TEP 1 Stativ-Fuß DEMO 02007-55 3 Stativstange PHYWE, 4 Kanten

Mechanische Energieerhaltung / Maxwellsches Rad
TEP
Verwandte Begriffe
Maxwellsches Rad, Translationsenergie, Rotationsenergie, potentielle Energie, Trägheitsmoment,
Winkelgeschwindigkeit, Winkelbeschleunigung, Momentangeschwindigkeit, Gyroskop.
Prinzip
Ein Rad, welches sich um seine Achse an zwei Seilen abrollen kann, bewegt sich in einem
Gravitationsfeld. Potentielle Energie, Translationsenergie und Rotationsenergie werden ineinander
umgewandelt und als Funktion der Zeit bestimmt.
Material
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4
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Stativ-Fuß DEMO
Stativstange PHYWE, 4 Kanten, l = 1000 mm
Doppelmuffe PHYWE
Maßstab, l = 1000 mm
Schieber für Maßstab, 2 Stück, Kunststoff, rot
Maxwellsches Rad
Verbindungsleitung, 32 A, 1000 mm, rot
Verbindungsleitung, 32 A, 1000 mm, blau
Gabellichtschranke mit Zähler
Haltevorrichtung mit Drahtauslöser
Plattenhalter, Öffnungsweite 0-10 mm
Adapter, BNC-Stecker/ 4 mm Sicherheitsbuchsen
Kondensator, 100 nF, 250 V, Gehäuse G1
Netzgerät 5 V DC/ 2,4 A mit 4 mm Steckern
02007-55
02028-55
02040-55
03001-00
02201-00
02425-00
07363-01
07363-04
11207-30
02417-04
02062-00
07542-26
39105-18
11076-99
Abb. 1: Versuchsaufbau zur Untersuchung der
Energieerhaltung ,it dem Maxwellschen Rad.
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TEP
Mechanische Energieerhaltung / Maxwellsches Rad
Aufgaben
Bestimmung des Trägheitsmoments des Maxwellschen Rads.
Mit Hilfe des Maxwellschen Rads werden
1. die potentielle Energie,
2. die Translationsenergie,
3. die Rotationsenergie
als Funktion der Zeit bestimmt.
Aufbau und Durchführung
Der Versuchsaufbau ist in Abb. 1 und 2 dargestellt. Durch Benutzung der verstellbaren Schrauben an
der Stativstange ist die Achse des entspannten Maxwellschen Rads horizontal auszurichten. Beim
Aufwickeln ist darauf zu achten, dass die Wicklungen einwärts verlaufen.
Die Wicklungsdichte sollte auf beiden Seiten ungefähr gleich sein. Es ist daher zwingend notwendig, die
erste Auf- und Abbewegung des Rads zu beobachten, da eine falsche Wicklung (auswärts, über Kreuz)
ein Losreißen des „Kreisels“ bewirken kann.
Der Öffnungsschalter, d.h. die Nadel, die in einem Loch der Kreisscheibe des Maxwellschen Rads
steckt, wird dazu verwendet, das Rad mechanisch zu starten. Bei der Bestimmung von Weg und Zeit
wird über den Öffnungsschalter außerdem der Zähler gestartet. Der Öffnungsschalter sollte so
eingestellt werden, dass das Rad nach dem Start weder oszilliert noch rollt. Des Weiteren sollten die
Seile für die Versuchsdurchführung immer in die gleiche Richtung gewickelt werden.
Abb. 2: Anschluss der Lichtschranke.
Messung der Zeit t ,
die das Rad ab dem Start s bis zum Erreichen der Lichtschranke benötigt
• Schließen Sie den Öffnungsschalter wie in Abb. 2 dargestellt an die Lichtschranke an.
• Drücken und sichern Sie den Drahtauslöser.
• Stellen Sie den Auswahlschalter der Gabellichtschranke auf
• Drücken Sie die Taste „Set“ der Lichtschranke
• Durch Lösen des Drahtauslösers wird das Rad in Bewegung
versetzt und der Zähler der
Lichtschranke gestartet.
• Nachdem das Rad die Nadel der Haltevorrichtung passiert hat, wird der Drahtauslöser erneut
gedrückt und gesichert, bevor die Lichtschranke unterbrochen wird.
• Der Zähler wird gestoppt, sobald die Rotationsachse in den Lichtstrahl der Gabellichtschranke
eintritt.
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Mechanische Energieerhaltung / Maxwellsches Rad
TEP
Messung von ∆t
zur Bestimmung der Translationsgeschwindigkeit v
• Trennen Sie das „Trigger In“-Signal von der Lichtschranke.
• Fixieren Sie das Rad mit Hilfe der Haltevorrichtung in Startposition.
• Stellen Sie den Schalter der Gabellichtschranke auf
• Drücken Sie die Taste „Set“ der Lichtschranke.
• Durch Lösen des Drahtauslösers wird das Rad in Bewegung gesetzt, während der Zähler der
Lichtschranke noch nicht gestartet wird.
• Sobald die Rotationsachse in die Lichtschranke eintritt, wird der Zähler gestartet. Er stoppt, wenn
die Rotationsachse die Lichtschranke passiert hat.
Die Geschwindigkeit zur Zeit t+
∆t
2
wird bestimmt auf der Grundlage der gemessenen Zeit ∆t mit
( )
v= t+
∆t
∆s
=
2
∆t
Da der Weg s und die Zeit t relativ genau und unabhängig voneinander gemessen werden können, ist
die unten angegebene Gleichung (1) am besten für die Bestimmung des Trägheitsmoments geeignet.
Die Zeiten ∆t sind im Allgemeinen weniger genau. Es ist daher nicht angebracht, weitere Werte (z.B. Iz
aus Gleichung (2)) aus diesen Daten abzuleiten. Sie sind allerdings hilfreich für die Überprüfung der
ermittelten Energiewerte, die basierend auf der Weg-Zeit-Messung berechnet wurden.
Theorie und Auswertung
Die Gesamtenergie E des Maxwellschen Rads mit der Masse m und dem Trägheitsmoment Iz um die
Rotationsachse setzt sich wie folgt aus potentieller Energie Ep, Translationsenergie ET und
Rotationsenergie ER zusammen:
m 2 I Z ⃗2
⃗v + ω
2
2
Hier bezeichnet ω
⃗ die Winkelgeschwindigkeit, ⃗ν die Translationsgeschwindigkeit, ⃗g die
Erdbeschleunigung und ⃗s die (negative) Höhe.
E=m⋅⃗
g⋅⃗s +
Abb. 3: Beziehung zwischen der Erhöhung des Winkels
s des Maxwellschen Rads.
Höhe d ⃗
Mit der Notation aus Abb. 3
d ϕ und der Reduzierung der
d ⃗s =d ⃗
ϕ×⃗r
und
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TEP
Mechanische Energieerhaltung / Maxwellsches Rad
⃗ν≡d
mit
⃗r
⃗s
ϕ
⃗
=d ×⃗r ≡ω
⃗ ×⃗r
dt
dt
als Radius der Spindel.
Im vorliegenden Fall ist ⃗g parallel zu ⃗s und ω
⃗ senkrecht zu ⃗r , sodass
1
2
2
E=−m⋅g⋅s (t)+ ⋅( m+ I Z /r )(v (t))
2
Da die Gesamtenergie E über die Zeit konstant ist, ergibt sich durch Differenzieren
dE
2
=0=−m⋅g⋅v (t )+(m+ I Z /r )v ( t)⋅v̇ (t)
dt
Für s (t=0)=0 und v (t=0)=0 erhält man
s (t)=
1 m⋅g
2
⋅t (1)
2 m+ I Z /r 2
und
v (t )≡
ds
m⋅g
⋅t
=
dt m+ I Z /r 2
(2)
Die Masse m beträgt hier m = 0,436 kg. Der Radius r der Spindel ist r = 2,5 mm.
Aus der Regressionsgeraden der Messwerte aus Abb. 4 und aus dem exponentiellen Ausdruck:
erhalten wir
Y = A⋅X B
B=1,99±0,01
2
A=0,0196±0,0015 m/ s
Abb. 4: Abhängigkeit der zurückgelegten Strecke des Schwerpunkts des Maxwellschen Rads von der Zeit.
Mit Gleichung (1) folgt als Trägheitsmoments
−4
I Z =9,84⋅10 kgm
2
Aus der Regressionsgeraden der Messwerte aus Abb. 5 und aus dem exponentiellen Ausdruck:
Y = A⋅X
B
erhalten wir
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Mechanische Energieerhaltung / Maxwellsches Rad
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B=1,03±0,015 (siehe Formel (2))
Abb. 5: Geschwindigkeit des Schwerpunkts des Maxwellschen Rads als Funktion der Zeit.
Aus Abbildung 6 ist zu erkennen, dass die potentielle Energie nahezu vollständig in Rotationsenergie
umgewandelt wird.
Abb. 6: Energie des Maxwellschen Rads als Funktion der Zeit
1. Negative potentielle Energie
2. Translationsenergie
3. Rotationsenergie
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