Einleitung Ein Rad, welches sich um seine Achse an zwei

Mechanische Energieerhaltung / Maxwellsches Rad
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Einleitung
Ein Rad, welches sich um seine Achse an zwei Seilen abrollen kann, bewegt sich in einem
Gravitationsfeld. Potentielle Energie, Translationsenergie und Rotationsenergie werden ineinander umgewandelt und als Funktion der Zeit bestimmt.
Schlüsselwörter
Maxwellsches Rad, Translationsenergie, Rotationsenergie, potentielle Energie, Trägheitsmoment, Winkelgeschwindigkeit, Winkelbeschleunigung, Momentangeschwindigkeit, Gyroskop.
Abb. 1: Versuchsaufbau zur Untersuchung der Energieerhaltung mit dem Maxwellschen Rad.
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Mechanische Energieerhaltung / Maxwellsches Rad
Material
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3
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6
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1
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1
Stativ-Fuß DEMO
Stativstange Edelstahl 18/8, l = 1000 mm, d = 12 mm
Stativstange Edelstahl 18/8, l = 370 mm, d = 10 mm
Doppelmuffe PHYWE
Maßstab, l = 1000 mm
Schieber für Maßstab, 2 Stück, Kunststoff, rot
Maxwellsches Rad
Verbindungsleitung, 32 A, 1000 mm, rot
Verbindungsleitung, 32 A, 1000 mm, blau
Gabellichtschranke mit Zähler
Haltevorrichtung mit Drahtauslöser
Plattenhalter, Öffnungsweite 0–10 mm
Adapter, BNC-Stecker/ 4 mm Sicherheitsbuchsen
Kondensator, 100 nF, 250 V, Gehäuse G1
Netzgerät 5 V DC/ 2,4 A mit 4 mm Steckern
02007-55
02034-00
02059-00
02040-55
03001-00
02201-00
02425-00
07363-01
07363-04
11207-30
02417-04
02062-00
07542-26
39105-18
11076-99
Aufgaben
Bestimmung des Trägheitsmoments des Maxwellschen Rads. Mithilfe des Maxwellschen
Rads werden
1. die potentielle Energie,
2. die Translationsenergie und
3. die Rotationsenergie
als Funktion der Zeit bestimmt.
Aufbau und Durchführung
Der Versuchsaufbau ist in Abb. 1 und Abb. 2 dargestellt. Durch Benutzung der verstellbaren
Schrauben an der Stativstange ist die Achse des entspannten Maxwellschen Rads horizontal
auszurichten. Beim Aufwickeln ist darauf zu achten, dass die Wicklungen einwärts verlaufen. Die zusätzliche kurze horizontale Stativstange dient der Stabilisierung des Aufbaus
und beugt einem versehentlichen Auslösen des Rads vor.
Die Wicklungsdichte sollte auf beiden Seiten ungefähr gleich sein. Es ist daher zwingend
notwendig, die erste Auf- und Abbewegung des Rads zu beobachten, da eine falsche
Wicklung (auswärts, über Kreuz) ein Losreißen des „Kreisels“ bewirken kann.
Der Öffnungsschalter der Haltevorrichtung, d. h. die Nadel, die in einem Loch der Kreisscheibe des Maxwellschen Rads steckt, wird dazu verwendet, das Rad zunächst zu fixieren
und bei Bedarf mechanisch zu starten. Bei der Bestimmung von Weg und Zeit wird über
den Öffnungsschalter außerdem der Zähler gestartet, welcher über den BNC-Adapter und
die Verbindungsleitungen mit der Haltevorrichtung verbunden ist. Der Öffnungsschalter
sollte so eingestellt werden, dass das Rad nach dem Start weder oszilliert noch rollt. Des
Weiteren sollten die Seile für die Versuchsdurchführung immer in die gleiche Richtung
gewickelt werden.
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Abb. 2: Anschluss der Lichtschranke
Messung der Zeit t,
die das Rad ab dem Start s bis zum Erreichen der Lichtschranke benötigt
•
Schließen Sie den Öffnungsschalter wie in Abb. 2 dargestellt an die Lichtschranke an.
•
Drücken und sichern Sie den Drahtauslöser.
•
Stellen Sie den Auswahlschalter der Gabellichtschranke auf
•
Drücken Sie die Taste „Set“ der Lichtschranke.
•
Durch Lösen des Drahtauslösers wird das Rad in Bewegung versetzt und der Zähler der
Lichtschranke gestartet.
•
Nachdem das Rad die Nadel der Haltevorrichtung passiert hat, wird der Drahtauslöser
erneut gedrückt und gesichert, bevor die Lichtschranke unterbrochen wird.
•
Der Zähler wird gestoppt, sobald die Rotationsachse in den Lichtstrahl der Gabellichtschranke eintritt.
.
Messung von ∆ t
zur Bestimmung der Translationsgeschwindigkeit v
•
Trennen Sie das „Trigger In“-Signal von der Lichtschranke.
•
Fixieren Sie das Rad mithilfe der Haltevorrichtung in Startposition.
•
Stellen Sie den Schalter der Gabellichtschranke auf
•
Drücken Sie die Taste „Set“ der Lichtschranke.
•
Durch Lösen des Drahtauslösers wird das Rad in Bewegung gesetzt, während der
Zähler der Lichtschranke noch nicht gestartet wird.
•
Sobald die Rotationsachse in die Lichtschranke eintritt, wird der Zähler gestartet. Er
stoppt, wenn die Rotationsachse die Lichtschranke passiert hat.
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Die Geschwindigkeit zur Zeit t+
Δt
2
Zeit Δt mit
v =
wird bestimmt auf der Grundlage der gemessenen
( )
t+
Δt
2
=
Δs
.
Δt
Da der Weg s und die Zeit t relativ genau und unabhängig voneinander gemessen werden
können, ist die unten angegebene Gleichung (1) am besten für die Bestimmung des
Trägheitsmoments geeignet. Die Zeiten Δt sind im Allgemeinen weniger genau. Es ist daher
nicht angebracht, weitere Werte (z. B. IZ aus Gleichung (2)) aus diesen Daten abzuleiten.
Sie sind allerdings hilfreich für die Überprüfung der ermittelten Energiewerte, die basierend
auf der Weg-Zeit-Messung berechnet wurden.
Theorie und Auswertung
Die Gesamtenergie E des Maxwellschen Rads mit der Masse m und dem Trägheitsmoment IZ
um die Rotationsachse setzt sich wie folgt aus potentieller Energie Ep, Translationsenergie
ET und Rotationsenergie ER zusammen:
m 2 IZ ⃗2
E = m⋅ ⃗
g ⋅ ⃗s + ⃗
v + ω .
2
2
⃗ die Winkelgeschwindigkeit, ν⃗ die Translationsgeschwindigkeit, ⃗
g die
Hier bezeichnet ω
⃗
s
Erdbeschleunigung und
die (negative) Höhe.
Mit der Notation aus Abb. 3
⃗ ×⃗
d⃗
s = dφ
r
und
⃗
d⃗
s
dφ
⃗
⃗ ×⃗
ν ≡
=
× ⃗r ≡ ω
r
dt
dt
r als Radius der Spindel.
mit ⃗
Abb. 3: Beziehung zwischen der Erhöhoung des Winkels d φ und der Reduzierung der
Höhe d ⃗
s des Maxwellschen Rads.
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⃗ senkrecht zu ⃗
g parallel zu ⃗s und ω
r , sodass
Im vorliegenden Fall ist ⃗
E = − m⋅g ⋅s (t ) +
(
)
1
2
2
⋅ m+ I Z /r (v (t ))
2
Da die Gesamtenergie E über die Zeit konstant ist, ergibt sich durch Differenzieren
dE
= 0 = − m⋅g ⋅v (t ) + ( m+ I Z / r 2 ) v (t )⋅ v̇ ( t)
dt
Für s(t=0)=0 und v(t=0)=0 erhält man
1 m⋅ g
⋅t 2
2
2 m+ I Z / r
(1)
ds
m⋅ g
=
⋅t
dt
m+ I Z /r 2
(2)
s (t ) =
und
v (t ) ≡
Die Masse m beträgt hier m = 0,436 kg. Der Radius r der Spindel ist r = 2,5 mm.
Aus der Regressionsgeraden der Messwerte aus Abb. 4 und aus dem exponentiellen Ausdruck
Y = A ⋅X B
erhalten wir
B =
1,99 ± 0,01
A = 0,0196 ± 0,0015 m/s2
Mit Gleichung (1) folgt als Trägheitsmoment
I Z = 9,84 ⋅10− 4 kg m2 .
Abb. 4: Abhängigkeit der zurückgelegten Strecke des Schwerpunkts des Maxwellschen Rads
von der Zeit.
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Abb. 5: Geschwindigkeit des Schwerpunkts des Maxwellschen Rads als Funktion der Zeit.
Aus der Regressionsgeraden der Messwerte aus Abb. 5 und aus dem exponentiellen Ausdruck
Y = A⋅ X B
erhalten wir
B = 1,03 ± 0,015 (siehe Formel (2)).
Aus Abbildung 6 ist zu entnehmen, dass die potentielle Energie nahezu vollständig in Rotationsenergie umgewandelt wird.
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Abb. 6: Energie des Maxwellschen Rads als Funktion der Zeit
1. Negative potentielle Energie
2. Translationsenergie
3. Rotationsenergie
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