Kontrollfragen und Aufgaben zur 4. Konsultation

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Technische Universität Ilmenau
Fakultät für Mathematik und Naturwissenschaften
Institut für Mathematik
Dr. Jens Schreyer und Prof. Dr. Michael Stiebitz
Kontrollfragen und Aufgaben zur 4.
Konsultation
Termin:
Ort: Curie-Bau, Zimmer 219
Spezielle Endomorphismen euklidischer bzw. unitärer Vektorräume
• Wann heißt ein Endomorphismus f ∈ L(V, V ) eines euklidischen bzw.
unitären Vektorraumes (V, <, >) orthogonal bzw. unitär?
• Welche Eigenschaften besitzen orthogonale bzw. unitäre Endomorphismen?
• Wodurch sind die Matrizendarstellungen orthogonaler bzw. unitärer
Endomorphismen charakterisiert?
• Was läßt sich über die Diagonalisierbarkeit orthogonaler bzw. unitärer
Endomorphismen bzw. Matrizen aussagen?
• Was besagt der Hauptsatz über orthogonale Endomorphismen?
• Wann heißt ein Endomorphismus eines euklidischen/unitären Vektorraumes selbstadjungiert?
• Wodurch sind Matrizendarstellungen selbstadjungierter Endomorphismen charakterisiert?
• Ist jeder selbstadjungierte Endomorphismus eines euklidischen bzw.
unitären Vektorraumes diagonalisierbar?
• Wann heißt eine Matrix A ∈ R(n,n) positiv definit?
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• Man gebe zwei hinreichende und notwendige Bedingungen für die positive Definitheit einer symmetrischen Matrix A ∈ R(n,n) an.
Aufgabe 1:
Es sei (V, <, >) ein euklidischer Vektorraum mit dim(V ) = n < ∞ und
n ≥ 1. Weiterhin sei
f : V −→ V
eine Abbildung mit f (0V ) = 0V und d(f (x), f (y)) = d(x, y) für alle x, y ∈ V .
(Wir fordern nicht, daß f linear ist.) Man beweise folgende Aussagen:
(1) < a, a >=< f (a), f (a) > ∀a ∈ V .
(2) < f (x), f (y) >=< x, y > ∀x, y ∈ V.
(3) kf (x)k = kxk ∀x ∈ V.
(4) Ist {b1 , ..., bn } eine Orthonormalbasis von (V, <, >), so auch
{f (b1 ), ..., f (bn )}.
(5) f ist linear.
(Hinweis: Man betrachte eine Orthonormalbasis {b1 , ..., bn } und zeige,
daß aus x = α1 b1 + ... + αn bn folgt: f (x) = α1 f (b1 ) + ... + αn f (bn ).)
(6) f ist ein orthogonaler Endomorphismus von (V, <, >).
Aufgabe 2:
Es seien Γ1 = [~a1 ], Γ2 = [~a2 ] zwei Ursprungsgeraden im euklidischen Standardraum E3 = (R3 , <, >) mit
 
 
1
0



1
1 .
und ~a2 =
~a1 =
1
1
Weiterhin seien g1 : R3 → R3 die Drehung mit der Rotationsgeraden Γ1 und
dem Drehwinkel t1 = π3 und g2 : R3 → R3 die Drehung mit der Rotationsgeraden Γ2 und dem Drehwinkel t2 = 23 π. Für die Abbildung h = g1 ◦ g2
bestimme man
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(a) die Matrixdarstellung M (h) = ME (h).
(b) Man gebe eine geordnete Orthonormalbasis B = (~b1 , ~b2 , ~b3 ) derart an,
daß MB (h) eine Form entsprechend dem Hauptsatz über orthogonale
Endomorphismen (siehe Abschnitt (6.3)) hat.
(c) Man untersuche, ob h eine Drehung ist. Wenn ja, bestimme man Rotationsachse und Drehwinkel. (Hinweis: Benutzen Sie Maple)
Definition:
Es seien (V, <, >1 ) und (W, <, >2 ) zwei euklidische bzw. zwei unitäre Vektorräume. Weiterhin sei f ∈ L(V, W ) eine lineare Abbildung. Eine lineare
Abbildung g ∈ L(W, V ) heißt eine zu f adjungierte Abbildung, falls für alle
x ∈ V und alle y ∈ W gilt:
< f (x), y >2 =< x, g(y) >1 .
Aufgabe 3:
Es seien (V, <, >1 ) und (W, <, >2 ) zwei euklidische bzw. zwei unitäre Vektorräume.
(1) Zu jeder linearen Abbildung f ∈ L(V, W ) gibt es höchstens eine adjungierte Abbildung g ∈ L(W, V ). Man bezeichnet die adjungierte Abbildung von f dann mit g = f ∗ .
(2) Sei dim(V ) = n < ∞ und sei B = (b1 , . . . , bn ) eine Orthonormalbasis
von (V, <, >1 ). Weiterhin seien f ∈ L(V, W ) eine lineare Abbildung
und g : W −→ V die Abbildung mit
g(y) =
n
X
< f (bi ), y >2 bi
i=1
für alle y ∈ W . Man zeige, dass g ∈ L(W, V ) ist und g = f ∗ gilt, also
dass g die zu f adjungierte lineare Abbildung ist.
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(3) Es seien dim(V ) = n < ∞ und dim(W ) = m < ∞. Weiterhin seien B =
(b1 , . . . , bn ) eine Orthonormalbasis von (V, <, >1 ) und B 0 = (b01 , . . . , b0m )
eine Orthonormalbasis von (W, <, >2 ). Man zeige, dass dann für jede
lineare Abbildung f ∈ L(V, W ) gilt:
MB 0 ,B (f ∗ ) = (MB,B 0 (f ))∗ .
Definition:
Es sei (V, <, >) ein euklidischer/unitärer Vektorraum. Ein Endomorphismus f ∈ L(V, V ) heißt normal, falls der adjungierte Endomorphismus
f ∗ ∈ L(V, V ) existiert und mit f vertauschbar ist, d.h. f ◦ f ∗ = f ∗ ◦ f .
Aufgabe 4:
Es sei (V, <, >) ein euklidischer/unitärer Vektorraum mit dim(V ) < ∞ und
es sei f ∈ L(V, V ) ein Endomorphismus von V . Dann existiert der adjungierte Endomorphismus f ∗ ∈ L(V, V ) (siehe Aufgabe 3). Man beweise folgende
Aussagen:
(1) f ist genau dann normal, wenn für alle x, y ∈ V gilt
< f (x), f (y) >=< f ∗ (x), f ∗ (y) > .
(2) Ist f ein orthogonaler/unitärer Endomorphismus von V , so ist f normal.
(3) Ist f ein selbstadjungierter Endomorphismus von V , so ist f normal.
(4) Ist f ein normaler Endomorphismus von V , so ist Kern(f ) =
Kern(f ∗ ).
(5) (f ∗ )∗ = f .
(6) Ist f normal, so ist f ∗ normal.
(7) Ist f ein normaler Endomorphismus von V , so besitzen f und f ∗ dieselben Eigenvektoren und es gilt: Ist a ∈ V ein Eigenvektor von f zum
Eigenwert λ, so ist a ein Eigenvektor von f ∗ zum Eigenwert λ.
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Aufgabe 5: (Hauptsatz über normale Endomorphismen)
Es sei (V, <, >) ein unitärer Vektorraum mit dim(V ) < ∞ und es sei
f ∈ L(V, V ) ein Endomorphismus. Man zeige, dass dann folgende Aussagen äquivalent sind.
(1) f ist ein normaler Endomorphismus von V .
(2) (V, <, >) besitzt eine Orthonormalbasis B, die aus lauter Eigenvektoren
von f besteht.
Quadratische Gleichungen und Quadriken
• Erläutern Sie die Begriffe quadratische Form, Linearform, quadratische
Gleichung und Quadrik für euklidische Vektorräume.
• Was versteht man unter den Bewegungen eines euklidischen Vektorraumes? Welche Eigenschaften haben die Bewegungen?
• Was versteht man unter einer Hauptachsentransformation?
• Man beschreibe die Normalformen, welche bei der euklidischen bzw.
affinen Klassifikation quadratischer Gleichungen des En auftreten.
Aufgabe 6:
Für die folgenden zwei quadratischen Gleichungen im Standardraum En
(a) 17x21 + 12x1 x2 + 8x22 = 80, n = 2
(b) x21 − 3x2 + x3 = 0, n = 3.
bestimme man jeweils
(1) die euklidische Normalform,
(2) die zugehörige Transformation,
(3) sowie die zugehörigen Quadrik (Typ und Skizze).
Jordansche Normalform
• Wann heißt ein linearer Unterraum U ⊆ V eines Vektorraumes V f invariant mit f ∈ L(V, V )?
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• Wann hat eine Matrix A ∈ K (n,n) Jordansche Normalform?
• Was besagt der Satz von Jordan?
• Erläutern Sie die Vorgehensweise beim Beweis des Satzes von Jordan.
• Man erkläre die Begriffe Wurzelunterraum und Hauptraum.
• Welche Anwendungen für den Satz von Jordan kennen Sie?
Aufgabe 7:
Gegeben sei die Matrix A ∈ R(6,6) mit

7 0 0
 5 7 0

 0 0 8
A=
 0 0 1

 0 0 −2
0 0 1
0 0
0
0 0
0
1 2
2
5 −1 −1
1 6 −1
1 2
9








Man bestimme
(a) die Eigenwerte von A, und
(b) eine reguläre Matrix T ∈ R(6,6) , so daß T −1 AT Jordansche Normalform
hat.
Zusatzaufgabe: (Wurzel einer Matrix) Für die reguläre Matrix


0 1 −1
A= 1 0 1 
−1 1 0
bestimme man eine Matrix B ∈ C(3,3) mit A = B · B.