Übungsaufgaben zum Kapitel Baumdiagramme

Übungsaufgaben zum Kapitel Baumdiagramme - Bernoulli
BOS 98 S I
Im Rahmen einer statistischen Erhebung wurden 5000 repräsentative
Haushalte ausgewählt und im Hinblick auf ihre Ausstattung mit Fernsehern,
Radiorecordern sowie Homecomputern untersucht. Dabei gaben 4500
Haushalte an, einen (oder mehr) Fernseher zu besitzen, 4000 Haushalte
verfügten über einen (oder mehr) Radiorecorder, aber 3500 Haushalte besaßen
keinen Homecomputer. Genau 1200 der Haushalte konnten sowohl
Radiorecorder als auch Homecomputer aufweisen. Die daraus ermittelten
relativen Häufigkeiten werden als Wahrscheinlichkeiten interpretiert.
1.0 Für das Zufallsexperiment: "Zufällige Auswahl eines Haushalts, werden
folgende Ereignisse betrachtet:
F: “Der Haushalt besitzt einen (oder mehr) Fernseher.”
R: “Im Haushalt gibt es einen (oder mehr) Radiorecorder.”
C : “Der Haushalt besitzt keinen Homecomputer.”
1.1 Zeigen Sie, dass die Ereignisse R und C vereinbar sowie stochastisch
unabhängig sind.
Im Folgenden wird für alle drei Ereignisse F, R und C stochastische
Unabhängigkeit vorausgesetzt.
1.2 Berechnen Sie, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein Haushalt sowohl mit
Fernseher als auch mit Homecomputer ausgestattet ist.
1.3 Bestimmen Sie für einen zufällig ausgewählten Haushalt mit Hilfe eines
Baumdiagramms alle möglichen Ausstattungsvarianten in Bezug auf die drei
Gerätetypen. Ermitteln Sie für dieses Zufallsexperiment auch die
Wahrscheinlichkeiten aller denkbaren Elementarereignisse.
1.4 Berechnen Sie jeweils die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Haushalt
a) mindestens zwei der drei Gerätetypen besitzt;
b) höchstens einen der drei Gerätetypen besitzt;
c)
2
Fernseher oder Radiorecorder oder beides besitzt.
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Haushalt mit Homecomputer ausgestattet ist,
beträgt weiterhin p = 0,3. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten für folgende
Ereignisse: ( 3 führende Ziffern)
E1: "Von acht zufällig ausgewählten Haushalten besitzen nur genau die beiden
letzten Homecomputer."
E2: “Von acht zufällig ausgewählten Haushalten sind höchstens zwei der drei
zuletzt ausgewählten Haushalte mit Homecomputer ausgestattet, alle
anderen jedoch nicht.”
E3: “Von 20 zufällig ausgewählten Haushalten besitzen höchstens fünf
Haushalte Homecomputer.”
E4: “Von 50 zufällig ausgewählten Haushalten besitzen mindestens 10 und
höchstens 18 Homecomputer.”
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Übungsaufgaben zum Kapitel Baumdiagramme - Bernoulli
BOS 98 S II
Für ein Zufallsexperiment wird ein Spielbrett mit roten (R) grünen (G) und blauen (B)
Feldern verwendet (siehe Zeichnung).
Start
G
B
R
G
B
R
Ferner steht je ein roter, grüner und blauer idealer Würfel zur Verfügung.
Der rote Würfel trägt auf einer Seitenfläche die 1, auf zwei Seiten die 2 und auf drei
Seiten die 3.
Der grüne Würfel weist jede der drei Zahlen 1, 2 bzw. 3 mit gleicher Häufigkeit auf.
Beim blauen Würfel kommt die 2 auf zwei Seitenflächen, die 3 auf vier Seiten vor.
Der Ablauf eines Spiels geht folgendermaßen vor sich:
Zu Beginn wird eine Spielfigur auf das Startfeld gestellt und der rote Würfel geworfen.
Die Spielfigur wird um so viele Felder, wie die gewürfelte Augenzahl angibt,
weitergezogen. Die Farbe des Feldes, auf dem die Spielfigur nun steht, bestimmt die
Farbe des Würfels, mit dem der zweite Wurf erfolgt. Anschließend wird die Spielfigur
um die dem zweiten Wurf entsprechende Felderzahl nach rechts gezogen. Damit
endet das Spiel.
1
Zeichnen
Sie
für
das
vorliegende
Spiel
mit
Ω = { GB,GR,...,RR}
ein
Baumdiagramm. Berechnen Sie auch die Wahrscheinlichkeiten sämtlicher
Elementarereignisse.
2.0 Als Treffer wird nun gewertet, wenn die Spielfigur am Ende eines Spiels auf
einem grünen Feld steht.
2.1 Zeigen Sie: Die Trefferwahrscheinlichkeit beträgt p = 0,25.
2.3 Es werden nun folgende Ereignisse betrachtet:
E1:“ Bei 50-maliger Durchführung des Spiels werden mindestens 10 Treffer
erzielt."
E2: “Bei 50-maliger Durchführung des Spiels werden bei weniger als einem
Viertel der Spiele Treffer erzielt."
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse E1 und E2. Untersuchen
Sie auch, ob die beiden Ereignisse stochastisch unabhängig sind.
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Übungsaufgaben zum Kapitel Baumdiagramme - Bernoulli
BOS 99 S I
Eine Urne enthält sechs rote und vier weiße Kugeln, die sich nur durch ihre Farbe
unterscheiden. Außerhalb der Urne stehen noch genügend viele rote und weiße
Kugeln als zusätzlicher Kugelvorrat zur Verfügung.
Ein Zufallsexperiment besteht darin, dass nacheinander drei Kugeln zufällig aus der
Urne gezogen werden, wobei nach jeder entnommenen Kugel eine andersfarbige
Kugel aus dem Kugelvorrat wieder in die Urne gelegt wird.
1
Zeichnen Sie zu dem beschriebenen Zufallsexperiment ein Baumdiagramm
und berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten aller Elementarereignisse.
(Teilergebnis: P({RRR}) = 0,120; P({WWW}) = 0,024)
2.0
Es werden nun folgende Ereignisse betrachtet:
A: „Es werden ausschließlich gleichfarbige Kugeln gezogen.“
B: „Unter den drei gezogenen Kugeln befinden sich mindestens zwei rote
Kugeln.“
2.1
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten P(A) und P(B). Untersuchen Sie
auch, ob die Ereignisse A und B stochastisch unabhängig sind.
2.2
Drücken Sie das Ereignis A ∩ B möglichst einfach mit Worten aus und
berechnen Sie dessen Wahrscheinlichkeit.
2.3
Nun wird das Zufallsexperiment unter stets gleichen Anfangsbedingungen
zehnmal durchgeführt. Berechnen Sie jeweils die Wahrscheinlichkeit, dass
das Ereignis A
a) genau dreimal,
b) nur bei den ersten drei Malen,
c) höchstens einmal eintritt.
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Übungsaufgaben zum Kapitel Baumdiagramme - Bernoulli
BOS 99 S II – Aufgabe 2. geändert
1.0
In einem Kindergarten trinkt jedes der Kinder in der Frühstückspause genau
eines der Getränke Kakao, Erdbeermilch bzw. Vanillemilch jeweils mit der
Wahrscheinlichkeit P({K}) = 0,6 , P({E}) = 0,25 bzw. P({V}) = 0,15 . Nehmen
Sie an, dass diese Wahrscheinlichkeiten konstant sind und dass die
Entscheidungen für jedes der drei Getränke jeweils unabhängig erfolgen.
1.1
Veranschaulichen Sie das Wahlverhalten eines zufällig ausgewählten Kindes
an zwei aufeinanderfolgenden Tagen in einem Baumdiagramm. Ermitteln Sie
auch die Wahrscheinlichkeiten sämtlicher Elementarereignisse.
1.2
Berechnen Sie jeweils, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein zufällig
ausgewähltes Kind an fünf aufeinanderfolgenden Tagen
a) stets Kakao,
b) viermal Kakao und einmal Erdbeermilch,
c) niemals Vanillemilch wählt.
2.0
Nun wird eine Gruppe von 20 Kindern zufällig ausgewählt.
2.1
Ermitteln Sie, mit welcher Wahrscheinlichkeit
a) mindestens zwei der 20 Kinder Vanillemilch wählen.
b) höchstens zwei der 20 Kinder Vanillemilch wählen.
c) zwischen drei und sieben (jeweils ausschließlich) der 20 Kinder Vanillemilch
wählen.
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Übungsaufgaben zum Kapitel Baumdiagramme - Bernoulli
Lösungen BOS 98 S I
1.1
R
R
C
0,24
0,06
0,30
C
0,56
0,14
0,70
0,80
0,20
1
C
1200
300
1500
R
R
C
2800
1700
3500
4000
1000
5000
R ∩ C ≠ {} ⇒ vereinbar
P(R) ⋅ P(C) = 0,8⋅ 0,3 = 0,24 = P(R ∩ C) ⇒ unabhängig
1.2
P(F) = 0,9 ; P(C) = 0,3 ⇒ P(F ∩ C) = 0,27;
0,27⋅ 5000 = 1350 Haushalte
1.3
0,1
0,9
F
F
M
0,8
R
C
C
ωi
P(ωi)
FRC
0,216
R
R
0,7 0,3
0,3
FR C
0,504
C
FR C
0,054
0,2
0,8
0,2
R
0,7 0,3
0,7
0,3
C
C
C
C
F R C F RC
0,126 0,024
F RC
0,056
F RC
0,006
0,7
C
F R C
0,014
1.4
a) P(Ea) = 0,216 + 0,504 + 0,054 + 0,024 = 0,798
b) P(Eb) = 1 – P(Ea) = 0,202
c) P(Ec) = 1 – ( 0,006 + 0,14 ) = 0,98
2.1
C C C C C C CC P(E1)= 0,76 ⋅ 0,32 = 0,010588
C C C C C xxx: P(E2)= 3 ⋅ 0,76 ⋅ 0,32 + 3 ⋅ 0,77 ⋅ 0,31 + 0,78 = 0,163532
5
P(E3)=
∑ B ( 20 ;0 ,3; i )
= 0,41637
(S. 16 – bzw S. 17)
i=0
18
P(E4)=
∑
i=0
9
B ( 50 ;0 ,3; i ) –
∑
B ( 50 ; 0 , 3 ; i ) = 0,85944 – 0,04023 = 0,81921
i=0
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Übungsaufgaben zum Kapitel Baumdiagramme - Bernoulli
Lösungen BOS 98 S II
1.
Wahrscheinlichkeiten in Sechstel !
1
G
2
3
2
R
B
2
2
2
4
1
3
2
G
B
R
G
B
G
B
R
ωi GG
GB
GR
BG
BB
RG
RB
RR
2
2
4
8
3
6
9
P(ωi)
2
in Sechsunddreissigstel
2.1 GG: 2; BG: 4; RG: 3 , also : p =
9
; p = 0,25
36
9
2.3 P( IE1 ) = 1 –
∑
B ( 50 ; 0 , 25 ; i ) = 1 – 0,16368 = 0,83632
i=0
12
P( IE2 ) =
∑
B ( 50 ; 0 , 25 ; i ) = 0,51099
i=0
IE1 ∩ IE2 = { 10; 11; 12 }
P ( IE1 ∩ IE2 ) =
12
∑
i=0
9
B ( 50 ; 0 , 25 ; i ) –
∑
B ( 50 ; 0 , 25 ; i ) = 0,51099 – 0,16368
i=0
P ( IE1 ∩ IE2 ) = 0,34631 ;
P ( IE1 ) ⋅ P(IE2 ) = 0,83632 ⋅ 0,51099 = 0,42735
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⇒ stoch. abhängig
Übungsaufgaben zum Kapitel Baumdiagramme - Bernoulli
Lösungen BOS 99 S I
1.
6R 4W
0,4
0,6
R
5 5
W
7 3
0,4
R
ωi
RRR
P(ωi)
0,120
A
X
B
X
R
6 4
W
6 4
R
4 6
0,6 0,6
W
R
RRW RWR
0,180
0,180
0,3
0,7
0,5
0,5
0,4 0,6
W
R
W
8 2
0,4
0,8
0,2
W
R
W
RWW WRR
WRW WWR
WWW
0,120 0,168
0,112
0,024
0,096
X
X
X
X
2.1 P(A) = 0,120 + 0,024 = 0,144
P(B) = 0,120 + 0,180 + 0,180 + 0,168 = 0,648
A ∩ B = {RRR}; P (A ∩ B ) = 0,120 ; P(A) ⋅ P(B) = 0,0933 ⇒ abhängig
2.2 Genau eine rote Kugel; P (IE) = 0,120 + 0,112 + 0,096 = 0,328
2.3 q := P(A) = 0,144 ; p = 0,856
10 
a) P ( IEa) =   ⋅ 0,144 3 ⋅ 0,856 7 = 0,120666
3 
b) P ( IEb ) = 0,144 3 ⋅ 0,856 7 = 0,00100555
10 
10 
c) P ( IEc) =   ⋅ 0,144 0 ⋅ 0,85610 +   ⋅ 0,1441 ⋅ 0,856 9 = 0,56655
0 
1 
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Übungsaufgaben zum Kapitel Baumdiagramme - Bernoulli
Lösungen BOS 99 S II
1.1
0,6
K
0,6
ωi
P(ωi)
0,25
0,15
0,25
V
E
0,6
0,15
0,25
0,6
0,15
0,25
0,15
K
E
V
K
E
V
K
E
V
KK
KE
KV
EK
EE
EV
VK
VE
VV
0,36
0,15
0,09
0,15
0,0625
0,09
0,0375
0,0225
0,0375
5
1.2 P ( IEa ) = 0,6 = 0,07776
P ( IEb ) = 5 ⋅ 0,64 ⋅ 0,25= 0,162 (5 wegen E am 1. Tag, 2. Tag, ....)
P ( IEc ) = 0,855 = 0,4437
1
2.1 P ( IE ) = 1 –
∑
B ( 20 ; 0 ,15 ; i ) = ( S 12 ) = 1 – 0,17556 = 0,82444
i=0
2
P ( IE ) =
∑
B ( 20 ; 0 ,15 ; i ) =0,40490
i=0
6
P ( IE ) =
∑
i=0
3
B ( 20 ; 0 ,15 ; i ) –
∑
B ( 20 ; 0 ,15 ; i ) =
i=0
= 0,97806 – 0,64773 = 0,33033
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