der verschiedenen Wechselwirkungen sind in der Tabelle auch aufgelistet. Die Teilchen 24 Teilchenphysik II&III, WS 03/04-SS04, Prof. André Rubbia (ETHZ) Weil es keine erfolgreiche Eich-Quantenfeld-Theorie der Gravitaiton gibt und weil die Quanteneffekte der Gravitation nur bei extremen Energien erwartet werden, wissen wir heute nicht, wie man die Beschreibung der Gravitationskraft mit Hilfe eines Eichbosons (das Graviton) überprüfen könnte. Die Eichbosonen sind für die 3 Arten von Wechselwirkungen zwischen Elementarteilchen verantwortlich (stark, elektromagnetisch, schwach). In Abb. 2 sind die vier Wechselwirkungen zwischen zwei Teilchen in der Raumzeit-Darstellung gezeigt. Wir werden die Berechnung solcher Diagramme später in der Vorlesung diskutieren. In der Quantenfeldtheorie wird die Wechselwirkung zwischen zwei Teilchen durch den Austausch von einem Feldquant, das Energie und Impuls überträgt, beschrieben. Das Feldquant ist ein Teilchen und besitzt alle Eigenschaften der gewöhnlichen Materie: Ruhemasse, Spin, Lebensdauer, ... Die übertragenen Teilchen müssen Bosonen sein und werden als Eichbosonen bezeichnet. Trotzdem kann dieses Bild eine plötzliche Wechselwirkung in bestimmten Punkten der Raumzeit zwischen zwei Teilchen nicht erklären. Betrachte z.B. die Kollision zwischen zwei Teilchen. Die Energie und Impulse der Teilchen können während der Wechselwirkung geändert werden. D.h., die Teilchen werden Energie und Impuls austauschen. Obwohl die Teilchen sich “hautnah” nähern, werden sie sich nicht im selben Punkt des Raums befinden. Weil die Relativitätstheorie voraussagt, dass es nicht möglich ist, Information schneller als mit Lichtgeschwindigkeit auszubreiten, kann die Energie und der Impuls eines Teilchen nicht “direkt” zu dem anderen übertragen werden (noch einmal: die zwei Teilchen befinden sich nie im selben Punkt des Raums). Wir brauchen daher ein zusätzliches Feldquant, “ein Teilchen”, das von einem Teilchen emittiert und von den anderen absorbiert wird: Einleitung Physik 25 Die starke Kraft wird durch Gluonen übertragen. Die Gluonen sind farbig und werden zwischen Quarks ausgetauscht. Die starke Wechselwirkung zwischen Hadronen, die “farblos” sind, ist daher ein komplizierter Prozess: sie ist der resultierende Effekt der Wechselwirkungen zwischen den Quarks in den Hadronen, die nicht total abgeschirmt sind. Eine ähnliche Situation trifft man in Atomen an. Obwohl Atome elektrisch neutral sind, existiert eine resultierende Kraft von elektrischer Natur, die van der Waals Kraft, die das Resultat der Wechselwirkungen der einzelnen atomaren Elektronen und der Kerne ist. Die starke Kraft zwischen Hadronen entspricht daher keiner neuen fundamentalen Wechselwirkung. Die vier fundamentalen Kräfte, die zwischen den Teilchen wirken. Die Elementarteilchen sind als Pfeile dargestellt. Die elektromagnetische Kraft wird durch den Austausch von Photonen übertragen; die schwachen Kräfte durch W+, W– und Z0 Teilchen, die starke Kraft durch Gluonen g. Die Gravitationskraft wird vielleicht durch Gravitonen G übertragen. Figur 2. Die Teilchen 26 Symmetrie unter einer kontinuierlichen Transformation Symmetrie unter einer diskreten Transformation Symmetrie unter einer unitären (Phasen-)Transformation Teilchenphysik II&III, WS 03/04-SS04, Prof. André Rubbia (ETHZ) Eine kontinuerliche Transformation kann durch kontinuerliche (relle) Parameter beschrieben werden, und kann so nahe zur IdentitätsTransformation, wie gewünscht gebracht werden. Die Identität wird definiert als die Transformation, die das System unverändert lässt. Man kann immer auch “infinitesimale” kontinuerliche Transformationen betrachten. Die Eigenschaften und die physikalischen Folgerungen der Transformation können im Fall der infinitesimalen Transformation studiert werden, und die Resultate werden für eine Unter diesen Transformationen versteht man globale Transformationen des Systems, d.h. Transformationen, die nicht von den RaumzeitKoordinaten abhängen. 3. 2. 1. In der Tabelle 6 sind einige relevante Symmetrien, die wir in der Vorlesung diskutieren werden, aufgelistet. Wir unterscheiden: Z.B. wenn wir die Periodizität der Atome im periodischen Elementsystem analysieren, können wir sie mit der bestimmten räumlichen Anordnung der Elektronen um den Kern erklären. Diese räumliche Verteilung der Elektronen folgt aus fundamentalen Rotations-Symmetrien (z.B. von der Kugelsymmetrie). In ähnlicher Weise folgt die spezielle Relativitätstheorie aus der Invarianz der Lichtgeschwindigkeit unter bestimmten Transformationen. In der Teilchenphysik spielen die Symmetrien eine extrem wichtige Rolle. Heutzutage scheint es, als ob man die wesentlichen Symmetrien des Universums und ihre Verletzung studieren muss, um das Verhalten von Elementarteilchen und den Unterschied in ihrem Verhalten zu verstehen. 1.3 Die Symmetrien Einleitung Drehimpuls Ruhemasse Rotation Lorentz-Boost Isospin Allgemeine Ladung LadungsParität Zeitumkehr-Invarianz Unterscheidung zwischen Proton und Neutron Absolute Phase Absolutes Vorzeichen der elektrischen Ladung Absolute Richtung der Zeit Links-Rechts-Unterscheidung Absolute Geschwindigkeit Absolute Richtung Absolute Energie Absoluter Ort Nicht-beobachtbarer Parameter Physik 27 Die Phasen-Transformationen können als “interne” Symmetrie dargestellt werden. Sie wirken auf den internen Raum der Teilchen und Transformation im Nukleon-Raum y Æe y iaQ Phasen-Transformationen Ladungskonjugation Zeitumkehr Raumspiegelung Parität Energie Zeittranslation Diskrete Transformationen Impuls Raumtranslation Erhaltungsgesetz von Symmetrien Kontinuierliche Transformationen in Raumzeit Transformation Tabelle 6. Beispiele Im Gegensatz dazu sind diskrete Transformationen nicht kontinuierlich. Beispiele dafür sind Raumspiegelung, Zeitumkehr oder Ladungs-Konjugation. Eine diskrete Transformation kann nie als infinitesimal betrachtet werden. endliche Transformation auch gelten. Beispiele dafür sind Raumtranslation, Zeittranslation, Rotation oder Lorentz-Boost. Die Symmetrien 28 x Translation des Koordinatensystems d Teilchenphysik II&III, WS 03/04-SS04, Prof. André Rubbia (ETHZ) Der Gradient eines Potentials liefert die Kraft (mit negativem Vorzeichen). Der gesamte Gradient des Zweiteilchen-Systems muss verschwinden, weil das Potential nur vom Abstand abhängt, deshalb wird die zeitliche Änderung des Gesamtimpulses des Systems auch verschwinden. Wenn im Allgemeinen absolute Koordinaten in einem System nicht beobachtet werden können, und eine räumliche Translation auf das Koordinatensystem angewendet wird, folgt daraus das Gesetz der Impulserhaltung. y tand Abs Wir können trotzdem ein einfaches Beispiel dazu erwähnen. Wir betrachten ein System mit zwei Teilchen, bei dem ihr Wechselwirkungs-Potential nur vom relativen Abstand der Teilchen abhängt. Es folgt daraus, dass eine beliebige Verschiebung des Ursprungs des Koordinatensystems keinen sichtbaren physikalischen Effekt erzeugt. Zu jeder Transformation kann ein Erhaltungsgesetz und ein nichtbeobachtbarer Parameter assoziiert werden. Dieses Resultat kommt aus dem berühmten Noether-Theorem und wird in der Vorlesung später diskutiert. nicht auf die Raumzeit. Sie sind mit allgemeinen Ladungen (wie z.B. elektrische Ladung, Baryon-Zahl, Lepton-Zahl) verwandt. Einleitung Physik 29 Wir betrachten dieselben Transformationen, die wir früher als global definiert haben und wir nehmen an, dass ihre Parameter (z.B. die Phase der unitären Phasentransformation) von den Koordinaten der Man kann auch lokale Symmetrien definieren, bei denen die Wirkung von den Koordinaten der Raumzeit abhängen. Bis jetzt haben wir von globalen Transformationen gesprochen. Wir bemerken: In diesem Fall sagt man, dass die Symmetrie verletzt wird, wenn der nicht-beobachtbare Parameter unter bestimmten Umständen beobachtbar ist. Man kann z.B. den Ispospin erwähnen. Das Proton und das Neutron sehen sehr ähnlich aus. Vom Standpunkt der starken Kraft können sie nicht unterschieden werden: sie verhalten sich wie Nukleonen. D.h., dass Protonen und Neutronen dieselbe Kraft im Kern spüren. Die interne Symmetrie, die ein Proton in ein Neutron (und umgekehrt) umwandelt, entspricht einer Rotation im IsospinRaum. Für die starke Kraft ist diese Symmetrie eine gute Symmetrie. Wäre diese Symmetrie exakt, wären die Protonen und Neutronen nicht unterscheidbar: ihre Massen müssten z.B. gleich sein, usw. Im Gegensatz dazu sind ihre Masse verschieden zu 1/1000. D.h., die Isospin-Symmetrie ist nicht exakt. Zusätzlich dazu verletzt die elektromagnetische Kraft die Isospin-Symmetrie. Die elektrische Ladung unterscheidet ganz stark Neutronen (elektrisch neutral) und Protonen (elektrisch geladen). Wir werden andere Symmetrien später in der Vorlesung diskutieren, die nicht genau sind, und trotzdem sehr nützlich. Nicht alle Symmetrien sind genau erfüllt; trotzdem sind sie nützlich. Wir bemerken: In der Tabelle 6 sind die nicht-beobachtbaren Parameter und das entsprechende Erhaltungsgesetz aufgelistet. Die Symmetrien 30 Wie schon erwähnt, ist das Standardmodell eine Eich-Quantenfeld-Theorie. D.h., es basiert auf der Eichinvarianz. Das Problem ist, dass die Eichinvarianz Eichbosonen mit verschwindenden Ruhemassen erzwingt. Dies gilt für das Photon und das Gluon, aber nicht für die schwachen Eichbosonen: das W und Z-Boson. Eine Lösung dieses Problems kann mit Hilfe des sogenannten Higgs-Mechanismus gewonnen werden. Der Higgs-Mechanismus sagt die Existenz eines elementaren Spin-0 Teilchens voraus: das Higgs-Boson. Das Higgs-Boson wurde gesucht aber bis jetzt nie beobachtet. Wir werden den Higgs-Mechanismus in Kap. 23 diskutieren. Es gibt experimentelle Hinweise für eine kleine, obwohl nicht verschwindende Ruhemasse der Neutrinos. Die absolute Masse der Neutrinos ist heute nicht bekannt. Theoretisch kann das Standardmodell die Masse der (Dirac-)Neutrinos nicht erzeugen, ohne die Existenz einer neuen Art von Neutrinos (die sogenannten rechthändigen Neutrinos) zu postulieren. Im Gegensatz dazu könnten Teilchenphysik II&III, WS 03/04-SS04, Prof. André Rubbia (ETHZ) 2. 1. Die Standardmodell-Theorie ist eine sehr erfolgreiche Theorie. Sie wurde durch Experimente mit sehr grosser Genauigkeit überprüft. Trotzdem gibt es einige ungelöste Probleme mit dem Standardmodell: 1.4 Die Theorie von Allem Wir werden das in Kap. 23 weiter diskutieren. Raumzeit abhängen. Wir sagen dann, dass eine Symmetrie lokal gemacht wird. Die Bedingung der lokalen Symmetrie hat grosse Folgen für die dynamischen Eigenschaften des Systems. Es sieht so aus, als ob nur die Phasentransformationen lokal gemacht werden können. Tatsächlich ist diese Bedingung die wesentliche Annahme der EichQuantenfeld-Theorien (Eichinvarianz der Theorie). Einleitung Physik 31 Theoretisch ist die Antwort zur Frage 6 die schwierigste. Bis heute sind die Versuche, eine Quantentheorie der Gravitation zu entwikkeln, nicht erfolgreich gewesen. Eine Theorie, bei der alle diese Fragen 1 bis 6 gelöst sind, wäre die Theorie von Allem (sogenannte Theory of Everything (TOE)). Im Prinzip könnte diese Theorie alle Phänomene, die wir im Universum beobachten, im wesentlichen erklären. Siehe Abb. 3. Leider existiert diese Theorie heute nicht. Es gibt gute Hoffnungen, dass Fragen 1 bis 5 in den nächsten 20 Jahren experimentell besser verstanden und vielleicht erklärt werden können. 6. 5. 4. 3. Neutrinos sogenannten Majorana-Teilchen sein. In diesem Fall wären Neutrinos und Antineutrinos dieselben Teilchen. Die Entdeckung von Majorana Neutrinos wäre ein grosser Hinweis auf Physik jenseits des Standardmodells. Wir werden Neutrinos in Kap. 22 diskutieren. Aus was besteht die dunkle Materie, für welche es indirekte experimentelle Hinweise aus der Beobachtung des Universums gibt? Besteht sie aus einer neuen Art von Elementarteilchen, die noch nicht entdeckt wurde? Was ist die dunkle Energie? Hat die Lösung dieser Frage etwas mit der Teilchenphysik zu tun? Gilt die Standardmodell-Theorie bis zu “unendlich hoher” Energie oder gibt es “neue Physik” bei sehr hohen Energien? Es gibt mögliche Erweiterungen des Standardmodells, die auf grösseren Symmetrien als die des Standardmodells basieren (sogenannte GrandUnified-Theory (GUT)). Solche Theorien sagen oft die Existenz des Protonzerfalls voraus. Der Protonzerfall wurde gesucht, aber bis jetzt nie beobachtet. Wie kann die Gravitation in die Teilchenphysik eingeführt werden? Gibt es zusätzliche Dimensionen (zusätzlich zur 4-dimensionalen Raumzeit) ? Die Theorie von Allem 32 GÆ0 Allgemeine Relativitätstheorie hÆ0 Die Theorie von Allem. Mechanische Ingenieurwiss. Thermodynamik Statistische Mechanik N Æ• Klassische Mechanik hÆ0 Biologie Kernphysik Medizin PlanetenWissenschaft Astronomie Chemie AtomPhysik Astrophysik Kosmologie Teilchenphysik Quantenfeldtheorie (QFT) GÆ0 Teilchenphysik II&III, WS 03/04-SS04, Prof. André Rubbia (ETHZ) Figur 3. Informatik Elektrische Ingenieurwiss. Festkörperphysik Elektromagnetismus cÆ• TOE ? Nicht-relativistische Quantenmechanik Spezielle Relativitätstheorie Einleitung h = 1, 055 ¥ 10 -34 J .s und 2p c = 2, 998 ¥ 10 8 m / s c = 2, 998 ¥ 10 23 fm / s hc = 197, 33 MeV . fm ª 200 MeV . fm h = 6, 582 ¥ 10 -22 MeV .s und 2p c ∫1 Physik 33 Es ist dann nicht mehr nötig die Planksche Konstante und die Lichtgeschwindigkeit in den Gleichungen zu schreiben. Natürlich wird man am Ende der Berechnung oft die Konstanten mit Hilfe einer Analyse der Dimensionen wieder einfügen. h ∫ 1 und Die Formeln in der Teilchenphysik enthalten oft diese Konstanten. Man führt daher die natürlichen Einheiten ein. Man wählt die fundamentalen Einheiten so, dass die fundamentalen Konstanten die folgenden Werte besitzen Es gilt: h= In der Praxis sind diese Einheiten nicht geeignet, um das infinitesimal Kleine zu beschreiben. Man verwendet oft praktischere Einheiten, z.B. das MeV (=106 eV) oder das GeV (=109 eV) für die Energie und den Femtometer (1 fm=10–15 m) für die Länge. In diesem Fall erhalten wir: h= Im gewöhnlichen MKS (Meter-Kilogramm-Sekunde) EinheitenSystem ist der Meter die Einheit der Länge, das Kilogramm die Einheit der Masse und die Sekunde die Einheit der Zeit. In diesem System nehmen die zwei fundamentalen Konstanten, die PlankscheKonstante und die Lichtgeschwindigkeit, die folgenden Werte an: 1.5 Natürliche Einheiten Nat rliche Einheiten 34 r E 2 = p 2 c 2 + m 2c 4 fi r E 2 = p2 + m 2 1015 fm 1015 fm ª ª 0, 507 ¥ 1016 GeV -1 197 MeV . fm hc 1 [ L] 5, 07 ¥ 10 -3 5, 07 ¥ 10 -3 21 -1 ª -1 ª 1, 52 ¥ 10 s 1 fm (3 ¥ 1023 ) s Teilchenphysik II&III, WS 03/04-SS04, Prof. André Rubbia (ETHZ) 1 MeV ª 1 Sekunde = 2, 998 ¥ 10 8 m ª 3 ¥ 10 23 fm c 1 fm = 10 -15 m ª 5, 07 ¥ 10 -3 MeV -1 Daher ist es möglich nur eine Einheit zu verwenden. Tatsächlich gilt: [E] = In den natürlichen Einheiten gibt es eine Äquivalenz zwischen Energie und inverser Länge: Wir bemerken: 1 Meter = Wenn wir zusätzlich dazu h/2p=1 betrachten, ist die Einheit der Länge gleich: und die Einheiten der Energie, des Impulses und der Masse sind dieselben: die Einheit der Energie. Die Ruhemasse des Elektrons ist z.B. gleich me=0,511 MeV eher als MeV/c2. Weil c=1 gilt: Einleitung
