Die Bohmsche Mechanik des Kleinschen Paradoxons

Die Bohmsche Mechanik
des Kleinschen Paradoxons
Diplomarbeit
zur Erlangung des Magistergrades
an der
Naturwissenschaftlichen Fakultät
der
Leopold-Franzens-Universität Innsbruck
vorgelegt von
Raimund Moser
eingereicht bei
Gebhard Grübl
Innsbruck, im März 2000
ii
Inhaltsverzeichnis
Einleitung
v
1 Die
1.1
1.2
1.3
1
1
2
3
8
Diracgleichung in zwei Dimensionen
Definition einer Minkowskiraumzeit . . . . . . . . . . . .
Poincarégruppe und Gammamatrizen . . . . . . . . . . .
Die Diracgleichung in zwei Dimensionen . . . . . . . . .
1.3.1 Ebene Wellenlösungen der freien Diracgleichung .
1.3.2 Die Lorentzkovarianz der Diracgleichung und des
vektorfeldes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3 Raumzeitliche Lokalisierung freier Wellenpakete .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
Stromdichte. . . . . . . .
. . . . . . . .
11
14
2 Bohmsche Mechanik zur 2D Diracgleichung
2.1 Das Bohmsche Vektorfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Transport von |ψ|2 entlang der Integralkurven zu vψ . . . . . . . . . . .
17
18
19
3 Numerik zur freien Lösung
3.1 Ein freies Wellenpaket . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Ein freies Positivenergiepaket . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Ein freies Negativenergiepaket . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Überlagerung von Positiv– und Negativenergiemodenlösungen
25
25
26
33
34
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.
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.
.
4 Numerik zum Kleinschen Paradoxon
4.1 Das Kleinsche Paradoxon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Numerik zur Potentialstufe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Beispiel 1: Relativistische Potentialstufe nach Bjorken & Drell .
4.2.2 Beispiel 2: Relativistische Potentialstufe mit “richtiger“ Asymptotik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.3 Beispiel 3: “Nicht–Kleinscher“ Fall . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Numerik zum Potentialwall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.1 Beispiel 1: “Nicht–Kleinscher“ Fall . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.2 Beispiel 2: Kleinscher Fall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iii
39
39
44
44
51
52
57
57
58
iv
INHALTSVERZEICHNIS
5 Anhang
63
Anhang:Programmlistings zur numerischen Berechnung der Bohmschen
Trajektorien
5.1 numlp.m: Freies Positiv–Energiepaket . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 numln.m: Freies Negativenergiepaket . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 numl pn.m: Freies Positiv– und Negativenergiepaket . . . . . . . . . . .
5.3.1 Einige wichtige Unterroutinen zu numlpn.m . . . . . . . . . . .
5.4 kleinbf.m: Das Kleinsche Paradoxon nach Bjorken & Drell . . . . . . .
5.4.1 Unterroutinen zu kleinbf.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5 kleinb.m: Das Kleinsche Paradoxon mit “richtiger Asymptotik“ . . . . .
5.6 kleinab.m: Nicht–Kleinscher Fall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.7 kleinabw.m: Potentialwall der Breite d, Nicht–Kleinscher Fall . . . . . .
5.7.1 Unterroutinen zu kleinabw.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.8 kleinbw.m: Potentialwall der Breite d, Kleinscher Fall . . . . . . . . . .
63
63
64
65
67
68
71
72
73
75
78
80
Literaturverzeichnis
83
Lebenslauf
85
Widmung, Danksagung und Abrechnung
87
Einleitung
“Excuse me, is this the Mechanic’ s Institute please?“ asked Alice, mostly for the sake of making conversation. She knew from the notice outside
that it must be. “Yes my dear girl“, said the taller and more impressive
looking of the two.“ I myself am a Classical Mechanic from ClassicWorld
and I am visiting my collegue here, who is a Quantum Mechanic. Whatever
your problem is, I am sure that between us we will be able to assist you, if
you would just wait a moment while we finih our shots“. Both man turned
back to the billiard table. The Classical Mechanic took careful aim, clearly
judging all the angles involved to within a tiny fraction of a degree. At
last, he very deliberately played his shot. The ball bounced to and fro in
a remarkable series of ricochets, ending in a collision with the red ball and
knocking it squarely into the centre of a hole.“ There you are“, he exclaimed with satisfaction as he retrieved the ball from the pocket,“ That is the
way to do it, you know; careful and exact observation followed by precise
action. If you do things that way you can produce any result you choose.“
His companion did not respond, but took his place at the table and made
a vague stab with his billiard queue. After her previous recent experiencies
Alice was not really surprised to discover that the ball shot off in every
direction at once, so that there was no part of the table where she could
say definitely that the ball had not gone, though equally she could in no
way say where it actually was. After a moment the player went over and
peered into one of the pockets, then he also reached in and drew out a red
ball. “ If you do not mind my saying so“, said Alice,“ you do seem to play
the game very differently.“ “Quite so“, replied the Classical Mechanic.“ I
hate the way he plays his shots like that. I like everything to be done very
carefully and precisely and to be planned in every detail in advance . . . with
cause following effect in a sensible fashion and predictable.“
Diese kurze Allegorie ist entnommen aus “ Alice In Quantum Land – an allegory of
Quantum Physics“ von Robert Gilmore (Sigma Press, 1994); sie umreißt auf plakative
Weise den grundlegenden Unterschied zwischen Klassischer und Quantenphysik:
Determinismus in der Klassischen Welt bzw. Indeterminismus in der Quantenwelt.
v
vi
INHALTSVERZEICHNIS
Dabei hat David Bohm, vormals selbst ein überzeugter Anhänger der Wahrscheinlichkeitsinterpretation der Quantenmechanik, schon Anfang der fünfziger Jahre mit
seinen zwei Artikeln “A suggested interpretation of the Quantum Theory in terms of
“hidden“ variables“ in Phys.Rev. A [Boh] ein mögliches deterministisches Weltbild
auch für die Mikrowelt vorgestellt. Grundlegendes Konzept in seiner Arbeit ist die
Idee der Führungswelle: Das ψ–Feld wird als physikalisches Feld, ähnlich etwa dem
Maxwellfeld, gesehen, von dem materielle Teilchen geführt werden.
Ähnliche Gedanken hatten vorher schon L. de Broglie [Bro] und N. Rosen [Ros].
Aus der Lösung der Schrödinger– bzw. Diracgleichung wird ein Geschwindigkeitsvektorfeld konstruiert, dessen Integralkurven als die möglichen Trajektorien des Teilchens
interpretiert werden. Damit holt man den Determinismus in die Quantenmechanik
zurück, muß aber das Prinzip der Lokalität aufgeben. Auch gelingt es der Bohmschen
Quantenmechanik – entgegen manchen Behauptungen, siehe etwa [Rim], [Hil] – nicht,
das sogenannte Meßproblem der Quantenmechanik zufriedenstellend zu lösen: Das
Postulat der Reduktion der Wellenfunktion ist hier wie in der Wahrscheinlichkeitsinterpretation unumgänglich.
Dennoch glauben wir, daß die Bohmsche Quantenmechanik nicht nur wegen ihrer
interessanten philosophischen Konsequenzen ihre Berechtigung neben der Standardquantenmechanik hat: Das Konzept der Teilchentrajektorie erlaubt es, das Verhalten
quantenmechanischer Systeme anschaulich darzustellen und gewisse Probleme, etwa
chaotische Systeme (Quantum chaos, [Pol]), neu zu formulieren. Auch wenn manche
Autoren behaupten [Ze], eine Theorie, die auf der Annahme “Verborgener Parameter“
und somit auf einer bis heute uns nicht zugänglichen, also meßbaren Annahme beruht,
sei sinnlos und pure Zeitverschwendung, so kann man dasselbe mit den Worten D.
Bohms auch für die übliche Wahrscheinlichkeitsinterpretation behaupten [Ja]:
“. . . the usual interpretation of quantum theory . . . involves an assumption
that cannot be tested experimentally, viz., that the most complete possible
description of an individual system is in terms of a wave function that
determines only probable results of actual measurement processes.“
Die Auseinandersetzungen zwischen Mach und Boltzmann lehren uns, daß derartige, meist rational nicht begründbare Aussagen der physikalischen Forschung nicht
dienlich sind.
In der vorliegenden Arbeit werden wir in Kapitel 1 und 2 kurz die Grundlagen
der Bohmschen Mechanik zur Diracgleichung in zwei Dimensionen mathematisch
formulieren; dabei wird vor allem auf eine geometrische Darstellung des sog.
“ äquivarianten Wahrscheinlichkeitstransportes“ geachtet.
Kapitel 3 befaßt sich mit der numerischen Berechnung der Bohmschen Trajektorien
zu freien Lösungen (freie Wellenpakete) der Diracgleichung mithilfe der Programmier-
EINLEITUNG
vii
sprache Matlab 5.2.0.3084.
In Kapitel 4 behandeln wir schließlich das “Kleinsche Paradoxon“ anhand der Potentialstufe und des Potentialwalles für relativistische Wellenpakete: Wir berechnen die
Bohmschen Trajektorien und die zeitliche Evolution der Wellenpakete für verschieden
gewählte Anfangsenergien des Elektrons. Dabei werden wir zeigen, daß das Paradoxe
am “Kleinschen Paradoxon“, wie es etwa in [BD] dargestellt wird, Folge einer falschen
Asymptotik der Wellenpakete und bei richtiger Wahl der Anfangsbedingungen leicht
erklärbar ist. Im Anhang findet sich das Programmlisting der für die numerische
Berechnung der Bohmschen Trajektorien geschriebenen Matlab Programme.
viii
INHALTSVERZEICHNIS
Kapitel 1
Die Diracgleichung in zwei
Dimensionen
Um sinnvollerweise von der Diracgleichung sprechen zu können, muß man sich vorher Klarheit über die Raum–Zeit–Struktur, auf deren Bühne sie gewissermaßen spielt,
verschaffen. Die Diracgleichung ist in dem Sinne die Einstein–relativistische Verallgemeinerung der Schrödingergleichung, als daß sie der relativistischen Energie–Impuls–
Beziehung genüge leistet. Im folgenden werden wir deshalb kurz einige mathematische
Begriffe zur Minkowski Raumzeit auflisten.
1.1
Definition einer Minkowskiraumzeit
Dieses Kapitel formuliert die Begriffe Minkowskiraumzeit, Poincaré Gruppe und Gammamatrizen.
Nota:
Wir werden im folgenden immer zwecks Einsparung von Schreibarbeit die Einsteinsche Summenkonvention benützen, das heißt, über doppelt vorkommende Indices in
mathematischen Ausdrücken wird automatisch summiert.
Definition 1.1 (Minkowskiraumzeit) Der Datensatz (M,< , >,Ω) heißt Minkowskiraumzeit, wenn folgendes gilt:
(i) M ist der R2 als Vektorrraum mit Standardbasis
e = (e0 , e1 )
und dazugehöriger dualer Basis von M∗
E = (E 0 , E 1 )
.
1
2
KAPITEL 1. DIE DIRACGLEICHUNG IN ZWEI DIMENSIONEN
(ii) Die alternierende Bilinearform
Ω = E 0 ∧ E 1 : M × M −→ R
gibt die Orientierung von Basen f von M an:
f = (f1 , f2 ) heißt positiv orientiert, wenn gilt: Ω(f1 , f2 ) > 0.
(iii) < , > ist eine symmetrische, nicht ausgeartete Bilinearform, die wie folgt definiert ist:
< x, y >= x0 y 0 − x1 y 1
∀x = xi ei , y = y i ei ∈ M
η bezeichne die zur Basis e gehörige metrische Matrix von < , >, es gilt also:
1 0
η=
0 −1
Die Signatur von η ist sign(η) = (1, −1).
1.2
Poincarégruppe und Gammamatrizen
In 4 Dimensionen ist für die Lorentzkovarianz der Diracgleichung die Tatsache wesentlich, daß es auf dem betrachteten Hilbertraum H eine Darstellung der Überlagerungsgruppe der Poincarégruppe gibt. Siehe etwa Kapitel 2 und 3 von [Thall]. In unserem
2–dimensionalen Fall ist die Lorentzgruppe jedoch isomorph zu (R, +) und besitzt
folglich, wie man leicht nachrechnet, eine Darstellung auf dem von uns betrachteten
Lösungsraum der Diracgleichung. Siehe Satz 1.3 auf Seite 12.
Definition 1.2 (Eigentliche Lorentzgruppe) SO+ (1, 1) heißt eigentliche1 , zweidimensionale Lorentzgruppe, wenn gilt:
SO+ (1, 1) = {λ ∈ Gl(R2 ), < λ(x), λ(y) >=< x, y > ∀x, y ∈ R2 ,
det λ = 1 und < e0 , λ(e0 ) >≥ 1}
(1.1)
Es gilt: jedes λ ∈ SO+ (1, 1) hat die Form
cosh(χ) sinh(χ)
M (λ, e) =
sinh(χ) cosh(χ)
mit χ ∈ R. Die SO+ (1, 1) mit Matrizenmultiplikation ist also isomorph zu (R, +). Die
natürliche Linksoperation der SO+ (1, 1) auf dem R2 ist die Matrizenmultiplikation von
links und wird hier mit x 7→ λx bezeichnet.
1
Mit dem Begriff eigentlich ist hier die Zusammenhangskomponente der 1 von O(1, 1) gemeint.
1.3. DIE DIRACGLEICHUNG IN ZWEI DIMENSIONEN
3
Bemerkung: Die eigentliche Lorentzgruppe ist eine Untergruppe von O(1, 1), der
Isometriegruppe von M zum inneren Produkt < , >.
Definition 1.3 (Eigentliche zweidimensionale Poincarégruppe)
Π = (λ, a) : M −→ M mit
Π(x) = λ(x) + a
∀x ∈ M
a ∈ R2 , λ ∈ SO+ (1, 1)
heißt eigentliche, zweidimensionale Poincaréabbildung. Die Menge aller solchen Abbildungen bildet die Gruppe P+ (1, 1), genannt eigentliche Poincarégruppe. Die Gruppenmultiplikation lautet:
π = (λ, a), π 0 = (λ0 , a0 ) ∈ P+ (1, 1)
π · π 0 = (λ0 λ, λ0 a + a0 ) ∈ P+ (1, 1)
P+ (1, 1) ist das semidirekte Produkt von SO+ (1, 1) mit (R2 , +).
Definition 1.4 (Gammamatrizen) Sei {γ µ }1µ=0 ein Erzeugendensystem der Cliffordalgebra über M zur symmetrischen, nicht ausgearteten Bilinearform < , >. Es gilt:
γ µ γ ν + γ ν γ µ = 2η µν × 12
Man kann zeigen, daß es bis auf Ähnlichkeit genau eine irreduzible Darstellung dieser
Algebra als komplexe 2 × 2 Matrizen gibt [Fel]. In dieser Arbeit werden wir immer
folgende Matrizendarstellung benutzen:
0 1
0 −1
1 0
0
1
1
2
2
0 1
3
γ := σ =
γ := (−i)σ =
γ := γ γ = σ =
1 0
1 0
0 −1
{1, γ 0 , γ 1 , γ 2 } bilden eine Basis von M2 (C). Man rechnet leicht nach:
(γ 0 )2 = −(γ 1 )2 = 1, γ 0 γ 1 + γ 1 γ 0 = 0
1.3
Die Diracgleichung in zwei Dimensionen
Im hier dargestellten mathematischen Rahmen ist die Diracgleichung ein System zweier
gekoppelter partieller Differentialgleichungen für zwei C–wertige Funktionen auf dem
R2 . Ihre Lösungen charakterisieren in Analogie zur Schrödingertheorie bis auf einen
physikalisch irrelevanten Phasenfaktor den Zustand eines Elektrons2 eindeutig.
2
Mit Elektron sei hier die Sorte von Teilchen bezeichnet, welche mit der Diracgleichung beschrieben
werden.
4
KAPITEL 1. DIE DIRACGLEICHUNG IN ZWEI DIMENSIONEN
Bemerkungen
• Da wir uns hier in einer Raumdimension bewegen, bleibt natürlich der Spin des
Elektrons unberücksichtigt. Dies hat zur Folge, daß in dieser Arbeit Spinphänomene nicht untersucht werden; die Bohmsche Mechanik zur vierdimensionalen
Diracgleichung unterscheidet sich jedoch prinzipiell überhaupt nicht von der zur
zweidimensionalen, siehe etwa [Holl]. Der einzige Grund uns hier auf zwei Dimensionen zu beschränken liegt in der Vereinfachung der numerischen Berechnung von
Wellenpaketen.
• Von nun an werden ~ und c meist gleich 1 gesetzt. Bei der graphischen Darstellung
der Ergebnisse werden dem entsprechende Längen– bzw. Zeiteinheiten gewählt.
Definition 1.5 (Diracgleichung in zwei Dimensionen) Sei
ψ ∈ C 1 (R2 : C2 )
Dann ist ψ Lösung der Diracgleichung, genau dann, wenn:
(iγ µ ∂µ − κ)ψ(t, x) = 0
mit κ :=
mc
~
(1.2)
und t = x0 . In hamiltonscher Schreibweise:
i∂t ψ(t, x) = (hψ)(t, x)
mit
0 1
0
h := −iγ γ ∂1 + γ κ =
−i∂1 κ
κ
i∂1
(1.3)
Komponentenweise läßt sich Gleichung 1.2 schreiben als:
(∂0 + ∂1 )ψ 1 (t, x) = −iκψ 2 (t, x)
(∂0 − ∂1 )ψ 2 (t, x) = −iκψ 1 (t, x)
(1.4)
(1.5)
Anmerkungen:
Wir wählen als Hilbertraum H = L2 (R) ⊗ C2 ∼
= L2 (R) ⊕ L2 (R). Der freie Dirac–
Hamilton–Operator h ist selbstadjungiert auf einem dichten Unterraum von H (siehe
[Thall], chapter 1). Das Skalarprodukt von H ist gegeben durch:
(ψ, φ) :=
2 Z
X
i=1
i ∗
i
dx (ψ ) (x)φ (x) =:
R
Z
R
Dies induziert die Norm eines Vektors aus H:
kψk2 := (ψ, ψ)
dx ψ † (x)φ(x) ∀ψ, φ ∈ H
(1.6)
1.3. DIE DIRACGLEICHUNG IN ZWEI DIMENSIONEN
5
Ein reiner Zustand eines quantenmechanischen Systems zur Zeit t0 ist gegeben
durch einen Vektor ψ(t0 , ·) ∈ H mit kψ(t0 )k = 1. Die unitäre Zeitevolution des
Systems wird wie bei der Schrödingergleichung durch eine Kurve in H beschrieben:
ψ : R −→ H
t 7−→ ψ(t) := e(−ih(t−t0 )) ψ(t0 )
⇒ kψ(t)k = kψ(t0 )k ∀t, t0 ∈ R
Die Diracgleichung 1.2 impliziert durch zweimalige Anwendung auf eine Lösungskurve ψ(t) folgende Gleichung:
(i∂t )2 ψ = (mc)2 + (−i∂1 )2 ψ
(1.7)
Dies ist mit der Identifikation von −i∂1 als Impulsoperator die quantenmechanische
2
Übersetzung der relativistischen Energie–Impuls–Beziehung Ec2 = (mc)2 + p2 .
Die Menge der von uns betrachteten Lösungen der Diracgleichung 1.2 werden wir im
weiteren mit L(D) bezeichnen:
L(D) := {ψ ∈ C 1 (R2 : C2 ), ψ(t = 0, ·) ∈ S(R : C2 )}
Die zweite Bedingung, daß ψ zur Zeit t = 0 im Schwarzraum S(R : C2 ) liegt, bedeutet,
daß lim|x|→∞ |x|n ψ(t = 0, x) = 0, ∀n ∈ N und ψ(t = 0, ·) ∈ C ∞ (R : C2 ). Der Schwarzraum wird durch Fouriertransformation stabilisiert. Die Einschränkung der Lösungen
der Diracgleichung auf L(D) erlaubt es uns, das Diracsche Stromvektorfeld und dazugehörige integrale Erhaltungssätze einfacher zu formulieren.
Komplexe Konjugation und Transposition der Diracgleichung führen zur adjungierten Diracgleichung; diese werden wir später benützen, um die Divergenzfreiheit des
Diracstromes zu zeigen.
(iγ µ ∂µ − κ) ψ
∂µ ψ † −i(γ µ )† − κ
mit γ 0 γ 0
∂µ ψ † (−iγ 0 γ 0 (γ µ )† γ 0 − κγ 0 )
† 0
ψ̄ := ψ γ
=
=
=
=
0 =⇒
0
12 folgt
0
1
2
= (ψ̄ , ψ̄ ) ×
ψ̄ heißt adjungierter Diracspinor. Somit gilt:
∂µ ψ̄ (−iγ 0 (γ µ )† γ 0 − κγ 0 ) = 0
Da
0
µ † 0
γ (γ ) γ
folgt schließlich:
= γ0 : µ = 0
= γ1 : µ = 1
0 1
1 0
= (ψ̄ 2 , ψ̄ 1 )
6
KAPITEL 1. DIE DIRACGLEICHUNG IN ZWEI DIMENSIONEN
Definition 1.6 (Adjungierte Diracgleichung)
∂µ ψ̄ (iγ µ + κ) = 0
(1.8)
Definition 1.7 (Dirac-Strom) Sei ψ ∈ L(D) Lösung der Diracgleichung, dann heißt
j : L(D) −→ X(M)
ψ
7−→ jψ = jψµ eµ := ψ̄γ µ ψeµ
(1.9)
Diracsches Stromdichtevektorfeld auf M zu ψ ∈ L(D). Es gilt:
div(jψ ) = (∂t jψ0 + ∂1 jψ1 )(t, x) = 0
(1.10)
Beweis:
i∂µ (ψ̄γ µ ψ)(t, x) = i(∂µ ψ̄(t, x))γ µ ψ(t, x) + ψ̄(t, x)iγ µ ∂µ ψ(t, x) =
= −κ(ψ̄ψ)(t, x) + κ(ψ̄ψ)(t, x) = 0
Man rechnet leicht nach, daß ferner gilt:
• jψ0 ≥ 0 und kann daher als Wahrscheinlichkeitsdichte interpretiert werden; es ist
dies die Wahrscheinlichkeitsdichte zum Multiplikationsoperator.
• Die Abbildung j : ψ 7−→ jψ ist lorentzäquivariant (siehe 1.3.2).
• jψ ist ein nicht raumartiges Vektorfeld auf M, d.h. < jψ , jψ >≥ 0. Es ist nämlich:
jψ0 (t, x) = (ψ † ψ)(t, x) = |ψ 1 |2 (t, x) + |ψ 2 |2 (t, x) ≥ 0
jψ1 (t, x) = (ψ † σ 3 ψ)(t, x) = |ψ 1 |2 (t, x) − |ψ 2 |2 (t, x)
⇒ < jψ , jψ > (t, x) = 4|ψ 1 ψ 2 |2 (t, x) ≥ 0
jψ ist genau dort lichtartig, wo zumindenst eine der beiden Komponenten von ψ
gleich 0 ist, wo also ψ 1 ψ 2 = 0 gilt.
Folgerung 1.1 (Integrale Erhaltung des Diracstromes) Sei ψ ∈ L(D) Lösung
der Diracgleichung, dann gilt:
Z
Z
†
∂t (ψ(t, ·), ψ(t, ·)) = ∂t
dx ψ (t, x)ψ(t, x) = ∂t
dx ψ̄(t, x)γ 0 ψ(t, x)
R
Z R
dx ∂t jψ0 (t, x) =
=
RZ
= −
dx ∂1 jψ1 (t, x) =
R
= lim jψ1 (t, −x) − jψ1 (t, x) = 0
(1.11)
x→∞
1.3. DIE DIRACGLEICHUNG IN ZWEI DIMENSIONEN
7
Bemerkung:
Ableitung nach der Zeit t und Integration sind vertauschbar, weil ψ als Lösung der
Diracgleichung in der Variablen t stetig partiell differenzierbar ist; Gleichung 1.11 gilt
wegen der Bedingung, daß ψ ∈ S(R : C2 ). Es ist also dtd ||ψ(t, ·)|| = 0. Dies impliziert
die unitäre zeitliche Evolution von ψ in H und motiviert die anschauliche Bedeutung
von jψ als Wahrscheinlichkeitsstrom analog zur Galilei–relativistischen Theorie.
Quantenmechanische Interpretation:
Da die Diracgleichung einen Wahrscheinlichkeitsstrom mit positiver Nullkomponente
liefert, legt es die Analogie zur Schrödingertheorie nahe, die Wahrscheinlichkeit, ein
Elektron im Raumgebiet ∆ ⊆ R nachzuweisen, folgendermaßen zu berechnen:
Z
Z
0
Wψ (∆ ⊆ R) :=
dxjψ (t, x) =
dx(|ψ 1 |2 (t, x) + |ψ 2 |2 (t, x))
∆
∆
Man beachte aber, daß die Nullkomponente des Diracstromes die Wahrscheinlichkeitsdichte (Spektralmaß) zum Multiplikationsoperator ist; dieser ist jedoch keine Observable der Theorie, da er den Positiv– bzw. Negativenergieeigenraum von H nicht stabilisiert 3 .
Insofern erscheint es physikalisch nicht gerechtfertigt, (ψ̄γ 0 ψ)(t, x) als Ortsaufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte zu interpretieren. Als Alternative könnte man versuchen
eine Bohmsche Mechanik zum Spektralmaß des Newton–Wigner–Operators zu konstruieren; dieser verletzt jedoch die Einstein–Kausalität, siehe etwa [Thall], chapter 1. Wir
werden im weiteren j 0 als Ortsaufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte aktzeptieren, vor
allem auch deshalb, weil die Bohmschen Trajektorien zu Lösungen der Diracgleichung
diese Wahrscheinlichkeitsdichte “äquivariant“ 4 transportieren.
Ein zeitartiges, divergenzfreies Wahrscheinlichkeitsstromvektorfeld ist auch in der relativistischen Theorie die Basis zur Formulierung der Bohmschen Mechanik. Liefert
ein quantenmechanisches Modell – etwa im Falle der Klein-Gordon-Gleichung – kein
derartiges Vektorfeld, ist ihm auch keine Bohmsche Struktur immanent.
Da wir später einige qualitative Aussagen über das zeitliche Verhalten von Wellenpaketen benützen werden, wollen wir hier noch folgende Definitionen geben:
1. Der Multiplikationsoperator X ist definiert als:
3
Die Observablenmenge wird gebildet durch eine Teilmenge aller selbstadjungierten Endomorphismen auf H, die den Positivenergieeigenraum H+ := Θ(h)(H) bzw. den Negativenergieeigenraum
H− := (1 − Θ(h))(H) stabilisieren. Dabei bezeichnet Θ(h) den Projektor auf den zum positiven
Spektrum des Hamiltonoperators h gehörigen Eigenraum.
A(H) := {A ∈ End(H), A? = A, [A, Θ(h)] = 0}.
4
Dies wird im Kapitel 2 erklärt.
8
KAPITEL 1. DIE DIRACGLEICHUNG IN ZWEI DIMENSIONEN
p
(Xψ)(t, x) := xψ(t, x) für jene ψ ∈ H mit ||Xψ|| = + (Xψ, Xψ) < ∞.
2. Der Ortserwartungswert < X >ψ ergibt sich demnach zu
Z
< X >ψ := (ψ, Xψ) =
dxψ † (t, x)xψ(t, x).
R
3. Der Impulsoperator K ist definiert als
K := −i∂1
für jene ψ ∈ H mit ||Kψ|| < ∞
4. und der Impulserwartungswert < K >ψ ist:
Z
< K >ψ := (ψ, Kψ) =
dxψ † (t, x)(−i∂1 )ψ(t, x).
R
1.3.1
Ebene Wellenlösungen der freien Diracgleichung
Zur Lösung der freien Diracgleichung bedient man sich derselben Methode wie zur Konstruktion von Lichtpaketen in der Elektrodynamik: Man findet die Ebene–Wellenlösungen, welche keine eigentlichen Lösungen im betrachteten Hilbertraum bilden, und superponiert diese anschließend zu Wellenpaketen. Im folgenden werden wir mit dieser
Methode die allgemeine Lösung zur zweidimensionalen Diracgleichung berechnen:
Z
Z
ikx
i∂t
dk ψ̃(t, k)e
=
dk(γ 0 γ 1 k + κγ 0 )ψ̃(t, k)eikx
R
R
⇒ i∂t ψ̃(t, k) = (σ 3 k + κσ 1 )ψ̃(t, k)
(1.12)
∀k ∈ R fest, ist dies ein lineares Differentialgleichungssystem 1.Ordnung in der Zeitvariable t.
i∂t ψ̃(t, k) = hk ψ̃(t, k)
mit
hk =
k κ
κ −k
= h?k
Aus der Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen folgt als allgemeine Lösung
von 1.12:
ψ̃(t, k) = e−ihk t ψ̃(0, k)
Dazu berechnen wir zuerst die Eigenwerte und Eigenvektoren der 2 × 2 Matrix hk .
• Eigenwerte: Aus det(hk − λ × 12 ) = 0 folgt
p
Spec(hk ) = {± |k|2 + κ2 =: ±ω̄k }.
1.3. DIE DIRACGLEICHUNG IN ZWEI DIMENSIONEN
• Die Eigenvektoren zu ω̄k sind:
u+ (k) =
,
a ∈ C \ {0}
• Die Eigenvektor zu −ω̄k sind:
−κ a k+ω̄k
v− (k) =
,
a
a ∈ C \ {0}
a
a ω̄−k
κ
9
Für die Vereinfachung diverser Rechnungen wird es sich als zweckmäßig erweisen,
die Eigenvektoren auf folgende Weise zu normieren:
p
.
(u+ (k), u+ (k)) = 2ω̄k ⇒ |a| = ω̄k + k
p
.
(v− (k), v− (k)) = 2ω̄k ⇒ |a| = ω̄k + k
Mit dieser Normierung gilt also5
p
u+ (k) = ω̄k + k ×
p
v− (k) = ω̄k + k ×
1
κ
ω̄k +k
−κ
ω̄k +k
1
=: u(k),
k∈R
(1.13)
=: v(k),
k∈R
(1.14)
Definition 1.8 (Orthogonale Eigenräume)
W+ (k) := ker(hk − ω̄k 12 ) = C × u(k) =: P+ (k)C2
W− (k) := ker(hk + ω̄k 12 ) = C × v(k) =: P− (k)C2
mit P± (k) Projektoren auf die entsprechenden Eigenräume, das heißt:
hk = ω̄k P+ (k) + (−ω̄k )P− (k)
Es gilt dann klarerweise:
C2 = W+ (k) ⊥ W− (k) und v(k)† u(k) = 0
Die Abbildung t 7→ ψ̃(t, k) beschreibt für ein fixes k ∈ R eine Kurve in C2 und mit
obigen Rechnungen folgt:
ψ̃(t, k) = e−ithk ψ̃(0, k) = e−itω̄k P+ (k)ψ̃(0, k) + eitω̄k P− (k)ψ̃(0, k)
5
Modulo Phasenfaktor eiφ , φ ∈ R, der bei der Bildung von Erwartungswerten irrelevant ist.
10
KAPITEL 1. DIE DIRACGLEICHUNG IN ZWEI DIMENSIONEN
Die Fouriertransformierte der Abbildung k 7−→ ψ̃(t, k) ist die gesuchte Lösungskurve,
welche die Zeitevolution des Systems im Hilbertraum H beschreibt. Die Lösungsstrategie wird also die folgende sein:
Vorgegeben sei ein ψ(0, ·) ∈ S(R : C2 ). Dies repräsentiert unsere Kenntnis vom
Anfangszustand. Durch Fouriertransformation berechnet man ψ̃(0, ·) und daraus
ψ̃(t, ·) ∀t ∈ R. Durch nochmalige Fouriertransformation erhält man schließlich die
gesuchte Lösung ψ(t, ·) der Diracgleichung.
Definition 1.9 (Positiv– und Negativenergiemodenlösungen)
Positivenergiemodenlösung:
1
Uk (t, x) := √ u(k)e−i<k̆,x> ∈ W+ (k)
2π
Negativenergiemodenlösung:
1
Vk (t, x) := √ v(−k)e+i<k̆,x> ∈ W− (−k)
2π
mit: k̆ = (k 0 , k), (k 0 )2 − (k)2 = κ2 und x = (x0 , x1 ) ≡ (t, x). Mit diesen Definitionen
gilt wie man leicht nachrechnet:
(iγ µ ∂µ − κ)Uk (t, x) = 0
(iγ µ ∂µ − κ)Vk (t, x) = 0
Bemerkungen:
Im Physikerjargon sagt man, k̆ liegt auf der oberen Massenschale, was soviel bedeutet, als daß der Zweiervektor k̆ = (k 0 , k) auf der Oberfläche des durch die Gleichung
x2 − y 2 = κ2 beschriebenen Rotationsparaboloides liegt. k̆ muß natürlich dieser Dispersionsrelation genügen, damit Definitionen 1.9 eine uneigentliche Lösung der Diracgleichung sind.
Im Laufe dieser Arbeit wird x manchmal eine reele Zahl bedeuten, manchmal aber
ein zweikomponentiger Vektor. Wir werden für Vektoren nie die Pfeilschreibweise verwenden, außer wir wollen damit explizit die “Raumkomponente“ eines Zweiervektors
kennzeichnen; im übrigen wird immer aus dem Kontext ersichtlich sein, um welche
mathematischen Objekte es sich handelt.
Die Phasengeschwindigkeit der obigen Ebenenwellenlösungen ist |vP h | = ω̄|k|k und sowohl
Uk (t, x) als auch Vk (t, x) wandern in Richtung von k, aber es gilt:
KUk (t, x) = kUk (t, x)
KVk (t, x) = −kVk (t, x)
(1.15)
(1.16)
Die Bohmsche Mechanik wird zeigen, daß der hier definierte “quantenmechanische“
Impuls mit dem “mechanischen“ nicht übereinstimmt. Man verifiziert leicht durch Integration über die Variable x folgenden
1.3. DIE DIRACGLEICHUNG IN ZWEI DIMENSIONEN
11
Satz 1.1 (Relationen zwischen den uneigentlichen Ebene–Wellenlösungen)
(Uk (t, x), Uk0 (t, x)) = (Vk (t, x), Vk0 (t, x)) = 2ω̄k δ(k − k 0 )
(Uk (t, x), Vk0 (t, x)) = 0
(1.17)
(1.18)
Satz 1.2 (Paketlösungen)
∀ψ ∈ L(D) ∃! a, b ∈ L2 (R : C,
dk
)
2ω̄k
sodaß gilt:
ψ(t, x) =
Z
R
dk
(a(k)Uk (t, x) + b∗ (k)Vk (t, x))
2ω̄k
Beweis:Dieser Satz ist eine leichte Abwandlung des Satzes über die Eindeutigkeit der
Fouriertransformation für Funktionen im Schwarzraum. Weiteres dazu siehe [Thall],
chapter 1.
Bemerkung
dk
Als Integrationsmaß wird hier praktischerweise 2ω̄
gewählt; dies ergibt sich bis auf
k
einen konstanten Faktor als die lorentzinvariante, von der Minkowskimetrik <, > induzierte metrische Volumsform der oberenen Massenschale [Gru].
√
Multipliziert man die Fourierkoeffizienten a(k) und b(k) mit 2ω̄k , so sind die dadurch
erhaltenen Fourierkoeffizienten in L2 (R : C, dk).
Folgerung 1.2 Man rechnet leicht nach, daß gilt:
Z
dk
(ψ(t, ·), ψ(t, ·)) =
|a(k)|2 + |b(k)|2
2ω̄
ZR k
dk
k |a(k)|2 − |b(k)|2
(ψ(t, ·), Kψ(t, ·)) =
R 2ω̄k
(1.19)
(1.20)
Insbesondere folgt aus Gleichung 1.20 für a(k) = 0 ∀k und b(k) 6= 0 nur für k > 0:
Z
dk
(ψ(t, ·), Kψ(t, ·)) = −
k|b(k)|2 < 0
2ω̄
k
R
Analog zu den Ebenenwellenlösungen ist der Impulserwartungswert für ein solches Negativenergiepaket < 0, obwohl sich das Paket in positive x–Richtung bewegt.
1.3.2
Die Lorentzkovarianz der Diracgleichung und des
Stromdichtevektorfeldes
Im folgenden Absatz wird die Lorentzkovarianz der Diracgleichung gezeigt; diese impliziert auch die Lorentzkovarianz des dazugehörigen Bohmschen Vektorfeldes und somit
12
KAPITEL 1. DIE DIRACGLEICHUNG IN ZWEI DIMENSIONEN
der Bohmschen Mechanik zur Einteilchen–Diracgleichung. Versuche zur Konstruktion
einer lorentzkovarianten Bohmschen Mechanik zur Mehrteilchen–Diracgleichung sind
bis dato (1999) erfolglos geblieben. Zwar gibt es Autoren, die behaupten, eine Lösung
dieses Problems gefunden zu haben, siehe etwa [Dur]; bei genauerer Analyse zeigt sich
jedoch, daß ad hoc Strukturelemente in die Theorie aufgenommen werden, bei [Dur]
etwa eine dynamisch durch die Lösungskurve ψ der Diracgleichung bestimmte Blätterung der Raumzeit, die für sich wieder nicht im Einklang sind mit dem Speziellen
Relativitätsprinzip.
Im folgenden sei stets Π ∈ P+ (1, 1), das heißt Π = (λ, a) mit λ ∈ SO+ (1, 1) und
a ∈ R2 .
Definition 1.10 (Linksoperation von P+ (1, 1) auf Abb(R2 → C2 ) In zwei Dimensionen erschöpfen sich die Operationen der eigentlichen Poincarégruppe auf
Lösungen der Diracgleichung in boosts in x–Richtung und Raum–Zeittranslationen.
In vier Dimensionen operiert nicht die Poincarégruppe auf L(D), sondern deren
Überlagerungsgruppe SL2 (C). Eine ausführliche Darstellung hiervon findet man
etwa in [Thall], chapter 2 und 3. Die zweidimensionale Poincarégruppe ist aber
isomorph zum semidirekten Produkt von (R, +) mit (R2 , +) und deshalb ihre eigene
Überlagerungsgruppe. Dies deshalb, weil (R, +) einfach zusammenhängend und seine
eigene Liealgebra ist [Go].
Wir betrachten vorerst die natürliche Linksoperation der Poincarégruppe auf der
Menge aller Abbildungen von R2 nach C2 , die wir mit Abb(R2 → C2 ) bezeichnen
werden.
µ:
P+ (1, 1) × Abb(R2 → C2 ) −→ Abb(R2 → C2 )
(Π, f ) 7−→ Π · f
mit (Π · f )(x) := S(χ)f (λ−1 (χ)(x − a))
und
1
v
3
cosh(χ)
sinh(χ)
χσ
tanh(χ) := , S(χ) := e 2 , λ(χ) :=
sinh(χ) cosh(χ)
c
Dabei bezeichnet v die Relativgeschwindigkeit der beiden Inertialsysteme. Alle zu den
Lorentzabbildungen gehörigen Matrizen sind bzgl. der Standardbasis e = (e0 , e1 ) von
M dargestellt. Eine einfache Rechnung zeigt, daß gilt:
S(χ) := e
1
χσ 3
2
=
1
e2χ
0
− 12 χ
0 e
Satz 1.3 L(D) wird durch die Linksoperation µ von P+ (1, 1) stabilisiert.
1.3. DIE DIRACGLEICHUNG IN ZWEI DIMENSIONEN
13
Ausführlicher bedeutet dies folgendes: Sei ψ ∈ L(D) Lösung der Diracgleichung, dann
ist auch Π · ψ wieder Lösung.
Beweis:
Der Kartenwechsel sei gegeben durch x̄ = λ(χ)x + a. Weiters sei λ := λ(χ) , S := S(χ)
und y := λ−1 (x − a).
(iγ µ ∂µ − κ)S(χ)ψ λ−1 (χ)(x − a) =
∂
= (iγ µ (λ−1 )σµ σ − κ)Sψ(y) =
∂y
∂
= (iSγ σ σ − Sκ)ψ(y) = S(iγ σ ∂σ − κ)ψ(y) = 0
(1.21)
∂y
=⇒ ψ 0 := Π · ψ = Sψ ist wieder Lösung der Diracgleichung. Zu zeigen bleibt noch:
.
(λ−1 )σµ γ µ = Sγ σ S −1
Man rechnet leicht nach:
1χ
−1χ
0
0
e2
0 1
e 2
0 eχ
0 −1
Sγ S
=
×
×
=
=
1
1
1 0
e−χ 0
0 e− 2 χ
0
e2χ
= (λ−1 )0µ γ µ
Analog verifiziert man, daß (λ−1 )1µ γ µ = Sγ 1 S −1 .
Folgerung 1.3 Das Diracsche Stromdichtevektorfeld jψ := (ψ, γ 0 γ µ ψ)D eµ ist lorentzkovariant6 , das heißt, das Diagramm
µ
P+ (1, 1) × L(D) −−−→ L(D)


id×j
j
y
y
σ
P+ (1, 1) × X(R2 ) −−−→ X(R2 )
ist kommutativ. Dabei bezeichnen µ und σ die natürlichen Operationen von P+ (1, 1)
auf L(D) bzw. X(M).j sei jene Abbildung, die einem ψ ∈ L(D) das Stromvektorfeld
zuordnet, also:
L(D) −→ X(R2 )
ψ
7−→ jψ
j:
Es gilt also mit obigem Diagramm:
j ◦ µ = σ ◦ id × j
bzw.
jΠ·ψ = σ(Π, jψ ) =: Π · jψ
6
In der Mathematik sagt man, j ist eine Äquivarianz.
14
KAPITEL 1. DIE DIRACGLEICHUNG IN ZWEI DIMENSIONEN
Beweis:
(Π · jψ )(x) = λµρ · (ψ, γ 0 γ ρ ψ) λ−1 (x − a) eµ =
= (ψ, γ 0 λµρ γ ρ ψ) λ−1 (x − a) eµ =
= (ψ, γ 0 S −1 γ µ Sψ) λ−1 (x − a) eµ =
= (ψ, Sγ 0 γ µ Sψ) λ−1 (x − a) eµ =
µ
λ−1 (x − a) eµ
= (Sψ, γ µ Sψ) λ−1 (x − a) eµ = jS·ψ
Da die Bohmschen Trajektorien die Bilder der Integralkurven zu j sind, transformieren sie unter Poincaréabbildungen “richtig“. Deshalb ist die Bohmsche Einteilchen–
Mechanik Einstein–relativistisch.
1.3.3
Raumzeitliche Lokalisierung freier Wellenpakete
Da wir später Bohmsche Trajektorien eines Elektrons berechnen und diese mit den
Vorhersagen der üblichen Quantenmechanik vergleichen werden, müssen wir uns kurz
mit der Quantenmechanik zum freien Wellenpaket befassen.
• Die Gruppengeschwindigkeit eines Positiv–Energie–Wellenpaketes:
Wir betrachten ein Positiv–Energie–Paket, das sich in positive x–Richtung bewegt
Z
dk
a(k)Uk (t, x).
ψ(t, x) =
R 2ω̄k
k ω̄k
Die Phasengeschwindigkeit ist vP h = |k|
; entwickelt man ω̄k im Faktor e−iω̄k t
|k|
von Uk um k0 bis zur Ordnung |k − k0 |2 , erhält man als Näherung für ein sogenanntes “schmales “ Wellenpaket:
ψ(t, x) ' e−iω̄k0 t eik0 x ψ(t = 0, x − t
k0
).
ω̄k0
Damit ergibt sich die Gruppengeschwindigkeit zu vG =
k0
ω̄k0
∈ (−1, 1).
• Die “Zitterbewegung“:
Wie bekannt, liefert der Erwartungswert des Multiplikationsoperators X eines
aus Positiv– und Negativenergielösungen überlagerten Wellenpaketes die sogenannte Zitterbewegung der Frequnz 2ω̄k0 um den “üblichen“ Erwartungswert des
Ortsoperators.
d
d
< X >ψ(t) =
(ψ, Xψ) = (ψ, i[h, X]ψ) =
dt
dt
1.3. DIE DIRACGLEICHUNG IN ZWEI DIMENSIONEN
3
15
Z
= (ψ, σ ψ) =
dxjψ1 (t, x) =
R
Z
Z
dk
=
dx{
(ā(k)Uk† (t, x) + b(k)Vk† (t, x)) ×
2ω̄
R
R k Z
dq
1 0
×
(a(q)Uq (t, x) + b̄(q)Vq (t, x))} =
0 −1
R 2ω̄q
= .Z. . =
Z
dk k
dk
2
2
2
−2iω̄k t
=
(|a(k)| + |b(k)| ) − κ 2<
a(−k)b(k)e
R 2ω̄k ω̄k
R 2ω̄k
Für “schmale“ Wellenpakete um k0 und a(k), b(k) ∈ R folgt also:
d
< X >ψ(t) ' vG − 2κ2 cos(2ω̄k0 t)C, C ∈ R
dt
κ2
⇒< X >ψ(t) ' < X >ψ(0) +vG t − C
sin(2ω̄k0 t)
ω̄k0
(1.22)
Gleichung 1.22 beschreibt eine Trajektorie, die mit der Frequenz 2ω̄k0 um eine
“klassische“ inertiale Trajektorie oszilliert.
• Varianz eines Positiv–Energie–Wellenpaketes:
Wir betrachten nun den speziellen Fall eines nur aus Positiv–Modenlösungen
überlagerten Wellenpaketes, also:
Z
dk
ψ(t, x) =
a(k)Uk (t, x)
R 2ω̄k
Mit den vorher erhaltenen Gleichungen gilt:
Z
d
dk
k
< X >ψ(t) =
|a(k)|2
= const ∈ R
dt
ω̄k
R 2ω̄k
⇒< X >ψ(t) =< X >ψ(0) +const t
Bemerkungen:
Man beachte, daß es für reine Positiv– bzw.Negativenergielösungen keinerlei
Zitterbewegung gibt.
Für schmale
d.h. k ∈ [k0 − , k0 + ] mit hinreichend kleinem ,
R dk Wellenpakete,
2 k
gilt: R 2ω̄
|a(k)|
'
v
.
G
ω̄k
k
Nach den üblichen Regeln der Quantenmechanik wird die Varianz des
Multiplikationsoperators zu einer Lösung ψ ∈ L(D) folgendermaßen berechnet:
(∆X)2ψ(t) :=< X 2 >ψ(t) − < X >2ψ(t)
16
KAPITEL 1. DIE DIRACGLEICHUNG IN ZWEI DIMENSIONEN
Satz 1.4 Der Multiplikationsoperator X evolviert unter der Diracgleichung wie
folgt:
K
1 2iht
X(t) := eiht Xe−iht = X + t +
(e
− 1)F
h
2ih
Dabei ist F := σ 3 − Kh und es gilt F h + hF = 0.
Beweis:
Siehe B. Thaller Seite 19, Theorem 1.3 [Thall].
Daraus folgt nach einer einfachen Rechnung:
∀ψ ∈ DX 2 (H) gilt:
(∆X)2ψ (t)
K 2
K 2
=
(ψ,
(
)
ψ)
−
(ψ,
ψ) =
lim
t→∞
t2
h
h
2
K
∆( )
>0
h ψ
(1.23)
Damit ergibt sich für t → ∞:
(∆X)ψ (t) →
K
∆( ) t → ∞
h ψ
Berechnet man die Varianz des Ortsoperators mit Hilfe der Schrödingergleichung,
erhält man das bekannte Ergebnis:
lim
t→∞
(∆X)ψ (t)
1
= (∆P )ψ
t
m
Ähnlich dem Schrödingerfall zerfließt auch das relativistische Wellenpaket für
t → ∞. Man wird sich daher erwarten, daß die Bohmschen Trajektorien zum
freien Elektron im Laufe der Zeit auseinanderfließen. Es wird sich in der Tat
zeigen, daß für “kleine“ Geschwindigkeiten das freie Elektron analog zum Galilei–
relativistischen Fall auf hyperbelähnlichen Bahnen läuft.
Kapitel 2
Bohmsche Mechanik zur
Diracgleichung in zwei Dimensionen
In diesem Kapitel werden wir eine Bohmsche Mechanik zur Diracgleichung in zwei
Dimensionen vorstellen. Diese erlaubt eine im “klassischen“ Sinne deterministische
Beschreibung der Naturphänomene, welche mit der Diracgleichung formuliert werden
können.
Das grundlegende Konzept der Bohmschen Mechanik läßt sich wie folgt darlegen:
Man löse zu einer gegebenen Anfangsbedingung die Diracgleichung und konstruiere
mit der erhaltenen Lösung ψ : t 7→ ψ(t, ·) ∈ L2 (R : C2 ) ein Geschwindigkeitsvektorfeld
auf M. Die Integralkurven des Vektorfeldes werden als die möglichen Trajektorien des
Elektrons bei Vorliegen der Lösung ψ interpretiert. Zur Zeit t = t0 ist die Ortsaufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte des Elektrons gegeben durch |ψ(t0 , x)|2 . Im Bohmschen
Sinne heißt das, daß sich das Elektron mit der Wahrscheinlichkeit |ψ(t0 , x)|2 tatsächlich
am Ort x befindet. Wäre nun zur Zeit t = t0 der genaue Ort x des Elektrons bekannt,
könnte man ihm seine eindeutige Trajektorie zuordnen. In diesem Sinne erlaubt die
Bohmsche Mechanik eine deterministische Beschreibung des Elektrons.
Wir werden später zeigen, daß diese mathematische Beschreibung es erlaubt, die quantenmechanischen Wahrscheinlichkeiten, das Elektron zu beliebigen Zeiten im Raumgebiet ∆ ⊆ R nachzuweisen, zu berechnen. Man beachte aber, daß wir in dieser Arbeit
das Spektralmaß zum Multiplikationsoperator X als Ortsaufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte interpretieren, obwohl X keine Observable der Diracschen Quantenmechanik darstellt. In den von uns betrachteten Beispielen jedoch variiert die Lösung ψ, im
wesentlichen ein Gaußpaket mit einer Breite von einigen hundert Comptonwellenlängen
des Elektrons, im Bereich einer Comptonwellenlänge kaum; Newton und Wigner [New]
haben gezeigt, daß für derartig unscharf lokalisierte Lösungen der Diracgleichung das
Spektralmaß zum Newton–Wigner Ortsoperator sich nicht wesentlich von |ψ(t, x)|2
unterscheidet. Siehe dazu auch [Schweb].
17
18
KAPITEL 2. BOHMSCHE MECHANIK ZUR 2D DIRACGLEICHUNG
2.1
Das Bohmsche Vektorfeld
Wie in der Bohmschen Mechanik zur Schrödingergleichung konstruiert man auch in
der relativistischen Theorie das Bohmsche Vektorfeld aus dem Stromdichtevektorfeld.
Damit erhält man alle Eigenschaften, denen ein Bohmsches Vektorfeld genügen muß,
automatisch mitgeliefert. Man beachte aber, daß die unten dargelegte Definition eines
Bohmschen Vektorfeldes nicht die einzig mögliche ist, sondern daß es verschiedene
Bohmsche Mechaniken zur selben Quantenmechanik gibt [Ghir].
Definition 2.1 (Das Bohmsche Vektorfeld) Seien {xµ }µ=0,1 die Standardkarte
von R2 , ψ eine Lösung der freien Diracgleichung und jψ = ψ̄γ µ ψeµ zugehöriger Diracstrom. Definiere U ⊆ R2 := {(t, x) ∈ R2 , für die gilt: (|ψ 1 |2 + |ψ 2 |2 )(t, x) 6= 0}.
Dann definiert für alle (t, x) ∈ U
ρψ (t, x) := jψ0 (t, x) = |ψ 1 (t, x)|2 + |ψ 2 (t, x)|2 6= 0
1
vψ (t, x) :=
2
2
(2.1)
2
jψ (t, x)
|ψ (t, x)| − |ψ (t, x)|
= e0 +
e1
ρψ (t, x)
ρψ (t, x)
(2.2)
das Bohmsches Vektorfeld.
Es gilt:
• vψ ist bezüglich des Minkowskiskalarproduktes ein nicht raumartiges Vektorfeld,
1
2
(t,x)|2 −|ψ 2 (t,x)|2
das heißt: < vψ , vψ >= 1 − |ψ
≥ 0.
|ψ 1 (t,x)|2 +|ψ 2 (t,x)|2
• vψ ist ein reelles Vektorfeld auf M.
• Kontinuitätsgleichung:
div(ρψ vψ ) = ∂µ ρψ (t, x)vψµ (t, x) = ∂t ρψ (t, x) + ∂1 ρψ (t, x)vψ1 (t, x) = 0
Obige Gleichung interpretiert man in der Quantenmechanik als Erhaltung des
Wahrscheinlichkeitsstromes; insbesondere gilt:
Z
d
dxρψ (t, x) = 0
dt R
Die Gesamtwahrscheinlichkeit, das Elektron irgendwo nachzuweisen, bleibt also
zeitlich konstant. Dies ist eine unmittelbare Folge der Unitarität der Zeitentwicklung.
• Da jψ für ψ ∈ L(D) unter einer Lorentzabbildung “kovariant“ transformiert, gilt
dies auch für das Bohmsche Vektorfeld und die dazugehörigen Integralkurven.
2.2. TRANSPORT VON |ψ|2 ENTLANG DER INTEGRALKURVEN ZU Vψ
19
Bemerkungen:
In dieser Diplomarbeit werden nur Lösungen der Diracgleichung betrachtet, deren
Träger ganz R ist und für die gilt |ψ(t, x)|2 6= 0. Deshalb sind auch die dazu gehörigen
Bohmschen Vektorfelder auf ganz R2 definiert und dort überall stetig und differenzierbar. Da ρ positiv definit ist, besitzt vψ keine Gleichgewichtspunkte. Prozesse wie
Paarvernichtung oder –erzeugung können im Rahmen dieser Theorie nicht beschrieben
werden. Die zugehörigen Integralkurven sind maximal und können sich nicht schneiden.

Anstelle vψ := ρψ zu definieren, könnte man auch vψ := jψ definieren. Dies bedeutet,
da ρ > 0, lediglich eine Umparametrisierung der Integralkurven. Unsere Definition
entspricht einer zeitangepaßten Parametrisierung, das heißt:
vψ0 (t, x) = 1 ∀t, x
⇒ γv0ψ (t) = t
mit γvψ Integralkurve zu vψ und γvψ (0) = (0, x),
2.2
x ∈ R.
Transport von |ψ|2 entlang der Integralkurven
zu vψ
Die zentrale Aussage der Bohmschen Mechanik ist die, daß die entlang der Trajektorien
zum Bohmschen Vektorfeld vψ transportierte Ortswahrscheinlichkeitsdichte1 gleich der
quantenmechanischen2 ist. Dies ist mit der Aussage gemeint, die Bohmsche Mechanik
sei in der Lage, alle quantenmechanischen Aussagen, die auf Ortsmessungen beruhen,
zu reproduzieren. Bildlich kann man sich dies folgendermaßen vorstellen:
Seien ψ ∈ L(D) und vψ das zugehörige Bohmsches Vektorfeld, und
Z
Pτ (∆) :=
dx(ψ̄γ 0 ψ)(τ, x), Pτ (R) = 1,
∆
bezeichne die Wahrscheinlichkeit3 , das Teilchen zur Zeit τ in ∆ nachzuweisen;
weiters sei ∆0 := φ(τ, ∆) mit: φ : R × R2 7−→ R2 Fluß zu vψ , das heißt,
φ(τ, y) := γy (τ ) mit γy (0) = y ∈ R2 und
d
γy (s) = (vψ ◦ γy )(s).
ds
Dann lautet obige Behauptung:
P0(∆) = Pτ (∆0)
1
Gemeint ist hier das Spektralmaß zum Multiplikationsoperator X.
Das heißt |ψ|2 .
3
Es gilt natürlich: Pτ (∆) ≥ 0 für alle meßbaren Teilmengen von R
2
(2.3)
20
KAPITEL 2. BOHMSCHE MECHANIK ZUR 2D DIRACGLEICHUNG
t
’
(
supp(
Integralkurven
zu v
x
)
Abbildung 2.1: Graphische Illustration des Wahrscheinlichkeitstransportes entlang der
Bohmschen Trajektorien.
Zur Interpretation:
Sind zur Zeit t = 0 folgende Daten bekannt:
1. x0 . . . Ort des Elektrons, sog. “ verborgener Parameter“ , da bis heute mit unseren
Meßapparaturen nicht regulierbar,
2. (ψ̄γ 0 ψ)(t, ·) . . . Ortsaufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte, wobei ψ klarerweise eine Lösung der Diracgleichung sein muß,
und ist dsd γ(s) = (vψ ◦ γ)(s) mit γ(0) = (0, x0 ), dann ist γ(s) die eindeutig bestimmte
Trajektorie des Elektrons . Diese im klassischen Sinne deterministische Theorie erlaubt
dieselben Vorhersagen, das Teilchen an einem Ort ∆ ⊆ R zu finden, wie sie die
Quantenmechanik macht.
Auch zur Lösung des sog. “Meßproblems“ in der Quantenmechanik liefert die
Bohmsche Mechanik neue Ideen, doch vermag sie wohl nicht, es zufriedenstellend zu
klären [Ghir]. Wir wollen uns hier auch nicht eingehender damit beschäftigen, sondern
versuchen darzulegen, inwiefern die Bohmschen Trajektorien Aufschluß über das
quantenmechanische Verhalten eines relativistischen Elektrons im externen statischen
elektrischen Feld geben.
Geometrische Formulierung von Behauptung 2.3
und Beweis:
Sei {t,x} die Standardkarte (Minkowskikarte) von M, Ω := E 0 ∧ E 1 eine Orientierungszweiform und jψ Diracstrom zur Lösung ψ der Diracgleichung; die
zugehörige Diracstromeinsform sei definiert als
2.2. TRANSPORT VON |ψ|2 ENTLANG DER INTEGRALKURVEN ZU Vψ
21
Definition 2.2
J := j Ω := ρE 1 − j 1 E 0 ∈ Λ1 (M)
(2.4)
Es gilt:
dJ = (j µ , µ)Ω = 0
Bemerkung:
Die Tatsache, daß gilt: dJ = 0, ist wesentlich für den Beweis des folgenden Satzes.
Da aber auch J 0 := J + dΛ mit Λ ∈ C 1 (R2 : R) dJ 0 = 0 erfüllt, gibt es unendlich
viele verschiedene Bohmsche Vektorfelder4 mit zugehörigen Integralkurven, die dieselbe
Physik liefern.Wir haben das Bohmsche Vektorfeld deshalb wie oben definiert, weil
dies vom physikalischen Standpunkt aus am naheliegendsten ist und automatisch die
Forderung nach Lorentzkovarianz erfüllt.
Sei nun γ : R 7−→ R2 Integralkurve zu vψ und φ : R2 7−→ R2 der zugehörige Fluß.
Definition 2.3 Eine Familie von P –Maßen auf instantanen Räumen
{Στ := {τ } × R, τ ∈ R} sei folgendermaßen definiert:
Pτ :
{τ } × B(R)
−→ [0, 1]
Aτ = {τ } × I 7−→ Pτ (Aτ ) :=
Z
J=
Aτ
Z
dxρ(τ, x)
Aτ
Dabei bedeutet I ein lebesguemeßbares Intervall in R und B(R) eine Menge von Borelmengen von R.
Satz 2.1 (Äquivarianter Wahrscheinlichkeitstransport) Sei die Situation wie
vorher beschrieben, dann gilt:
Z
Pτ (Aτ ) = P0 (φ−τ (Aτ )) bzw.
Z
dxρ(τ, x) =
dxρ(0, x)
Aτ
(2.5)
(2.6)
φ−τ (Aτ )
mit Aτ ⊆ Στ lebesguemeßbar und τ ∈ R beliebig.
Beweis für einfach zusammenhängende Aτ ∈ Στ :
Z
Z
Z
Z
0=
dJ =
J=
J−
V
∂V
Aτ
φ−τ (Aτ )
J+
Z
J
M
R
mit ∂V = Aτ + (−1)φ−τ (Aτ ) + M 5 . Zu zeigen bleibt also: M J = 0.
Da vψ keine Gleichgewichtspunkte besitzt, d.h. vψ (t, x) 6= 0 ∀(t, x) ∈ U ⊆ R2 , existiert
z.B. vψ0 = vψ + rot(w) mit beliebigem w ∈ X(R2 )
5
Wir geben hier keine explizite Orientierung von V bzw. A an, da für den Beweis nur die Tatsache,
daß Aτ und φ−τ (Aτ ) entgegengesetzt orientiert sind, wesentlich ist.
4
22
KAPITEL 2. BOHMSCHE MECHANIK ZUR 2D DIRACGLEICHUNG
t
V...Volumen
M...Mantel
V
M
(
supp(
( )
x
)
Abbildung 2.2: Zum Beweis von Satz 2.1: Äquivarianter Wahrscheinlichkeitstransport.
∂V = Aτ + (−1)φ−τ (Aτ ) + M
ein Diffeomorphismus f : R2 −→ R2 , der vψ rektifiziert.
f? : T (R2 ) −→ T (R2 ) mit
f? (vψ ) := (vψµ ◦ f −1 )(∂µ f ν )eν = e0
Siehe Abbildung 2.3 und [Haus]. Sei nun M 0 := f (M ).
Z
Z
Z
J=
J=
(f −1 )? (J) = (∗∗)
M
f −1 (M 0 )
M0
Weiters gilt:
mit
g : R2 −→ R
(f −1 )? (ρvψ Ω) = (ρ ◦ f −1 )(f −1 )? (vψ Ω) =
= (ρ ◦ f −1 )f? (vψ ) (f −1 )? (Ω) =
= (ρ ◦ f −1 )e0 (f −1 )? (Ω) =
= g E1
entsprechend gewählt.
Z
=⇒ (∗∗) =
g(y)dy 1 = 0
M0
Q.e.d.
2.2. TRANSPORT VON |ψ|2 ENTLANG DER INTEGRALKURVEN ZU Vψ
t
Integralkurven
zu rektifiziertem
Vektorfeld
’
x
Abbildung 2.3: Veranschaulichung des rektifizierten Bohmschen Vektorfeldes.
23
24
KAPITEL 2. BOHMSCHE MECHANIK ZUR 2D DIRACGLEICHUNG
Kapitel 3
Numerische Berechnung des
Bohmschen Vektorfeldes für freie
Lösungen der Diracgleichung
3.1
Ein freies Wellenpaket
Wir betrachten im folgenden ein freies Wellenpaket, also eine Superposition aus
Positiv– und Negativenergiemodenlösungen
Z
dk
ψ(t, x) =
(a(k)Uk (t, x) + b̄(k)Vk (t, x))
R 2ω̄k
und werden dies mit dem Softwarepaket Matlab 5.2.0.3084 für spezielle Impulsverteilungen a(k), b̄(k) numerisch berechnen. Dabei bedienen wir uns bei der Integration der
Fourierintegrale der Matlab–Routinen quad und quad8. Mit der so erhaltenen Lösung
konstruieren wir das zugehörige Bohmsche Vektorfeld und berechnen hierzu mit Hilfe
der Matlab–Routine ode45 zur Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen die Integralkurven. Da bei dieser Berechnung mehrfach Lösungsverfahren aus der numerischen
Mathematik hintereinander ausgeführt werden, ist eine genaue Fehlerabschätzung,
welche über die Matlab interne hinausgeht, ziemlich schwierig. Um zu einigermaßen
gesicherten Aussagen zu gelangen, haben wir deshalb auch die zur jeweiligen Lösung
gehörige Ortsaufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte (ψ̄γ 0 ψ)(t, x) berechnet, um zu kontrollieren, ob die berechneten Integralkurven auch wirklich Satz 2.6 auf Seite 21 erfüllen.
Wahl der Einheiten zur numerischen Berechnung von ψ:
Zur Vereinfachung der numerischen Berechnungen haben wir κ := mc
gleich 1
~
~
gesetzt, x wird also in Einheiten der Comptonwellenlänge λc := mc angegeben;
Man beachte, daß für das Elektron etwa gilt: λc ≈ 3.68 × 10−13 m (Der Bohrsche
25
26
KAPITEL 3. NUMERIK ZUR FREIEN LÖSUNG
Radius a0 des Wasserstoffatoms ist etwa 137 × λc ).
Die hier gewählte natürliche Zeiteinheit entspricht der Zeit, in der das Licht eine Comptonwellenlänge durchmißt; wir werden sie Comptonzeit tc nennnen. 1tc × c = 1λc ⇒
für Elektronen te ≈ 1.28 × 10−21 sec. Von uns gewählte typische Integrationszeiten sind einige hundert tc , das Licht durcheilt in dieser Zeit also einige hundert
Comptonwellenlängen bzw. einige Atomradien des Wasserstoffatoms.
3.2
Ein freies Positivenergiepaket
Ein relativistisches Elektron wird in der Diractheorie als Überlagerung von Positivenergiemodenlösungen beschrieben.
Wahl des Fourierkoeffizienten a(k) (siehe Abbildung 3.1):
Als Anfangsimpulsverteilung wählen wir ein um k0 zentriertes, schmales Gaußpaket,
dessen Träger die Breite 2∆ hat.
a : R −→ R+
p
2
2
A 8π(ω̄k + k)ω̄k e−(k−k0 ) /∆ für k ∈ [k0 − 2∆, k0 + 2∆]
k 7−→
0
sonst
Dabei sei A eine positive, reelle Normierungskonstante. Es ist also a(k0 ± 2∆) ∼
const × e−4 . Dies mildert die Unstetigkeit von a(k) und erweist sich bei der numerischen Integration des Fourierintegrals günstiger als etwa ein Rechteckimpuls.
5
4
a(k)
3
2
1
0
0
0.1
k
0.2
0.3
Abbildung 3.1: Fourierkoeffizient a(k).
Im folgenden werden wir das Matlab–Programm numlp.m, welches das Hauptprogramm zur Berechnung der Bohmschen Trajektorien zum freien Elektron ist, kurz
kommentieren. Alle zugehörigen Unterroutinen sind im Anhang aufgelistet.
3.2. EIN FREIES POSITIVENERGIEPAKET
27
Matlab Programm numlp.m zur Berechnung eines Positiv–Energie–
Wellenpaketes:
Der erste Teil des Programms befaßt sich mit der Definition der benötigten
Konstanten κ, ∆, k0 und der Spezifizierung der Integrationszeiten tmin , tmax .
%% Positiv-Energie-Loesungen mit Gausspaket
clear all;
close all;
clc;
%% Konstanten
global A;
global kappa delta ko;
global t1 x1 to tmax;
kappa=1;
ko=input(’Geben sie den Impuls ko ein:\n’);
if isempty(ko)
ko=0.1;
fprintf(’ko= %f\n’,ko);
end;
delta=input(’Geben sie die Impulsbreite ein:\n’);
if isempty(delta)
delta=0.05;
fprintf(’delta= %f\n’,delta); % Impulsbreite
end;
tmax=input(’Geben sie tmax ein:\n’);
if isempty(tmax)
tmax=1.e4;
fprintf(’tmax= %f\n’,tmax);
end;
tmin=input(’Geben sie tmin ein:\n’);
if isempty(tmin)
tmin=0;
fprintf(’tmin= %f\n’,tmin);
end;
Wir normieren nun das Wellenpaket nach üblicher
ρ : x 7→ (ψ̄γ 0 ψ)(t, x) eine Wahrscheinlichkeitsdichte bedeutet.
%% Normierung des Wellenpaketes
q=quad8(’norm1’,ko-2*delta,ko+2*delta,1.e-8);
A=1/sqrt(q);
clear q;
Konvention,
damit
28
KAPITEL 3. NUMERIK ZUR FREIEN LÖSUNG
Der zur numerischen Integration verwendete Fourierkoeffizient a(k), im wesentlichen
also die Anfangsimpulsverteilung des Elektrons, wird nun graphisch dargestellt:
%% Impulsverteilung
k=ko-2*delta:delta/50:ko+2*delta;
q=k.*k;
om=sqrt((kappa)^2+q);
a=A*sqrt(8*pi*om.*om.*(om+k)).*exp(-(k-ko).^2/delta^2);
figure(1);
plot(k,a,’r*’);
xlabel(’k’);
ylabel(’a(k)’);
title(’Fourieramplitude a(k) des Positiv-Energie-Paketes’);
setfigure(12,8);
print -deps /net/noise2/moser/diplomarbeit/figuren/numlp/impuls.eps
clear q;
Im nächsten Programmschritt wird mit Hilfe der Integrationsroutine quad8
Z k0 +2∆
ω̄k + k
−(k−k0 )2 /∆2 i(kx−ω̄k t0 )
ψ(t0 , x) =
dkAe
e
κ
k0 −2∆
numerisch berechnet und damit (|ψ 1 |2 + |ψ 2 |2 )(t0 , x)(siehe Abbildung 3.2 auf Seite 29):
%% Berechnung des Wellenpaketes, d.h. von Psiquadrat
to=tmin;
figure(3);
subplot(2,1,1);
fplot(’fto’,[-10/delta+to*ko 10/delta+to*ko]);
xlabel(’x in Einheiten der Comptonwellenlaenge’);
ylabel(’\Psi^2’);
s1=sprintf(’\\Psi^2 zur Zeit t_o = %f’,to);
title(s1);
to=tmax;
subplot(2,1,2);
fplot(’fto’,[-10/delta+to*ko 10/delta+to*ko]);
xlabel(’x in Einheiten der Comptonwellenlaenge’);
ylabel(’\Psi^2’);
s1=sprintf(’\\Psi^2 zur Zeit t_o = %f’,to);
title(s1);
fprintf(’\a’);
setfigure(12,8);
print -deps /net/noise2/moser/diplomarbeit/figuren/numlp/psi.eps
3.2. EIN FREIES POSITIVENERGIEPAKET
29
| 2|(t
min
)
0.01
0.005
0
0
| |2(t
max
)
0.01
0.005
0
0
50
100
150
200
Abbildung 3.2: Zeitliche Evolution des Wellenpaketes, das heißt von ||ψ||2 . tmin =
−1000 und tmax = 1000.
Mit der Routine ode45 zur Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen werden die
Bohmschen Trajektorien zu obiger Lösung berechnet; die Startwerte der Integralkurven
zur Zeit t = tmin müssen natürlich enthalten sein in supp (ψ(tmin, ·)). In Abbildung
3.3 auf Seite 30 sind einige Integralkurven graphisch dargestellt.
%% Berechnung der Trajektorien
fprintf(Geben sie das Startintervall fuer die Trajektorien
ein und die Anzahl der Trajektorien.\n);
lint=input(’linke Grenze ’);
rint=input(’rechte Grenze ’);
anzahl=input(’Anzahl der Trajektorien ’);
options=odeset(’RelTol’,[1e-6],’AbsTol’,[1e-8]);
figure(2);
for xo=lint:(rint-lint)/anzahl:rint
[t,x]=ode45(’f’,[tmin tmax],[xo],options);
plot(x,t,’b’);
hold on;
end;
xlabel(’x in Einheiten der Comptonwellenlaenge’);
ylabel(’t’);
s=sprintf(’Positiv-Energiepaket mit k_o = %f und \\delta = %f’,ko,delta);
title(s);
setfigure(12,8);
30
KAPITEL 3. NUMERIK ZUR FREIEN LÖSUNG
print -deps /net/noise2/moser/diplomarbeit/figuren/numlp/trajekt.eps
1000
t in tc
500
0
0
100
200
Abbildung 3.3: Bohmsche Trajektorein zum freien Positivenergiepaket mit k0 = 0.1
und ∆ = 0.1.
Im nächsten Programmteil wird überprüft, inwieweit die erhaltenen Trajektorien im
Rahmen einer Abschätzung des numerischen Fehlers aktzeptabel sind; dazu berechnen
wir zwei Trajektorien mit Startwerten − ∆2 und ∆2 und deren Endpunkte1 x1 (tmax),
x2 (tmax); nun wird |ψ(t, ·)|2 einmal über das Intervall [− ∆2 , ∆2 ] und einmal über das
Intervall [x1 (tmax), x2 (tmax)] integriert. Stimmen die so berechneten quantenmechanischen Wahrscheinlichkeiten, das Elektron im jeweiligen Anfangs– bzw. Endintervall
zu finden, in guter Näherung in beiden Fällen überein, “transportieren“ die Bohmschen
Trajektorien die Ortsaufenthaltswahrscheinlichkeit “richtig“; dies ist ein plausibles Kriterium dafür, daß die numerisch berechneten Integralkurven den exakten Lösungen
ziemlich nahe kommen.
%% Kontrolle der Wahrscheinlichkeitserhaltung
clear w;
clear z;
ts=0:tmax/100:tmax;
x1o=-2/delta;
[t,w]=ode45(’f’,[ts],[x1o],options);
if ko-2*delta > 0
x1tmax=max(w);
1
x1 (t) bezeichne die erste Trajektorie und x2 (t) die zweite.
3.2. EIN FREIES POSITIVENERGIEPAKET
31
else
x1tmax=min(w);
end;
x2o=2/delta;
[t,z]=ode45(’f’,[ts],[x2o],options);
if ko+2*delta < 0
x2tmax=min(z);
else
x2tmax=max(z);
end;
fprintf(’Die Anfangsdistanz betraegt:’);
x2o-x1o
fprintf(’Die Enddistanz betraegt:’);
d=x2tmax-x1tmax
figure(5);
plot(t,z-w);
xlabel(’t’);
ylabel(’d in Einheiten der Comptonwellenlaenge’);
title(’Distanz zweier Trajektorien mit Startwerten -2/\Delta 2/\Delta’);
print -deps /net/noise2/moser/diplomarbeit/figuren/numlp/distanz.eps
Abbildung 3.4 auf Seite 32 zeigt, daß Bohmsche Trajektorien mit Fortschreiten der Zeit
auseinanderlaufen; dies spiegelt – analog zum Schrödingerfall – die Tatsache wider, daß
lokalisierte Wellenpakete für negativ große bzw. positiv große Zeiten zerfließen.
32
KAPITEL 3. NUMERIK ZUR FREIEN LÖSUNG
220
200
180
160
140
120
100
80
60
40
0
100
200
300
400
500
t in tc
600
700
800
900
1000
Abbildung 3.4: Die zeitliche Entwicklung der Distanz d = |x1 (t) − x2 (t)| zweier Bohmscher Trajektorien mit Startwerten − ∆2 und ∆2 .
Kontrolle des äquivarianten Wahrscheinlichkeitstransportes:
% psi^2 im Intervall [x1(0),x2(0)]
psi10=Xdblquad(’funkt10’,ko-2*delta,ko+2*delta,x1o,x2o,1.e-6,’quad8’);
psi20=Xdblquad(’funkt20’,ko-2*delta,ko+2*delta,x1o,x2o,1.e-6,’quad8’);
fprintf(’Die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen zur Zeit 0 in
[x1(0),x2(0)] \nzu finden, ist:\n’);
psi10+psi20
% psi^2 im Intervall [x1(tmax),x2(tmax)]
psi1tmax=Xdblquad(’funkt1tmax’,ko-2*delta,ko+2*delta,x1tmax,x2tmax,1.e-6,
’quad8’);
psi2tmax=Xdblquad(’funkt2tmax’,ko-2*delta,ko+2*delta,x1tmax,x2tmax,1.e-6,
’quad8’);
fprintf(’Die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen zur Zeit tmax in [x1(tmax),x2(tmax)]\nzu
psi1tmax+psi2tmax
fprintf(’Der relative Fehler in Prozent betraegt:’);
abs(psi1tmax+psi2tmax-(psi10+psi20))/(psi1tmax+psi2tmax)*100
fprintf(’Druecken sie eine Taste, um das Programm zu beenden.\n’);
pause;
close all;
Die Ausgabe am Bildschirm sieht beim Beispiel zum freien Negativenergiepaket folgendermaßen aus:
3.3. EIN FREIES NEGATIVENERGIEPAKET
33
Geben sie den Impuls ko ein:
ko= 0
.....
Die Anfangsdistanz betraegt:
ans =
40
Die Enddistanz betraegt:
d =
204.0463
Die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen zur Zeit 0 in [x1(0),x2(0)]
zu finden, ist:
ans =
0.9552
Die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen zur Zeit tmax in [x1(tmax),x2(tmax)]
zu finden, ist:
ans =
0.9552
Der relative Fehler in Prozent betraegt:
ans =
1.97e-09
Druecken sie eine Taste, um das Programm zu beenden.
Der “relative Fehler in Prozent“ ist ein Maß für den bei der Berechnung der Integralkurven zu vψ eingeschlichenen numerischen Fehler.
3.3
Ein freies Negativenergiepaket
Eine Überlagerung von Negativenergiemodenlösungen zur freien Diracgleichung
beschreibt ein freies Positron; dies unterscheidet sich physikalisch, das heißt ohne
Anwesenheit eines externen Feldes, nicht von einem freien Elektron, insbesondere
erhält man dieselben Bohmschen Trajektorien für Negativ– und Positivenergiepakek0
te. Die Gruppengeschwindigkeit ergibt sich wiederum zu vG = ω̄(k
. Man beachte aber:
0)
Z
dk
(ψ, Kψ) =
(−k)|b̄(k)|2 ≤ 0
2ω̄
k
R
Mechanischer Impuls m vG und quantenmechanischer Impulserwartungswert (ψ, Kψ)
sind also einander entgegengesetzt.
Das im Anhang angeführte Programm numln.m berechnet analog zum Programm
34
KAPITEL 3. NUMERIK ZUR FREIEN LÖSUNG
numlp.m die Bohmschen Trajektorien für ein Negativenergiepaket. Dabei haben wir
folgende Impulsverteilung gewählt (Abbildung 3.5):
b̄ : R −→ R+
p
2
2
B 8π(ω̄k − k)ω̄k e−(k−k0 ) /∆ für k ∈ [k0 − 2∆, k0 + 2∆]
k 7−→
0
sonst
4
3.5
3
b(k)
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0
k
0.1
0.2
Abbildung 3.5: Fourierkoeffizient b̄(k).
B ∈ R+ ist wiederum eine Normierungskonstante. Folgendes Integral wird also
numerisch berechnet:
Z k0 +2∆
−κ
−(k−k0 )2 /∆2 −i(kx−ω̄k t)
ψ(t, x) =
dkBe
e
ω̄k − k
k0 −2∆
3.4
Überlagerung von Positiv– und Negativenergiemodenlösungen
Betrachtet man die allgemeine Lösung der freien Diracgleichung, das heißt eine Überlagerung von Positiv– und Negativenergiemodenlösungen, so liefert der Erwartungswert
des Multiplikationsoperators X die sog. “Zitterbewegung“ des Elektrons (siehe 1.3.3 in
Kapitel 1). Das Matlab Programm numl pn.m (Programmlisting im Anhang) berechnet die Bohmschen Trajektorien eines solchen Wellenpaketes; es wird sich zeigen, daß
sich diese “Zitterbewegung“ auch in den Trajektorien des Elektrons widerspiegelt. Zur
numerischen Berechnung wählen wir folgende spezielle Lösung ψ:
Z
dk
a(k)Uk (t, x) + b̄(k)Vk (t, x)
ψ(t, x) =
R 2ω̄k
3.4. ÜBERLAGERUNG VON POSITIV– UND NEGATIVENERGIEMODENLÖSUNGEN35
1000
t in tc
500
0
0
50
100
Abbildung 3.6: Die Bohmschen Trajektorien eines freien Positrons für folgende Parameterwahl: q0 = 0, ∆ = 0.1.
mit
a : R −→ R+
p
2
2
A 8π(ω̄k + k)ω̄k e−(k−k0 ) /∆ für k ∈ [k0 − 2∆, k0 + 2∆]
k 7−→
0
sonst
b̄ : R −→ R+
p
2
2
B 8π(ω̄k − k)ω̄k e−(k−k0 ) /∆ für k ∈ [k0 − 2∆, k0 + 2∆]
k 7−→
0
sonst
A und B sind wie vorher positive, reele Normierungskonstanten, wobei wir aus
Bequemlichkeit A = B setzen.
Das so gewählte Wellenpaket ist einfach die Summe der Positiv– und Negativenergielösung von vorher, wobei wir, um uns lästige Programmierarbeit zu ersparen,
k0 = q0 , also die Gruppengeschwindigkeiten der beiden orthogonalen Anteile gleich groß
gewählt haben. Abbildung 3.8 veranschaulicht die zeitliche Entwicklung eines solchen
Wellenpaketes.
Abbildung 3.9 auf Seite 37 demonstriert die “Zitterbewegung“ anschaulich als
Schwingungen der Elektronenbahn um seine “klassische“ Trajektorie, die das Elektron
realisiert, wenn nur Positivmodenlösungen oder nur Negativmodenlösungen superponiert werden; die zugehörige Frequenz ist für schmale Wellenpakete 2ω̄(k0 ).
Abbildung 3.10 zeigt das Auseinanderlaufen zweier Bohmscher Trajektorien zur
“Zitterbewegung des Elektrons“.
36
KAPITEL 3. NUMERIK ZUR FREIEN LÖSUNG
2
a(k) und b(q)
1.5
1
0.5
0
0
q und k Werte
0.2
0.4
Abbildung 3.7: Fourierkoeffizienten a(k) =—– und b̄(k) = − · − · −·.
| |2(tmin)
0.04
0.02
0
0
50
0
50
| |2(tmax)
0.015
0.01
0.005
0
Abbildung 3.8: Evolution eines Positiv–Negativenergiepaketes. tmin = −100 und tmax =
300.
3.4. ÜBERLAGERUNG VON POSITIV– UND NEGATIVENERGIEMODENLÖSUNGEN37
300
250
200
t in tc
150
100
50
0
0
20
40
60
Abbildung 3.9: Die “Zitterbewegung des Elektrons“. Dabei wurde k0 = q0 = 0 und
∆ = 0.2 gesetzt.
140
120
100
80
60
40
20
0
50
100
150
t in tc
200
250
300
Abbildung 3.10: |x1 − x2 |(t) zweier Bohmscher Trajektorien zur “Zitterbewegung des
Elektrons“. Startwerte der beiden Trajektorien: − ∆2 und ∆2 .
38
KAPITEL 3. NUMERIK ZUR FREIEN LÖSUNG
Kapitel 4
Berechnung der Bohmschen
Trajektorien zum Kleinschen
Paradoxon
4.1
Einige quantenmechanische
zum Kleinschen Paradoxon
Betrachtungen
In diesem Abschnitt werden wir in gedrängter Form die wesentlichen Ergebnisse, die
man bei der Behandlung der eindimensionalen Potentialstufe mit der Diracgleichung
erhält, wiedergeben.
v(x)
q0
-k 0
transmittiertes Paket
reflektiertes Paket
k0
V
einfallendes Wellenpaket
1
2
x
Abbildung 4.1: Skizze zum Kleinschen Paradoxon.
Wir lassen vom linken Halbraum ein Positivenergiepaket (Elektron) auf die
Potentialstufe einfallen und beobachten dessen Verhalten nach dem Eintreffen im
Bereich der Potentialstufe. Dies ist in Abbildung 4.1 schematisch dargestellt. Dabei
39
40
KAPITEL 4. NUMERIK ZUM KLEINSCHEN PARADOXON
werden wir anhand der Bohmschen Trajektorien feststellen, daß das Elektron einen
scheinbar “paradoxen Weg“ verfolgt. In der Literatur ist dieses Problem als das
“Kleinsche1 Paradoxon“ bekannt, siehe z.B. [BD],[Gr] oder [Klein]. Dies deshalb, weil
sich bei der Berechnung des Reflexions– und Transmissionskoeffizienten scheinbar eine
paradoxe Situation ergibt: Der reflektierte Wahrscheinlichkeitsstrom übertrifft den
einfallenden (siehe wiederum [Gr],[Holl],[BD]). Eine genauere Analyse der Situation
zeigt jedoch, daß die Ursache für diese “Paradoxie“ die Vorgabe einer Asymptotik
ist, die der Sommerfeldschen Einstrahlungs– anstelle der Austrahlungsbedingung
entspricht [Hort].
Die Diracgleichung für ein Teilchen mit elektrischer Ladung e im äußeren Potentialfeld A erhält man mit Hilfe der Regel der minimalen Kopplung, das heißt, man
ersetzt alle Ableitungen ∂µ durch ∂µ + i e×2π
Aµ =: ∂µ + iq0 Aµ .
hc
Damit ergibt sich (Diracgleichung im externen Feld):
i∂t ψ(t, x) = (hA ψ)(t, x)
(4.1)
mit dem Dirachamiltonian hA zum Potentialfeld A:
hA := h + q0 A0 + q0 γ 0 γ l Al = −iγ 0 γ l ∂l + κγ 0 + q0 A0 + q0 γ 0 γ l Al
Speziell in zwei Dimensionen mit γ 0 = σ 1 und γ 1 = (−i)σ 2 gilt:
(−i)∂1 + q0 (A0 + A1 )(t, x)
κ
hA (t, x) =
κ
i∂1 + q0 (A0 − A1 )(t, x)
Bildet man aus den Lösungen der Diracgleichung im äußeren Potentialfeld A den
zugehörigen Diracstrom, verifiziert man leicht, daß dieser wiederum divergenzfrei ist;
es gilt nämlich:
(i(∂µ + iq0 Aµ )γ µ − κ) ψ = 0 =⇒
i∂µ γ µ ψ = (q0 Aµ γ µ + κ)ψ
(i∂µ ψ̄)γ µ = ψ̄(−q0 Aµ γ µ − κ)
Daraus folgt:
i div(jψ ) = i∂µ (ψ̄γ µ ψ) = (i∂µ ψ̄)γ µ ψ + ψ̄(i∂µ γ µ ψ) =
= ψ̄(−q0 Aµ γ µ − κ)ψ + ψ̄(q0 Aµ γ µ + κ)ψ = 0
(4.2)
Man kann zeigen, daß für die von uns betrachteten Aµ (t, ·) auf einem dichten Unterraum
von H gilt: hA = h?A . Eine systematische Untersuchung findet man in [Jorg]. Wir
beschränken uns hier auf statische, externe, eindimensionale Ladungsdichten, das heißt:
∂2
1
A0 (t, x) = − ρext (t, x), A1 = 0, ∂t A0 (t, x) = 0
2
∂x
0
1
Benannt nach dem Physiker O. Klein
4.1. DAS KLEINSCHE PARADOXON
mit 0 =
1
µ 0 c2
41
und µ0 = 4π10−7 H/m.
Z
∞
dx ρext (x) = 0
−∞
Qualitativ schaut das Potential zu dieser Ladungsverteilung ρ wie in Abbildung 4.2
aus.
+
-
x
V
v(x)
1
2
x
Abbildung 4.2: Ladungsverteilung und Potential zum Kleinschen Paradoxon.
Weiters sei in den Gebieten ∆1 und ∆2 die externe Ladungsdichte ρext gleich 0. Der
Dirachamiltonian für dieses System läßt sich wie folgt schreiben:
hA = h + v(x). Dabei bezeichne h den freien Dirachamiltonian und v(x) sei definiert
als v(x) := −q0 A0 (x); den konstanten Wert, den v(x) im Gebiet ∆2 annimmt, werden
wir im folgenden mit V bezeichnen. Uneigentliche Eigenvektoren zu hA sind in ∆i , i ∈
{1, 2} oszillatorisch, führen also durch Superposition zu Wellenpaketen, die in ∆i laufen.
Bezeichne Φ e−it eine uneigentliche Lösung zu Gleichung 4.1 zur Energie , das heißt
hA Φ = Φ . Dann werden in ∆i die uneigentlichen Eigenvektoren zu hA folgende
Gestalt haben:
Φ (x) = ai eiki x + bi e−iki x ,
x ∈ ∆i ,
ki ∈ R,
ai , bi ∈ C2
Die zugehörigen Dispersionsrelationen lauten:
• in ∆1 : 1 (k1 ) = ±ω̄(k1 )
• in ∆2 : 2 (k2 ) = V ± ω̄(k2 )
Aus hA Φ = Φ folgt:
1 (k1 ) = 2 (k2 )
Wann hat diese Gleichung nun Lösungen?
(4.3)
42
KAPITEL 4. NUMERIK ZUM KLEINSCHEN PARADOXON
1. Fall 1:
V < 2κ, = ω̄(k1 ), siehe Abbildung 4.3;
sei weiters k1 > 0.
Falls ω̄(k1 ) < V + κ hat Gleichung 4.3 keine Lösung, d.h. eine in ∆2 oszillierende
Lösung existiert nicht. Wellenpakete mit ω̄(k1 ) < V + κ werden also totalreflektiert.
Ist hingegen ω̄(k1 ) ≥ κ + V hat ω̄(k2 ) + V = ω̄(k1 ) genau eine Lösung in R+ und
in ∆2 existiert eine oszillierende Welle. Wellenpakete laufen auch in ∆2 und werden beim Eindringen in den Bereich der Potentialstufe gleich einem klassischen
Teilchen der Ladung −e gebremst, da k2 < k1 . Sie beschreiben also “Elektronen“.
2. Fall 2:
V < 2κ, = −ω̄(k2 ) + V , siehe Abbildung 4.3;
sei wiederum k1 > 0.
Falls −ω̄(k2 ) + V > −κ existiert in ∆1 keine oszillierende Lösung und Wellenpakete laufen nur in ∆2 . Ist hingegen −ω̄(k2 ) + V ≤ −κ laufen Wellenpakete in
beiden Halbräumen. Sie sind in ∆2 schneller als in ∆1 , da k2 > k1 (“Positronen“).
(k)+V
(k)
Fall a)
Fall b) k
(k)+V
-
(k)
Abbildung 4.3: Graphische Lösung von Gleichung 4.3 für V < 2κ.
3. Fall 3:
V ≥ 2κ, = ω̄(k1 ), siehe Abbildung 4.4;
In diesem Fall gibt es vier verschiedenen Lösungstypen, abhängig davon, in welchem Intervall der k1 Vektor der einfallenden ebenen Welle liegt:
a) Für k1 ∈ [0, a] läuft das Wellenpaket in ∆2 schneller als in ∆1 .
b) Für k1 ∈ (a, b] läuft das Wellenpaket in ∆2 langsamer als in ∆1 .
Diese zwei Fälle werden als Kleinsches Paradoxon bezeichnet: Ein Positiv–
Energiepaket dringt aus ∆1 nach ∆2 und reagiert dort auf ein äußeres elektromagnetisches Feld mit einer Beschleunigung um einen Betrag, der einem Teilchen
4.1. DAS KLEINSCHE PARADOXON
43
der Ladung +e entspricht. Im Physikerjargon sagt man: Elektronen mit entsprechenden Energien, die eine Potentialstufe V überwunden haben, verhalten sich
wie Positronen. Eine mögliche Interpretation dieses Phänomens im Rahmen einer
Diracschen Quantenfeldtheorie findet sich etwa in [Gr].
c) Für k1 ∈ (b, c] läuft das Wellenpaket nur in∆1 .
d) Für k1 ∈ (c, ∞) läuft das Paket in ∆2 langsamer als in ∆1 und verhält sich
dort auch wie ein “Elektron“.
(k)+V
(k)
(k)+V
a b
c
-
k
(k)
Abbildung 4.4: Graphische Lösung von Gleichung 4.3 für V ≥ 2κ.
4. Fall 4:
V ≥ 2κ, = −ω̄(k2 ) + V ;
Dieser Fall wird analog zum vorhergehenden diskutiert; da wir ihn nicht betrachten werden, begnügen wir uns hier mit der Skizze in Abbildung 4.4, aus der man
die diversen Lösungen mit freiem Auge ablesen kann.
Anmerkungen:
Zusammenfassend
kann S man
sagen,
daß
für
V
<
2κ
gilt
Spec(hA ) = (−∞, −κ + V ] [κ, ∞) und für V ≥ 2κ Spec(hA ) = R.
Auf das Problem der Elektronen–Transmission und Reflexion an einer Potentialstufe
im relativistischen Fall hat zum ersten Mal O.Klein hingewiesen [Klein]; das von ihm
gefundene merkwürdige Verhalten der Elektronen wird deshalb auch als Kleinsches
Paradoxon bezeichnet. Für die experimentelle Realisierung des Kleinschen Phänomens
bräuchte man für Elektronen elektrische Feldstärken von mindestens 2.6 × 1018 V /m
über eine Distanz von κ1 ∼
= 0.4 × 10−12 m [Sauter].
44
KAPITEL 4. NUMERIK ZUM KLEINSCHEN PARADOXON
4.2
Konstruktion der uneigentlichen Eigenvektoren und numerische Berechnung der damit superponierten Wellenpakete für ein von links
auf die Potentialstufe einfallendes Positiv–
Energiepaket
Wir wählen nun das Potential v(x) = V Θ(x) mit V ∈ R+ wie in Abbildung 4.5 dargestellt; dies dient nur der mathematischen Vereinfachung, die damit erzielten Ergebnisse
gelten auch für allgemeinere statische elektrische Potentiale [Sauter].
v(x)
V
k
1
2
x
Abbildung 4.5: Potentialfunktion zum Kleinschen Paradoxon.
4.2.1
Beispiel 1: Relativistische Potentialstufe nach Bjorken
& Drell
Im folgenden Abschnitt werden wir den Konstruktionen von Bjorken & Drell [BD],
Holland [Holl], Greiner [Gr] et alteri folgend ebene Wellenlösungen zur relativistischen
Potentialstufe berechnen und mit diesen Wellenpakete bilden. Dabei wird sich die
schon früher erwähnte paradoxe Situation ergeben, daß in den linken Halbraum mehr
reflektiert wird als aus dem linken Halbraum einfällt. Betrachtet man jedoch die
Limiten t → ±∞ von ψ(t, x), stellt man fest, daß die von Bjorken & Drell konstruierte
Lösung gar nicht die von ihnen beschriebene physikalische Situation widerspiegelt;
erst eine entsprechend gewählte Asymptotik liefert ein physikalisch sinnvolles Ergebnis.
Zur Berechnung des Wellenpaketes wählen wir folgende Situation:
Das Potential V ist größer als 2κ. Die k1 Vektoren2 des vom linken Halbraum
2
Im weiteren werden wir die Wellenzahlvektoren k1 mit k bezeichnen.
4.2. NUMERIK ZUR POTENTIALSTUFE
45
√
einfallenden Wellenpaketes liegen im Intervall (0, V 2 − 2κV ). Dies impliziert
bei der numerischen Berechnung des Wellenpaketes (siehe Seite 68) natürlich
ω̄(k0 + 2∆) < V − κ; die sich aus der Gleichung (k1 ) = (k2 ) ergebenden k2 Vektoren3
im rechten Halbraum wählen wir alle positiv. Der Ansatz für die Ebenenwellenlösungen
lautet also:
√
2πUk (t, x) = u(k)e−i(ω̄k t−kx) + r(k)u(−k)e−i(ω̄k t+kx) ∀x ∈ ∆1
√
2πVq (t, x) = t(k)v(q)e−i((V −ω̄(q))t−qx) ∀x ∈ ∆2
mit der Bedingung ω̄k = V − ω̄(q). Definiere Ω := ω̄(q). Aus der Stetigkeitsbedingung
Uk (t, 0) = Vq (t, 0) ∀t ∈ R erhält man zwei Gleichungen für den Reflexionskoeffizienten
r(k) und den Transmissionskoeffizienten t(k). Es gilt nach einfachen Umformungen:
r
ω̄k + k V + q − k
r(k) = −
ω̄ − k V + q + k
r k
Ω+q
2k
t(k) = −
ω̄k − k V + q + k
Die drei zu dieser Ebenenwellenlösung gehörigen uneigentlichen Ströme sind:
j1 (k) := (u(k), γ 0 γ 1 u(k))D = 2k . . . einfallende Stromdichte
jr (k) = −2k|r(k)|2 < 0 . . . reflektierte Stromdichte
jt (k) = −2q|t(k)|2 < 0 . . . transmittierte Stromdichte
Eine einfache Rechnung zeigt:
j1 (k) + jr (k) = jt (k)
(4.4)
Daraus ergibt sich, daß |jr | > |j1 |.
Dies erscheint zunächst paradox, wird aber klar, wenn man sich anschaut, was bei der
Bildung von Wellenpaketen geschieht: bildet man nämlich bei der Paketlösung 4.5 den
Limes t → −∞, so sieht man, daß sowohl im linken als auch im rechten Halbraum je
ein Paket vorhanden ist und diese aufeinander zulaufen.
Die von uns berechnete Paketlösung ist
Z
dk
a(k) (Θ(−x)Uk (t, x) + Θ(x)Vq (t, x))
(4.5)
ψ(t, x) =
R 2ω̄k
mit a(k) wie früher√ definiert (siehe Matlab–Programm numlp.m) und
k0 − 2∆ > 0, k0 + 2∆ ≤ V 2 − 2κV .
Was passiert mit obigem Wellenpaket im limes t → ±∞? Dazu verwenden wir
folgenden Satz
3
Wir werden sie im weiteren mit q bezeichnen.
46
KAPITEL 4. NUMERIK ZUM KLEINSCHEN PARADOXON
Satz 4.1 Ist fn : [a, b] −→ C eine Folge stetiger Funktionen, die auf dem reellen
Intervall [a, b] gleichmäßig gegen eine Grenzfunktion f : [a, b] −→ C konvergiert, dann
gilt:
Z
Z
b
lim
n→∞
b
dxfn (x) =
a
dxf (x)
a
Beweis:
Z b
2
Z b
2
Z b
dxfn (x) −
dxf (x) = dx(fn (x) − f (x)) ≤
a
a
a
Z b
≤
dx|fn − f |2 (x) ≤
a
≤ (b − a)sup{|fn − f |2 (x), x ∈ [a, b]}
Da {fn }n=1,2,... gleichmäßig konvergiert, gilt: sup{|fn − f |2 (x), x ∈ [a, b]} → 0 für
n → ∞.
Vergleiche auch [Forst].
Für x < 0 ist nun:
Z
p
p
dk 1
a(k) ω̄k + ke−i(ω̄k t−kx) + r(k)a(k) ω̄k − ke−i(ω̄k t+kx)
ψ (t, x) =
R 2ω̄k
Definiere I := [k0 − 2∆ k0 + 2∆] und
Es gilt:
R
R
=
+
=
−
+
−
a(k)
ω̄k
=: ã(k).
p
p
dk a(k) ω̄k + ke−i(ω̄k t−kx) + r(k)a(k) ω̄k − ke−i(ω̄k t+kx) =
Z2ω̄k
p
1
d −i(ω̄k t−kx)
e
+
dk ã(k) ω̄k + k
k
−i( ω̄k t − x) dk
R
Z
p
1
d −i(ω̄k t+kx)
dk ã(k)r(k) ω̄k − k
e
=
k
−i( ω̄k t + x) dk
R
p
1
−i(ω̄k t−kx) ∞
ã(k) ω̄k + k
e
−∞ −
−i( ω̄kk t − x)
!
Z
p
d
1
dk
ã(k) ω̄k + k
e−i(ω̄k t−kx) +
dk
−i( ω̄kk t − x)
R
p
1
ã(k)r(k) ω̄k − k
e−i(ω̄k t+kx) ∞
−∞ −
k
−i( ω̄k t + x)
!
Z
p
d
1
dk
ã(k)r(k) ω̄k − k
e−i(ω̄k t+kx)
k
dk
−i( ω̄k t + x)
R
(4.6)
(4.7)
(4.8)
4.2. NUMERIK ZUR POTENTIALSTUFE
47
4.6 und 4.7 geben 0, da a(k) kompakten Träger hat. Eine längere, aber einfache Rechnung und eine Diskretisierung der Variablen t durch die negativen natürlichen Zahlen
zeigen, daß der zweite verbleibende Integrand 4.8, der das reflektierte Wellenpaket beschreibt, die Voraussetzungen von Satz 4.1 erfüllt: Da k > 0, ∀k ∈ I und x < 0 gilt,
ist die durch −n parametrisierte Funktionenfolge überall definiert und konvergiert für
n → ∞ gleichmäßig gegen die Nullfunktion.
Beweisidee:
√
Setze t = −n, n = 1, 2, . . . und g(k) := i ã(k)r(k) ω̄k − k . Man zeigt durch direktes Ausrechnen leicht, daß g : I −→ C stetig differenzierbar und beschränkt ist. Nun
definiere folgendermaßen eine Funktionenfolge {fn }n=1,2,... :
fn : I −→ C
k 7−→ g(k)
κ2
n
ω̄k3
( ω̄kk (−n)
d
1
−i(ω̄k (−n)+kx)
e
+
(g(k))
e−i(ω̄k (−n)+kx)
k
dk
+ x)2
− ω̄k n + x
Es gilt: limn→∞ |fn | =: f = 0. Hierfür ist wesentlich, daß x < 0 gilt. Man zeigt nun
durch eine einfache Abschätzung, daß für jedes > 0 ein N () existiert, sodaß gilt:
|fn (k) − f (k)| < für alle n ≥ N (). Also konvergiert fn gleichmäßig gegen f .
Für t → −∞ stirbt also das reflektierte Wellenpaket im linken Halbraum aus, nicht
jedoch das einfallende: x kann so groß gewählt werden, daß man ( ω̄kk t − x) ∼ 0 für
beliebig negative Zeiten erreicht.
Analoges gilt für ψ 2 .
Im rechten Halbraum gilt hingegen:
Z
1/2
ψ (t, x) ∼
dk h1/2 (k)e−iV t ei(ω̄(q)t+qx)
R
1/2
Durch direktes Nachrechnen verifiziert man, daß ht : I −→ C wiederum die Voraussetzungen von Satz 4.1 erfüllt. Bildet man nun den limes t → −∞, so läßt sich
dq
immer noch ein x > 0 finden, sodaß ( ω̄qq t + x) dk
≈ 0; es sind ω̄q , q, x > 0. Dieser
Anteil an der Paketlösung “stirbt“ also für negativ große Zeiten nicht aus, jedoch für
t → +∞. Physikalisch bedeutet dies, daß für negative Zeiten auch im rechten Halbraum
ein Wellenpaket existiert und sich nach links bewegt. Bildlich ist dieser Sachverhalt in
Abbildung 4.6 dargestellt.
Bjorken & Drell et alteri gehen also von einer unzutreffenden physikalischen
Ausgangsituation aus, wenn sie von einem links einfallenden Wellenpaket sprechen
und den Anteil im rechten Halbraum nicht berücksichtigen; daraus ergibt sich dann
auch die scheinbar paradoxe Situation der Stromdichten. Bei “richtig“ gewählter
Asymptotik4 gilt, wie später gezeigt wird, daß der Betrag der reflektierten Stromdichte
4
Das heißt, für große negative Zeiten läuft nur vom linken Halbraum ein Wellenpaket gegen die
Potentialstufe.
48
KAPITEL 4. NUMERIK ZUM KLEINSCHEN PARADOXON
k
v(x)
q
k
V
1
x
2
Abbildung 4.6: Wellenpakete bei “falsch“ gewählter Asymptotik.
kleiner ist als der der einfallenden.
Mit dem Matlab–Programm kleinbf.m, dessen Programmlisting man im Anhang
findet, wird die Paketlösung 4.5 numerisch berechnet, und zwar analog zum freien Positivenergiepaket als Fourierintegral eines um k0 zentrierten, in die positive x–Richtung
laufenden Wellenpaketes (siehe Abbildung 4.7). Die zum Bohmschen Vektorfeld vψ
berechneten Integralkurven bestätigen die vorherigen qualitativen Aussagen über die
zeitliche Evolution des Wellenpaketes.
8
7
6
a(k)
5
4
3
2
1
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
k
Abbildung 4.7: Fourierkoeffizient a(k) .
4.2. NUMERIK ZUR POTENTIALSTUFE
49
Der Plot von (ψ̄γ 0 ψ)(t, x) (Abbildung 4.8) zeigt, daß für negative Zeiten vom linken
und vom rechten Halbraum Wellenpakete einlaufen und für positive Zeiten nur das
Paket im linken Halbraum überlebt.
2
| | (tmin)
0.4
0.2
0
0
100
200
300
400
500
600
2
| | (tmax)
0.4
0.2
0
0
50
Abbildung 4.8: Zeitliche Evolution des Wellenpaketes. tmin = −200, tmax = 200.
Die Bohmschen Trajektorien zeigen als Integralkurven zu einem Geschwindigkeitsvektorfeld in einem einzigen Bild, wie das Wellenpaket zeitlich evolviert; insbesondere
sieht man in der Abbildung 4.9, wie das Paradoxe am “Kleinschen Paradoxon“ anhand
der Teilchentrajektorien leicht erklärbar ist.
50
KAPITEL 4. NUMERIK ZUM KLEINSCHEN PARADOXON
200
150
100
t in t
c
50
0
0
100
200
300
Abbildung 4.9: Bohmsche Trajektorien zum Kleinschen Paradoxon nach Bjorken &
Drell. Wahl der Parameter: k0 = 0.5, V = 10, ∆ = 0.2.
4.2. NUMERIK ZUR POTENTIALSTUFE
4.2.2
51
Beispiel 2: Relativistische Potentialstufe mit “richtiger“
Asymptotik
Wir konstruieren nun die uneigentlichen Ebenewellenlösungen so, daß im Limes
t → −∞ nur ein Wellenpaket vom linken Halbraum einfällt; diese Lösung wird der
physikalischen Situation, wie sie von Bjorken & Drell et alteri zur Beschreibung des
Kleinschen Paradoxons herangezogen wird, entsprechen; insbesondere werden wir sehen, daß |jr | ≤ |j1 | gilt. Die Ausgangssituation zur Berechnung der Ebenewellenlösungen sei dieselbe wie bei Beispiel 1. Nun wählen wir aber die Wellenzahlvektoren q im
rechten Halbraum, die der Gleichung (k) = (q) genügen, im Gegensatz zum vorhergehenden Beispiel alle negativ. Dies liefert folgenden Ansatz für die Ebenewellenlösungen:
√
2πUk (t, x) = u(k)e−i(ω̄k t−kx) + r(k)u(−k)e−i(ω̄k t+kx) ∀x ∈ ∆1
√
2πVq (t, x) = t(k)v(−|q|)e−i((V −ω̄(q))t+|q|x) ∀x ∈ ∆2
Es gilt also:
p
q = − V 2 − 2V ω̄(k) + k 2 < 0.
Aus der Stetigkeitsbedingung Uk (t, 0) = Vq (t, 0) ∀t ∈ R erhält man nach einfachen
Umformungen:
r
ω̄k + k V − |q| − k
r(k) = −
ω̄k − k V − |q| + k
p
1p
2k
t(k) = −
Ω − |q| ω̄k + k
κ
V − |q| + k
Dabei ist wiederum Ω := ω̄(q).
Die drei mit diesen Ebenenwellenlösungen konstruierten Stromdichten sind:
j1 (k) := (u(k), γ 0 γ 1 u(k))D = 2k . . . einfallende Stromdichte
jr (k) := (u(−k), γ 0 γ 1 u(−k))D = −2k|r(k)|2 < 0 . . . reflektierte Stromdichte
jt (k) := (v(−|q|), γ 0 γ 1 v(−|q|))D = +2|q||t(k)|2 > 0 . . . transmittierte Stromdichte
Man rechnet wiederum leicht nach (Abbildung 4.10):
j1 (k) + jr (k) = jt (k) und somit |jr | ≤ |j1 |
Bildet man nun mit diesen uneigentlichen Lösungen analog zu Beispiel 1 ein
Wellenpaket, so stellt man fest, daß in ∆1 für t → −∞ der reflektierte Anteil vom
Wellenpaket ausstirbt; im rechten Halbraum ∆2 stirbt das Paket nun auch aus, da
d
limt→−∞ (− ω̄|q|q t + x) dk
(|q|) = ∞ ∀x > 0.
52
KAPITEL 4. NUMERIK ZUM KLEINSCHEN PARADOXON
j>0
1
j >0
t
jr<0
Abbildung 4.10: Uneigentliche Stromdichten zum Kleinschen Paradoxon schematisch.
Bemerkung:
Dies überlegt man sich analog zum Beispiel 1 mit Satz 4.1.
Die Situation ist also folgende:
Für negativ große Zeiten läuft ein Wellenpaket von links gegen die Potentialschwelle;
für positiv große Zeiten spaltet sich das einfallende Paket in einen reflektierten und
einen transmittierten Anteil auf.
Die folgenden Plots wurden mit dem Matlab–Programm kleinb.m (siehe Anhang) erstellt; dabei ist der Fourierkoeffizient a(k) wiederum wie in kleinbf.m
k0
gewählt und die Gruppengeschwindigkeit vG = ω̄(k
so, daß gilt: 0 < k0 − 2∆ und
0)
√
2
k0 + 2∆ < V − 2κV . Die Abbildung 4.11 zeigt die zeitliche Entwicklung des Wellenpaketes: Insbesondere sieht man, daß für negativ große Zeiten vom linken Halbraum
ein Elektronpaket auf die Potentialstufe einfällt; ein Teil des Paketes wird reflektiert
und ein Teil – jetzt als Negativenergiepaket – transmittiert. Die Bohmschen Trajektorien zeigen die Reflexion und Transmission des Wellenpaketes (Abbildung 4.12 auf
Seite 54); man beachte die “mechanische“ Geschwindigkeitsänderung des Elektrons
beim Eindringen in den Bereich der Potentialschwelle. Dies spiegelt die Änderung des
quantenmechanischen Impulserwartungswertes (ψ, Kψ) wider.
4.2.3
Beispiel 3: “Nicht–Kleinscher“ Fall
Beispiel 3 beschreibt den sog. “Nicht–Kleinschen“ Fall, das heißt ein Elektron trifft auf
die Potentialschwelle, wird reflektiert oder dringt abgebremst in den rechten Halbraum
ein; dort wird es weiterhin mit einer Uq –Lösung beschrieben, das heißt, es reagiert auf
äußere Felder wie ein klassisches Teilchen mit der Ladung −e.
Die Situation sei nun folgende: Die Potentialhöhe V sei kleiner als 2κ; die Wellenzahl-
4.2. NUMERIK ZUR POTENTIALSTUFE
53
2
min
| | (t )
0.4
0.2
0
0
2
| | (t
max
)
0.2
0.1
0
0
100
200
300
400
Abbildung 4.11: Zeitliche Evolution von ||ψ||2 (·, x). tmin = −100, tmax = 100.
√
vektoren k der einfallenden Paketlösung seien größer als V 2 + 2κV . Weiters gilt:
p
ω̄k = V + ω̄(q) =: V + Ω ⇒ q = + V 2 + k 2 − 2ω̄k V .
Die Wellenzahlvektoren q im Gebiet ∆2 werden also positiv gewählt. Dies führt zu
folgender Konstruktion der uneigentlichen Eigenvektoren zum Dirachamiltonian hA :
√
2πUk (t, x) = u(k)e−i(ω̄k t−kx) + r(k)u(−k)e−i(ω̄k t+kx) ∀x ∈ ∆1
√
2πUq (t, x) = t(k)u(q)e−i((V +ω̄(q))t−qx) ∀x ∈ ∆2
Die Stetigkeitsbedingung von ψ bei x = 0 liefert wiederum:
r
ω̄k − k q − V − k
r(k) =
ω̄ + k V − q − k
r k
Ω+q
−2k
t(k) =
ω̄k + k V − q − k
Gleichung 4.9 beschreibt die Paketlösung, die numerisch berechnet wird:
Z
dk
a(k)(Θ(−x)Uk (t, x) + Θ(x)Uq (t, x))
ψ(t, x) =
R 2ω̄k
mit
a : R −→ R+
p
2
2
8π(ω̄k + k)ω̄k e−(k−k0 ) /∆ für k ∈ [k0 − 2∆, k0 + 2∆]
k 7−→
0
sonst
(4.9)
54
KAPITEL 4. NUMERIK ZUM KLEINSCHEN PARADOXON
100
t in t
c
50
0
0
50
100
150
Abbildung 4.12: Bohmsche Trajektorien zum Kleinschen Paradoxon mit “richtiger“
Asymptotik. Parameter: k0 = 0.5, ∆ = 0.2, V = 15.
Die Betrachtungen zum asymptotischen Verhaltenn von der Paketlösung 4.9 folgen
wiederum aus Satz 4.1:
Das reflektierte Wellenpaket stirbt für limes t → −∞ aus, denn ( ω̄kk t + x) → ∞
für t → −∞, x < 0, k > 0; auch das Paket im rechten Halbraum stirbt aus, da
dq
( ω̄qq t − x) dk
→ −∞. Für t → +∞ hingegen wandert das transmittierte Paket in ∆2
nach rechts.
Die folgenden Bilder zeigen die für diese physikalische Situation mit dem Programm
kleinab.m (siehe Anhang) berechneten Bohmschen Trajektorien und die zugehörige zeit2
liche Evolution der Ortsaufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte ||ψ||
√ (t, x). Dabei wurde
die Gruppengeschwindigkeit vG so gewählt, daß gilt: k0 − 2∆ > V 2 + 2κV . Man beachte, daß das Elektron beim Eindringen in die Potentialstufe abgebremst wird.
Abbildung 4.15 zeigt dieselbe
Situation wie Abbildung 4.14, allerdings wird nun k0
√
so gewählt, daß k0 +2∆ < V 2 + 2κV . Die Dispersionsrelation ist für ein reelles k nicht
mehr erfüllbar, d.h. im rechten Halbraum existiert keine oszillatorische Lösung mehr,
sondern nur eine exponentiell abfallende; die Ortsabhängigkeit der Ebenewellenlösung
ist ∼ e−qx für x ∈ ∆2 . Die Integralkurven zu vψ dringen deshalb nur ein wenig in den
rechten Halbraum ein und werden total reflektiert.
4.2. NUMERIK ZUR POTENTIALSTUFE
55
1
2
min
| |(t )
1.5
0.5
0
0
50
2
| |(t
max
)
1.5
1
0.5
0
0
20
40
Abbildung 4.13: Evolution des Wellenpaketes zum “Nicht–Kleinschen Fall“. tmin =
−300, tmax = 400.
400
300
t in tc
200
100
0
0
100
200
300
Abbildung 4.14: Bohmsche Trajektorien zum “Nicht–Kleinschen Fall“. Wahl der Parameter: k0 = 1.88, ∆ = 0.04, V = 1.
56
KAPITEL 4. NUMERIK ZUM KLEINSCHEN PARADOXON
t in tc
50
0
0
10
Abbildung 4.15: Bohmsche Trajektorien zum “Nicht–Kleinschen“ Fall: Totalreflexion.
Parameter: k0 = 1, ∆ = 0.251, V = 1.
4.3. NUMERIK ZUM POTENTIALWALL
4.3
57
Konstruktion der Lösung und numerische Berechnung für ein von links auf einen Potentialwall endlicher Breite einfallendes Positiv–
Energiepaket
In diesem Abschnitt werden wir Beispiele 3 und 2 von vorher nochmals durchexerzieren,
allerdings mit einer modifizierten Potentialfunktion:
v : R −→ R+
V
x 7−→
0
für x ∈ [0, d] d ∈ R+
sonst
v(x)
V
k
1
2
d
3
x
Abbildung 4.16: Skizze der Potentialfunktion und Definition der Gebiete ∆1 , ∆2 und
∆3 .
Wir betrachten deshalb den Fall eines endlichen Potentialwalles, weil die dazu berechneten Bohmschen Trajektorien eindrucksvoll das quantenmechanische Verhalten
des Systems wiedergeben, insbesondere Mehrfachreflexionen des Elektrons innerhalb
des Potentialwalles. Die verschiedenen Lösungstypen unterscheiden sich physikalisch
jedoch nicht von den im vorhergehenden Abschnitt besprochenen.
4.3.1
Beispiel 1: “Nicht–Kleinscher“ Fall
Die physikalische Ausgangssituation sei dieselbe wie in Beispiel 4.2.3: Die k–Werte des
vom Gebiet ∆1 einfallenden Wellenpaketes sind größer 0; die die Dispersionsrelation
im Gebiet ∆2 erfüllenden Wellenzahlvektoren q wählen wir auch positiv; es gilt also:
ω̄k = V + ω̄(q) =: V + Ω und V < 2κ.
58
KAPITEL 4. NUMERIK ZUM KLEINSCHEN PARADOXON
Damit folgt als Ansatz für Ebenewellenlösungen zum Hamiltonoperator
hA := −iγ 0 γ l ∂l + κγ 0 + v(x):
√
2πUk (t, x) = u(k)e−i(ω̄k t−kx) + r(k)u(−k)e−i(ω̄k t+kx) ∀x ∈ ∆1
√
2πUq (t, x) = t(k)u(q)e−i((V +ω̄(q))t−qx) + s(k)u(−q)e−i(V +Ω)t e−iqx ∀x ∈ ∆2
√
2π Ũk (t, x) = p(k)u(k)e−i(ω̄k t−kx) ∀x ∈ ∆3
Aus den Stetigkeitsbedingungen für ψ bei x = 0 und x = d folgt:
Uk (t, 0) = Uq (t, 0)
Uq (t, d) = Ũk (t, d)
Aus diesen vier Gleichungen erhält man nach längeren, aber trivialen Umformungen
die Reflexions– und Transmissionskoeffizienten:
2
κ
κb
1 −iqd κ a2 b 2 κ2
1 −iqd a3 κ
2
iqd κ
t(k) =
e
−
−b / e ( − 2)+ e
( −
)(b − 2 )
c
κ
a
a2
b
a
c
b
κ
a
b κ a2 b
b a3 κ
s(k) = t(k)
−
+
−
c b
κ
c κ
a
a
κ
r(k) =
t(k)b + s(k) − a
κ
b
1 −ikd κ
p(k) =
e
t(k)beiqd + s(k)e−iqd
a
b
a, b, c sind wie folgt definiert:
p
p
a := ω̄k + k, b := Ω + q, c := a2 − b2
Die mit Hilfe des Matlab–Programms kleinabw.m (siehe Seite 75) numerisch berechnete
zeitliche Evolution von (ψ̄γ 0 ψ)(t, x) ist in Abbildung 4.17 dargestellt; in Abbildung 4.18
werden die Bohmschen Integralkurven zu vψ graphisch dargestellt: An ihnen kann man
die Mehrfachreflexionen des Elektrons innerhalb des Potentialwalles ablesen.
Zur numerischen Integration von ψ wird wieder separat in den Gebieten ∆1 , ∆2 und ∆3
das Fourierintegral von Beispiel 4.2.3 berechnet.√
Dabei wird die Energie des einfallenden
Wellenpaketes so gewählt, daß gilt: k0 − 2∆ > V 2 + 2κV .5
4.3.2
Beispiel 2: Kleinscher Fall
Dieser Absatz behandelt analog zu Beispiel 4.2.2 den Kleinschen Fall mit “richtiger“
Asymptotik: Im Bereich der Potentialbarriere, d.h. im Intervall [0, d], reagiert das Elektron auf äußere elektrische Felder wie ein Positron; mathematisch bedeutet dies, daß
5
Beim Potentialwall endlicher Breite gibt es im Unterschied zu Beispiel 4.2.3 keine Totalreflexion.
4.3. NUMERIK ZUM POTENTIALWALL
59
0.2
| 2|(tmin)
0.15
0.1
0.05
0
0
0.1
| |2(tmax)
0.08
0.06
0.04
0.02
0
0
100
200
300
400
Abbildung 4.17: Evolution von ||ψ||2 (·, x) im “Nicht–Kleinschen Fall“ zur Potentialbarriere mit Breite d. tmin = −40, tmax = 240.
bei der Bildung von Wellenpaketen im Gebiet ∆2 Vq –Lösungen superponiert werden.
Es sei wie in Beispiel 4.2.2 folgender Datensatz gegeben:
V ist größer als 2κ; die k–Werte im
√ linken Halbraum sind positiv, ebenso jene im Gebiet ∆3 . In ∆2 wählen wir: q = − V 2 + k 2 − 2V ω̄k . Ω := ω̄(q).
Damit ergibt sich folgender Ansatz für Ebenewellenlösungen:
√
2πUk (t, x) = u(k)e−i(ω̄k t−kx) + r(k)u(−k)e−i(ω̄k t+kx) ∀x ∈ ∆1
√
2πVq (t, x) = t(k)v(−|q|)e−i((V −ω̄(q))t+|q|x) + s(k)v(|q|)e−i(V −Ω)t ei|q|x ∀x ∈ ∆2
√
2π Ũk (t, x) = p(k)u(k)e−i(ω̄k t−kx) ∀x ∈ ∆3
Aus der Stetigkeit von ψ bei x = 0, x = d folgen:
1 −i|q|d κ a3
κ2
κb
1 i|q|d κ a2 b 2 κ2
2
−i|q|d κ
t(k) =
e
−
b + 2 / e
( − 2)− e ( −
)(b + 2 )
c
a
κ
ac
b
a
c
b
κ
a
2
3
b
κ ab
κ a
s(k) =
(−t(k))( +
)+( − )
c
b
κ
a
κ
a
κ
r(k) =
−t(k)b − s(k) − a
κ
b
1 −ikd −i|q|d
i|q|d κ
e
−t(k)be
− s(k)e
p(k) =
a
b
Die Funktionen a, b und c sind wieder wie in Beispiel 1 definiert, wobei q durch |q| zu
ersetzen ist. Das Programm kleinbw.m (siehe Seite 80) berechnet mit obigen uneigent-
60
KAPITEL 4. NUMERIK ZUM KLEINSCHEN PARADOXON
250
200
t in tc
150
100
50
0
0
50
100
150
Abbildung 4.18: Bohmsche Trajektoren zur Potentialbarriere der Breite d.“Nicht–
Kleinscher Fall“. Wahl der Parameter: k0 = 2.2, ∆ = 0.05, V = 1.3, d = 60.
lichen Lösungen folgende Paketlösung ψ:
Z
dk
a(k) Uk (t, x)χ∆1 (x) + Vq (t, x)χ∆2 (x) + Ũk (t, x)χ∆3 (x)
ψ(t, x) =
R 2ω̄k
Dabei bezeichnet χ∆ die charakteristische Funktion, d.h. χ∆ (x) = 1 für x ∈ ∆ und 0
sonst. Die Energie des vom linken
√ Halbraum einfallenden Paketes sei so gewählt, daß
gilt: 0 < k0 − 2∆ und k0 + 2∆ < V 2 − 2κV . Die zu diesem ψ berechneten Bohmschen
Trajektorien sind in der Abbildung 4.19 dargestellt.
4.3. NUMERIK ZUM POTENTIALWALL
61
300
250
200
t in t
c
150
100
50
0
0
50
100
150
200
250
Abbildung 4.19: Bohmsche Trajektoren zur Potentialbarriere der Breite d. Kleinscher
Fall. Wahl der Parameter: k0 = 0.5, ∆ = 0.05, V = 14, d = 80.
0.35
0.3
| |2(tmin)
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
0
0.07
0.06
| |2(tmax)
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
0
0
50
100
150
200
Abbildung 4.20: Evolution von ||ψ||2 (·, x) im Kleinschen Fall zur Potentialbarriere mit
Breite d = 100. tmin = −100, tmax = 300.
62
KAPITEL 4. NUMERIK ZUM KLEINSCHEN PARADOXON
Kapitel 5
Anhang:
Programmlisting zur numerischen
Berechnung der Bohmschen
Trajektorien
Hier findet sich eine Auflistung aller wichtigen Programme und Subroutinen zu den
im Kapitel 3 und 4 angeführten Matlab Programmen.
5.1
numlp.m: Freies Positiv–Energiepaket
Subroutinen zu numlp.m
• Berechnung der Norm von ψ
function out = norm1(z)
global kappa delta ko;
om=sqrt(z.^2+kappa^2);
out=exp(-2*(z-ko).^2/delta^2).*4*pi.*om.*(om+z);
• Berechnung von (ψ̄γ 0 ψ)(t0 , x)
function out = fto(x)
global to x1 ko delta;
x1=x;
psi1=quad8(’integrand1to’,ko-2*delta,ko+2*delta,1.e-6);
psi2=quad8(’integrand2to’,ko-2*delta,ko+2*delta,1.e-6);
out=psi1.*conj(psi1)+psi2.*conj(psi2);
63
64
KAPITEL 5. ANHANG
• Integranden zur Berechnung von ψ 1/2 (t0 , x)
% Integrand zu psi1
function out1=integrand1to(k)
global kappa A delta ko x1 to;
om=sqrt(k.^2+kappa^2);
out1= exp(-(k-ko).^2/delta^2).*exp(-i*om*to).*exp(i*k.*x1).*(om+k)*A;
% Integrand zu psi2
global x1 kappa A delta to ko;
om=sqrt(k.^2+kappa^2);
out2=exp(-(k-ko).^2/delta^2).*exp(-i*om*to).*exp(i*k.*x1).*kappa*A;
• Berechnung des Bohmschen Vektorfeldes vψ
function out = f(t,x)
global t1 x1;
global ko delta;
t1=t;x1=x;
psi1=quad8(’integrand1’,ko-2*delta,ko+2*delta,1.e-6);
psi2=quad8(’integrand2’,ko-2*delta,ko+2*delta,1.e-6);
out=(psi1.*conj(psi1)-psi2.*conj(psi2))./(psi1.*conj(psi1)
+psi2.*conj(psi2));
• Integranden zur Berechnung von
R ∆2
∆1
dx(ψ̄γ 0 ψ)(t, x) für t = tmax
function out1=funkt1tmax(k,x)
global kappa A delta ko tmax;
om=sqrt(k.^2+kappa^2);
out1= exp(-(k-ko).^2/delta^2).*exp(i*k*x).*(om+k)*A.*exp(-i*tmax*om);
function out2=funkt2tmax(k,x)
global kappa A delta ko tmax;
om=sqrt(k.^2+kappa^2);
out2=exp(-(k-ko).^2/delta^2).*exp(i*k*x)*kappa*A.*exp(-i*om*tmax);
5.2
numln.m: Freies Negativenergiepaket
Das Hauptprogramm zur Berechnung der Bohmschen Trajektorien zum freien Positron
ist identisch zum Programm numlp.m geschrieben: Es verwendet dieselben Konzepte
und Algorithmen zur numerischen Integration des Vektorfeldes vψ wie jenes. Der einzige Unterschied ergibt sich in der Wahl der Fourierkoeffizienten a(k), b̄(k). Deshalb
ANHANG
65
beschränken wir uns hier auf die Auflistung nur jener Routine, welche die Wahl des
Fourierkoeffizienten b̄(k) graphisch darstellt.
%% Negativ-Energie-Loesung
clear all;
close all;
clc;
%% Konstanten
global kappa delta1 B;
global qo t1 x1 tmax;
kappa=1;
qo=input(’Geben sie den Impuls qo ein:\n’);
.......
%% Normierung des Wellenpaketes
q=quad8(’norm2’,qo-2*delta1,qo+2*delta1,1.e-8);
B=1/sqrt(q);
%% Impulsverteilung
k=qo-2*delta1:delta1/50:qo+2*delta1;
q=k.*k;
om=sqrt((kappa)^2+q);
b=B*sqrt(8*pi*om.*om.*(om-k)).*exp(-(k-qo).^2/delta1^2);
figure(1);
plot(k,b,’r*’);
xlabel(’k’);
ylabel(’b(k)’);
title(’Fourieramplitude b(k)’);
setfigure(12,8);
print -deps /net/noise2/moser/diplomarbeit/figuren/numln/impuls.eps
.......
pause;
close all;
5.3
numl pn.m: Freies Positiv– und Negativenergiepaket
Das Programm numl pn.m ist das Hauptprogramm zur Berechnung der Bohmschen
Trajektorien zu einer Überlagerung von Positiv– und Negativenergiemodenlösungen
66
KAPITEL 5. ANHANG
und zur Demonstration der “Zitterbewegung des Elektrons“. Es macht von der Idee
her genau dasselbe wie die zwei vorhergehenden Programme, nur daß jetzt sowohl a(k)
als auch b̄(k) ungleich null sind. Um hinfällige Wiederholungen zu vermeiden, geben
wir hier nur einige wesentliche Teile des Programmlistings wieder.
%% Positiv-Negativ-Energie-Loesungen zu freiem Wellenpaket
.......
%% Siehe numlp.m
.......
%% Impulsverteilung
k=ko-2*delta:delta/50:ko+2*delta;
q=qo-2*delta1:delta/50:qo+2*delta1;
r=k.*k;
s=q.*q;
om=sqrt((kappa)^2+r);
omq=sqrt((kappa)^2+s);
a=A*sqrt(8*pi*om.*om.*(om+k)).*exp(-(k-ko).^2/delta^2);
b=B*sqrt(8*pi*omq.*omq.*(omq-q)).*exp(-(q-qo).^2/delta1^2);
figure(1);
plot(k,a,’r*’,q,b,’b+’);
xlabel(’q und k Werte’);
ylabel(’a(k) * und b(q) + ’);
title(’Fourieramplituden a(k) =*** und b(k) =+++’);
setfigure(12,8);
print -deps /net/noise2/moser/diplomarbeit/figuren/numlpn/impuls.eps
.......
%% Berechnung der Trajektorien
fprintf([’Geben sie das Startintervall fuer die Trajektorien ein und’,
’die Anzahl der Trajektorien.\n’]);
lint=input(’linke Grenze ’);
rint=input(’rechte Grenze ’);
anzahl=input(’Anzahl der Trajektorien ’);
figure(3);
options=odeset(’RelTol’,[1e-4],’AbsTol’,[1e-6]);
for xo=lint:(rint-lint)/anzahl:rint
[t,x]=ode45(’fpn’,[tmin tmax],[xo],options);
plot(x,t,’b’);
hold on;
end;
xlabel(’x in Einheiten der Comptonwellenlaenge’);
ANHANG
ylabel(’t’);
setfigure(12,8);
print -dps /net/noise2/moser/diplomarbeit/figuren/numlpn/trajekt.ps
.......
% Psiquadrat im Intervall [x1(tmax),x2(tmax)]
psi1tmax=Xdblquad(’funktpn1tmax’,ko-2*delta,ko+2*delta,x1tmax,x2tmax,
1.e-6,’quad8’);
psi2tmax=Xdblquad(’funktpn2tmax’,ko-2*delta,ko+2*delta,x1tmax,x2tmax,
1.e-6,’quad8’);
fprintf(’Die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen zur Zeit 0 in
[x1(tmax),x2(tmax)]\nzu finden, ist:\n’);
psi1tmax+psi2tmax
fprintf(’Der relative Fehler in Prozent betraegt:\n’);
abs(psi1tmax+psi2tmax - (psi10+psi20))/(psi1tmax+psi2tmax)*100
fprintf(’Druecken sie eine Taste, um das Programm zu beenden.\n ’);
pause;
close all;
5.3.1
Einige wichtige Unterroutinen zu numlpn.m
• Das Bohmsche Vektorfeld
function out = fpn(t,x)
global t1 x1;
global qo delta1 ko delta;
t1=t;x1=x;
psi1=quad8(’integrand1’,ko-2*delta,ko+2*delta,1.e-6)+
quad8(’integrand11’,qo-2*delta1,qo+2*delta1,1.e-6);
psi2=quad8(’integrand2’,ko-2*delta,ko+2*delta,1.e-6)+
quad8(’integrand21’,qo-2*delta1,qo+2*delta1,1.e-6);
out=(psi1.*conj(psi1)-psi2.*conj(psi2))./(psi1.*conj(psi1)+psi2.
*conj(psi2));
• Die Integranden zur Berechnung von (ψ̄γ 0 ψ)(tmax , x)
function out1=funktpn1tmax(k,x)
global kappa A delta ko B delta1 qo tmax;
om=sqrt(k.^2+kappa^2);
out1=exp(-(k-ko).^2/delta^2).*exp(i*k*x).*exp(-i*tmax*om)
.*(om+k)*A+exp(-(k-qo).^2/delta1^2).*exp(-i*k*x)
67
68
KAPITEL 5. ANHANG
.*exp(i*tmax*om)*B*(-kappa);
function out2=funktpn2tmax(k,x)
global kappa A delta ko delta1 qo B tmax;
om=sqrt(k.^2+kappa^2);
out2=exp(-(k-ko).^2/delta^2).*exp(i*k*x).*exp(-i*tmax*om)
*kappa*A+exp(-(k-qo).^2/delta1^2).*exp(-i*k.*x)
.*exp(i*tmax*om).*(om-k)*B;
5.4
kleinbf.m: Das Kleinsche Paradoxon nach Bjorken & Drell
Das Programm kleinbf.m berechnet die Bohmschen Trajektorien zur relativistischen
Potentialstufe mit Asymptotik nach Bjorken & Drell.
Wahl der Konstanten und Integrationszeiten:
%% Bohmsche Trajektorien zum Kleinschen Paradoxon mit Potentialstufe
%% V>2*kappa und "falscher Asymptotik"
clear all;
close all;
clc;
%% Konstanten
global kappa delta ko V;
global t1 x1 to;
kappa=1;
V=input(’Geben sie V ein (gr"oer als 2):\n’);
if isempty(V)
V=10;
fprintf(’V= %f\n’,V);
end;
ko=input(’Geben sie den Impuls ko ein:\n’);
if isempty(ko)
ko=0.5;
fprintf(’ko= %f\n’,ko);
end;
delta=input(’Geben sie die Impulsbreite ein:\n’);
if isempty(delta)
delta=0.2;
fprintf(’delta= %f\n’,delta);
ANHANG
69
end;
if ko-2*delta<0
fprintf(’Impuls negativ.’);
pause;
exit;
end;
if V <= 2*kappa
fprintf(’nicht Kleinscher Fall’);
pause;
exit;
end;
if ko+2*delta > sqrt(V^2-2*kappa*V)
fprintf(’nicht Kleinscher Fall’);
pause;
exit;
end;
tmax=input(’Geben sie tmax ein:\n’);
if isempty(tmax)
tmax=2.e2;
fprintf(’tmax= %f\n’,tmax);
end;
tmin=input(’Geben sie tmin ein:\n’);
if isempty(tmin)
tmin=-2.e2;
fprintf(’tmin= %f\n’,tmin);
end;
Graphische Darstellung des Fourierkoeffizienten a(k) zur Berechnung des Wellenpaketes:
%% Impulsverteilung
k=ko-2*delta:delta/50:ko+2*delta;
q=k.*k;
om=sqrt((kappa)^2+q);
a=sqrt(8*pi*om.*om.*(om+k)).*exp(-(k-ko).^2/delta^2);
figure(1);
plot(k,a,’r*’);
xlabel(’k’);
ylabel(’a(k)’);
title(’Fourieramplitude a(k)’);
setfigure(12,8);
70
KAPITEL 5. ANHANG
print -deps /net/noise2/moser/diplomarbeit/figuren/kleinbf/impuls4.eps
R dk
a(k) (Θ(−x)Uk (t, x) + Θ(x)Vq (t, x))
Im folgenden Programmabschnitt wird ψ(t, x) = R 2ω̄
k
numerisch integriert (Subroutine fkbtof.m) und damit (ψ̄γ 0 ψ)(t, x) berechnet.
qo=sqrt(ko^2+V^2-2*V*sqrt(ko^2+kappa^2));
figure(2);
subplot(2,1,1);
to=tmin;
fplot(’fkbtof’, [-10/delta+ko*(to) 10/delta+qo*abs(to)]);
xlabel(’x in Einheiten der Comptonwellenl"ange’);
ylabel(’|\Psi|^2(t_{min})’);
subplot(2,1,2);
to=tmax;
fplot(’fkbtof’, [-10/delta-ko*abs(to) 50]);
s=sprintf(’\\Psi^2 zur Zeit t_o = %ft’,to);
xlabel(’x in Einheiten der Comptonwellenl"ange’);
ylabel(’|\Psi|^2(t_{max})’);
setfigure(12,8);
print -deps /net/noise2/moser/diplomarbeit/figuren/kleinbf/psi.eps
fprintf(’\a’);
1
Berechnung des Bohmschen Vektorfeldes vψ = ρ(t,x)
(|ψ 1 |2 − |ψ 2 |2 ) und der zugehörigen
Integralkurven mit der Matlab–Integrationsroutine ode45.
%% Berechnung der Trajektorien
fprintf(’Geben sie das Startintervall f"ur die Trajektorien ein\n
und die Anzahl der Trajektorien.\n’);
lint=input(’linke Grenze ’);
rint=input(’rechte Grenze ’);
anzahl=input(’Anzahl der Trajektorien ’);
options=odeset(’RelTol’,[1e-6],’AbsTol’,[1e-8]);
figure(3);
for xo=lint:(rint-lint)/anzahl:rint
[t,x]=ode45(’fkbf’,[tmin tmax],[xo],options);
plot(x,t,’b’);
hold on;
end;
xlabel(’x in Einheiten der Comptonwellenl"ange’);
ylabel(’t’);
setfigure(12,8);
print -dps /net/noise2/moser/diplomarbeit/figuren/kleinbf/trajekt.ps
ANHANG
71
fprintf(’\a’);
fprintf(’Dr"ucken sie eine Taste, um das Programm zu beenden.\n’);
pause;
clear all;
close all;
5.4.1
Unterroutinen zu kleinbf.m
• Bohmsches Vektorfeld vψ
function out = fkbf(t,x)
global t1 x1;
global ko delta V;
t1=t;x1=x;
if x1<0
psi1=quad8(’integrandl1kbf’,ko-2*delta,ko+2*delta,1.e-5);
psi2=quad8(’integrandl2kbf’,ko-2*delta,ko+2*delta,1.e-5);
out=(psi1.*conj(psi1)-psi2.*conj(psi2))./(psi1.*conj(psi1)+psi2.
*conj(psi2));
elseif x1>=0
clear psi1 psi2;
psi1=quad8(’integrandr1kbf’,ko-2*delta,ko+2*delta,1.e-5);
psi2=quad8(’integrandr2kbf’,ko-2*delta,ko+2*delta,1.e-5);
out=(psi1.*conj(psi1)-psi2.*conj(psi2))./(psi1.*conj(psi1)+psi2.
*conj(psi2));
end
• Integranden zur numerischen Berechnung von ψ; R und T bezeichnen den
Reflexions– bzw. Transmissionskoeffizienten.
% Integrand im linken Halbraum zu psi1
function out1=integrandl1kbf(k)
global t1 x1 kappa delta ko V;
om=sqrt(k.^2+kappa^2);
q=sqrt(k.^2+V^2-2*om*V);
omo=sqrt(q.^2+kappa^2);
R=-sqrt((om+k)./(om-k)).*(V+q-k)./(V+k+q);
out1=exp(-(k-ko).^2/delta^2).*exp(-i*om.*t1).*(exp(i*k.*x1)
.*(om+k)+R.*kappa.*exp(-i*k.*x1));
% Integrand im linken Halbraum zu psi2
72
KAPITEL 5. ANHANG
function out1=integrandl2kbf(k)
global t1 x1 kappa delta ko V;
om=sqrt(k.^2+kappa^2);
q=sqrt(k.^2+V^2-2*om*V);
omo=sqrt(q.^2+kappa^2);
R=-sqrt((om+k)./(om-k)).*(V+q-k)./(V+k+q);
out1=exp(-(k-ko).^2/delta^2).*exp(-i*om.*t1).*(exp(i*k.*x1)
*kappa+R.*exp(-i*k.*x1).*(om+k));
% Integrand im rechten Halbraum zu psi1
function out1=integrandr1kbf(k)
global t1 x1 kappa V delta ko;
om=sqrt(k.^2+kappa^2);
q=sqrt(k.^2+V^2-2*om*V);
omo=sqrt(q.^2+kappa^2);
R=-sqrt((om+k)./(om-k)).*(V+q-k)./(V+k+q);
T=(-1)*sqrt((omo+q)./(om-k)).*(2*k)./(V+k+q);
out1=(-kappa)*T.*exp(-(k-ko).^2/delta^2).*exp(-i*om.*t1).
*exp(i*q.*x1).*sqrt((om+k)./(omo+q));
% Integrand im rechten Halbraum zu psi2
function out1=integrandr2kbf(k)
global t1 x1 kappa delta ko V;
om=sqrt(k.^2+kappa^2);
q=sqrt(k.^2+V^2-2*om*V);
omo=sqrt(q.^2+kappa^2);
R=-sqrt((om+k)./(om-k)).*(V+q-k)./(V+k+q);
T=(-1)*sqrt((omo+q)./(om-k)).*(2*k)./(V+k+q);
out1=T.*exp(-(k-ko).^2/delta^2).*exp(-i*om.*t1).
*exp(i*q.*x1).*sqrt(om+k).*sqrt(omo+q);
5.5
kleinb.m: Das Kleinsche
“richtiger Asymptotik“
Paradoxon
mit
Dieses Programm ist bis auf die Wahl der Negativenergiemodenlösung im Gebiet ∆2 ,
wir ersetzen q durch −q, um im limes t → −∞ ein von links einfallendes Positivenergiepaket zu erhalten, identisch mit dem vorhergehenden; die Stetigkeitsbedingung bei
x = 0 liefert natürlich leicht modifizierte Reflexions– und Transmissionskoeffizienten.
Wir führen hier deshalb nur die Integranden im rechten Halbraum zur Berechnung von
ψ an; dabei bezeichnet R den Reflexions– und T den Transmissionskoeffizienten.
ANHANG
73
%% Integrand zu psi1 im rechten Halbraum
function out1=integrandr1kb(k)
global t1 x1 kappa V delta ko;
om=sqrt(k.^2+kappa^2);
q=sqrt(k.^2+V^2-2*om*V);
omo=sqrt(q.^2+kappa^2);
R=-sqrt((om+k)./(om-k)).*(V-q-k)./(V+k-q);
T=(-1)/kappa*sqrt(omo-q).*sqrt(om+k).*(2*k)./(V+k-q);
out1=(-kappa)*T.*exp(-(k-ko).^2/delta^2).
*exp(-i*om.*t1).*exp(-i*q.*x1).*sqrt((om+k)./(omo-q));
%% Integrand zu psi2 im rechten Halbraum
function out1=integrandr2kb(k)
global t1 x1 kappa delta ko V;
om=sqrt(k.^2+kappa^2);
q=sqrt(k.^2+V^2-2*om*V);
omo=sqrt(q.^2+kappa^2);
R=-sqrt((om+k)./(om-k)).*(V-q-k)./(V+k-q);
T=(-1)/kappa*sqrt(omo-q).*sqrt(om+k).*(2*k)./(V+k-q);
out1=T.*exp(-(k-ko).^2/delta^2).*exp(-i*om.*t1).
*exp(-i*q.*x1).*sqrt(om+k).*sqrt(omo-q);
5.6
kleinab.m: Nicht–Kleinscher Fall
%% Bohmsche Trajektorien zur Potentialstufe mit V < 2*kappa
clear all;
close all;
clc;
%% Konstanten
global V kappa delta ko;
global t1 x1 to;
kappa=1;
V=input(’Geben sie V ein (kleiner als 2):\n’);
if isempty(V)
V=1;
.......
Analog zum Programm kleinb.m, nur mit folgendem Unterschied: Im rechten Halbraum
∆2 werden Positivmodenlösungen superponiert und die Reflexions– bzw. Transmissionskoeffizienten R und T sind demzufolge neu zu berechnen. Integranden zur Berechnung von ψ:
74
KAPITEL 5. ANHANG
% Integrand im linken Halbraum zu psi1
function out1=integrandl1kab(k)
global t1 x1 kappa delta ko V;
om=sqrt(k.^2+kappa^2);
q=sqrt(k.^2+V^2-2*om*V); % q wird positiv gew"ahlt
omo=sqrt(q.^2+kappa^2);
%Stetigkeit
R=sqrt((om-k)./(om+k)).*(q-k-V)./(V-k-q);
out1=exp(-(k-ko).^2/delta^2).*exp(-i*om.*t1).*(kappa*R.
*exp(-i*k.*x1)+(om+k).*exp(i*k.*x1));
% Integrand im linken Halbraum zu psi2
function out1=integrandl2kab(k)
global t1 x1 kappa delta ko V;
om=sqrt(k.^2+kappa^2);
q=sqrt(k.^2+V^2-2*om*V);
omo=sqrt(q.^2+kappa^2);
R=sqrt((om-k)./(om+k)).*(q-k-V)./(V-k-q);
out1=exp(-(k-ko).^2/delta^2).*exp(-i*om.*t1).*(kappa*exp(i*k.*x1)+
sqrt((om+k)./(om-k)).*R.*exp(-i*k.*x1));
% Integrand im rechten Halbraum zu psi1
function out1=integrandr1kab(k)
global t1 x1 kappa V delta ko;
om=sqrt(k.^2+kappa^2);
q=sqrt(k.^2+V^2-2*om*V);
omo=sqrt(q.^2+kappa^2);
R=sqrt((om-k)./(om+k)).*(q-k-V)./(V-k-q);
T=(-2*k)./(V-k-q).*sqrt((omo+q)./(om+k));
out1=exp(-(k-ko).^2/delta^2).*exp(-i*om.*t1).
*T.*exp(i*q.*x1).*sqrt(om+k).*sqrt(omo+q);
% Integrand im rechten Halbraum zu psi2
function out1=integrandr2kab(k)
global t1 x1 kappa delta ko V;
om=sqrt(k.^2+kappa^2);
q=sqrt(k.^2+V^2-2*om*V);
omo=sqrt(q.^2+kappa^2);
R=sqrt((om-k)./(om+k)).*(q-k-V)./(V-k-q);
T=(-2*k)./(V-k-q).*sqrt((omo+q)./(om+k));
out1=T.*exp(-(k-ko).^2/delta^2).*exp(-i*om.*t1).
ANHANG
75
*exp(i*q.*x1).*sqrt(om+k)./sqrt(omo+q)*kappa;
Mit Hilfe der nächsten zwei Programme werden die Bohmschen Trajektorien zum endlichen Potentialwall berechnet. Die numerische Integration erfolgt analog zu den vorhergehenden Beispielen, nur muß jetzt ψ für drei Raumgebiete separat berechnet werden.
5.7
kleinabw.m: Potentialwall der Breite d, Nicht–
Kleinscher Fall
%% Bohmsche Trajektorien zur Potentialbarriere der Breite d mit
%% V < 2*kappa
clear all;
close all;
clc;
%% Konstanten
global V kappa delta ko d;
global t1 x1 to;
kappa=1;
V=input(’Geben sie V ein (kleiner als 2):\n’);
if isempty(V)
V=1;
fprintf(’V= %f\n’,V);
end;
d=input(’Geben sie d ein:\n’);
if isempty(d)
d=100;
fprintf(’d= %f\n’,d);
end;
ko=input(’Geben sie den Impuls ko ein:\n’);
if isempty(ko)
ko=1.77;
fprintf(’ko= %f\n’,ko);
end;
delta=input(’Geben sie die Impulsbreite ein:\n’);
if isempty(delta)
delta=0.01;
fprintf(’delta= %f\n’,delta);
end;
if ko-2*delta<0
fprintf(’Impuls negativ.’);
76
KAPITEL 5. ANHANG
pause;
exit;
end;
if V >= 2*kappa
fprintf(’Kleinscher Fall.\n’);
pause;
exit;
end;
if imag(sqrt((ko+2*delta)^2+V^2-2*sqrt(kappa^2+(ko+2*delta)^2)*V))~=0
fprintf(’Wellenpaket wird zur "G"anze" reflektiert.\n’);
end;
tmax=input(’Geben sie tmax ein:\n’);
if isempty(tmax)
tmax=800;
fprintf(’tmax= %f\n’,tmax);
end;
tmin=input(’Geben sie tmin ein:\n’);
if isempty(tmin)
tmin=-100;
fprintf(’tmin= %f\n’,tmin);
end;
%% Impulsverteilung
k=ko-2*delta:delta/50:ko+2*delta;
q=k.*k;
om=sqrt((kappa)^2+q);
ak=sqrt(8*pi*om.*om.*(om+k)).*exp(-(k-ko).^2/delta^2);
figure(1);
plot(k,ak,’r*’);
title(’Fourieramplitude a(k)’);
xlabel(’k’);
ylabel(’a(k)’);
setfigure(12,8);
print -dps /net/noise2/moser/diplomarbeit/figuren/kleinabw/impuls.ps
%% psiquadrat
to=tmin;
figure(2);
fplot(’fkabtow’,[-10/delta+(to)*ko 10/delta+to*ko]);
xlabel(’x in Einheiten der Comptonwellenl"ange’);
ylabel(’|\Psi|^2(t_{min})’);
ANHANG
77
print -dps /net/noise2/moser/diplomarbeit/figuren/kleinabw/psitmin.ps
to=tmax;
figure(3);
fplot(’fkabtow’,[-10/delta-abs(to)*ko 10/delta+to*ko]);
xlabel(’x in Einheiten der Comptonwellenl"ange’);
ylabel(’|\Psi|^2(t_{max})’);
setfigure(12,8);
print -dps /net/noise2/moser/diplomarbeit/figuren/kleinabw/psitmax.ps;
%% Berechnung der Trajektorien
fprintf(’Geben sie das Startintervall f"ur die Trajektorien ein
\nund die Anzahl der Trajektorien.\n’);
fprintf(’Widmung:...& f"ur Nicole Oehri’);
input(’linke Grenze ’);
if isempty(lint)
lint=-200;
fprintf(’linke Grenze = %f\n’,lint);
end;
input(’rechte Grenze ’);
if isempty(rint)
rint=-10;
fprintf(’rechte Grenze = %f\n’,rint);
end;
input(’Anzahl der Trajektorien ’);
if isempty(anzahl)
anzahl=20;
fprintf(’Anzahl = %f\n’,anzahl);
end;
options=odeset(’RelTol’,[1e-6],’AbsTol’,[1e-8]);
figure(4);
for xo=lint:(rint-lint)/anzahl:rint
[t,x]=ode45(’fkabw’,[tmin tmax],[xo],options);
plot(x,t,’b’);
hold on;
end;
xlabel(’x in Einheiten der Comptonwellenl"ange’);
ylabel(’t’);
setfigure(12,8);
print -dps /net/noise2/moser/diplomarbeit/figuren/kleinabw/trajekt.ps;
fprintf(’\a’);
78
KAPITEL 5. ANHANG
fprintf(’Dr"ucken sie eine Taste,um das Programm zu beenden.\n’);
pause;
close all;
clear all;
5.7.1
Unterroutinen zu kleinabw.m
• Das Bohmsche Vektorfeld vψ
function out = fkabw(t,x)
global t1 x1;
global ko delta V d;
t1=t;x1=x;
if x1<0
psi1=quad8(’integrandl1kabw’,ko-2*delta,ko+2*delta,1.e-6);
psi2=quad8(’integrandl2kabw’,ko-2*delta,ko+2*delta,1.e-6);
out=(psi1.*conj(psi1)-psi2.*conj(psi2))./(psi1.*conj(psi1)
+psi2.*conj(psi2));
elseif x1>=0 & x1<d
psi1=quad8(’integrandr1kabw’,ko-2*delta,ko+2*delta,1.e-6);
psi2=quad8(’integrandr2kabw’,ko-2*delta,ko+2*delta,1.e-6);
out=(psi1.*conj(psi1)-psi2.*conj(psi2))./(psi1.*conj(psi1)
+psi2.*conj(psi2));
else
psi1=quad8(’integrandrr1kabw’,ko-2*delta,ko+2*delta,1.e-6);
psi2=quad8(’integrandrr2kabw’,ko-2*delta,ko+2*delta,1.e-6);
out=(psi1.*conj(psi1)-psi2.*conj(psi2))./(psi1.*conj(psi1)
+psi2.*conj(psi2));
end
• Integranden des Fourierintegrals zur Berechnung von ψ: R, T, S und P bezeichnen die aus der Stetigkeit von ψ an den Stellen x = 0 und x = d berechneten
Transmissions– und Reflexionskoeffizienten.
im Gebiet ∆1 :
% Integrand zu psi1
function out1=integrandl1kabw(k)
global t1 x1 kappa delta ko V d;
om=sqrt(k.^2+kappa^2);
q=sqrt(k.^2+V^2-2*om*V);
omo=sqrt(q.^2+kappa^2);
ANHANG
79
%Stetigkeit
a=sqrt(om+k);
b=sqrt(omo+q);
c=a.^2-b.^2;
T=1./c.*exp(-i*q*d).*(a.^3/kappa-kappa./a).*(kappa^2./a.^2-b.^2)
./(exp(i*q*d).*(kappa./b-kappa*b./a.^2)+exp(-i*q*d)./c.*(kappa
./b-a.^2.*b/kappa).*(b.^2-kappa^2./a.^2));
S=T.*b./c.*(kappa./b-a.^2.*b/kappa)+b./c.*(a.^3/kappa-kappa./a);
R=a/kappa.*(T.*b+kappa*S./b-a);
P=exp(-i*k*d)./a.*(T.*b.*exp(i*q*d)+exp(-i*q*d)*kappa.*S./b);
out1=exp(-(k-ko).^2/delta^2).*exp(-i*om.*t1).*(kappa*R.*exp(-i*k.*x1)
+(om+k).*exp(i*k.*x1));
% Integrand zu psi2
function out1=integrandl2kabw(k)
global t1 x1 kappa delta ko V d;
om=sqrt(k.^2+kappa^2);
q=sqrt(k.^2+V^2-2*om*V);
omo=sqrt(q.^2+kappa^2);
%Stetigkeit
...
out1=exp(-(k-ko).^2/delta^2).*exp(-i*om.*t1).*(kappa*exp(i*k.*x1)
+sqrt((om+k)./(om-k)).*R.*exp(-i*k.*x1));
im Gebiet ∆2 :
% Integrand zu psi1
function out1=integrandr1kabw(k)
global t1 x1 kappa V delta ko d;
om=sqrt(k.^2+kappa^2);
q=sqrt(k.^2+V^2-2*om*V);
omo=sqrt(q.^2+kappa^2);
%Stetigkeit
...
out1=exp(-(k-ko).^2/delta^2).*exp(-i*om.*t1).*(T.*exp(i*q.*x1)
.*sqrt(om+k).*sqrt(omo+q)+S.*exp(-i*q.*x1).*sqrt(om+k).*sqrt(omo-q));
% Integrand zu psi2
function out1=integrandr2kabw(k)
global t1 x1 kappa delta ko V d;
80
KAPITEL 5. ANHANG
om=sqrt(k.^2+kappa^2);
q=sqrt(k.^2+V^2-2*om*V);
omo=sqrt(q.^2+kappa^2);
%Stetigkeit
...
out1=exp(-(k-ko).^2/delta^2).*exp(-i*om.*t1).*(T.*exp(i*q.*x1)
.*sqrt(om+k)./sqrt(omo+q)*kappa+S.*exp(-i*q.*x1).*sqrt(om+k)
./sqrt(omo-q)*kappa);
im Gebiet ∆3 :
% Integrand zu psi1
function out1=integrandrr1kabw(k)
global t1 x1 kappa delta ko V d;
om=sqrt(k.^2+kappa^2);
q=sqrt(k.^2+V^2-2*om*V);
omo=sqrt(q.^2+kappa^2);
%Stetigkeit
...
out1=P.*exp(-(k-ko).^2/delta^2).*exp(-i*om.*t1).*(om+k).*exp(i*k.*x1);
% Integrand zu psi2
function out1=integrandrr2kabw(k)
global t1 x1 kappa delta ko V d;
om=sqrt(k.^2+kappa^2);
q=sqrt(k.^2+V^2-2*om*V);
omo=sqrt(q.^2+kappa^2);
%Stetigkeit
...
out1=P.*exp(-(k-ko).^2/delta^2).*exp(-i*om.*t1).*kappa.*exp(i*k.*x1);
5.8
kleinbw.m: Potentialwall der Breite d, Kleinscher Fall
Der Programmcode ist wiederum ident zum Programm kleinabw.m mit dem Unterschied, daß man bei der Konstruktion der Ebene–Wellenlösungen im Gebiet ∆2 anstatt einer Positivmodenlösung eine Negativmodenlösung nimmt; daraus ergeben sich
natürlich neue Transmissions– und Reflexionskoeffizienten R, T, P und S. Wir führen
hier die Integranden zur Berechnung von ψ in ∆2 an.
Integranden des Fourierintegrals zur Berechnung von ψ|∆2 :
ANHANG
% Integrand zu psi1
function out1=integrandr1kbw(k)
global t1 x1 kappa V delta ko d;
om=sqrt(k.^2+kappa^2);
q=sqrt(k.^2+V^2-2*om*V);
omo=sqrt(q.^2+kappa^2);
%Stetigkeit
a=sqrt(om+k);
b=sqrt(omo+q);
c=a.^2+b.^2;
T=(-exp(i*q*d)./c).*(kappa./a-a.^3/kappa).*(b.^2+kappa^2
./(a.^2.*c))./(exp(-i*q*d).*(kappa./b+kappa*b./a.^2)
-exp(i*q*d)./c.*(kappa./b+a.^2.*b/kappa).*(b.^2+kappa^2./a.^2));
S=b./c.*((-T).*(kappa./b+a.^2.*b/kappa)+kappa./a-a.^3/kappa);
R=a/kappa.*((-T).*b-S./b*kappa-a);
P=exp(-i*k*d)./a.*((-T).*b.*exp(-i*q*d)-S./b.*exp(i*q*d)*kappa);
out1=exp(-(k-ko).^2/delta^2).*exp(-i*om.*t1).*((-kappa)*T
.*exp(-i*q.*x1).*sqrt((om+k)./(omo-q))+sqrt(om+k).*S.*(-kappa)
./sqrt(omo+q).*exp(i*q.*x1));
% Integrand zu psi2
function out1=integrandr2kbw(k)
global t1 x1 kappa delta ko V d;
om=sqrt(k.^2+kappa^2);
q=sqrt(k.^2+V^2-2*om*V);
omo=sqrt(q.^2+kappa^2);
%Stetigkeit
...
out1=exp(-(k-ko).^2/delta^2).*exp(-i*om.*t1).*(T.*exp(-i*q.*x1).
*sqrt(om+k).*sqrt(omo-q)+sqrt(om+k).*S.*sqrt(omo+q).*exp(i*q.*x1));
81
82
KAPITEL 5. ANHANG
Literaturverzeichnis
[BD] Bjorken J., Drell S.: Relativistische Quantenmechanik. BI Hochschultaschenbücher, Mannheim (1966).
[Boh] Bohm, D.: A suggested interpretation of the Quantum Theory in terms of
“hidden“ variables, I and II. Physical Review, 85, 166-93 (1952).
[Bro] Broglie, L. de: Non–Linear Wave Mechanics. Elsevier, Amsterdam (1969).
[Dur] Dürr, D., Goldstein, S., Münch–Berndl, K.,Zanghi, N.: Hypersurface Bohm–Dirac
models. (1998).
[Fel] Fellner, J.: Clifford–Algebren und Spin–Gruppen. Diplomarbeit am Institut für
Mathematik der Universität Innsbruck (1982).
[Forst] Forster, O.: Analysis 1. Differential– und Integralrechnung einer Veränderlichen. 4. Auflage, vieweg (1992). p 169
[Ghir] Ghirardi, G.C. und Deotto, E.: Bohmian Mechanics Revisited. Department of
Theoretical Physics, University of Trieste.
[Go] Göckeler M., Schücker, T.: Differential geometry, gauge theories and gravity. Cambridge University Press (1990). p 127
[Gr] Greiner, W.: Relativistische Quantenmechanik. Wellengleichungen. Theoretische
Physik, Band 6, Verlag Harri Deutsch (1987).
[Gru] Grübl, G.: Skriptum zur Vorlesung Mathematische Methoden der Physik 1. Institut für Theoretische Physik der Universität Innsbruck (1999).
[Haus] Hauser, H.: Skriptum zur Vorlesung über gewöhnliche Differentialgleichungen.
Institut für Mathematik der Universität Innsbruck (1997).
[Hil] Hiley B.J., Bohm D.: Foundations of Physics 14 (1984), p 255.
[Holl] Holland, P.R.: The Quantum Theory Of Motion. Cambridge University Press
(1993). Chapter 12: Relativistic Quantum Theory.
83
84
KAPITEL 5. ANHANG
[Hort] Hörtnagl, A.: Ein relativistisches Wellenpaket im Einfluß einer Potentialstufe. Diplomarbeit am Institut für Theoretische Physik der Universität Innsbruck
(1993).
[Ja] Jammer, M.: THE PHILOSOPHY OF QUANTUM MECHANICS .The Interpretations of quantum mechanics in Historical Perspective. p 283, John WILEY &
SONS (1974).
[Jorg] Jörgens, K.: Perturbations of the Dirac operator. Springer LNM 280 (Berlin,
1972).
[Klein] Klein, O.: Die Reflexion von Elektronen an einem Potentialsprung nach der
relativistischen Dynamik von Dirac. Zeitschrift für Physik(1929) 53, pp 157-165.
[New] Newton, T.D.,Wigner, E.P.:Rev.Mod.Phys., 21, 400 (1949). (Secs. 2b, 5a)
[Pol] Polavieja, G.G.de : A causal quantum theory in phase space. Physics Letters A
220 (1996) 303–314.
[Richt] Richtmyer, R.D.: Principles of Advanced Mathematical Physics. Volume 1, p
90 Springer–Verlag (1978).
[Rim] Rimini, A.and Peruzzi, G.: Quantum measurement in a family of hidden –
variable theories. Dipartimento di Fisica Nucleare e Teorica, Università di Pavia
(1996).
[Ros] Rosen, N.: On waves and particles. Journal of the Elisha Mitchell Scientific Society 61 (1945).
[Sauter] Sauter, F.: Über das Verhalten des Elektrons im homogenen elektrischen Feld
nach der relativistischen Theorie Diracs. Zeitschrift für Physik (1931) 69, p 742
[Schw] Schwabl, F.: Quantenmechanik für Fortgeschrittene. Springer–Lehrbuch (1997).
[Schweb] Schweber, S., Bethe, H.: An introduction to relativistic quantum field theory.
Row, Peterson and Company (1961). p 60–62.
[Thall] Thaller, B.: The Dirac Equation. Springer (Texts and Monographs in Physics)
(1992).
[Ze] Zeh, H.D.: Why Bohm’s Quantum Theory? Institut für Theoretische Physik, Universität Heidelberg (1998).
Lebenslauf
Aus meinem Leben
Raimund Moser
16. Februar 1974
Als erstes Kind von Anna Moser geb. Hilber und
Georg Moser erblicke ich in Bruneck das Licht der
Welt.
1980 - 1985
Besuch der Volksschule in Prags, Südtirol
1985 - 1988
1988 - 1993
Besuch der Mittelschule in Toblach
Besuch des Humanistischen Gymnasiums
“Nikolaus Cusanus“ in Bruneck und
Reifeprüfung mit Auszeichnung ebendort
Erhalt des Förderpreises für Nachwuchswissenschaftler der
Firma Bierfield in Bruneck
Oktober 1993
Beginn des Physikstudiums in Innsbruck
Februar 1996 Juli 1996
Auslandssemester (Erasmus) in Padova
Frühjahr 1998
Beginn der Diplomarbeit
Sommer 1999
Zweiwöchiger Aufenthalt am Cern
85
86
KAPITEL 5. ANHANG
Widmung, Danksagung und
Abrechnung
Die einzige Seite, die von mehr als zwei Menschen gelesen wird, verdiente ein Feuerwerk an sinnlosen Sinnsprüchen und prosaischer Klotzerei. Stattdessen nüchterne
Aufzählungen, wem man auf welche Weise warum zu danken hat.
Bringen wir’s hinter uns;
Widmung:
Für meine verstorbene Katze1 .
Kategorie eins:
Dorthin stecke ich alle jene Leute, die direkt, also ohne irgendwelche Mittelsmänner
und Verwandte zweiten Grades, an der Abhandlung der vorliegenden Diplomarbeit
beteiligt waren:
Sei es durch Erleuchtung meines verdunkelten Gehirns, sei es durch Anhäufen eines
großen Haufens an bedrucktem Papier, das ich als Alphabet glücklicherweise entziffern
und mir zu eigen machen konnte, mich zwar des Plagiates schuldig fühlend, aber vorausahnend, daß meine Lebenszeit nicht ausreichen würde, mir alles neu auszudenken,
abgesehen davon, daß das Genie in mir den trunkenen Schlafzustand allzusehr liebt,
sei es einfach nur durch verbale, manchmal sanfte, oft aber der Verzweiflung nahe,
jener, die komischerweise jeder Mensch sucht, also durch dergestalte Instruktionen zur
Bedienung von Rechenmaschinen, die trotzdem das tun, was sie wollen.
Danken muß ich also besonders Herrn Univ.Prof.Dr. Gebhard Grübl für die Betreuung
der vorliegenden Arbeit, aber vielmehr noch dafür, daß er mir in Vorlesungen und
Seminaren eine Art, Physik zu treiben und zu begreifen, vermittelt hat, die immer
wieder meine Begeisterung weckte.
Danken möchte ich auch Herrn Univ.Prof.Dr. Josef Rothleitner für seinen hervorragenden Vorlesungszyklus in Theoretischer Physik.
Ein besonderer, 2m3 großer und 93, 7kg schwerer Dank gilt Klaus Rheinberger, der es
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& siehe Anhang
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ANHANG
als einziger Sterblicher schafft, in allen beiden Kategorien Erwähnung zu finden: Ihm
verdanke ich oftmalige Entwirrung meiner mathematischen Verwirrtheit und zahllose
Seminararbeiten über Bohmsche Quantenmechanik zur Schrödingergleichung.
Ein dickes Danke auch an Herrn Dr. Stefan Steidl vor allem für seine Geduld, mir
unendlich viele blöde Fragen bzgl. Matlab,Windows,Linux,C,LaTeX etc. minuziös
beantwortet zu haben, oft Stunden damit verbringend, nervenaufreibende Probleme an
meinem PC zu lösen. Vor seinem Verschwinden war Herr Dr. Wieland Alge mit dieser
Aufgabe betraut: Auch ihm danke ich dafür, trotz Rufe wie “ Moser, ich bringe dich
um !“, die ungehört und – wie man sieht – wirkungslos in den Gängen des Institutes
für Theoretische Physik verhallten.
Kategorie zwei:
Ich habe Brockhaus damit betraut, eine Enzyklopedie zu erstellen mit all jenen
Menschen und Personengesellschaften, die mir mein Physikstudium möglich, erträglich, ja manchmal sogar angenehm machten; wie gesagt, Brockhaus arbeitet daran,
und so mögen mir jene verzeihen, die hier namentlich nicht erwähnt sind: Ihnen danke
ich umso mehr, als daß sie ein Gratiswerk “Personae gratae et non gratae“ von mir
persönlich zugeschickt bekommen werden.
In erster Linie, meistens auch in zweiter Linie danke ich meinen Eltern dafür, daß
ich da bin; nur deshalb konnte ich studieren: über ungezählte Lebensmittel– und
Geldtransporte (an dieser Stelle sei auch allen italienischen Steuerzahlern bzw.
einer Minderheit von italienischen Staatsbürgern für ihre großzügige finanzielle Hilfe
gedankt) über den Brennerpaß sowie einer nicht abzählbaren Menge von Taxidiensten
und über sonstiges möchte ich hier gar nicht sprechen. Auch meinen Geschwistern –
zwei an der Zahl – gebührt hier ein öffentlicher Dank.
Nun zu jenen Leuten, deren Beitrag zu meinem Privatleben in Innsbruck zwar dieser
Diplomarbeit nicht förderlich war, insofern hier auch gar keinen Dank verdiente, aber
umso dankenswerter ist, als daß ich ohne ihre Existenz wohl noch irrer geworden wäre
als ich ohnehin schon bin.
Auszug aus der schwarzen Liste:
Barbara2 ,
Hilmar, Martin, Markus
Renate, Franziska, Irene
Klaus, BIggI, Ingrid
Es ist eine Eigenart der Danksagung, nur jene Personen anzuführen, denen man
danken möchte. Warum nicht auch jene, denen man explizite nicht danken will oder
2
you are the first, dont’t panic
WIDMUNG, DANKSAGUNG und ABRECHNUNG
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kann? Jene, die einem das Leben zur Hölle machen, von denen einem speiübel wird,
deren bloße Existenz hemmend auf uns wirkt, obschon sie gar nichts tun. Auch denen
sei hier gedankt, und zwar vor allem:
• der Mensa samt Personal für ihre Freundlichkeit und das vorzügliche Essen;
• dem Kaffeeautomaten für das, was man hierzulande Kaffee nennt;
• dem Türsteher vom Elferhaus für seine Ausländerfreundlichkeit;
• gewissen Physikern, die sich sogar noch was drauf einbilden, Physiker zu sein,
für ihre moralische und persönlichkeitsbildende Unterstützung;
• dem Personal der ÖBB;
• allen Computern und Verwandten dieser Erde;
Diese Liste ist nicht vollständig.
Kategorie drei:
Den Unsterblichen, die mir immer zur Seite standen im Kampfesgewühl, besonders Pallas Athene und Poseidon, sei gedankt! Mögen sie mich auch in Zukunft
beschützen!
Im übrigen bin ich der Meinung, daß es viel angenehmer ist, über Dinge zu schreiben
als dieselben zu berechnen. Ich hätte vielleicht Kolummnist werden sollen!
Vielen Dank an mich für diese Einsicht.

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