Mathematik für Informatiker Kombinatorik und Analysis ¨Ubungsblatt 3

Wintersemester 16/17
Dr. Janko Boehm
Mathematik für Informatiker
Kombinatorik und Analysis
Übungsblatt 3
Abgabetermin Montag, den 21.11.2016 vor der Vorlesung.
1. (a) Bestimmen Sie für n = 1009 die Binärdarstellung φ−1
2,16 (n) in 16 Stellen.
(b) Schreiben Sie ein Programm, das für eine beliebige natürliche Zahl n ∈ N die
Binärdarstellung φ−1
2,r (n) für geeignetes r ∈ N bestimmt.
2. Seien a, b ∈ {0, 1}r Binärzahlen in r Bits.
(a) Beschreiben Sie ein Verfahren, das aus a und b die Summe bestimmt, d.h. für minimal
mögliches s ein c ∈ {0, 1}s mit
φ2,s (c) = φ2,r (a) + φ2,r (b).
(b) Implementieren Sie Ihren Algorithmus und erproben Sie ihn an Beispielen.
3. Betrachten Sie die Menge M = R2 \ {(0, 0)} aller Punkte der reellen Ebene ohne den 0Punkt. Wir definieren eine Äquivalenzrelation auf M × M durch (x, y) ∼ (x0 , y 0 ) genau
dann, wenn es eine Gerade durch den Nullpunkt (0, 0) ∈ R2 gibt, auf der sowohl der Punkt
(x, y) als auch der Punkt (x0 , y 0 ) liegt.
(a) Zeigen Sie, dass durch ∼ eine Äquivalenzrelation gegeben ist.
(b) Finden Sie eine geometrische Darstellung der Menge der Äquivalenzklassen M/ ∼,
indem Sie in jeder Äquivalenzklasse einen geeigneten Repräsentanten in M wählen.
Hinweis: Sie können Aufgabenteil (b) auch zeichnerisch lösen.
4. (a) Konstruieren Sie einen Körper mit genau zwei Elementen, indem Sie auf K = {0, 1}
die Verknüpfungen + und · spezifizieren.
(b) Zeigen Sie, dass Z2 zusammen mit der Addition und der Multiplikation
(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)
(a, b) · (c, d) = (ac − bd, ad + bc)
zu einem kommutativen Ring mit 1 wird.
Hinweis: Zeigen Sie dazu, dass + und · assoziativ, distributiv und kommutativ sind,
neutrale Elemente 0 und 1 für + und · existieren, und jedes Element ein Inverses
bzgl. + hat.
5. (4 Zusatzpunkte) Seien die Zahlen 1, ..., 101 in irgendeiner Reihenfolge gegeben. Zeigen
Sie, dass 11 davon aufsteigend oder absteigend sortiert sind.
Hinweis: Betrachten Sie für jedes Element der Zahlenfolge die Längen der dort beginnenden aufsteigenden bzw. absteigenden Teilfolgen, und verwenden Sie das Schubfachprinzip.