6.¨Ubung Riemannsche Flächen (Hausübung)

Fachbereich Mathematik
AG 5 Funktionalanalysis
Dr. H. Glöckner
SS 2003
A
TECHNISCHE
UNIVERSIT ÄT
DARMSTADT
6. Übung Riemannsche Flächen (Hausübung)
27. Juni 2003
Aufgabe 45 (Hausdorff-Eigenschaft des Überlagerungsraums).
Zeige: Ist p : Y → X eine Überlagerung topologischer Räume, wobei X Hausdorffsch ist, so
ist auch Y Hausdorffsch. [Hinweis: Gegeben seien x 6= y ∈ Y . 1. Fall: p(x) 6= p(y). 2. Fall: p(x) = p(y) ]
Aufgabe 46 (Bestimmung von Fundamentalgruppen). Zeige analog Beispiel 5.7 (1)),
dass π1 (S1 ) ∼
= (Z, +). Sei Γ ⊆ C ein Gitter. Zeige π1 (C/Γ) ∼
= (Z × Z, +) (s. Bsp. 5.7 (c)).
Aufgabe 47 (Die Automorphismengruppe eines Torus).
Es sei Γ ⊆ C ein Gitter und q : C → C/Γ, q(z) := z + Γ =: z.
(a) Gegeben a ∈ C betrachten wir die “Translationen” τa : C → C, τa (z) := z + a und
τa : C/Γ → C/Γ, τa (z) := z + a := z + a. Mache Dir klar, dass τa ◦ q = q ◦ τa . Schließe
mit Aufgabe 19, dass τa holomorph ist. Zeige, dass τa ∈ Aut(C/Γ).
(b) Es sei φ ∈ Aut(C/Γ). Zeige, dass ein a ∈ C/Γ existiert mit τa ◦ φ ∈ Aut(C/Γ)0 :=
{ψ ∈ Aut(C/Γ) : ψ(0) = 0}.
(c) Es sei ψ ∈ Aut(C/Γ)0 . Zeige, dass es genau eine stetige Abbildung ψe : C → C
gibt mit ψ̃(0) = 0 und q ◦ ψe = ψ ◦ q. Zeige, dass ψe holomorph ist. Zeige, dass
ψe ∈ Aut(C). Mache Dir klar, dass Aut(C/Γ)0 eine Gruppe ist, und ψ 7→ ψe ein
injektiver Homomorphismus Aut(C/Γ)0 → Aut(C).
(d) Schließe mit Aufgabe 25, dass es in der Situation von (c) ein α ∈ C× gibt mit
e
ψ(z)
= α · z für z ∈ C. Zeige, dass αΓ ⊆ Γ und sogar αΓ = Γ. Schließe, dass
|α| = 1, und dass es nur endlich viele Möglichkeiten für α gibt (betrachte αz für
z ∈ Γ \ {0} von minimalem Betrag). Mache Dir klar, dass Aut(C/Γ)0 → (S1 , ·),
ψ 7→ α ein injektiver Homomorphismus von Gruppen ist; es ist also Aut(C/Γ)0 eine
endliche abelsche Gruppe.1
(e) Zeige, dass T := {τa : a ∈ C/Γ} eine Untergruppe von Aut(C/Γ) und (C/Γ, +) → T ,
a 7→ τa ein Isomorphismus von Gruppen ist.
(f) Nach (b) gilt T Aut(C/Γ)0 = Aut(C/Γ). Zeige, dass T ein Normalteiler von Aut(C/Γ)
ist (was ist φ ◦ τa ◦ φ−1 ?). Zeige, dass T ∩ Aut(C/Γ)0 = {id}.2
Aufgabe 48 (Nicht-isomorphe Tori) – erst nach Aufgabe 47 zu bearbeiten !
Es seien Γ, Γ0 ⊆ C Gitter; q : C → C/Γ, q 0 : C → C/Γ0 die Quotientenabbildungen. Zeige:
(a) Es sei φ : C/Γ0 → C/Γ ein Isomorphismus Riemannscher Flächen. Zeige, dass es ein
ψ ∈ Aut(C/Γ) gibt mit (ψ ◦ φ)(q 0 (0)) = q(0).
1
Da jede endliche Untergruppe von S1 zyklisch ist, ist Aut(C/Γ)0 zyklisch. Genauer: die Gruppe hat 4,
6 oder 2 Elemente, je nachdem, ob Γ ein quadratisches, hexagonales oder sonstiges Gitter ist.
2
Es ist also Aut(C/Γ) = T ×Aut(C/Γ)0 ∼
= (C/Γ, +)×Aut(C/Γ)0 ein (internes) semidirektes Produkt.
(b) O.B.d.A. gelte also φ(q 0 (0)) = q(0) in (a). Zeige, dass es ein α ∈ C× gibt mit q(αz) =
φ(q 0 (z)) für alle z ∈ C Zeige, dass αΓ0 = Γ.
(c) Wir wählen Γ := Z + iZ, Γ0 := Z + (1 + i)Z. Zeige, dass C/Γ und C/Γ0 zwar
homöomorph sind, jedoch nicht als Riemannsche Flächen isomorph.
Aufgabe 49 (Komplexe Sinusfunktion). Für z ∈ C ist sin(z) :=
1
(eiz
2i
− e−iz ).
(a) Bestimme Real / Imaginärteil von sin(x + iy). Zeige: | sin(x + iy)| → ∞ für |y| → ∞.
(b) Wir betrachten einen Streifen S := [a, b] + iR mit a < b. Schließe mit (a), dass sin |S
eine eigentliche Abbildung ist, somit abgeschlossenes Bild hat.
(c) Wählen wir b − a ≥ 2π, so ist sin(C) = sin(S). Schließe, dass sin(C) = C ist.
(d) Finde alle Verzweigungspunkte der holomorphen Funktion sin. Finde sin−1 ({1, −1}).
(e) Setze X := C\{1, −1} und Y := C\( π2 +πZ). Schließe aus (d), dass sin(Y ) = X, und
dass f := sin |X
Y : Y → X eine unverzweigte holomorphe Funktion ist, insbesondere
also ein lokaler Homöomorphismus.
(f) Zeige, dass f |S∩Y für einen Streifen S wie in (c) eine eigentliche Abbildung ist, wenn
∂S ∩ ( π2 + πZ) = ∅.
(g)∗ Zeige, dass f eine Überlagerung ist. Anleitung: Adaptiere den Beweis von Satz 4.22.
Nutze die 2π-Periodizität von f und Teil (f) !
Weitere Aufgaben:
Aufgabe 50. Zeige, dass jede 2-blättrige Überlagerung p : Y → X zusammenhängender, Hausdorffscher
topologischer Räume Galoisch ist (konstruiere eine nicht-triviale Decktransformation explizit !).
Aufgabe 51. Sei p : Y → X eine Überlagerung wegzusammenhängender topologische Räume, wobei Y
Hausdorffsch; y ∈ Y , x := p(y). Zeige, dass der Homomorphismus p∗ : π1 (Y, y) → π1 (X, x) injektiv ist.
Aufgabe 52 (Variante von Satz 4.16). Sei p : Y → X eine Überlagerung topologischer Räume. Für
x, y ∈ X schreibe x ∼ y, wenn p−1 ({x}) und p−1 ({y}) die gleiche Mächtigkeit haben, d.h. es existiert
eine bijektive Abbildung p−1 ({x}) → p−1 ({y}). Zeige, dass ∼ eine Äquivalenzrelation ist. Zeige, dass die
Äquivalenzklassen offen sind. Schließe: ist X zusammenhängend, so haben alle Fasern von p die gleiche
Mächtigkeit.
Aufgabe 53 (Eindeutigkeit von Hochhebungen). Sei p : Y → X eine Überlagerung (nicht notwendig
Hausdorffscher) topologischer Räume, Z ein zusammenhängernder topologischer Raum, g1 , g2 : Z → Y
stetige Abbildungen mit f := p ◦ g1 = p ◦ g2 . Zeige: Ist g1 (z0 ) = g2 (z0 ) für ein z0 ∈ Z, so ist g1 = g2 .
[Dieser Satz macht es möglich, im Falle von Überlagerungen (statt lokaler Homöomorphismen) in einigen
Sätzen Forsters (bzw. den Verallgemeinerungen aus der Vorlesung) die Hausdorffeigenschaft wegzulassen. ]
Aufgabe 54 (Basen von Topologien). Sei X eine Menge, B eine Menge von Teilmengen von X mit:
S
(a)
B = X und
(b) Sind U, V ∈ B und x ∈ U ∩ V , so existiert W ∈ B derart, dass x ∈ W ⊆ U ∩ V .
S
Zeige, dass T :=
M : M ⊆ B} eine Topologie auf X ist (B ist dann eine Basis für T ).
Aufgabe 55 (Details zu Satz 5.3). Sei u : I → X ein Weg in einem topologischen Raum X und
us : I → X, us (t) := u(st) für s ∈ I. Gegeben r, s ∈ I mit r < s definiere v : I → X, v(t) := u(r + t(s − r)).
(a) Zeige, dass ur · v ∼ us (finde geeignete Homotopie).
(b) Folgere, dass us · v − ∼ ur (Hinweis: [ur ] [v] = [us ] nach (a)).
Aufgabe 56 (Details zu 4.23). Zeige: Ist X eine wegzusammenhängende Mannigfaltigkeit und D ⊆ X
abgeschlossen und diskret, so ist auch X 0 := X \ D wegzusammenhängend.